数学文卷·2014届四川省宜宾市高三第一次诊断性测试(2013.12)

一、单选题二、多选题1.设集合，则（ ）A．B．C．D．2.正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）A ．1B．C．D．3. 新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院.每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种A ．252B ．540C ．792D ．6844. 双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．25.将函数的图象向右平移个周期后，所得函数图象的一个对称中心为（ ）A．B．C．D．6. 6名同学相约在周末参加创建全国文明城市志愿活动，现有交通值守、文明劝导、文艺宣讲三种岗位需要志愿者，其中，交通值守、文明劝导岗位各需2人，文艺宣讲岗位需1人．已知这6名同学中有4名男生，2名女生，现要从这6名同学中选出5人上岗，剩下1人留守值班．若两名女生都已经到岗，则她们不在同一岗位的概率为（ ）A．B．C．D．7.已知函数，关于的命题：①的最小正周期为；②图像的相邻两条对称轴之间的距离为；③图像的对称轴方程为；④图像的对称中心的坐标为；⑤取最大值时. 则其中正确命题是（ ）A ．①②③B ．①③⑤C ．②③⑤D ．①④⑤8. 已知数列为等差数列，且，则的值为( )A．B ．45C．D．9. 若z 满足，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C．D ．z 对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为310. 若函数在上单调，则实数的值可以为（ ）A．B．C．D ．311.已知，若不等式在上恒成立，则a 的值可以为（ ）A．B．C ．1D．12. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）A ．，B ．函数的极大值与极小值之和为2四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试文科数学试题四川省宜宾市普通高中2022届高三上学期第一次诊断测试文科数学试题三、填空题四、解答题C．函数有三个零点D ．在区间上单调递减13.展开式中的系数为___________．（用数字作答）14. 命题“，使得”为假命题，则a 的取值范围为________.15. 如图，在中，是边上一点，，则__________；的面积为___________．16. 已知坐标原点为O ，点P为圆上的动点，线段OP 交圆于点Q ，过点P 作x 轴的垂线l ，垂足R ，过点Q 作l 的垂线，垂足为S ．(1)求点S 的轨迹方程C ；(2)已知点，过的直线l 交曲线C 于M ，N ，且直线AM ，AN 与直线交于E ，F ，求证：E ，F 的中点是定点，并求该定点坐标17.已知函数(1)讨论的单调性；(2)当有三个零点时a的取值范围恰好是求b 的值.18. 有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；(2)设第次答题后游戏停止的概率为．①求；②是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．19. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？20. 在卡塔尔世界杯期间，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：班级12345喜欢观看世界杯的人数3935383836班级67891 0喜欢观看世界杯的人数39437438(1)该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；(2)从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．21. 已知等差数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为.若，(为奇数)，求的值.。

故 C1C 2 C 3 C n 取得最大值时， n 的值为 6； ………………………………12 分 21.解： （1）a=2 时 g（x）=
2 x
'
h(x)=lnx+
2 x
（x＞0） h (x)=
'
1 2 x2 = 2 …………………………1 分 x x2 x
'
当 0＜x＜2 时 h ( x) 0 ，当 x＞2, h ( x) 0
凉山州 2014 届高中毕业班第一次诊断性检测 数学（理工农医类）参考答案及评分标准
一、选择题
1.B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7. B 8. A 9.D 10.A
二、填空题.
11. —10 12.
1 2
13. 1
14.
6 7
15.①
三、解答题
16 解： f ( x) a b 2 cos x 3 sin 2 x 1 cos 2 x 3 sin 2 x
………………………………………9 分
当 a 0 时， g ( x 2 ) [11a, a ] ， 2 g ( x 2 ) [ 2 a,2 11a ]
2 a 5 2 11a 0 a a 0
当 a 0 时，显然不合题意； 综上所述， a 的取值范围是 [
2
4
1 16
3 8
9 16
∴随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 0
1 3 9 ………………………6 分 2 4 3 ； 16 8 16
(2)事件 AB 为如下两个互斥事件的和事件： 事件 C：甲校总得分为 4 分且乙校总得分为 0 分； 事件 D：甲校总得分为 2 分且乙校总得分为 2 分；

高2013级高三第一次诊断性测试数学（文史类）参考答案一.选择题：二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.12 12.10913.1 14. 15.②③ 三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚． 16.解：（Ⅰ）由题已知:cos A A ⋅=+= m n , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分2sin()6A π∴+=sin()6A π+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 由A 为锐角得:63A ππ+=,6A π=. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知12sin A =, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分2()cos24sin 12sin 4sin f x x x x x =+=-+=2132(sin )x --+. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分x ∈R ,[]sin 11x ∴∈-,,因此,当sin 1x =时,()f x 有最大值3；当sin 1x =-时,()f x 有最小值5-, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分 故所求函数()f x 的值域是[53]-,. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分17.解:（Ⅰ）由题设可知,第3组的频率为0.0650.3⨯=,第4组的频率为0.0450.2⨯=,第5组的频率为0.0250.1⨯=. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分（Ⅱ）第3组的人数为0.310030⨯=,第4组的人数为0.210020⨯=,第5组的人数为0.110010⨯=.因为第3,4,5组共有60名应聘者,所以利用分层抽样在60名应聘者中抽取6名,每组抽取的人数分别为 第3组:306360⨯=,第4组:206260⨯=,第5组:106160⨯=. 所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 （Ⅲ）设第3组的3位应聘者为123,,A A A ,第4组的2位应聘者为12,B B ,第5组的1位应聘者为C . 则从六位应聘者中抽两名有:121311121232122231(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C A A A B A B A C A B3231212(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B B B C B C ,共15种可能. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分其中第4组的2位为12,B B 至少有一位应聘者入选的有：1112212231321212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B B B B C B C ,共9种可能.所以第4组至少有一名应聘者被甲考官面试的概率为93155=. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 18．解：（Ⅰ）在图2中,过A '作A F BE '⊥于F .平面A BE '⊥平面BCDE ,BE 是交线.∴A F '⊥平面BCDE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分90BA E '∠=︒ ，3A B A E ''== 30A EB '∴∠=︒,32A F '=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分由已知得,1)2BCDE S BC DE CD =+⨯=梯形（四棱锥A BCDE '-的体积1332V ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 （Ⅱ）延长过BE CD ,交于P ,连结A P ',过D 作//DR A P '交A C '于R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分DR ⊄ 平面,A BE A P ''⊂平面,A BE '//DR ∴平面A BE ' ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分11//44PD DE DE BC PC BC ∴== ，1133PD A R DC RC '∴=∴=， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分 ∴在棱A C '存在点R ,使得//DR 平面A BE ',这时13A R RC '= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19.解：（Ⅰ）∵3482++=n n n a a S ∴3481121++=---n n n a a S （2≥n ） ∴1122144)(8-----+=-n n n n n n a a a a S S ∴)(41122--+=-n n n n a a a a ∵0>n a ∴41=--n n a a （2≥n ）∴数列{}n a 是以4为公差的等差数列 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分 又∵3481211++=a a S ∴034121=+-a a 而31<a ∴11=a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 ∴34-=n a n ()n *∈N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知n n n n n S n -=⋅-+⋅=2242)1(1， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 ∴)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分∴12)1211215131311(2121+=+--+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++n n n n b b b n ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 ∵2112112<+=+n n n ， ∴存在12m ≥,使m b b b n <+⋅⋅⋅++21对于任意的正整数n 均成立． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分20.解：（Ⅰ）设点(),F x y ,点(),P x y '',因为点P 在x 轴上的射影为H ,所以(),0'H x ．又因为2+=OH OP OF ,所以点F 是线段PH 的中点，即有22'=⎧'=⎧⎪⇒'⎨⎨'==⎩⎪⎩x x x x y y y y ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分 因为点P 是圆224x y +=上任意一点,所以()()224''+=x y ，()()22222414+=⇒+=x x y y ．所以点F 的轨迹C 的方程为2214+=x y ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 （Ⅱ）设()11,A x y ,()22,B x y ,联立解方程组:()2222214844014=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩y kx m k x kmx m x y , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分 ∴()()()222122212284144408144414⎧∆=-+->⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩km k m km x x k m x x k ，即221222122148144414⎧⎪<+⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩m k km x x k m x x k ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 ∴121222()214+=++=+my y k x x m k． 又点N 是线段AB 中点,由中点坐标公式,得224(,)1414km mN k k -++， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分又= OQ ,得22(,)1414Q k k-++， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11分将Q 代入椭圆方程2214+=x y ， 得()()22222228211414+=++k m m k k ,化简得22241=+m k ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅13分21.解:（Ⅰ）当3a =-时,()ln 3f x x x x =-(0)x >，有()ln 13ln 2f x x x '=+-=-, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2分∵令()0f x '≥,即ln 20x -≥，∴2e x ≥∴ 函数()f x 的单调增区间2[e ,)+∞ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分 （Ⅱ）解法一:若对任意(1,)x ∈+∞,()(1)f x k a x k >+--恒成立， 即(1)ln k x x x x -<+恒成立，∵(1,)x ∈+∞，∴10x ->． 则问题转化为ln 1x x xk x +<- 对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分设函数ln ()1x x xh x x +=-,则2ln 2()(1)x x h x x --'=-，再设()ln 2m x x x =--,则1()1m x x'=-． ∵(1,)x ∈+∞，∴()0m x '>，则()ln 2m x x x =--在(1,)x ∈+∞上为增函数， ∵(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->, ∴0(3,4)x ∃∈,使000()ln 20m x x x =--=．∴当0(1,)x x ∈时,()0,()0m x h x <<;当0(,)x x ∈+∞时,()0,()0m x h x >> ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 ∴ ln ()1x x xh x x +=-在0(1,)x x ∈上递减,在0(,)x x ∈+∞上递增.∴()h x 的最小值为00000ln ()1x x x h x x +=-． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分∵000()ln 20m x x x =--=，∴00ln()11x x +=-，代入函数00000ln ()1x x x h x x +=-.得00()h x x =,∵0(3,4)x ∈,且()k h x <,对任意(1,)x ∈+∞恒成立， ∴min 0()k h x x <=，∴3k ≤，∴k 的值为1,2,3． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅14分解法二:(按同比例给分)令()()()1ln (1)=-+--=--+⎡⎤⎣⎦g x f x k a x k x x k x k (1)>x , ∴()ln 1(1)ln 2'=+--=+-g x x k x k .当20-≥k 时,即2≤k 时,()0'>g x ,()g x 在(1,2)上单调递增， ∴()(1)10>=>g x g 恒成立，而k *∈N ∴1=k 或2=k ．当20-<k 时，即2>k 时，2()0e -'=⇒=k g x x ， ∴()g x 在2(1,e )-k 上单调递减,在2(e ,)-+∞k 上单调递增， ∴2222min ()(e )e (2)(1)e e 0---->=---+=->k k k k g x g k k k k 恒成立，∴2>e-k k ，而k *∈N ，∴3=k ．综上可得,1=k 或2=k 或3=k 时成立．。

2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试数 学（理工农医类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}102,73<<=<≤=x x B x x A ,则=B A(A) {}73<≤x x (B) {}73<<x x (C) {}72<≤x x (D) {}102<≤x x 2.函数)2sin(1π-+=x y 的图象(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线2π=x 对称3．二项式52)1xx +（的展开式中，x 的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 4.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ， 则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件.③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 2 (B) 4(C) 8(D) 166.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点)24(--，P 的抛物线的标准方程是 (A) x y -=2 (B) y x 82-=(C) x y 82-=或y x -=2(D) x y -=2或y x 82-=7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有 (A) 192种(B) 120种(C) 96种 (D) 48种8.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A)30(B) 60 (C) 120 (D)1509.双曲线)0,012222>>=-b a by a x （的左右焦点为21F F ，,P 是双曲线右支上一点，满足条件212F F PF =,直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为(A)45(B)3 (C)332 (D)3510.设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是(A) 2 (B)12 (C) 14 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知i 是虚数单位，则21i i=+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲.13.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲.14.在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 的中心，点Q 在线段PD 上运动，则异面直线BQ 与11D A 所成角θ最大时，=θcos ▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有正确结论的序号是▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，若日平均气温不超过15 ℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20 ℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20 ℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15 ℃，超过15 ℃但不超过20 ℃，超过20 ℃这三种情况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2－3x ＋a ＝0的两根，且P 2＝P 3. （I ）求P 1，P 2，P 3的值；（II ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，求ξ的分布列及数学期望．18.（本题满分12分）如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. （I ）证明:GH //平面ACD ；（II ）若AC=BC=BE =2,求二面角O-CE-B 的余弦值.19. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n（b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设函数xx f )21()(=，数列{}n b 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n(i) 求数列{}n b 的通项公式；(ii)设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 和n T .20. （本题满分13分）已知点Q P ,的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线QM PM ,相交于点M ,且它们的斜率之积是14-（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与点M 的轨迹交于,A B 两点.试判断点O 到直线AB的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.21. （本题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=234)(，在y 轴上的截距为5-，在区间[]10，上单调递增，在[]21，上单调递减，又当2,0==x x 时取得极小值. （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）能否找到函数)(x f 垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x 的方程5)(22-=x x f λ恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为12,x x ,试问：是否存在实数m ，使得不等式2122x x tm m -≤++对任意[]A t ∈-∈λ,3,3恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.高中2012级一诊测试数学（理工类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题（每小题5分，共25分）11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 4π14.615. ①③④三、解答题（共75分）16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分） ∵π=T 且ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分） (2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分） ∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y取得最大值为2............................................（12分）17.解：（I ）由已知得1231223135P P P P P P P++=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得：123122,, (4555)P P P ===（分） （II）ξ的可能取值为200，250，300，350，400...........................5（分）11(200),55124(250)2,552512228(300)2,555525228(350)2,5525224(400) (105525)P P P P P ξξξξξ==⨯==⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=（分）随机变量ξ的分布列为所求的数学期望为14884200250300350400320() (122525252525)E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=瓶（分）18.解： (1)证明：连结GO,OH ∵GO//AD,OH//AC...................................................................................................................（2分） ∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O...............................................................（.4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD.....................................................................................................................（6分）(2)法一：以CB 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系 则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)平面BCE 的法向量)0,1,0(=，设平面OCE 的法向量),,(000z y x =.......................（8分）)0,1,1(),2,0,2(==CO CE∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00则⎩⎨⎧=+=+00220000y x z x ，故⎩⎨⎧-=-=0000x y x z令)1,1,1(,10-=-=n x ..........................................................................................................（10分）∵二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则33311,cos cos =⨯==⋅><=θ................................................................（12分）法二：过H 作HM ⊥CE 于M ，连结OM∵DC ⊥平面ABC ∴平面BCDE ⊥平面ABC 又∵AB 是圆O 的直径 ∴AC ⊥BC,而AC//OH ∴OH ⊥BC ∴OH ⊥平面BCE..........................................................................................（8分）∴OH ⊥CE ,又HM ⊥CE 于M ∴CE ⊥平面OHM ∴CE ⊥OM ∴OMH ∠是二面角O-CE-B 的平面角...................................................（10分） 由,~CBE Rt CMH Rt ∆∆且CE=22. ∴2212=⇒=HM CE CH BE HM∴22=HM 又OH=121=AC在2622122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆OH OHM Rt 中，. .................................................................（11分）∴332622cos ===∠OH HM OMH ......................................................................................（12分） 19.（Ⅰ）因为a=λb 所以22,12211-=-=+n n n n S S . 当2≥n 时，n n n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+- ...........................................（2分）当1=n 时，2221111=-==+S a ，满足上式所以n n a 2= ..................................................................（4分） （Ⅱ）（ⅰ）)3(1)(,)21()(1n n xb f b f x f --==+ 11(b )(3)n n f f b +=--n n b b --=∴+3)21(1)21(1nn b b +=∴+321211∴ 31+=+n n b b3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列∴13-=n b n ................................................................（8分）（ⅱ） n n n n n a b c 213-==n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=-143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T-1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T 1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（nn n n T 21323-321--+=-nn n T 253-5+= ................................................................（12分）20.（Ⅰ）解：,)M x y （，由题可得1.224y y x x =-+- ..............................（4分）2214x y +=所以点M的轨迹方程为2214x y +=2)x ≠±（ . .............................（6分 ） （Ⅱ）点O 到直线AB 的距离为定值 ，设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ............................（8分） ② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与2212)4x y x +=≠±（联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ ............................（9分） 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k 所以2222222448(1)01414m k m k m k k -+-+=++，整理得2254(1)m k =+，........................（12分 ）所以点O 到直线AB 的距离d ==综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552........................（13分 ） 21.解：（Ⅰ）易知5c =- ……………………(1分)又32()432f x x ax bx '=++由(1)0f '=，得32 4.................................a b +=-①……………………(2分)令()0f x '=，得2(432)0x x ax b ++=由(2)0f '=，得380.................................a b ++=②……………………(3分)由①②得4,4b a ==- 432()445f x x x x ∴=-+- ……………………(4分)（Ⅱ）若()f x 关于直线x t =对称（显然0t ≠）， 则取点(0,5)A -关于直线对称的点(2,5)A t '-必在()f x 上，即(2)5f t =-，得22(21)0t t t -+= ……………………(6分) 又0t≠1t ∴= ……………………(7分)验证，满足(1)(1)f x f x -=+ ……………………(9分)（也可直接证明()()f t x f t x -=+，计算较繁琐；）（Ⅲ）由（1）知，432224455xx x x λ-+-=-， 即4322244xx x x λ-+= 又0x =为其一根，得224(4)0x x λ-+-=22164(4)40λλ∴∆=--=>且21240x x λ=-≠故{|022}A R λλλλ=∈≠≠≠-且且 ……………………(10分) 又1221244x x x x λ+=⎧⎨=-⎩，得222121212()()44x x x x x x λ-=+-=， 12||2||x x λ∴-=，故,2||0A λλ∀∈>且2||4λ≠ , ……………………(11分) 2[3,3],,22||t A m tm λλ∴∀∈-∈++≤对使恒成立’即只需[3,3],t ∀∈-220m tm ++≤恒成立 ……………………(12分) 设2()2,[3,3]g t mt m t =++∈-(3)012(3)021g m g m ≤≤≤⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨-≤-≤≤-⎩⎩无解即不存在满足题意的实数m. ……………………(14分)。