本科2015-2016-1高数A1期末试题A卷

2015-2016学年第一学期期末试卷（A ）高一数学第I 卷 （填空题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．. 1. 设全集{}{}{}1,2,3,4,1,3,1,4U A B ===,()=⋃B A C u ． 2. 已知幂函数y x α=的图像过点(，则()4f = ．3.求值：= ．4. 设1232,2,()log (1),2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥，则((2))f f = ．5. 已知扇形的周长是8cm ，圆心角是2rad ，则该扇形的面积是 ．6. 函数()f x =的定义域为 ．7. 把函数()cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后得到的图象对应的解析式()g x = ．8. 计算：44cos 75sin 75-= ．9.函数sin y x x =在[]0,π上的减区间为 ． 10. 已知()1sin cos 05αααπ+=-<<，则tan α= ．11. 比较大小: 2015cos2015sin （用“<”或“>”连接）。

12. 请在括号内填写一个整数，使得等式()34sin50cos50+=▲成立，这个整数是 。

13. 方程2log (8)2xx +=的所有根的和为 ．14. 已知函数()2sin 821x f x a x =-++，若()20132f -=,则()2013f = ． 第II 卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知在直角坐标系xOy 中，角的始边为x 轴正半轴，已知,αβ均为锐角，且角β和αβ+的终边与单位圆交点横坐标分别为45和513. （1）求tan β的值；（2）求角α终边与单位圆交点的纵坐标.16. (本小题满分14分) 已知函数22()log log 24xf x x =⋅. （1）解不等式()0f x >；（2）当[]1,4x ∈时,求()f x 的值域.17. (本小题满分14分)已知函数()ln cos f x x x =+[](,2)x ππ∈.（1）判断函数()f x 的单调性，并求函数()f x 的值域；（2）证明：方程()f x x π=-在[],2ππ上必有一根.18. (本小题满分16分)如图,,,,A B C H 四个小朋友在草坪上游戏,根据游戏规则,,,A B C 三人围成一个三角形, ,,B H C 三人共线,H 在,B C 两人之间.,B C 两人相距20 m ，,A H 两人相距h m ，AH 与BC 垂直. （1）当10h =时，求A 看,B C 两人视角的最大值；（2）当A 在某位置时，此时B 看,A C 视角是C 看,A B 视角的2倍,求h 的取值范围.19. (本小题满分16分)已知(0,)2πα∈,x ∈R ,函数222()sin ()sin ()sin f x x x x αα=++--.（1）求函数()f x 的奇偶性;（2）是否存在常数α,使得对任意实数x ,()()2f x f x π=-恒成立;如果存在,求出所有这样的α;如果不存在,请说明理由.H CB A20．(本小题满分16分)已知,a x ∈R，函数()sin2)sin()4cos()4f x x x x π=-+-.（1）设sin cos t x x =+,把函数()f x 表示为关于t 的函数()g t ,求()g t 表达式和定义域；（2）对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()32f x a >--恒成立，求a 的取值范围.高一数学期末检测答案及评分标准一、填空题（每题5分）1. {}2 2.2 3. 314. 25.4cm 26.[)+∞,4log 37.⎪⎭⎫ ⎝⎛-42cos πx 8.23-9. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 10.43- 11.< 12.1 13.4 14. 12二、解答题15. 解：（1）由题意可得4cos ,25β=分()5cos ,13αβ+=4分230,,sin 1cos ,625πβββ⎛⎫∈∴=-= ⎪⎝⎭分sin 3tan .cos 4βββ∴==7分（2）120,sin(),13αβπαβ<+<∴+=9分()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦11分=()()sin cos cos sin αββαββ+-+13分=1245333.13513565⨯-⨯=14分【说明】本题来源于必修四第112页第4题改编.考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系、和差角公式；考查角的变换能力.16.解：（1）()()21log )2(log 22 +⋅-=x x x f 分令()()()()2log ,21x t f x g t t t =∴==-⋅+.由()0f x >，可得()()012>+-t t 2>∴t 或1-<t , ……4分2log 2,4x x ∴>∴>,……5分 或21log 1,02x x <-∴<<.……6分∴不等式的解集是()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,421,0 .……7分（2） []1,4x ∈, []0,2,t ∴∈……8分()()49212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∴t t g x f ,……9分 min 19()24f x g ⎛⎫==-⎪⎝⎭,……11分 ()max ()20f x g ==,……13分 ∴()f x 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,49.……14分 【说明】本题考查对数的运算、对数函数的性质、简单的对数不等式；考查一元二次不等式解法、二次函数性质；考查换元法和整体思想.17. 解：（1）[]ππ2,内()x x f ln 1=是增函数，()x x f cos 2=也是增函数， ……2分∴()ln cos f x x x =+在[]ππ2,内是增函数.……3分()min ()ln 1lnf x f e πππ∴==-=,……4分()max ()2ln 21ln 2f x f eπππ==+=，……5分∴函数()f x 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡e eππ2ln ,ln .……6分 （2）设()()ππ+-+=+-=x x x x x f x g cos ln ，……8分由()ln 1ln 10g e ππ=->-=，……10分()031ln 12ln 22<-=-+<-+=πππππe g ，……12分()()02<⋅ππg g ，……13分 ∴方程()f x x π=-在[],2ππ必有一根.……14分【说明】考查函数单调性的判断和应用；考查零点判定；考查数据估算能力.18. 解：（1）设(),20,0,20CH x BH x x =∴=-∈[注:如果讨论0,20x =不扣分]20tan 10x BAH -∠=, tan 10xCAH ∠=，……2分1 当20101010x x --⋅=，即10x =时， 此时45BAH CAH ∠=∠=．90BAC ∴∠=．……4分2 当20101010x x--⋅≠，即10x ≠时，……5分()201010tan tan 2011010x xBAC BAH CAH x x -+∠=∠+∠=--⋅=()0102002>-x0180,90BAC BAC <∠<∴∠<.……6分综上：10AH BH ==时,最大视角是90．……8分（2）tan ;tan 20h hABH ACH x x ∠=∠=-,……10分2,tan tan2ABH ACH ABH ACH ∠=∠∴∠=∠,()()222238040032020201hh x h x x x x x h x ⨯∴=⇒=-+=---⎛⎫- ⎪⎝⎭,……13分()20,0∈x 时， 2(0,400)h ∈,……15分 (0,20)h ∴∈.……16分【说明】本题根据必修四课本117(4)P 改编.考查两角和与差公式；考查分类讨论思想；考查阅读理解能力、建模能力、数学化能力、运算能力和应用数学解决问题的能力.19. (法一)解：（1）定义域是x ∈R ,……1分()()222()sin sin sin ()f x x x x αα-=--+-+-- ……2分 ()()222sin sin sin ()x x x f x αα=++--=,……4分∴函数()f x 是偶函数.……5分（2）()()2f x f x π=-,()()()()222222sin sin sin cos cos cos x x x x x xαααα∴++--=-++-,……7分移项得：()()02cos 22cos 22cos =-++-x x x αα，……9分 展开得：()012cos 22cos =-αx ,……12分对于任意实数x 上式恒成立，只有212cos =α.……14分02απ<<,……15分 ∴6πα=.……16分(法二)()()()22cos 1222cos 1222cos 1xx x x f ----++-=αα……3分()212cos 22cos 1--=αx .……5分1定义域是x ∈R,……6分∵()()()()1cos(2)2cos211cos22cos2122x x f x f x αα------===,……9分∴该函数在定义域内是偶函数.……10分（2）由()()2f x f x π=-恒成立,∴()()212cos 222cos 1212cos 22cos 1-⎪⎭⎫⎝⎛--=--απαx x ,∴()()212cos 22cos 1212cos 22cos 1-+=--ααx x ,……12分化简可得：()012cos 22cos =-αx 对于任意实数x 上式恒成立，……13分只有212cos =α,……14分02απ<<,……15分 ∴6πα=.……13分【说明】本题来源于必修四课本第121页例3.考查三角变形公式和函数奇偶性的判定；考查恒成立问题.本题也可用特殊与一般思想探求出6πα=.20. 解：（1）∵[]2,24sin 2cos sin -∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=πx x x t ,……2分21sin cos 2t x x -∴=.……3分∵()()()x x x x a x x x f cos sin 4cos sin 2cos sin 2+-++-=.……4分∴()()()1422--+-==t t a t t g x f ,……6分定义域：)(0,2⎡⎤⎣⎦,……7分（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，[]2,14sin 2cos sin ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴πx x x t ,……9分∵函数()32f x a >--恒成立，∴()at t a t 231422-->--+- 恒成立 ,得：()a t t t t 22422->+--,……11分02<-t ,……12分 ()()t p t t t t t t t t a =+=----->∴2224222,……13分设2121≤≤≤t t , ∵()()()0221211212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-t t t t t t t p t p ,……14分∴函数()t p在⎡⎣上是递减函数,……15分 ()max ()13a p x p ∴>==.……16分 【说明】本题考查考查同角正弦函数和余弦函数的基本关系、函数单调性的证明和应用；考查恒成立问题的处理方法；考查整体思想和换元法；考查运算变形能力．。

2x 3 x 1 x 1
2
x 1 x 1 2! 2 2! 1 2 因为 f x 2 ， f x 2 2 3 x 1 x 1 x 1 x 13 1 2 n 所以 f n x 1 n ! n 2 , 3 , n 1 n 1 x 1 x 1 10 因此 f 0 10!
1 x 2 x 1 arctan x x ln 1 x 2 C 2
（4 分） （6 分）




2、
x2
1 x
3 2 2
dx
（1 分） （2 分）
解 设 x tan x x2 tan2 t sin 2 t 2 dx sec tdt dt 3 cost sec3 t 2 2 1 x
共6页 西北工业大学命题专用纸
第3页
四、计算题（每小题 6 分，共 18 分） 1、 2 x 1 arctan x dx 解 原式 x 2 x arctanx


x2 x 1 x2
dx
（3 分）
1 x xx 1 arctanx 1 dx 2 1 x2 1 x


由条件知 lima cos x b a b 0
x 0
（2 分）
所以 lim
x 0
a cos x b a sin x a sin x a lim lim 1 x2 3 2 x 0 x 0 2x 2 x 2 ln 1 x 2 1 x
（7 分）
所以，向量 c 是向量 a 和向量 b 的角平分向量。



（8 分）

河南工程学院 2015 至 2016 学年第 1 学期 高等数学A1 试卷 A 卷（答案与评分标准）考试方式： 闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 70%一、单选题（本题18分，每小题3分）1. C2. B3. A4. C5. C6. B二、填空题（本题18分，每小题3分）1. 1x =，2x = 或1，22. 2e3. 14. -15. cos x6. 12x x C e C e -+三、计算题（本题48分，每小题6分）1.2222220011sin lim()lim sin sin x x x x x xx x →→--= ....................................2分 224300sin 2sin 2lim lim 4x x x x x x x x →→--==....................................2分 222001(2)1cos 212lim lim 663x x x x x x →→-===....................................2分2.00x x →→=...........2分 0x →=....................................2分 1=......................................................2分3.y''=........................................2分2)x'=-..................................2分=.......................................2分4.2ln ln ln ln()x x x xf x x e e=== ..........................................2分2ln1()2lnxf x e xx'∴=⋅⋅ ........................................2分ln2lnxx xx⋅= ..............................2分或者ln()ln()ln lnxf x x f x x x=⇒= .....................2分两者都对x求导12()ln()f x xf x x'= .......................................2分lnln()2xxf x xx'∴=⋅ ..........................................2分5.2()2sin22cos2f x x x x x'=+ ................................2分22()2(sin22cos2)2(2cos22sin2)(24)sin28cos2f x x x x x x x xx x x x''=++-=-+....................2分()4f x''=-π ...........................2分6.11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ................3分lnln x C=+ .....................................................3分或11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ...........................................2分令ln x t =11ln ln d x dt x t =⎰⎰ln t C =+ ..........................................2分lnln x C =+ ..................................................2分 7.111000arctan arctan arctan xdx x x xd x =-⎰⎰ .......2分 12041x dx xπ=-+⎰ 122011(1)421d x x π=-++⎰ ......................................2分 1201ln(1)42x π=-+ 1ln 242π=-………………………………………………2分 8.法1 常数变量法 设齐次方程为0dy y dx += ...................2分 求解得x y Ce -=设非齐次方程的解为()x y C x e -= .........................................2分 代入原方程求得()C x x C =+∴原方程的通解为()x y x C e -=+ ..........................................2分 法2 公式法()1P x = ()x Q x e -= ...............................2分求()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ ..................................2分 ()x e C x -=+ .......................................2分四、讨论题（本题8分）...............................................................................2分 101p dx x =⎰11011p x p --ln x1p ≠0p =①当10p ->即1p <时10111p dx x p=-⎰ 收敛...............................................2分 ②当10p -= 即1p =时11001ln pdx x x ==∞⎰发散.........................................2分 ③当10p -<即1p >时101p dx x =∞⎰ 发散..........................................2分五、综合题（本题8分） 。

2015-2016学年度上学期（期末）考试高一数学试题【新课标】考试时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能．．．是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．sin45°cos15°＋cos225°sin15°的值为( )A ．－32B ．－12 C.12 D.323．点P (sin2014°，tan2014°)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知0<a <1，log a m <log a n <0，则( )A ．1<n <mB ．1<m <nC ．m <n <1D ．n <m <1 5．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )6．已知映射B A f →:，其中法则()():,,2,,35f x y z x y y z z →+-+．若(){}8,1,4=B ，则集合A 可以为（ ）A ．(){}1,2,1B ．(){}1,2,1或(){}2,0,1-C ．(){}2,0,1-D ．(){}1,2,1或(){}2,0,1-或()(){}1,0,2,1,2,1-7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )A ．3a －bB ．3a ＋bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b8．若sin2θ＝1，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．2B ．－2C ．±2 D.129．向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足( )A ．λ<－53B ．λ>－53C ．λ>－53且λ≠0D ．λ<－53且λ≠－510．函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个单位长度后,所得到的图像关于y轴对称,则m 的最小值是( )A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π11．设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( )A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 212．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x －x －e2x＋m (x >0)，若f (x )＝0有两个相异实根，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(－e 2＋2e ，0)B ．(－e 2＋2e ，＋∞)C ．(0，e 2－2e)D ．(－∞，－e 2＋2e)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝3sin(ωx ＋π6)(ω≠0)的最小正周期是π，则ω＝________。