广东省2021版高一上学期期中数学试卷(I)卷(考试)

2024-2025学年高一年级第一学期中考试数学试卷考试时长：120分钟 卷面总分：150分本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计100分.考试时间为120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.命题“”的否定是（ ）A. B.C.D.3.已知幂函数图象过点，则等于（ ）A.12B.19C.24D.364.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（）A.B.1C.17D.255.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.6.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（ ）A. B.或C.或 D.或7.若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D.{}1,0,1,2,3,{12}A B xx =-=-<∣…A B ⋂={}1,0-{}1,0,1-{}0,1{}0,1,22,12x x x ∀∈>-R 2,12x x x ∀∈<-R 2,12x x x ∀∈-R …2,12x x x ∃∈-R …2,12x x x∃∈<-R ()fx )2P ()6f ()245f x x mx =-+[)2,∞-+(,2]∞--()1f 7-x ∃∈R ()()22210m x m x -+-+...m 6m >26m <<26m < (2)m …()f x [)0,∞+()21f -=()1f x >{22}x x -<<∣{2xx <-∣2}x >{2xx <-∣02}x <<{2xx >∣20}x -<<()21f x -[]3,1-y ={}131,2⎛⎤ ⎥⎝⎦35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦51,2⎛⎤⎥⎝⎦8.若，且，则的最小值为（ ）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.当时，的最小值为C.若不等式的解集为，则D.“”是“”的充分不必要条件10.下列说法正确的是（ ）A.与B.命题，则C.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D.函数的值域为11.已知函数，则下列判断中正确的有（ ）A.存在，函数有4个根B.存在常数，使为奇函数C.若在区间上最大值为，则的取值范围为或D.存在常数，使在上单调递减三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，若，则__________.13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.a b >2ab =22(1)(1)a b ab-++-24-4-2-0x ∀>21x x >-0x ∃…21x x -…1x >121x x +-2+220ax x c ++>{12}xx -<<∣2a c +=1a >11a<y =y =:,01x p x x ∀∈>-R :,01x p x x ⌝∃∈≤-R ()()()2511x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩R a []3,1--1y x =-+1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(),f x x x a a =-∈R k ∈R ()y f x k =-a ()f x ()f x []0,1()1f a 2a ≤-2a ≥a ()f x []1,3{}1,3,2A m =-{}23,B m =B A ⊆m =()1ax f x x a-=-()2,∞+a14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.（1）若，求；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.16.（15分）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元.（1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少.17.（15分）已知满足.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围.18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式.19.（17分）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.()()()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>⎪=⎨≤⎪⎩()1,32a a --a p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x -≤-B 1a =A B ⋂p q a x ()R x ()()225,(05)20100,(520),90061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-≤<⎨⎪⎪+-≥⎩()W x x ,0x y >6x y +=3y x y+()2244x y m x y +≥+m ()24ax b f x x +=+()2,2-()115f =()f x ()f x 2,2)-()()210f t f t +->R ()f x ,x y ∀∈R ()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+0x >()0f x >x ∈R ()1f x =（1）求证：为奇函数；（2）求证：在上单调递增；2024-2025学年第一学期期中考试高一年级数学试卷答案一､选择题（共小题）题号1234567891011()f x ()f x R 11选项B C D D C B D D BCD AD BC三､填空题（共3小题）12.13.14.四､解答题（共5小题）15.解：（1）：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.当时，，解得，所以，又，所以，解得，所以，所以；（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集，由（1）知时，集合，所以，则，又时，，符合是的真子集，时，，符合是的真子集，所以，综上，实数的取值范围为.16.解：（1）某开发商计划2024年全年投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为60元，则，又，2-(,1)(1,2]∞--⋃[)0,1p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x --…B 1a =2430x x -+…13x ……{}13A xx =∣ (5)02x x --…()()52020x x x ⎧--⎨-≠⎩…25x <…{25}B xx =<∣…{23}A B xx ⋂=<∣…p q B A ()22{25},4300B xx x ax a a =<-+>∣……0a >{}3A xa x a =∣……235a a ⎧⎨⎩ (5)23a ……2a ={}26A xx =∣……B A 53a =553A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭……B A 523a ……a 523aa ⎧⎫⎨⎬⎩⎭……x ()R x ()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……()()60300W x x R x =--()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……所以，即W ；（2）当时，单调递增，且当时，所以，当时，，则在上单调递增，所以，当时，，当且仅当即时等号成立，故，，综上，游客为30万人时利润最大，最大为205万.17.解：（1），当且仅当，即时取等号，即取得最小值.（2）由，得，即，不等式恒成立，即恒成立，()()26030025,056030020100,5209006030061565,20x x W x x x x x x x x x ⎧⎪--<<⎪⎪=--+-<⎨⎪⎛⎫⎪--+- ⎪⎪⎝⎭⎩……()260325,0540200,520900265,20x x x x x x x x x ⎧⎪-<<⎪=-+-<⎨⎪⎪--+⎩……05x <<60325y x =-5x =25y =-()25W x <-520x <…()2240200(20)200W x x x x =-+-=--+()W x ()5,20()200W x <20x …()900900265265265205W x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭ (900)x x=30x =()max 205W x =20520025>>- ()33211211213113122y y x y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-=+-=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122⎛+-=+ ⎝…2y xx y=()62,61x y =-=3y x y +12+0,0,6x y x y >>+=60x y =->06y <<()2244x y m x y ++…2244x y m x y++…，当且仅当，即时取等号，因此当时，取得最小值，则，所以的取值范围.18.解：（1）函数是定义在上的奇函数，则，即，因为，解得，则，经检验，是奇函数.（2）在（上为增函数，证明如下：设，则，由于，则，即，又，则有，则在上是增函数.（3）由题意可得，在上为单调递增的奇函数，由可得，所以，解得，，故的范围为.19.解：（1）证明：的定义域为，关于原点对称，令，得，解得或，又不存在，使得，故，令，得，故，即，因此为奇函数；()()()2222225(2)322804(6)4512364363232y y x y y y y y x y y y y +-+++-+-+===++++()5163253282323333y y ⎡⎤=++-⋅=⎢⎥+⎣⎦…1622y y +=+2y =4,2x y ==2244x y x y ++8383m …m 83m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ (2)4ax bx ++()2,2-()004bf ==0b =()11145a f ==+1a =()24xf x x =+()f x ()f x 2,2)-22m n -<<<()()()()()()222244444m n mn m nf m f n m n m n ---=-=++++22m n -<<<0,4m n mn -<<40mn ->()()22440m n++>()()0f m f n -<()f x ()2,2-()f x ()2,2-()()210f t f t +->()()()211f t f t f t >--=-2212t t >>->-131t <<t 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x R 0x y ==()()()220010f f f =+()00f =()01f =±x ∈R ()1f x =()00f =y x =-()()()()()()001f x f x f x x f f x f x +--===+-()()0f x f x +-=()()f x f x -=-()f x（2）证明：时，，则，当且仅当，等号成立，又不存在，使得，则，于是时，，又为奇函数，则时，，于是对，任取，则，而，又，则，于是，故，因此在上单调递增；0x >0,022x x f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭()22212212x f x x f x f x f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭…12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ∈R ()1f x =12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭0x >()01f x <<()f x 0x <()()()1,0f x f x =--∈-(),11x f x ∀∈-<<R 12x x <()21210,0x x f x x ->->()()()()()()()()()()212121212121011f x f x f x f x f x x f x x f x f x f x f x +--⎡⎤-=+-==>⎣⎦+--()()()12,1,1f x f x ∈-()()()121,1f x f x ∈-()()1210f x f x ->()()()()21210,f x f x f x f x ->>()f x R。

广东省广州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．下列各组对象可以构成集合的是（）A ．某中学所有成绩优秀的学生B ．边长为2的正方形C ．比较大的数字D ．著名的数学家2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．||,y x y ==B ．2,x y x y x==C ．01,y y x ==D ．2||,y x y ==3．已知()2122f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式是（）A ．()263f x x x =-+B ．()245f x x x =-+C ．()245f x x x =--D ．()2610f x x x =-+4．已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A ．22ac bc>B ．22a b>C ．2211ab a b>D ．22b a a b<5．已知:x 2p <-或0:x q x a >>，，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（）A ．2a ≤B ．0a ≤C ．0a >D ．0a ≥6．某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()()2214,15,1a x a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩满足对任意1x ，2x ，当12x x ≠时都有()()12120f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）A ．112，⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．122⎛⎤⎥⎝⎦，C ．[2)∞+，D ．[1]2，8．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当02x <≤时，()0f x <，当2x >时，()0f x >.不等式()0xf x >的解集为（）A ．()2,∞+B ．()()2,02,∞-⋃+C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()()2,00,2-⋃二、多选题9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A ．2,210x x x ∀∈++≥RB ．x ∃∈N ，2x ＋1为奇数C ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数()R 1,Q0,Q x f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，称为狄利克雷函数，则关于()f x ，下列说法正确的是（）A．1f=B ．()f x 的定义城为R C ．R x ∀∈，()()1f f x =D ．()f x 为偶函数11．已知实数a 、b +∈R ，且21a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最小值为18B ．224a b +的最小值为12C ．11a b+的最小值为3+D ．()10,21b a -∈-三、填空题12．已知幂函数()21()5m f x m m x -=--在区间(0,+∞)上单调递减，则m =.13．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =．14．已知当[],1x a a ∈+时，函数()221f x x x =-+的最大值为4，则a 的值为四、解答题15．已知集合{}{}14,1A x x B x x a =-≤≤=-<<．(1)当2a =时，求,A B A B ；(2)若A B A = ，求a 的取值范围．16．已知命题2:R,10p x mx mx "Î-+>；命题2:R,410q x x mx ∃∈++<.(1)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题,p q 中至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.17．已知函数()21mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =(1)求,m n 的值；(2)用定义法判定()f x 的单调性；(3)求使()()2110f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围.18．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f （t ）表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（f （t ）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：224100,(010)()240,(1020)7380,(2040)t t t f t t t t ⎧-++<⎪=<⎨⎪-+<⎩．(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(3)一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？19．对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数()()()211f x ax b x b =+++-()0a ≠.（1）当1a =，3b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()f x 的两个不动点为1x ，2x ，且()121af x x a -+=+，求实数b 的取值范围.。

广东省深圳市南头中学2021-2022度第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空集是任何集合的子集即可判断出选项正确．【详解】空集是任何集合的子集；正确本题正确选项：【点睛】考查集合元素的概念，元素与集合的关系，空集是任何集合的子集．2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：，解得或，表示为区间为：，故选C. 考点：函数的定义域3.设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B)，由x2−2x−3<0得−1<x<3，即A=(−1,3)，∵B={x|x⩾1}，∴A∪B=(−1,+∞)，则∁U(A∪B)=(−∞,−1]，故选D.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4.已知函数，则的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】D【解析】试题分析：，，故选D.考点：分段函数求值.5.已知函数为定义在上的奇函数，则下列结论中不正确的是（）A. 在和上的单调性相反B. 图象过原点，且关于原点对称C.D. 如果时，有成立，那么时，也成立【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于，若为奇函数，则在和上的单调性相同，错误；对于，若为定义在上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，正确；对于，若为奇函数，则即，正确；对于，若时，有成立，那么时，，正确；本题正确选项：【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：A中函数不是减函数；B中函数在定义域内不是减函数；C中函数既是奇函数又是减函数；D中函数不是奇函数考点：函数奇偶性单调性7.命题“”的否定形式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“”的否定形式“”．故选C．考点：命题的否定．8.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）【答案】选C．【解析】注意的图象是由的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．9.如果不等式|x－a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是( )A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】解不等式|x-a|＜1得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式组，解这个不等式组可得答案．【详解】根据题意，不等式|x-a|＜1的解集是a-1＜x＜a+1，设此命题为p，命题，为q；则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；则有，（等号不同时成立）；解得．故选B.【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的不等式的等号不同时成立，需要验证分析． 10.已知，且，，若，则（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】 试题分析：若，则由得即，此时，即，若，则由得即，此时，即，综上，故选D.考点：不等关系与不等式.11.一个玩具厂一年中12月份的产量是1月份产量的倍，那么该玩具厂这一年中产量的月平均增长率是（ ） A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】设月平均增长率为，建立方程关系，进行求解即可． 【详解】设月平均增长率为，一月份的产量为 一年中月份的产量是月份产量的倍即本题正确选项：【点睛】本题主要考查指数幂的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．12.已知正实数，满足，则能使得不等式恒成立的整数的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】利用，可得．利用基本不等式的性质可得：．不等式恒成立化为：，即可得出结果．【详解】正实数满足，化为：，当且仅当时取等号则不等式恒成立，化为：能使得不等式恒成立的整数的最小值为本题正确选项：【点睛】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数（，且，常数为自然对数的底数）的图象恒过定点，则______．【答案】【解析】【分析】令幂指数等于零，求得的值，可得函数的象恒过定点的坐标，从而得出结论．【详解】对于已知函数（且，常数为自然对数的底数）令求得，可得函数的图象恒过定点函数的图象经过定点，，则本题正确结果：【点睛】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.已知函数为奇函数，且当时，，则______．【答案】12【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，结合函数的奇偶性可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，当时，则又由函数为奇函数，则本题正确结果：【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15.设，，，将，，从小到大依次排列______．【答案】【解析】【分析】，，从而得出的大小关系．【详解】，本题正确结果：【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，减函数的定义，属于基础题.16.若函数在上的最大值比最小值大，则的值为____________. 【答案】【解析】∵，∴函数在区间上单调递减，所以，由题意得，又，故。

()13f x =x深圳市福田区外国语高级中学2021-2022学年度第一学期高一年级 期中考试 数学学科试题答题注意事项：1.本试卷满分150分；考试用时120分钟；2.本试卷分二卷,不按要求答卷不得分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.命题“，”的否定为A. ，B. ，C. ，D.， 2.设集合，，则A. B.C.D.3.设：，：，则是的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列函数中，在其定义域内既为奇函数又为增函数的是A.B. C. +1D.()x-xf x =2+25.已知是定义在上的偶函数，那么b a+a 的值是 A.B.C.D.6.已知，则三者的大小关系是A. B. C. D.7.定义在R 上的偶函数()x f ，对任意的[)1212,0, x x x x ∈+∞≠且，有()()02121<--x x x f x f ，则A.()()()123f f f <-<B.()()()321f f f <-<C.()()()312f f f <<-D.()()()213-<<f f f 8.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象是A. B.C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9.下列各组表示不同函数的是A. ，B. ，C.，D.，10.若,则下列结论正确的是 A.B.C.D.11.以下命题正确的是A.()x -0∃∈∞，，使B.()(x2a +2x 2f x =x x 2⎧≤⎪⎤⎨⎦>⎪⎩，若函数在R 上单调递增，则正实数a 的取值范围是1,2， C. 若函数(21)y f x =+的定义域为[2,3]，则函数()y f x =的定义域为[0.5,1] D. 函数()2x -x1f x =2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增区间为12.当一个非空数集满足条件“若，，则，，，且当时，”时，称 为一个数域，以下说法正确的是 A. 是任何数域的元素 B. 若数域有非零元素，则C. 集合为数域D. 有理数集为数域三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.函数的定义域是______．14.已知，则的最小值为______．15.已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为______． 16.已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是 ．四、 解答题：本题共2小题，每小题10分共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题10分）已知集合，，．求；若B C φ=,求实数的取值范围．18.（本小题12分）已知函数x 2 02()1-x -2032x f x x x ⎧≤≤⎪=≤<⎨⎪<-⎩，，， .（1）()f f -⎡⎤⎣⎦求1的值； （2）在坐标系中画出的草图；（3）写出函数()f x 的单调区间和值域.19.（本小题满分12分）函数()21ax b f x x +=+是定义在R 上的奇函数，且()112f =.（1）求实数a b 、的值；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求该函数()f x 在区间[]2,4上的最大值与最小值。

广州市第一一三中学2020-2021学年第一学期期中考试高一年级 数学试题命题时间：2020年10月 命题人：周纯 审题人 尹伊本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷子两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡上． 2．答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}10A x R x =∈+>，{}1B x Z x =∈≤，则AB （ ）A ．{}01x x ≤≤B ．{}11x x -<≤C ．D ．{}12．下列函数中，是同一函数的是（ ）A ．2y x =与y x x =B ．y =2y =C ．2x xy x+=与1y x =+D ．21y x =+与21y t =+3a ==）A ．3B ．2C ．1D ．04．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（ ）ABCD 5．函数9ny x =（N n ∈且9n >）的图像可能是（ ）A BCD6．若3412a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1234b ⎛⎫=⎪⎝⎭，3log 4c =则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若2log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） A ．45.606 B ．45.6C ．45.56D ．45.5110．已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若函数()()1y f f x =+有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-1，0）B ．（-∞，0）C ．（0，+∞）D ．（0，1）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上）．11．已知幂函数()y f x =的图像经过点（4，2），则这个函数的解析式是_________________． 12．____________．13．函数的定义域为____________（结果用区间表示） 14．设函数()()2121log 112xf x x=+++，则使得成立的x 的取值范围是____________（结果用区间表示）15．设奇函数()f x 在（0，+∞）是增函数，且()10f =，则不等式的解集为______________16．已知，若关于x 的方程()()0f x f a x t +--=有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则t的取值范围是____________．（结果用区间表示）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．函数()()110f x x a x=->． （1）用函数单调性的定义证明：()f x 在（0，+∞）上是增函数； （2）若()f x 在上的值域是，求a 的值．18．（10分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈，记()f x ，()g x 的值域分别为集合A ，B ，若AB A =，求实数k 的取值范围．19．已知函数()2,0log ,0a x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩且点（4，2）在函数()f x 的图象上．（1）求函数()f x 的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()1f x <的解集；（3）若方程()20f x m -=有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．20．经市场调查，某种端口在过去50天的销量和价格均为销售时间t （天）的函数，且销售量近似地满足，前30天价格为()()130,130,2g t t t t N =+≤≤∈，后20天价格为． （1）写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； （2）求日销售额S 的最大值．21．一次函数()f x 是R 上的增函数，，已知．（1）求()f x ；（2）若()g x 在单调递增，求实数m 的取值范围； （3）当[]1,3x ∈-时，()g x 有最大值13，求实数m 的值． 22．已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是的反函数． （1）已知关于x 的方程()()()log 17amf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围．广州市第一一三中学2020-2021学年第一学期期中考试高一年级 数学试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11．【答案】12．【答案】1； 13．【答案】 14．15．解集为{}1001x x x -<<<<，或． 16．312t <<三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）证明见解析；（2）25． 【解析】（1）证明：任取120x x >>，则()()121212121111x x f x f x a x a x x x --=--+=， ∵120x x >>，∴120x x ->，120x x >，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，∴()f x 在上是增函数． （2）由（1）可知，()f x 在上为增函数， ∴，且()11222f a =-=，解得25a =． 18．【答案】（1）0m =；（2）．【解析】（1）依题意得：，解得0m =或2m =．当2m =时，()2f x x -=在上单调递减，与题设矛盾，故舍去，∴0m =； （2）由（1）知，()2f x x =，当[]1,2x ∈时，()f x 、()g x 单调递增， ∴[]1,4A =，，∵AB A =，∴B A ⊆，∴，故实数k 的范围．19．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．（1）∵点（4，2）在函数的图象上，∴()4log 42a f ==，∴2a =．∴()22,0,log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩画出函数的图象如下图所示．（2）不等式()1f x <等价于或解得02x <<，或1x <-， 所以原不等式的解集为．（3）∵方程()20f x m -=有两个不相等的实数根，函数2y m =的图象与函数()y f x =的图象有两个不同的交点．结合图象可得22m ≤，解得1m ≤，∴实数m 的取值范围为．20．【答案】（1）（2）6400．【解析】（1）根据题意得 即（2）①当130t ≤≤，时，()2206400S t =--+， 当20t =时，S 的最大值为6400； ②当，时，909000S t =-+为减函数， 当31t =时，S 的最大值为6210；∵6210＜6400，∴当20t =时，日销售额S 有最大值6400． 21．【解析】（1）先设，然后由恒成立得方程组（3分），求解方程组即可，注意取0a >的解 （2） 5分 对称轴418m x +=-，根据题意可得 6分 解得94m ≥-∴m 的取值范围为 8分 （3）①当时，即94m ≥-时 ()()max 3391313g x g m ==+=，解得2m =-，符合题意 9分②当时，即94m <-时 ()()max13313g x g m =-=-=，解得103m =-，符合题意 11分 由①②可得2m =-或103m =-12分． 22．【答案】（1）［5，9］；（2）函数为奇函数，在定义域内时减函数；（3）；试题解析：（1）转化为求函数在[]2,6x ∈上的值域，该函数在［2，4］上递增，在［4，6］上递减，所以m 的最小值5，最大值9，即m 的取值范围为［5，9］()1log 1ax f x x -=+的定义域为，定义域关于原点对称，又 ，，所以函数()f x 为奇函数． 下面讨论在上函数的增减性．任取()12,1,x x ∈+∞，设12x x <，令()11x t x x -=+，则()11111x t x x -=+，()22211x t x x -=+，所以()()()()()121212211x x t x t x x x --=++因为11x >，21x >，12x x <，所以()()()()()1212122011x x t x t x x x --=<++．又当01a <<时，log a y x =是减函数，所以．由定义知在上函数是减函数． 又因为函数()f x 是奇函数，所以在上函数也是减函数．（3）的反函数是()311x xa g x a-=-， ∵01a <<，∴()312311x x xa g x a a-==-+--，令xa u =，01u << ∴()23011y u u -=-+<<-，令()()0g x t t =≥， 则方程2230t mt m +++=的解应满足：1201t t <<≤或 ∴或32m =-（舍），所以．。

2020~2021学年广东深圳实验学校高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分） 1.方程组2219x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集是（ ）. A.(4,5)B.(5,4)-C.{(5,4)}-D.{(4,5)}-2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A.1,x y y x== B.33,y x y x ==C.211,1y x x y x =-⨯+=-D.2||,()y x y x ==3.图中阴影部分所表示的集合是（ ）.A.[]C ()U A C B ⋂⋃B.()()A B B C ⋃⋃⋃C.()()C U A C B ⋃⋂D.[]C ()U B A C ⋂⋃4.已知0.60.70.20.8,0.8, 1.2a b c ===，则, , a b c 三者的大小关系是（）．A.b d c >>B.c a b >>C.a b c >>D.c b a >>5.已知函数(2)y f x =+定义域是[3,2]-，则(21)y f x =-的定义域是（）. A.50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[1,4]-C.31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6.A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值若(),()x g x ϕ都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在(0,)+∞上有最大值6，则()f x 在(,0)-∞上有（）． A.最小值6-B.最大值6-C.最小值2-D.最大值2-7.函数2()(31)4f x x a x a =+++在[],1-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）．A.1a ≤-B.1a ≥-C.1a >-D.1a <-8.若不等式20ax bc c ++>的解集是1,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则20cx bx a ++<的解集是（）．A.1 (,2),2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭B.1,(2,)2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭C.1,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,2⎛⎫-⎪⎝⎭9.对于函数31()31xxf x-=+，下列描述正确的选项是（）．A.减函数且值域为(1,1)- B.增函数且值域为(1,1)-C. 减函数且值域为(,1)-∞ D.增函数且值域为(,1)-∞10.若集合{}2|(2)210A x k x kx=+++=有且仅有1个真子集，则实数k的值是（）．A.2-B.1-或2C.1-或2±D.1-或2-11.已知()f x函数是定义在()()3,00,3-⋃上的奇函数，当103x<<时，()f x 的图象如右图所示，则不等式()?0f x x->的解集是（）．A.(1,0)(1,3)-⋃ B.(3,1)(1,3)--⋃C.(1,0)(0,1)-⋃ D.(3,1)(0,1)--⋃12. 已知映射:f A B→，其中A B==R，对应法则221:2x xf x y+⎛⎫→= ⎪⎝⎭，若对实数m B∈，在集合A 中存在元素与之对应，则m的取值范围是（）．A.02m<≤ B.2m≥ C.3m> D.2m≤二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13.若函数2(2)2f x x x+=-，则()3f=．14.某班有学生45人，其中体育爱好者33人，音乐爱好者24人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为．15.函数31y x x=--得值域为．16.已知(3)1,1(),1xa x xf xa x-+<⎧=⎨≥⎩，满足对任意，都有成立，那么12x x≠，都有()()1212f x f xx x->-成立，那么a的取值范围是．三、解答题（本大题共6题，共计70分）17.解决下列问题：（1）求值：0.75202312018(2)816-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭．（2）已知14x x-+=，求33x x -+的值．18.盐田港与深汕港相距约100km ，在两地连线之间距盐田港x km 处拟再建一核电机组专给两港供电，为保证港区安全，核电机组距两港距离均不得少于10km ，已知供电费用与供电距离的平方以及供电量之积成正比，比例系数0.25k =．若盐田港供电量为20亿度月，深汕港为10亿度/月． （1）把月供电总费用y 表示成x 的函数，并写出其定义域． （2）核电机组建在距盐田港多远，才能使供电费用最小． 19.已知集合2{|514}A x y x x ==--，2{|416}B y y x ==-+-，{|121}C x m x m =+≤≤-.（1）求A B ⋂.（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围．20. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，1()21x f x +=+．（1）求()f x 的解析式．（2）在所给的坐标系内画出函数()f x 的图象，（不需列表），并直接找出方程()f x m =没有实根时，实数m 的取值范围．21.已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x ，对任意(),0,a b ∈+∞均有，且()()a f f a f b b ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当1x >时，()0f x <．（1）求()1f 的值，（2）判断()f x 的单调性并予以证明．（3）若()31f =-，解不等式()212f x -≥-．22.已知函数2()(2),(1)2f x x a x b f =+++-=-，且对于,()2x f x x ∈≥R 恒成立．（1）求函数()f x 的解析式． （2）设函数()()4f x g x x=-． ①证明：函数()g x 在[]1,+∞上是增函数．②是否存在正实数,m n ，且m n <，当m x n ≤≤时函数()g x 的值域为113,3m n ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 若存在，求出,m n 的值，若不存在，则说明理由．。

广东省广州市第八十九中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．设全集{|15}U x Z x =∈-≤≤，{}1,2,5A =，{}|14B x N x =∈-<<，则()U B A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}0,4C ．{}0,3D ．{0,3,4}2．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A ．若a b <，则11a b>B ．若a b <，则22ac bc <C ．若0a b <<，则2ab b <D ．若c a b >>，则11c a c b<--3．函数2y x bx c =-+的零点为1，2，则不等式20x cx b -++<的解集为（）A ．{}13x x -<<B ．{3x x <-或>1C ．{}31x x -<<D ．{1x x <-或}3x >4．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A ．30B ．36C ．40D ．505．下列函数中，既是其定义域上的单调递减函数，又是奇函数的是（）A ．4y x =B ．1y x=C ．y =D ．3y x =-6．函数2()f x x x =-，+1()42x x g x m =-+，若对1[1,2]x ∀∈，都存在2[1,1]x ∈-，使()()12f x g x >成立，则m 的取值范围是（）A ．0m <B ．1m <C ．2m <D ．3m <7．已知奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0,+∞上单调递减，则()()0xf x f x <--的解集是（）A ．()1,1-B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．(),1∞--D ．()()1,+1,0∞-8．已知函数31()31x x f x -=+，有如下四个结论：①函数()f x 在其定义域内单调递减；②函数()f x 的值域为()0,1；③函数()f x 的图象是中心对称图形；④方程()1f x x =-+有且只有一个实根．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④二、多选题9．已知集合{}1,2,3A =，则下列表示方法正确的是（）A ．A∅⊆B ．{}12A ∈，C ．*A ⊆N D ．1A⊆10．下列说法正确的是（）A ．函数33(0x y a a -=+>，且1)a ≠的图象过定点(3,4).B ．函数1y x =+与1y =是同一函数C ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件D ．命题p:2,30x x x ∀∈-+≥R 的否定为2,30x x x ∀∉-+<R 11．下列说法错误的是（）A ．013134210.064160.25108⎛⎫--++= ⎪⎝⎭B ．若不等式210mx mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是04m <<C ．已知函数()3,121,1kx x f x x x +≤-⎧=⎨+>-⎩，在R 上是增函数，则k 的取值范围是[4,)+∞D ．设正实数,x y ，满足22x y +=，则24x y +的最小值为2三、填空题12．已知幂函数()f x 的图象过点()4,2，则(9)f =13．已知()()013x f x x-=-，则()f x 的定义域为14．若()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)2f =，则(2)(4)(6)(2018)(1)(3)(5)(2017)f f f f f f f f +++⋯+=.四、解答题15．已知集合{}|210P x x =-≤≤，{}|11Q x m x m =-≤≤+.(1)8m =时求()R P Q ⋃ð；(2)x P ∈是∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在上的奇函数，且当0x ≤时，2()4f x x x=+(1)求函数()()f x x ∈R 的解析式；(2)画出()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()()f x x ∈R 的单调区间；(3)解不等式()3f x >-.17．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为80台.每生产x 台，需另投入成本()G x 万元，且()2280,04036002012020,4080x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润()W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？18．函数2()4ax bf x x -=-是定义在(3,1)a a -++上的奇函数.(1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 在(2,2)-上的单调性，并证明你的结论；(3)解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.19．对于函数()()()2110f x ax b x b a =+++-≠，存在实数0x ，使()00f x mx =成立，则称0x 为()f x 关于参数m 的不动点．(1)当1a =，2b =-时，求()f x 关于参数1的不动点；(2)当1a =，2b =时，函数()f x 在(]0,2x ∈上存在两个关于参数m 的相异的不动点，试求参数m 的取值范围；(3)对于任意的1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]2,5b ∈，使得函数()f x 有关于参数m （其中2m >）的两个相异的不动点，试求m 的取值范围．。

广东省广州市广东实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．不等式260x x +-<的解集是（）A ．()6,1-B ．()1,6-C ．()2,3-D ．()3,2-2．设集合{|12}M x x =-≤<，{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠ ，则k 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,2]-∞C ．(1,)-+∞D ．[1,2]-3．小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A ．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B ．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C ．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D ．丙次购买葡萄的平均价格无法比较4．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则在R 上()f x 的表达式为A ．(2)x x --B ．(2)x x -C ．(2)x x -D ．(2)x x -5．已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意的x ∈R 都有()()2=f x f x -6．已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是假命题D ．()p q ∧⌝是真命题7．已知函数2(3)2,1()(1),1a x a x f x ax a x x -+<⎧=⎨++≥⎩在R 上是单调的函数，则实数a 的取值范围是（）.A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(]3,4C ．(]1,3,43⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D ．(]1,3,43⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 8．设()()224f x x ax x R =-+∈，则关于x 的不等式()0f x <有解的一个必要不充分条件是（）A ．20a -<<B ．2a <-或2a >C ．4a >D ．2a ≥二、多选题9．下列函数中值域为[0,+∞）的是（）A ．y =B ．221y x x =-+C ．1y x=-D ．3y x =10．已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．11a b<B ．22ac bc >C ．b a a b<D ．22a ab b >>11．已知a ，b 都是正实数，且4a b +=.则下列不等式成立的有（）A ．4ab ≤B ．123a b+≥+C2≤D ．228a b +≥三、填空题12．定义在R 上的偶函数()f x 对任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x ≠，都()()21210f x f x x x -<-，且(1)0f =，则不等式()03<+f x x 解集是．13．有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数”可推广为：“函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数”.据此，对于函数()3132g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可以判定：（1）函数()3132g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是；（2）123202020212022202320232023202320232023g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．四、解答题14．求下列不等式的解集：(1)22530x x -+<；(2)2230x x -+->；(3)112x x-≤-．15．已知函数22()1x f x x =+.(1)求1()(3)3f f +，1()(2)2f f +的值；(2)探索1()()(0)f x f x x+≠的值并给出理由；(3)利用（2）的结论求表达式：11()((1)(2)(2022)(2023)20232022f f f f f f +++++++ 的值.16．解下列不等式：(1)2111022x x +-≥；(2)()()234350x x ---+<；(3)31132x x +≤-.17．已知不等式234ax x b -+>的解集为{|1x x <或>2.(1)求,a b 的值；(2)解不等式()2220ax ac x c -++<.18．（1）化简51212log 450317(0.027)21)579--⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2.）若函数()y f x =的定义域为[]11-，，求函数1144y f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域。

2021-2022学年广东省汕头市金山中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设全集U =R ，{}10A x x =-≤， {}12B x x =-<<， 则图中阴影部分对应的集合为（ ）A ．()RABB ．A BC ．{}12x x ≤<D ．{}12x x <<【答案】D【分析】图中阴影部分对应的集合为()RBA ，即可得到答案.【详解】因为{}{}101A x x x x =-≤=≤， {}12B x x =-<<， 所以图中阴影部分对应的集合为(){}12RB A x x =<<故选：D2．命题“,e 0x x R ∀∈>”的否定是（ ） A ．,0e x x R ∀∈≤ B ．,1e x x R ∀∉≤ C ．00,1e xx R ∃∉> D ．00,e 0xx R ∈≤∃【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；【详解】解：命题“,e 0x x R ∀∈>”为全称量词命题，其否定为00,e 0xx R ∈≤∃；故选：D 3．“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分必要条件【答案】A【详解】试题分析：方程20x x m ++=有解，则11404m m ∆=-≥⇒≤．14m <是14m ≤的充分不必要条件．故A 正确． 【解析】充分必要条件4．幂函数y x α=过点(2,4),那么()xg x α-=的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据条件求出α，然后根据指数函数的图象可得答案. 【详解】因为幂函数y x α=过点(2,4),所以42α=，所以2α=， 所以()122xxxg x α--⎛⎫=== ⎪⎝⎭，其图象为B 选项， 故选：B5．函数()11223x xf x +-+=在其定义域内是 （ ）A ．减函数B ．奇函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数【答案】C【分析】先确定定义域，再判断奇偶性. 【详解】显然()f x 的定义域为R()11223x x f x +-+=⇒()()11223x xf x f x -+++-== 所以()f x 为偶函数所以B 错误，D 错误，C 正确又()513f =，()1726f =，()()21f f >所以A 错误 故选：C6．设{}0,1,2I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”．规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】按照“理想配集”的定义分类讨论即可. 【详解】{}{}1,2,0,1,2A B I == ，∴集合A 和B 必然同时含有1，2两个元素，若{}1,2,A = 则{}1,2B = 或{}0,1,2B = ，共有2种， 若{}0,1,2A = ，则{}1,2B = ，共有1种，又∵(),A B 与(),B A 是不同的“理想配集”，故共有236⨯= 种； 故选：D. 7．函数2143y x x =+-的单调增区间为（ ）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭和()4,+∞D ．()3,11,2⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦【答案】C【分析】由2430x x +-≠可得1x ≠-且4x ≠，然后求出243y x x =+-的减区间即可. 【详解】由2430x x +-≠可得1x ≠-且4x ≠， 因为243y x x =+-开口向下，其对称轴为32x =， 所以243y x x =+-的减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭和()4,+∞所以2143y x x =+-的单调增区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭和()4,+∞ 故选：C8．已知函数()[]23, 1,2f x x x =-∈-， 实数,a b 满足()(1)0,f a f b +-=则(1)a b -的最大值为（ ） A ．94B ．6C ．2D ．32【答案】A【分析】根据已知可得4a b +=，求出a ，b 的范围，再根据二次函数的性质计算可得； 【详解】解：函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()(1)0f a f b +-=，232(1)30a b ∴-+--=，可得4a b +=，[]1,2a ∈-，[]0,3b ∈，所以4b a =-，所以239(1)(3)24a b a a a ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭，[]1,2a ∈-，所以当32a =时[]max 9(1)4a b -=，即32a =、52b =时(1)a b -取得最大值94；故选：A 二、多选题9．中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合{}1,1,2,4M =-，{}1,1,2,4,16N =-，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N的函数的是（ ） A ．1y x= B ．y x =C ．1y x =+D ．2y x【答案】BD【分析】根据函数定义逐一判断即可.【详解】A.1y x =，当{}21,1,2,4M ∈=-，但{}11,1,2,4,162N ∉=-，A 不是；B.y x =，任意{}1,1,2,4a M ∈=-，都有{}1,1,2,4,16a N ∈=-，B 是；C.1y x =+，当{}41,1,2,4M ∈=-，但{}51,1,2,4,16N ∉=-，C 不是；D.2yx ，任意{}1,1,2,4a M ∈=-，都有{}1,1,2,4,16a N ∈=-，D 是；故选：BD.10．下列函数， 值域为()0,+∞的是（ ） A ．1(1)y x x =+>- B ．2(1)y x x =>-C ．1y x=D ．21xy x -=+ 【答案】AC【分析】逐一求出每个函数的值域即可. 【详解】当1x >-时，10y x =+>，故A 满足；当1x >-时，[)20,y x =∈+∞，故B 不满足；()10,y x=∈+∞，故C 满足； ()()()13231,11,111x x y x x x -++-===-+∈-∞-⋃-+∞+++，故D 不满足； 故选：AC11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．()315f =B ．函数在定义域R 上为增函数C ．不等式(32)3f x -<的解集为(),1-∞D ．不等式()210f x x x -+->在R 上恒成立【答案】ABC【分析】对于A ，利用奇函数性质()()f x f x =--，代值计算即可；对于B ，根据奇函数性质()()f x f x =--和0x <时()22f x x x =-+，分别求出0x =和0x >时的解析式，根据对称性判断单调性即可； 对于C ，求出(1)3f =，根据单调性解抽象不等式()(32)1f x f -<即可；对于D ，分别在0x >和0x <时将函数()f x 解析式代入化简，判断是否恒为正即可. 【详解】对于A 选项：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--，所以()()()23(3)32315f f ⎡⎤=--=---+⨯-=⎣⎦，故A 正确； 对于B 选项：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--， 当0x >时，0x -<，则()()22()22f x x x x x -=--+-=--， 所以2()()=2f x f x x x =--+，当0x =时，(0)0f =，所以()()()2220()0020x x x f x x x x x ⎧-+<⎪==⎨⎪+>⎩，所以函数()f x 是定义在R 上的增函数，故B 正确；对于C 选项：易知(1)3f =，所以不等式 (32)3f x -<可化为()(32)1f x f -<， 因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以321x -<解得1x <， 即不等式(32)3f x -<的解集为(),1-∞，故C 正确；对于D 选项：当0x <时，()22f x x x =-+，所以()()()2222121231211f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-，当0x <时，10x -<恒成立，但21x -+可正可负，故()()()212110f x x x x x -+-=-+->不一定不一定恒成立，当0x >时，()21310f x x x x -+-=->不一定恒成立，故D 选项错误.故选：ABC.12．今有函数(),f x x x =又[]1,2t ∃∈，使对,x R ∀∈都有()222(3)0f ax tf x x +-+≥成立，则下列选项正确的是（ ） A ．对任意0,k >都有2()()f kx k f x = B ．函数()f kx 是偶函数 (其中常数0k ≠) C ．实数a 的取值范围是11,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．实数a 的最小值是16-【答案】AC【分析】根据()f x 的解析式可判断AB ，230x x -+>，然后可得()224(3)0f ax f x x +-+≥，然后可得22224(3)0ax ax x x +-+≥，然后分0a ≥、0a <两种情况讨论，当0a <时可得()2223ax x x -≤-+，当0x ≠时，()222233121x x a x xx -+⎛⎫-≤=-+ ⎪⎝⎭，然后求出右边的最小值即可判断CD.【详解】因为()f x x x =，所以当0k >时22()()f kx kx kx k x x k f x ===，故A 正确；令()()g x f kx kx kx ==，则()()()()g x f kx kx kx kx kx f kx g x -=-=--=-=-=-， 所以函数()f kx 是奇函数，故B 错误，因为221113024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以2(3)0f x x -+>因为[]1,2t ∃∈，使对,x R ∀∈都有()222(3)0f ax tf x x +-+≥成立， 所以()224(3)0f ax f x x +-+≥，所以22224(3)0ax ax x x +-+≥，当0a ≥时，不等式22224(3)0ax ax x x +-+≥恒成立，当0a <时，由22224(3)0ax ax x x +-+≥可得24224(3)0a x x x -+-+≥所以24224(3)a x x x ≤-+，所以()2223ax x x -≤-+ 当0x =时，()2223ax x x -≤-+成立，当0x ≠时，()222233121x x a x xx -+⎛⎫-≤=-+ ⎪⎝⎭，当116x =时，23121xx ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值116，所以116a -≤，即1106a -≤<综上：116a ≥-，故C 正确D 错误 故选：AC三、填空题13．函数121x y =-的定义域为______． 【答案】()(],00,1-∞⋃【分析】要使函数121x y =-10210x x -≥⎧⎨-≠⎩，解出即可.【详解】要使函数121x y =-10210x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≤且0x ≠ 所以其定义域为()(],00,1-∞⋃ 故答案为：()(],00,1-∞⋃14．已知()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩，则()5f =________.【答案】11【分析】由分段函数可得()()()()()51191513====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦f f f f f f f ，即可得出结果. 【详解】依题意()()()()()5119151311f f f f f f f =====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 故答案为：11【点睛】本题考查了分段函数求函数值问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.15．已知(),R ,9,x y xy x y +∈+=则2(1)y x y ++的最小值是_______．【答案】6【分析】由题意得到()9y x y x+=并代入2(1)y x y ++，进而结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意，()()9,R ,9x y xy x y y x y x+∈+=⇒+=，所以()29(1)6y x y y x y x x x ++=++=+≥当且仅当93x x x =⇒=时取“=”.故答案为：6. 四、双空题16．已知集合{}22,,A x x =， 则A 的真子集有________个；若1A ∈，则x =________．【答案】 7； 1-.【分析】空一：根据集合真子集个数公式进行求解即可； 空二：利用代入法，结合集合元素互异性进行求解即可.【详解】空一：因为集合A 中元素的个数为3，所以A 的真子集的个数为：3217-=； 空二：因为1A ∈，所以有1x =或21x =，当1x =时，21x =，这样不符合集合元素的互异性， 当21x =时，1x =-，或1x =， 当1x =-时，集合{}2,1,1A =-当1x =时，21x =，这样不符合集合元素的互异性， 所以1x =-， 故答案为：7；1- 五、解答题17．若()241f x x x t =-+-，其中t 是常数(1)求()4()f x f x +--的值;．(2)方程()0f x =的两根异号， 求实数t 的取值范围； (3)当4t =时， 求出不等式()0f x x>的解集． 【答案】(1)0 (2)1t < (3)(0,1)(3,)+∞【分析】（1）根据函数解析式，将()4()f x f x +--展开化简即可求得答案; （2）根据方程()0f x =的两根异号，列出不等式，解得答案； （3）写出()f x x的表达式，并化简，讨论x 的正负，结合一元二次不等式的解法，求得答案.【详解】(1)由题意可得：()()()224()4441(41)0f x f x x x t x x t +--=+-++--++-=；(2)由方程()0f x =的两根异号可得：10t -< ，此时0∆> ，即1t < ；(3)4t =时，()0f x x >即243(1)(3)0,0x x x x x x-+-->> ， 故当0x > 时，(1)(3)0x x --> ，可得01x << 或3x > ；、 故当0x < 时，(1)(3)0x x --<，原不等式此时无解， 故不等式()0f x x>的解集为(0,1)(3,)+∞ ； 18．已知函数()122f x x x =+．试判断()f x 在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上的单调性，并用函数单调性定义证明． 【答案】()212f x x x =+在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，证明见解析； 【分析】利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可．【详解】解：函数()212f x x x =+在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 证明：设121,0,2x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦且12x x <，所以()()()1212121212121212121212411111()()2()2()22222x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫--=-+-=--=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12102x x <<， 120x x ∴-<，12104x x <<，即12410x x -<，1220x x >， 12()()0f x f x ∴->，∴()212f x x x =+在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减； 19．已知函数()f x 对一切实数,x y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=++成立， 且()32021f =.(1)分别求()0f 和()3f -的值；(2)判断并证明函数()()1F x f x =+的奇偶性． 【答案】(1)()01f =-，(3)2023f -=-； (2)()()1F x f x =+是奇函数，证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法求解即可；（2）令y x =-可得()()2f x f x +-=-，然后可判断.【详解】(1)因为函数()f x 对一切实数,x y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=++成立，()32021f =，所以当0x y ==时()0(0)(0)1f f f =++，即()01f =-，令3,3x y =-=可得()0(3)(3)1f f f =-++，所以1(3)20211f -=-++，即(3)2023f -=- (2)令y x =-可得()0()()1f f x f x =+-+，所以()()2f x f x +-=-， 所以()1()10f x f x ++-+=，即()()0F x F x -+=，()()F x F x -=-， 所以函数()()1F x f x =+是奇函数.20．做一个体积为348m ， 高为3米的无上边盖的长方体纸盒， 底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元， 问长与宽取什么数值时用总造价最低， 最低是多少?【答案】长与宽均为4米时总费用最少，最少为3040元．【分析】设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，可得16b a=，总造价为y 元，表示出y ，再由基本不等式即可得解．【详解】解：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然,0a b >，则348ab =，故16b a=，总造价为y 元， 则4816162350164030064030026403040y a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯=++≥⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当16a a =，即4a b ==时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3040元．21．设常数0,a <记函数()21f x a x =-11x x +-()g a ． (1)求函数()f x 的定义域．设11t x x =+-t 的取值范围; (2)由（1）中题设的,t 把()f x 表示为t 的函数(),m t 并求().g a【答案】(1)()f x 的定义域为{}11x x -≤≤，2,2t ⎡⎤∈⎣⎦； (2)()()22,22,22,220a a a m t t t a g a a ⎧+≤⎪=+-=⎨<<⎪⎩.【分析】（1）解出不等式组2101010x x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪-≥⎩可得()f x的定义域，由22t =+t 的取值范围；（2）2()2a m t t t a =+-，然后利用二次函数的知识求解即可. 【详解】(1)由2101010x x x ⎧-≥⎪+≥⎨⎪-≥⎩可得11x -≤≤，所以()f x 的定义域为{}11x x -≤≤，因为t =[]222,4t =+因为0t ≥，所以t ⎤∈⎦(2)因为22t =+222t -， 所以222()22t a m t a t t t a -=⋅+=+-， 因为0a <，所以2()2a m t t t a =+-开口向下，对称轴为1t a=-，因为t ⎤∈⎦，要求()m t2到对称轴的距离的大小，所以当1a -，即2a ≤时，()()22g a m a ==+，当122a ->，即02a >>时，()g a m ==综上：()22,20a g a a a ⎧+⎪=<<≤ 22．根据人教2019版必修一P 87页的13题介绍： 函数()y f x =的图象关于点(,)P ab 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．题：设函数()39x t f x =+，且()110(1)15f f +=， (其中t 是常数)， 函数()243()2x x g x f x x -+=+-． (1)求t 的值， 并证明()f x 是中心对称函数;(2)是否存在点A ，使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)4t =，证明见解析 (2)22,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()()110115f f +=代入求出t 的值，即可得到函数()f x 的解析式，假设存在点(,)P a b 使函数()y f x a b =+-为奇函数，即()()2f a x f a x b ++-= 对x R ∀∈恒成立，即可求出a 、b 的值，从而求出函数的对称中心，即可得证；（2）设()2432x x N x x -+=-，即可得到(2)(2)0N x N x ++-=，从而得到4(2)(2)9g x g x ++-=，即可得到()g x 的对称中心是22,9⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而得解； 【详解】(1)∵函数()39x t f x =+，且()()110115f f +=， 11101215t t ∴+=，∴4t =，所以4()39x f x =+； 依题假设存在点(,)P a b 使函数()y f x a b =+-为奇函数，则()()2f a x f a x b ++-= 对x R ∀∈恒成立，439a x +∴+4239a xb -+=+， 2211931312a x a x b -+--∴+=++， ∴22223(33)9(31)(31)2a x x a x a xb ---+--++=++， ∴22223(33)9193(33)2a x x a a x xb -----++=+++， 22222193(33)199193(33)2a a x x a a a x xb -------⎡⎤++++-⎣⎦∴=+++， 2221991193(33)2a a a x xb -----∴+=+++，对x R ∀∈恒成立， 2190912a b -⎧-=⎪∴⎨=⎪⎩，22,9a b ∴==， ∴对于4()39x f x =+存在22,9a b ==，使函数()y f x a b =+-为奇函数， ∴4()39x f x =+是以22,9⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心的中心对称函数. (2)解：设()2431(2)22x x N x x x x -+==----， 所以()()()()111122222202222N x N x x x x x x x x x ⎛⎫++-=+--+---=-+--= ⎪+----⎝⎭即(2)(2)0N x N x ++-=，即()2432x x N x x -+=-关于()2,0对称， 又()42(2)9f x f x ++-=，4(2)(2)9g x g x ∴++-=()g x ∴的对称中心是22,9⎛⎫ ⎪⎝⎭， 依题意，使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等，则直线必过()y g x =的对称中心，所以所求为22,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭；。

2023-2024学年广东省部分名校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．若f （x ）＝（m ﹣1）x m 是幂函数，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣12．已知集合A ＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x （x +3）＞10}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣4，﹣2）B ．（﹣2，4）C ．（2，4）D ．（﹣4，2）3．已知x ＞0，则25x +4x 的最小值为（ ） A ．50B ．40C ．20D ．104．已知函数f(x)={x −5，x ≥0f(x 2)，x ＜0，则f （﹣3）+f （2）＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．7D ．55．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ） A ．1.1倍 B ．1.25倍C ．1.1025倍D ．1.0025倍7．函数f （x ）=xe |x|的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知21a ＝ln 11，14b ＝ln 5，6c ＝ln 2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．下列函数的定义域为（﹣∞，2）的是（ ） A ．f(x)=1√2−xB ．f(x)=lg √2−xC ．f （x ）＝|4﹣x 2|D ．f(x)=18−x 310．已知函数f(x)=2−x2+6x−3在区间D 上是单调函数，则D 可能为（ ）A ．[1，2]B ．[2，4]C ．[0，1]D ．[3，6]11．人们常用里氏震级M 表示地震的强度，E （单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为M ＝mlgE ﹣4.8（m 为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为1014.7焦耳，则（ ） A ．m =12B ．m =23C ．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为1016焦耳D ．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的101.05倍 12．已知函数f （x ）＝6﹣x ﹣6x ，若f （3m ﹣2k ）＞f （m ﹣2），则（ ）A ．e m ＜e k ﹣1B ．若m ＞0，则m−1k−1＜m kC ．ln （k ﹣m ）＜0D ．k 35＞m 35三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．“∃x ∈（0，+∞），x 4＜4x ”的否定是 ．14．已知集合M ={x ∈N ∗|2x ∈Z}，则M 的子集个数为 ．15．函数y ＝ax 2的图象恒在函数y ＝ax ﹣90图象的上方，则a 的取值范围为 ．16．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +4．若关于x 的方程[f （x ）]2+mf （x ）+12＝0有四个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算： （1）13lg64+2lg5．（2）√(1−π)44+√43×√46+2−1．18．（12分）已知实数x 0满足log a （x 0﹣2）＝0（a ＞0且a ≠1），且函数g （x ）＝a x 满足g(x 0)=18． （1）求a 的值；19．（12分）如图，对数函数f（x）的图象与一次函数ℎ(x)=13x−13的图象有A，B两个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式4f（x）＜k的解集中恰有1个整数解，求k的取值范围．20．（12分）已知定义在R上的偶函数f（x）．当x≥0时，f（x）＝x（x﹣2）．（1）在平面直角坐标系xOy中作出f（x）在[﹣3，3]上的图象；（2）若f（x）在[a，2a2﹣1]上单调递增，求a的取值范围．21．（12分）某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量y（单位：万件）与年广告宣传费用x（单位：万元）之间满足关系式y=6x+2x+1(x≥0，x∈Z)，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为(2y+12)万元，每件产品的生产费用为64元．已知该厂家销售的该类产品的产品单价=54×每件产品的生产费用+12×平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出．（1）请写出该类产品的年度总利润z（单位：万元）与年广告宣传费用x（单位：万元）之间的函数关系式．（注：年度总利润＝年销售总收入+年度政府的专项补贴﹣总成本，总成本＝固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）（2）试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润．22．（12分）已知函数f(x)=m x+1(m∈R)为奇函数．（1）求m的值；（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）设函数ℎ(x)=21−f(x)−2，若13≤n＜1，函数y＝|h（x）|﹣n的两个零点分别为a，b（a＜b），函数y＝（2n+1）|h（x）|﹣n的两个零点分别为c，d（c＜d），求a+b﹣c+d的最大值．2023-2024学年广东省部分名校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．若f （x ）＝（m ﹣1）x m 是幂函数，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1解：由于f （x ）＝（m ﹣1）x m 是幂函数， 故m ﹣1＝1，求得m ＝2． 故选：A ．2．已知集合A ＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x （x +3）＞10}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣4，﹣2）B ．（﹣2，4）C ．（2，4）D ．（﹣4，2）解：由x （x +3）＞10，即x 2+3x ﹣10＞0，得到x ＜﹣5或x ＞2， 所以B ＝{x |x ＜﹣5或x ＞2}，又A ＝{x |﹣4＜x ＜4}，所以A ∩B ＝（2，4）． 故选：C ．3．已知x ＞0，则25x +4x 的最小值为（ ） A ．50B ．40C ．20D ．10解：由x ＞0，则25x +4x ≥2√25x ⋅4x =20，当且仅当25x =4x ，即x =25时，等号成立． 故选：C ．4．已知函数f(x)={x −5，x ≥0f(x 2)，x ＜0，则f （﹣3）+f （2）＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．7D ．5解：由题意可知：f （﹣3）＝f （9）＝9﹣5＝4， f （2）＝2﹣5＝﹣3，故f （﹣3）+f （2）＝4﹣3＝1． 故选：B ．5．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件解：会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”． 所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件． 故选：B ．6．在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ） A ．1.1倍B ．1.25倍C ．1.1025倍D ．1.0025倍解：设某湖泊的蓝藻量为1，由题意可知，每天的蓝藻量是以1.05为底的指数函数， 即y ＝（1+5%）x ＝1.05x ，所以经过2天后，湖泊的蓝藻量y ＝（1+5%）2＝1.1025， 所以该湖泊的蓝澡变为原来的(1+5%)21=1.1025倍．故选：C ． 7．函数f （x ）=xe |x|的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数f （x ）=x e |x|，可得f （﹣x ）=−xe|x|=−f （x ）．函数是奇函数，排除C ； 当x ＞0时，y ＝e x 与y ＝x 满足e x ＞x ，所以x e x＜1．排除A 、D ；故选：B ．8．已知21a ＝ln 11，14b ＝ln 5，6c ＝ln 2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a解：由题意可得42a ＝2ln 11＝ln 112＝ln 121，42b ＝3ln 5＝ln 53＝ln 125，42c ＝7ln 2＝ln 27＝ln 128． 因为函数y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增． 所以ln 121＜ln 125＜ln 128，则a ＜b ＜c ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．下列函数的定义域为（﹣∞，2）的是（）A．f(x)=1√2−xB．f(x)=lg√2−xC．f（x）＝|4﹣x2|D．f(x)=18−x3解：对于函数y=12−x，y=lg√2−x要有意义需2﹣x＞0⇒x＜2，即其定义域为（﹣∞，2），对于函数y＝|4﹣x2|，显然其定义域为R，对于函数y=18−x3要有意义，需8﹣x3≠0⇒x≠2，即其定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．即A、B正确，C、D错误．故选：AB．10．已知函数f(x)=2−x2+6x−3在区间D上是单调函数，则D可能为（）A．[1，2]B．[2，4]C．[0，1]D．[3，6]解：根据题意，设t＝﹣x2+6x﹣3，则y＝2t，函数t＝﹣x2+6x﹣3在（﹣∞，3）上单调递增，（3，+∞）上单调递减，而函数y＝2t在R上单调递增，根据复合函数的单调性可得：f（x）的单调递增区间为（﹣∞，3]，单调递减区间为[3，+∞）．显然选项A、C对应集合是（﹣∞，3]的真子集，选项D对应集合是[3，+∞）的真子集，符合题意．故选：ACD．11．人们常用里氏震级M表示地震的强度，E（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为M＝mlgE﹣4.8（m为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为1014.7焦耳，则（）A．m=12B．m=23C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为1016焦耳D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的101.05倍解：AB选项，由题意可得5＝mlg1014.7﹣4.8，即14.7m＝9.8，解得m=23，A错误，B正确．C选项，由题意得3.2=23lgE1−4.8，解得E1=1012，C错误．D选项，由题意得4.3=23lgE2−4.8，解得E2=1013.65，1014.71013.65=101.05，D正确．12．已知函数f （x ）＝6﹣x ﹣6x ，若f （3m ﹣2k ）＞f （m ﹣2），则（ ）A ．e m ＜e k ﹣1B ．若m ＞0，则m−1k−1＜m kC ．ln （k ﹣m ）＜0D ．k 35＞m 35解：因为函数y ＝6﹣x ，y ＝﹣6x 在R 上都单调递减，所以f （x ）在R 上是减函数． 由f （3m ﹣2k ）＞f （m ﹣2），得3m ﹣2k ＜m ﹣2， 即m ＜k ﹣1，则e m ＜e k ﹣1，A 正确．因为m ＞0，所以0＜m ＜k ﹣1＜k ， 则m−1k−1−m k=(m−1)k−m(k−1)k(k−1)=m−k k(k−1)＜0，所以m−1k−1＜m k，B 正确．因为y ＝lnx 在（0，+∞）上是增函数，且k ﹣m ＞1， 所以ln （k ﹣m ）＞ln 1，即ln （k ﹣m ）＞0，C 错误． 因为m ＜k ﹣1，所以m ＜k ，因为幂函数y =x 35在R 上单调递增，所以k 35＞m 35，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．“∃x ∈（0，+∞），x 4＜4x ”的否定是 ∀x ∈（0，+∞），x 4≥4x ． 解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，即“∃x ∈（0，+∞），x 4＜4x ”的否定是“∀x ∈（0，+∞），x 4≥4x ”． 故答案为：∀x ∈（0，+∞），x 4≥4x ．14．已知集合M ={x ∈N ∗|2x∈Z}，则M 的子集个数为 4 ． 解：易知M ={x ∈N ∗|2x ∈Z}={1，2}，有2个元素， 所以M 的子集个数为22＝4． 故答案为：4．15．函数y ＝ax 2的图象恒在函数y ＝ax ﹣90图象的上方，则a 的取值范围为 [0，360） ． 解：由题意可得ax 2＞ax ﹣90恒成立，即ax 2﹣ax +90＞0恒成立， 当a ＝0时，90＞0恒成立，符合题意； 当a ≠0时，由题意可得：{a ＞0Δ=a 2−4×a ×90＜0，解得0＜a ＜360；故a 的取值范围为[0，360）．故答案为：[0，360）．16．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +4．若关于x 的方程[f （x ）]2+mf （x ）+12＝0有四个不相等的实数根，则m 的取值范围是 (−7，−4√3) ．解：易知f （x ）＝x 2﹣2x +4＝（x ﹣1）2+3≥3，令f （x ）＝t ，则满足条件，需关于t 的方程t 2+mt +12＝0在（3，+∞）上有两个不相等的实数根，则{32+3m +12＞0−m 2＞3Δ=m 2−48＞0，解得−7＜m ＜−4√3． 故答案为：(−7，−4√3)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算： （1）13lg64+2lg5．（2）√(1−π)44+√43×√46+2−1．解：（1）原式=lg6413+lg52=lg4+lg25=lg100=2； （2）原式=(π−1)+413×416+12=π−1+412+12=π−1+2+12=π+32． 18．（12分）已知实数x 0满足log a （x 0﹣2）＝0（a ＞0且a ≠1），且函数g （x ）＝a x 满足g(x 0)=18． （1）求a 的值；（2）求g （x ）在[﹣1，2]上的值域．解：（1）由log a （x 0﹣2）＝0＝log a 1得x 0＝3，则g(3)=a 3=18，解得a =12． （2）因为g(x)=(12)x 在[﹣1，2]上单调递减， 所以g(x)max =(12)−1=2，g(x)min =(12)2=14， 故g （x ）在[﹣1，2]上的值域为[14，2]．19．（12分）如图，对数函数f （x ）的图象与一次函数ℎ(x)=13x −13的图象有A ，B 两个公共点． （1）求f （x ）的解析式； （2）若关于x 的不等式4f（x ）＜k 的解集中恰有1个整数解，求k 的取值范围．解：（1）∵h（4）=43−13=1，∴B（4，1），设f（x）＝log a x，a＞0且a≠1，则f（4）＝log a4＝1，∴a＝4，∴f（x）＝log4x；（2）由（1）可得关于x的不等式4f（x）＜k可化为：4log4x＜k，∴0＜x＜k，故不等式4f（x）＜k的解集为{x|0＜x＜k}，又关于x的不等式4f（x）＜k的解集中恰有1个整数解，∴1＜k≤2，故k的取值范围为（1，2]．20．（12分）已知定义在R上的偶函数f（x）．当x≥0时，f（x）＝x（x﹣2）．（1）在平面直角坐标系xOy中作出f（x）在[﹣3，3]上的图象；（2）若f（x）在[a，2a2﹣1]上单调递增，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称．作出f（x）在[﹣3，3]上的图象，如图所示．（2）由图可知f （x ）的单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）．当[a ，2a 2﹣1]⊆[﹣1，0]时，{a ≥−12a 2−1≤0a ＜2a 2−1，解得−√22≤a ＜−12，当[a ，2a 2﹣1]⊆[1，+∞）时，由{a ≥12a 2−1≥1a ＜2a 2−1，解得a ＞1．综上，a 的取值范围为[−√22，−12)∪(1．+∞)． 21．（12分）某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量y （单位：万件）与年广告宣传费用x （单位：万元）之间满足关系式y =6x+2x+1(x ≥0，x ∈Z)，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为(2y +12)万元，每件产品的生产费用为64元．已知该厂家销售的该类产品的产品单价=54×每件产品的生产费用+12×平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出．（1）请写出该类产品的年度总利润z （单位：万元）与年广告宣传费用x （单位：万元）之间的函数关系式．（注：年度总利润＝年销售总收入+年度政府的专项补贴﹣总成本，总成本＝固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）（2）试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润．解：（1）由题意知，当年生产量为y 万件时，总成本为8+64y +x =64×6x+2x+1+8+x （万元）， 当销售量为y 万件时，年销售总收入为54×64×6x+2x+1+12x （万元）， 由题意得z =(54×64×6x+2x+1+12x)+(2y +12)−(64×6x+2x+1+8+x)，即z =−72x+1−12x +2012(x ≥0，x ∈Z)． （2）由（1）得z =−72x+1−12x +2012(x ≥0，x ∈Z)，因为x ＞0，所以x +1＞0，则z =−72x+1−12x +2012(x ≥0，x ∈Z)=−72x+1−12(x +1)+101=−[72x+1+12(x +1)]+101 ≤−2√72x+1⋅12(x +1)+101＝﹣2×6+101＝89，当且仅当72x+1=12(x +1)，即x ＝11时，等号成立．故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元．22．（12分）已知函数f(x)=m1+e x +1(m ∈R)为奇函数．（1）求m 的值；（2）试判断f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）设函数ℎ(x)=21−f(x)−2，若13≤n ＜1，函数y ＝|h （x ）|﹣n 的两个零点分别为a ，b （a ＜b ），函数y ＝（2n +1）|h （x ）|﹣n 的两个零点分别为c ，d （c ＜d ），求a +b ﹣c +d 的最大值．解：（1）由f （﹣x ）+f （x ）＝0，可得m 1+e −x +1+m 1+e x +1=0， 即me x +m1+e x +2=0，化简得（m +2）e x +m +2＝0，故m ＝﹣2．（2）f （x ）在R 上单调递增．由（1）得f(x)=−21+e x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=−21+e x 1+1+21+e x 2−1=2(e x 1−e x 2)(1+e x 1)(1+e x 2)， 因为0＜e x 1＜e x 2，所以e x 1−e x 2＜0，1+e x 1＞0，1+e x 2＞0，所以f(x 1)−f(x 2)=2(e x 1−e x 2)(1+e x 1)(1+e x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在R 上单调递增． （3）由题意得h （x ）＝e x ﹣1．函数y ＝|h （x ）|﹣n 的两个零点分别为a ，b （a ＜b ）即|h （x ）|＝n ，得e a ＝1﹣n ，e b ＝1+n ，从而e a +b ＝（1+n ）（1﹣n ），函数y ＝（2n +1）|h （x ）|﹣n 的两个零点分别为c ，d （c ＜d ）， 得（2n +1）|h （x ）|＝n ，则e c =1−n 2n+1=n+12n+1，e d =1+n 2n+1=3n+12n+1，从而e c−d =n+13n+1， 则e a+b−c+d =(1+n)(1−n)⋅3n+1n+1=(1−n)(3n +1)=−3n 2+2n +1=−3(n −13)2+43， 又因为13≤n ＜1，所以e a+b−c+d =−3(n −13)2+43∈(0，43]，则a +b −c +d ≤ln 43，即a +b ﹣c +d 的最大值为ln 43．。