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二倍角的三角函数_课件

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高中数 二倍角的三角函数课件 北师大必修

高中数 二倍角的三角函数课件 北师大必修
选择题
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性

北师大版(2019)高中数学必修2第4章3.1二倍角公式 课件(共18张PPT).ppt

北师大版(2019)高中数学必修2第4章3.1二倍角公式 课件(共18张PPT).ppt

你能根据二倍角公式解答下面各题吗？看谁做得既快又准
① 2sin15 cos15
③ 1 2sin15
⑤
ππ 2 sin cos
88
①1
⑤2
2
②2
2
⑥3
3
② cos22.5 sin 22.5
④ 2cos30 1
⑥
2 1
t an75 t an75
③
3 2
④
1 2
例1.已知角a是第二象限角，cosα = 3 , 求 sin 2α, cos2α, tan2α 5
点评：直接运用公式将已知角转化为特殊角求值.
根据上题的启示怎样去思考这道题呢？
cos20 cos40 cos80
那这道题又该怎么去解呢？
sin10 sin 30 sin 50 sin 70
1.二倍角的正弦，余弦，正切公式
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos2α sin2α = 2 cos2α
2tan 22.5 (3) 1 tan2 22.5 ;
(4)1 2sin2 75 .
解： (1)原式 1 (2sin15 cos15 ) 1 sin 30 1
2
2
4
(2)原式 cos 2
42
(3)原式 tan 45 1
(4)原式 cos150 cos(180 30 ) cos30 3 2
S2α
cos 2α = cos2α sin2α
C2α
= 2 cos2α 1=1 2sin2α
tan2α = 2 tanα
1 t an2α
T 2α
公式的作用：
1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来 表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单 角的三角函数之间的互化问题； 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中， 取两角相等时推导出来的，记忆时可联想相应 角的公式.

二倍角公式课件

二倍角公式课件

描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
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二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明
1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手， 左边
证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0， 右边
＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件．
(1)sin 2π4·cos 2π4·cos 1π2；
(2)1－2sin2 750°；
(3)tan
1π2－tan1
π. 12
解：(1)原式＝122sin
π 24cos
π 24·cos
1π2＝12sin
1π2·cos
1π2＝142sin
1π2·cos
π 12
＝14sin
π6＝18.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.

5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)

5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)

数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
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地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)

高中数学课件——二倍角的三角函数

高中数学课件——二倍角的三角函数

二倍角公式：
sin 2 2 sin cos
S 2
2
cos 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos sin
2
C 2
2 tan tan 2 2 1 tan
k k Z ,且 k ， 2 2 4
T2
二倍角公式
sin 2 2 sin cos
练习:
sin sin 2 （1）化简 1 cos cos 2
（2） 8 cos
tan

32
cos
（3）若
x 2 sin 1 8 2 f _______ f x 2 tan x ，则 x x 12 sin cos 2 2
2
cos sin 16 8 32
理解公式的推导方法
S(α-β) 以－β代β C(α-β)
作 商
S(α+β) C(α+β)
作 商
β＝α
S2α C2α
作 商
T(α-β)
以－β代β
T(α+β)
β＝α
T2α
1 2sin 2。 注意：1、符号法则；2、灵活运用公式 2cos 1
3 例1 已知 sin , 是第三象限角, 求 sin 2 , 5 sin 2 2 sin cos cos 2 , tan 2 . 3 解： sin , 是第三象限角 5 4 3 2 2 cos 1 sin 1 ( ) 5 5 3 4 24 sin 2 2sin cos 2 ( ) ( ) 5 5 25 3 2 7 2 cos 2 1 2sin 1 2 ( ) 5 25 2 tan 24 2 2 tan2 cos2 cos sin 2 7 1 tan 2

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

已知 sinα＝35，cosα＝45，则 sin2α等于(
)
A.7B.125源自5C.1225D.2245
[答案] D
[解析] sin2α＝2sinαcosα＝2245.
已知 cosα＝13，则 cos2α等于(
)
A.13
B.23
C．－79
D.79
[答案] C
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
[拓展]倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α； cosα＝s2isni2nαα； cos2α－sin2α＝cos2α； 1－2tatannα2α＝tan2α.
(2)公式的有关变形： 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα ＝(sinα±cosα)2； 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α； cos2α＝1＋c2os2α；sin2α＝1－c2os2α.
自主预习 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
简记 S(α＋β) S2α C(α＋β) C2α
T(α＋β) T2α
[总结]对倍角公式的理解： ①成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角， T2α则只有当α≠k2π＋π4(k∈Z)时才成立． ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的 二倍、α是α2的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的．
B．π
C．3π

北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)

北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)

∵54π<x<74π，∴－32π<π4－x<－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
[巧归纳] 先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽
量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.
[练习 2] 1.已知 cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且 α，β∈0，π2，则 cos(α－β)的值等于
( D)
A.－12
1 B.2
C.－13
23 D.27
解析：∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－79，
∴sin 2α＝ 1－cos22α＝492， 而 α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，
sin cos
α＋cos α－sin
αα＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)．
因为 α∈0，π4，所以 sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝12，即 sin 2α＝12.由 α∈0，π4，得 2α∈0，π2，所以 2α＝π6，即 α
＝1π2.
[巧归纳] 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行： (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大 小. [练习 3] 已知 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且 α，β 都是锐角，求 α＋2β 的值．
[解] (1)由 2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π8＋k2π，k∈Z，所以 f(x)的定义域为 x∈Rx≠π8＋k2π，k∈Z .

二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件

sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2

5.5.1二倍角的正弦余弦正切公式课件共17张PPT

5.5.1二倍角的正弦余弦正切公式课件共17张PPT
1 tan A tan B 2
tan
2A
2B
2 1
tan
tan 2
A B A B
44 117
巩固练习
变式：在ABC中, sin A 4 , tan B 2,
5
tan A 3
求 tan 2 A 2B 的值.
4
分A为钝角和锐角讨论
当A为钝角时，可求得tan(A+B)>0,与题 意不符，舍去
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
k (k Z )
2
k (k Z )
2
k (k Z )
2
学习新知 思考：能利用S(±)、C(±)、 T(±)推导出 sin2,cos2,tan2的公式吗？
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
( T(+) ) ( T(-) )
2
和 k , k Z时 ,公 式 才 有 意 义 .
42
学习新知
2.倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
=1-2sin2
=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
学习新知
1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数 公式与和角的三角函数公式之间关系.

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
二倍角公式
名称
公式
二倍角的正弦 sin 2α＝ 2sin αcos α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
[例 1] 求下列各式的值：
(1)sin
π 12 cos
＝8sisnin12600°°＝18.
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．
[精解详析]
原式＝scions（（π2π4＋＋2xx））
＝cos 10°＋
3sin
10°＝2（12cos
10°＋
3 2 sin
10°）
2
2
2 sin 40°
2 sin 40°
＝2 s2insi4n04°0°＝2 2

4.3二倍角的三角函数公式(教学课件)-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

4.3二倍角的三角函数公式(教学课件)-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
2tan

sin
（3）注意多种方法的应用；（4）由式子结构，可运用 2＝1−tan2和tan 2 ＝1+cos 求解.
高中数学
必修第二册
北师大版
1−2cos2
解：（1）原式＝
2

8
−cos
＝
2

4
2
＝- 4 .
（2）原式＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝- 3.
π
< 4 + < 2π.
3
π
π
4
π
4
∵cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝ − 1 − cos 2 ( 4 + )＝-5，∴tan( 4 + )＝-3.
π
π
π
9
7
又-cos( 2 + 2)＝-cos2( 4 + )＝-[2cos 2 ( 4 + ) − 1]＝1-2 × 25＝25.
π
3
7π
5π
，∴
4
3
π
π
π
< 4 + < 2π，∴sin( 4 + ) < 0.
4
又cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝− 5.
π
π
π
π
sin 2+2sin2 2sin cos +2sin2 2sin cos (cos +sin ) sin 2· 2(sin 4 cos +cos 4 sin ) −cos( 2 +2)sin( 4 +)
9
4
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42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
由题意得
sinα2－cosα2
2＝
1 5
，即1－sinα＝
1 5
，
得sinα＝45.而450°<α<540°，
∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－sicnoαsα＝1－4－35＝2. 5
[规律总结]
利用半角公式求tan
α 2
的值时，为避免讨论，
一般尽量采用半角正切公式的有理式tan
α 2
＝
sinα 1＋cosα
(2)要使 f(x)≥32，只需 22sin(2x＋π4)≥0， 即 sin(2x＋π4)≥0， 由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z， 又 x∈[0，π]，∴0≤x≤38π或78π≤x≤π. 故使不等式 f(x)≥32(x∈[0，π])成立的 x 的取值范围是[0，38π] ∪[78π，π]．
2．半角公式 (1)sinα2＝±____1_－__2c_o_s_α_.
1＋cosα (2)cosα2＝±_______2____. (3)tanα2＝_±____11_－＋__ccoo_ss_αα_＝___1_＋_s_icn_oα_s_α___＝___1_－s_i_cno_αs_α____. 在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函 数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面 的正、负两个符号．
二倍角的三角函数
课前自主预习
如图甲所示，已知弓弦的长度AB＝2a，弓箭的长度MN＝ 2b(其中MA＝MB，MN⊥AB)．假设拉满弓时，箭头和箭尾到 A，B的连线的距离相等(如图乙所示)，设∠AMN＝α，你能用 a，b表示∠AMB的正切值，即tan2α的值吗？
tan2α与tanα之间存在怎样的关系呢？现在我们来学习二倍 角与半角公式的知识．
∴原式＝ 22ssiinnαα22＋－ccoossαα22＋－sicnoα2s－α2＋cossiαn2α2 ＝sinα2－csoisnα22α22－－csoisn2α2α2＋cosα22 ＝－4－sicnoα2scαosα2＝2csoisnαα＝2tanα.
(2) 原 式 等 价 于
1
＋
sin4θ
杂，可将要证的式子变形．发现
2tanθ 1－tan2θ
＝tan2θ，所以只要证
明式子1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)即可．
[规范解答] (1)∵32π<α<2π，∴34π<α2<π， ∴ 1－cosα＝ 2sin2α2＝ 2sinα2，
1＋cosα＝ 2cos2α2＝－ 2cosα2， 1＋sinα＝|cosα2＋sinα2|＝－(cosα2＋sinα2)， 1－sinα＝|cosα2－sinα2|＝sinα2－cosα2.
(1)sin15°sin30°sin75°等于( )
A．
3 4
B．
3 8
C．18
D．14
(2)下列各式中，值为 23的是( )
A．2sin15°cos15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°
(3)已知tanα＝－34，则tan2α等于( )
课堂典例讲练
利用倍角公式求值
利用倍角公式求下列各式的值． (1)2sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°； (3)1－2tatann125105°0°；(4)cos1π2cos51π2； (5)sin110°－cos130°. [思路分析] 本题主要是倍角公式的逆用，关键是搞清公 式的特征．
易错疑难辨析
[错解]
已知 sinθ＝35，sin2θ<0，求 tan2θ的值． ∵sinθ＝35>0，sin2θ<0，故 θ 为第二象限的角，∴
(5)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn320×°－101°0°＝4ssiinn2200°° ＝4. [规律总结] 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系， 另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及 诱导公式是常用的方法．
(1)化简2sicno2sxx·(1＋tanx·tan2x)．
(2)求证：33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A．
[解析] (1)原式＝2s2incxocsoxsx(1＋csoinsxx·1－sincoxsx) ＝sinx(1＋1－cocsoxsx)＝csoinsxx＝tanx.
＝
1－sicnoαsα，利用半角公式求sinα2，cosα2的值时，要注意根号前面
的符号由角α2所在象限相应的三角函数值的符号来确定．
已知|cosθ|＝35，且52π<θ<3π，求sin2θ，cos2θ，tan2θ的值． [分析] 本题主要考查半角公式，先由角的范围去掉绝对 值符号，再由半角公式即得． [解析] ∵|cosθ|＝35，52π<θ<3π， ∴cosθ＝－35，54π<2θ<32π. 由cosθ＝1－2sin22θ，
__1_－__t_a_n_2α______. (2) 余 弦 函 数 的 二 倍 角 公 式 有 三 种 形 式 ， 即 cos2α ＝
c_o_s_2_α_－__s_in_2_α____＝___2_c_o_s2_α_－__1_____＝___1_－__2_s_i_n_2α_____，由此 可得变形公式 sin2α＝_1_－__c2_o_s_2_α，cos2α＝1_＋__c_2o_s_2_α_，它的双向应 用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)在和角公式 Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β 中，当 α＝β 时就可得到二
倍角的三角函数公式 S2α，C2α，T2α. 2tsainn2αα ＝ _2_si_n_α_c_o_s_α___ ， cos2α ＝c_o_s_2α_－__s_i_n_2α_____ ， tan2α ＝
[规律总结] (1)带有根号的化简问题，首先要去掉根号， 想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的 解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重 要的变形：1±sinα＝(sinα2±cosα2)2，1＋cosα＝2cos2α2.(2)证明三角 恒等式就是充分利用三角函数的有关公式，通过角的变换或函 数的转化，将一边的三角函数式化为另一边，或两边都等于某 一多项式，本例证明采用的是从左到右的证明思路，解决这类 问题的关键是消去等式两端的差异．
－
cos4θ
＝
2tanθ 1－tan2θ
(1
＋
sin4θ
＋
cos4θ) 即 1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)①
而①式右边＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)
＝csoins22θθ(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)
＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边
∴①式成立，原式得证．
A．274
B．－274
C．274 [答案]
[解析]
D．－274
(1)C (2)B (3)D (1)原式＝12sin15°cos15°＝14sin30°＝18.
(2)cos215°－sin215°＝cos30°＝
3 2.
(3)tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×－－34342＝－274.
利用公式化简与证明
已知函数f(x)＝sin2(π4＋x)＋cos2x＋12，x∈R. (1)求函数f(x)的最值与最小正周期； ([2解)求析使] 不(1等)∵式ff((xx))＝≥s32in(x2(∈π4＋[0，x)＋π]c)成os2立x＋的12x＝的1取－值co范s2围π2＋．2x＋ 1＋c2os2x＋12＝12sin2x＋12cos2x＋32＝ 22sin(2x＋π4)＋32. ∴f(x)的最大值为 22＋32，最小值为－ 22＋32； 最小正周期 T＝22π＝π.
已知sin α2 －cos α2 ＝－
5 5
，450°<α<540°，求tan
α 2
的值．
[思路分析]
要求tan
α 2
的值，结合条件，可以联立sin2
α 2
＋
cos2
α 2
＝1，求得sin
α 2
，cos
α 2
，从而获解．但这种方法需要解方
程，联想到有理形式的半角正切公式，可以有以下解法．
[规范解答]
有sin2θ＝－ 1－2cosθ＝－
1＋2 35＝－25
5 .
又cosθ＝2cos22θ－1，
有cos2θ＝－ 1＋2cosθ＝－ 55，
∴tan2θ＝ sinθ2θ＝2. cos2
三角公式与三角函数的图像与性质的综合应 用
已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx， 3cosx)，函
数f(x)＝a·b＋
是________．
[答案]
π 2
1 2
[解析] y＝12sin4x，∴T＝24π＝π2，ymax＝12.
5．已知tan(π4＋α)＝2，则tan2α＝________.