两点间距离公式和中点公式

复习
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2

M
C(5,2)
A(-3,0)
O
x B(2,-2)
解得
x=0点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四 等分，试求出各分点的坐标．
巩 固 知 识 典 型 例 题
首先求出线段ST 的中点 Q 的坐标，然 则由 S（0 ， 2）、T（−6，−1）得 后再求SQ的中点P及 2 (1) 1 0 (6) xQ 3 yQ QT 的中点 R的坐标．
y
A1M1 M1B1
A2 M 2 M 2 B2
(0,y)
B2
M2
(0，y2)
B
x x1 x2 x y y1 y2 y
A
A1
(X1,0) O
(0，y1)
A2
M
M1
(X,0)
B1
(X2,0)
x
即：
x1 x 2 x 2
y1 y 2 y 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称 ——
2
2
解 设线段ST的中点Q的坐标为 ( xQ , yQ )，
2
即
1 Q （ 3, ） 2
图8－2
3 5 9 1 （ , ） 同理，求出线段SQ的中点P ，线段QT的中点 R （ , ）. 2 4 2 4
（ , ）、Q （ 3, ）、R （ , ）. 故所求的分点分别为P 3 5 2 4 1 2 9 2 1 4
8.1平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式
如图：有序实数对（ x,y）与点P对 应，这时（ x,y）称为点P的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标。
y
p(x，y)
y
x

两点距离公式中点公式在数学的奇妙世界里，两点距离公式和中点公式就像是两个忠实的小伙伴，默默地为我们解决着各种问题。

先来说说两点距离公式吧。

假设我们有两个点，A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么这两点之间的距离 d 就可以通过公式d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂- y₁)²]来计算。

这个公式看起来有点复杂，其实理解起来并不难。

我记得有一次，我们班组织了一场校园寻宝活动。

老师在校园里藏了几个“宝贝”，然后给了我们几个点的坐标，让我们通过计算两点之间的距离来找到宝贝的位置。

我和同桌小明一组，拿到的第一个点是教室门口的 A(3, 5)，第二个点是操场边的大树 B(7, 9)。

我们赶紧拿出纸和笔，按照两点距离公式开始计算。

我负责计算横坐标的差值 (7 - 3)² = 16，小明负责计算纵坐标的差值 (9 - 5)² = 16，然后我俩一起把这两个差值相加，16 + 16 = 32，再对 32 开平方，得到√32 = 4√2。

算出距离后，我们一路小跑，按照这个距离去寻找，果然在差不多的位置发现了老师藏的第一个宝贝，是一本有趣的漫画书，可把我俩高兴坏了！再聊聊中点公式。

对于两点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们的中点坐标 M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)。

这个公式在很多实际问题中都能派上用场。

有一次上美术课，老师让我们画一幅校园风景图。

我想画教学楼和校门口之间的那段路，但是不知道怎么确定路的中间位置。

这时候我就想到了中点公式。

教学楼的位置假设是 A(2, 6)，校门口是 B(8, 2)，那中点的横坐标就是 (2 + 8) / 2 = 5，纵坐标是 (6 + 2) / 2 = 4，所以路的中间位置大概就在(5, 4)这个点。

按照这个位置画出来，感觉整幅图的比例都协调多了。

在日常生活中，两点距离公式和中点公式的应用也不少呢。

在平面直角坐标系中，已知点A(x， y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
y
A (x，y)
y
o x A1 x
d(O,A)优=学课堂
6
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？
y
A
A
o
x
A
优学课堂
7
显然，当A点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。
Ax1, y1, Bx2, y2
优学课堂
复习
数轴上两点的距离
AB
o x1 x2
A
B
x1 o x2
所以A,B两点的距离为:
d(A,B)= X 2 – X 1
优学课堂
1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式
优学课堂
2
如图：有序实数对（ x,y）与点P对 应，这时（ x,y）称为点P的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点P的横坐 标，y叫做点P的纵坐标。
2(2a2 b2 c2 2ab), AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD 2 2 AB2 AD2 .
y D (b-a, c) C (b, c)
x
O A(优0学,课堂0) B(a,0)
14
❖ 该题用的方法----坐标法。可以将几何 问题转化为代数问题。
y
p(x，y) x
y
o
x
优学课堂
3
合作探究（一）：两点间的距离公式
思考1
在平面直角坐标系中，已知 两点的坐标，怎样来计算这两点 之间的距离呢？
优学课堂
4
❖ 我们先寻求原点 O0,0与任意一
点Ax, y之间距离的计算方法