两点间距离公式 PPT课件

P2
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
M
o
P1
x
思考5:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？
P2
y
P1
P2
o
x
P1
平面内两点之间的距离公式：若P1(x1 ，y1)和P2(x2 ，y2)，
则
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
例1：在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M（5，8）的距离为 5，并求直线PM的方程。
两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的 距离为多少？
y
|P1P2|=|x1-x2|
P2 (x2，0) o
P1 (x1，0) x
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的
距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
P（2，4）或P (32 , 64) 55
PM：4x-3y+4=0 或24x-7y-64=0
例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c)
A(0,0) B(a,0) x
用“坐标法”（解析法）解决有关几何问题的基本步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
y
P2 (0,y2)
o
x
P1 (0,y1)
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1
和P2的距离为多少？
y
P2
| P1P2 | x02 y02
o
P1
x
思考4:一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，利用 上述方法求点P1和P2的距离可得什么结论？ y

求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
)
解析：|AB|＝|AC|＝ 17，|BC|＝ 18，故△ABC 为等腰三角形．
答案：B
5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为
________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，由 d(P，A)＝10 得 (x－3)2＋(0－6)2＝10，
解得 x＝11 或 x＝－5.
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
学习目标
1.掌握平面上两点间的距离公式
2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题
情境导学
在一条笔直的公路同侧有
两个大型小区,现在计划在公路
上某处建一个公交站点C,以方
便居住在两个小区住户的出行.
如何选址能使站点到两个,
∴B

-2,0
,C

,0
2
|PA|2+|PB|2+|PC|2
,A 0, 3a .设 P(x,y),由两点间的距离公式,得
2
2 2
2 2
=x +
x+2 +y + x-2 +y
52
2
2
=3x +3y - 3ay+ 4

课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
空间两点 间的距 离公式P PT完美 课件
4．空间两点间的距离公式 空间中两点 P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)的距离公式 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. 特别地，点 P(x，y，z)与原点间的距离公式为 |OP|＝ x2＋y2＋z2.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
变，竖坐标 z 变为原来的相反数，所以对称点为 P2(－2,1，－ 4)．
(3)设对称点为 P3(x，y，z)，则点 M 为线段 PP3 的中点，由中 点坐标公式，可得 x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12.
所以 P3(6，－3，－12)．
空间两点 间的距 离公式P PT完美 课件
空间两点 间的距 离公式P PT完美 课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
空间两点 间的距 离公式P PT完美 课件
解 以 BC 的中点为原点，BC 所在的直线为 y 轴，以射线 OA 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如下图．
由题意知，AO＝ 23×2＝ 3，从而可知各顶点的坐标分别为 A( 3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1( 3，0,3)，B1(0,1,3)， C1(0，－1,3)．

人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
人A数学选择性必修第一册
对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
返回导航 上页 下页
(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
人A数学选择性必修第一册
返回导航 上页 下页
[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
人A数学选择性必修第一册

学习目标
1.了解空间两点间的距离公式的推导过程，初步建 立将空间问题向平面问题转化的意识。 2.掌握空间两点间距离公式及其简单的应用.
新知自学：公式形成与推导：
借助课本P137图4.3-6
探究（一） 空间中的点与坐标原点的距离公式 问题 1:在空间直角坐标系中，坐标轴上的点 A（x，0，0），B（0，y，0）， C（0，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 2: 在空间直角坐标系中，坐标平面上的点 A（x，y，0），B（0，y，z）， C（x，0，z），与坐标原点 O 的距离分别是什么？ 问题 3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在 xOy 平面上的射影为 B， 则点 B 的坐标是什么？|PB|,|OB|的值分别是什么？ 问题 4:基于上述分析，你能得到空间任意点 P（x，y，z）与坐标原点 O 的 距离公式吗？
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。

| AC |2 (a b) 2 c 2 , | BD |2 (b a) 2 c 2
B (a,0) x
| AB |2 a 2 , | AD |2 b 2 c 2
因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 :
第一步建系: 建立坐标系，用坐标表示有关的量;
P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
y
P2(x2,y2)
P1P2 (x2 - x1，y2 - y1 )
P1(x1,y1)
| P1P2 | (x2 - x1 ) (y2 - y1 )
2
2
| P1P2 | (x2 - x1 ) 2 (y2 - y1 ) 2
o
x
一、应用距离公式求值
练习：求下列两点间的距离：
2.3.2 两点间的距离公式
1、初中平面几何中如何求距离
勾股定理，比例性质，锐角三角函数等
2、高中几何中如何求距离
向量法，正余弦定理
3、本节课寻找解析几何中求距离的方法
2.3.2 两点间的距离公式
一、应用距离公式求值
二、应用距离公式证明等式成立
三、应用距离公式证明不等式
推导两点间的距离公式
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求
思考：已知函数
() = 2 + 2 + 5+ 2 + 6 + 10
则()的最小值为 13 .
练习：已知函数
() = 2 − 4 + 13+ 2 + 10 + 29
则()的最小值为 74 .
课堂小结

特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例4 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P， 使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是(x,0,0),由题意，P0P 30,
即 (x 4)2 12 22 30,
所以x 42 25.
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4),
C(2,3,4), D(2,3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
补充 例 2 设P 在x 轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标. 解 因为 P 在 x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
z (3)关于原点对称的点
M M’(－1,2,－3)
3
o
1
y
2

x
M’
思考P109练习 4
在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。
z
用前面的方法
M
把M点关于其
它坐标平面和 3
坐标轴对称的 点的坐标求出 来。
o
1 2
y
x
五、小结
空间直角坐标系（轴、面、卦限）
解得x 9或x 1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。

A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 标系．
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．

有些鱼类的唇有味蕾分布。 有些鱼类口边有富有味蕾的须。
10
（一）齿teeth
作用：捕食，不能 咀嚼。
硬骨鱼类的齿：可 分为颌齿、腭齿、 犁齿、咽齿等。 统称为口腔齿。
犁齿和腭齿的有无，
左右下咽齿是否
分离或愈合等常
作为分类标志之
11
咽齿
鲤科鱼类的第五鳃弓 的角鳃骨特别扩大，特称 为咽骨或下咽骨，咽骨上 长的齿，就是咽齿。
胰脏分泌胰蛋白酶、胰脂肪酶及胰淀粉酶， 能消化分解蛋白质、脂肪和醣类，为十分重 要的消化酶类。胰脏产生的消化酶通过胰31管
胃腺（gastric gland）
圆口类及肺鱼类无特殊分化的胃腺，其余鱼类 胃腺一般均存在。少数无胃鱼类如鲤科、隆 头鱼科等无胃腺。
胃腺分泌胃蛋白酶，分解食物中的蛋白质。凶 猛的肉食性鱼类的胃蛋白酶的活性特别高。
Y 型：盲囊部明显突出，贲门部、幽门 部及盲囊部分界明显，如拟沙丁鱼、鳀及鳗 鲡等鱼类的胃。
卜型：盲囊部特别延长而发达，幽门部22较
四、肠（intestine）
软骨鱼类板鳃亚纲的肠可明显分出小肠和大 肠，小肠又可分为十二指肠及回肠。大肠 可分为结肠和直肠。
硬骨鱼类及全头类的肠的末端以肛门开口体 外，板鳃亚纲肠管末端则以肛门开口于泄 殖腔。
X
§4.3.1 空间中两点的距离公式
1
(1) 在空间直角坐标系中，任意一点 P(x,y,z)到原点的距离：
z
| OP | x2 y2 z2
O x
P(x,y,z)
y
P`(x,y,0)
2
(1) 在空间直角坐标系中，任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2

x
*
B
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
作业: P138练习：1，2，3，4.
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
*
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
1．用舟轻快、风吹衣的飘逸来表现自 己归居 田园的 轻松愉 快，形 象而富 有情趣 ，表现 了作者 乘舟返 家途中 轻松愉 快的心 情。 2．“问征夫以前路，恨晨光之熹微”中 的“问” 和“恨” 表达了 作者对 前途的 迷茫之 情。
z
P2
O
P1
y
x
|P1P2|=|z1-z2|
*
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
思考3:若直线P1P2平行于xOy平面， 则点P1、P2之间的距离如何？
z P1
O
xM
P2
y N
|P 1 P 2 |= |M N |=( x 1 -x 2 ) 2 + ( y 1 -y 2 ) 2
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
*
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
思考4:若直线P1P2 是xOy平面的一条 斜线，则点P1、P2的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考5:在上述图形背景下，点P1（x1，y1， z1）与P2（x2，y2，z2）之间的距离是 它对|P 1 任P 2 意|= 两( 点x 1 P- 1、x 2 ) P2 2+ 都( y 成1 - 立y 吗2 ) 2 ？+ ( z 1 -z 2 ) 2
4.3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件

凡事欲其成功，必要付出 代价:奋斗。
——爱默生
课堂检测
2、 设 P 在 x轴上，它到 P1 (0, 2,3)的距离为到 点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
z
P1(x1,y1,z1)
O
M
x
P2(x2,y2,z2)
H
y
N
例 2 求证以 M1 (4,3,1)、 M2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1 M 2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M 2 M 3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
z
P(x,y,z)
O
y
x
P1
关于谁对称谁不变
3.点P(x , y , z) 关于坐标轴的对称点：
（1）x轴对称的点P1为____(_x_,__y__, ; z) （2）y轴对称的点P2为____(__x_,__y_, ;z) （3）z轴对称的点P3为____(__x_,___y;, z)
z
关于谁对称谁不变
M2M3 M3M1 ,
原结论成立.
课堂检测 1、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等.
课堂检测
2、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a，|AN|=2|CN|， |BM|=2|MC`|，求|MN|的长.
z
D`
C`
A`
B` M
O
A x
C y
N
B
变式练习——空间中点的射影点与对称点坐标
1.点P(x , y , z) 在下列坐标平面

两点间距离公式课件
xx年xx月xx日
• 两点间距离公式的基本概念 • 两点间距离公式的应用 • 两点间距离公式的扩展 • 两点间距离公式的实际例子 • 两点间距离公式的数学性质 • 两点间距离公式的历史与发展
目录
01
两点间距离公式的基本概 念
定义
两点间距离公式是用 于计算平面上任意两 点之间的直线距离的 数学公式。
在机器人路径规划中，两点间距离公式可以用来计算两点 间的直线距离，为路径规划提供基础数据。同时，结合其 他算法和约束条件，可以进一步优化路径，提高机器人的 运动效率。
05
两点间距离公式的数学性 质
距离的度量性 质
唯一性
两点之间的距离是唯一的，不会 因测量方法和工具的不同而改变。
传递性
如果点A到点B的距离等于点B到 点C的距离，且点B到点C的距离 等于点C到点D的距离，那么点A 到点D的距离也等于点A到点B的
VS
双曲几何和椭圆几何
在双曲几何中，两点之间的距离公式与欧 几里得几何不同，而在椭圆几何中，距离 公式取决于该几何的具体定义和性质。
THANKS
雷达测距
雷达是一种利用电磁波探测目标的设备，常用于测量目标距 离和速度。雷达测距的基本原理是通过发送电磁波并测量反 射回来的时间来计算目标距离。
雷达测距的精度和准确性对于军事、气象、交通等领域至关 重要。两点间距离公式在雷达测距中也有应用，例如在计算 发射机和接收机之间的距离时。
机器人路径规划
机器人路径规划是指在给定起点和终点的情况下，规划出 一条从起点到终点的最优路径。机器人路径规划的目标是 使机器人能够安全、高效地移动到目的地。
间的距离。
重力场中两点距离
在重力场中，利用已知的两点间距 离和重力加速度，可以计算两点间 的万有引力。