S4 S5的子群要点

（IV ）子群一、定义及例子定义☆设G 是群，则},|{)(G x xa ax G a G C ∈∀=∈=【称为群G 的中心（Center ）】，则G G C ≤)(二、判定方法判法1：⎪⎩⎪⎨⎧∈∈∀∈∈∀∈-（逆元）（单位元）封闭H a H a H e H b a H ab 1,)(,, 判法2：H b a H ab G H G H ∈∀∈⇔≤⊆≠Φ-,,1则设判法3：H b a H ab G H H G H ∈∀∈⇔≤∞<⊆≠Φ,,||,则设【看来，有限集合只需要封闭就够了】·来生成。

决定的的因子的子群可以由则加群】生成，可以且的所有子群为则子群理论分类，设【按照有限阶循环群的的子群：][r n ]1[}|1|){(),(,0)(r r Z Z n r n r a G a G n a o Z n n n ≤≤=>=三、生成子群H S HS G S ⊆=⊆≠Φ)(S S S ,1），即并记为（生成的子群，子群为由的所有子群中，最小的称含、定义：设 ①子群的交是子群②子群的并未必是子群},1,|...{22211N n ti s si s s s S tn n t t ∈±=∈）中的元素、（·特别地⎩⎨⎧∞===∈==→=---)(,...},,,,,{...,)(},,...,,{}|{)()(}{},{2121a o a a e a a m a o a a e Z i a a S a a S m i ）【不好看】简记（Eg.S={a,b},且ab=ba（{a,b}）=(a,b)={a i b j |i,j ∈Z }例如在（Z ,+）,(2,3)={2Z+3Z }=2Z +3Z ={2n+3m|n,m ∈Z }=Z。

六阶群的结构：从三阶子群开始六阶非循环群只有一种结构，由三个二阶子群和一个三阶子群组合构成。

我们已经做过论证，一个包含二阶子群的六阶非循环群必定由三个二阶子群和一个三阶子群组合构成。

如果一个六阶非循环群包含一个三阶子群，这个六阶群会有怎样的结构？根据子群的性质，六阶群能够包含的最高阶的子群是三阶子群。

一个三阶群有三个互不相同的群元：。

假定有一个六阶群包含了作为子群，那么，就必定存在一个群元并且。

用构造的左陪集，根据陪集的性质可以判断：接下来让我们仔细分析，一个包含三阶子群的六阶群的可能的结构。

为了得到这样的六阶群的结构，先在形式上列出这个六阶群的乘法表：在这个乘法表中，用红色标记的位置是未确定的。

我们要用这个乘法表分析这三个群元的性质，把那些未确定的位置确定下来。

我们从找这三个群元的逆开始。

我们知道，寻找互逆群元的方法很简单：在乘法表中找出一个单位群元，与这个单位群元所在行的标题列和所在列的标题行对应的一对群元互逆；我们还知道，乘法表的每一行和每一列只存在一个单位群元。

从上面列出的形式上的乘法表可以看出，第 1,2,3 行和第 1,2,3 列相交的左上角那一块区域已经存在单位群元，这块区域所对应的互逆群元是和，因此，我们只能在第4,5,6 行和第4,5,6 列相交的右下角那一块区域中寻找。

在这一块区域中，单位群元处于哪一个位置并未确定，我们的目的就是要找出这些位置。

先看第4 行，由于，两边取平方得出，因此，；同样的道理，由得出，从而。

因此，在这一行中只能有，于是，，，这样，第4 行就确定下来了。

再看第 5 行，由导致，两边右乘得，两边再右乘，利用得，由此进一步得到。

由于，由第 2 行马上可以判断：，这一行也就确定了。

对同时左乘和右乘得到，第 3 行又确定下来了。

对的两边左乘得到，两边再右乘或就得到，，于是，第 5 行也确定下来了。

有了上面的结果，对第6 行就不用再做分析了，直接用或就可以得到，两边再右乘或就得到，，这样就把这一行确定下来了。

§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。

首先考虑一种特殊的等价关系。

3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。

证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。

■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。

由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。

3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。

(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。

特别地，e= He = H。

(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。

证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。

任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。

(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。

显然F是满射。

任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。

因为F是双射，所以|a| = |H|。

■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。

1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。

模8加法的包含5的子群摘要：一、模8 加法的概念二、5 的子群及其性质三、模8 加法中5 的子群的运算四、5 的子群在模8 加法中的应用正文：模8 加法是一种在模8 意义下的加法运算，它的运算对象是整数，运算结果也是一个整数。

这种加法可以简化很多整数运算问题，使得一些复杂的问题变得容易解决。

在模8 加法中，5 是一个重要的子群。

子群是群论中的一个概念，它是指群G 的一个子集H，满足H 中的元素经过群运算后仍然在H 中。

5 的子群可以表示为{5, 0, 1, 2, 3, 4}，它在模8 加法中具有很多特殊的性质。

首先，5 的子群的运算具有封闭性。

也就是说，子群中的任意两个元素相加，其结果仍然是子群中的元素。

比如，5 + 3 = 8，8 是子群中的元素；0 + 5 = 5，5 也是子群中的元素。

其次，5 的子群具有结合律。

也就是说，子群中的元素相加，不论加法的顺序如何，其结果都是相同的。

比如，(5 + 3) + 1 = 5 + (3 + 1)，结果都是8。

再次，5 的子群具有单位元。

单位元是指一个元素与其逆元的和等于1。

在模8 加法中，5 的单位元是5，因为5 + 5 = 10，10 除以8 的余数是2，2 就是5 的逆元。

最后，5 的子群具有逆元。

逆元是指一个元素与其逆元的和等于0。

比如，5 的逆元是3，因为5 + 3 = 8，8 除以8 的余数是0。

5 的子群在模8 加法中有着广泛的应用。

比如，我们可以用5 的子群来简化模8 加法的问题。

如果我们要计算a + b mod 8，其中a 和b 都是整数，我们可以先将a 和b 分别转换成5 的子群中的元素，然后进行加法运算，最后再将结果转换回模8 意义下的整数。

S5的子群赵俊锋;王飞;贾有【摘要】小阶数对称群在有限群论研究中具有重要的作用,但随着n的增大,结构也越复杂.文章利用传递与正规性计算出了S5的所有子群,并给出了严格的证明.【期刊名称】《长治学院学报》【年(卷),期】2010(027)005【总页数】3页(P50-52)【关键词】共轭类;n次对称群;长度【作者】赵俊锋;王飞;贾有【作者单位】忻州师范学院专科部,山西忻州,034000;长治学院,数学系,山西长治,046011;忻州师范学院,专科部,山西忻州,034000【正文语种】中文【中图分类】O211.4对称群在群论发展史上起着十分重要的作用，关于对称群Sn子群的研究，文献［1］研究了S4子群的个数。

文献［2］研究了对称群S4及其正规子群的若干性质。

但当n>4时，对Sn的研究大部分都是借助于计算机编程来实现的。

例如文献［3］利用计算机给出了S5所有幂零子群和可解子群，文献［4］［5］利用计算机研究了S5的基本性质，本文经过计算并通过严格的证明给出了S5的所有子群。

定理 S5共有156个子群，可分为19个共轭类：平凡子群有两个共轭类：｛1｝，｛S5｝长度都为1；2阶子群都同构于C2，可分为2个共轭类，即：｛＜（12）＞g|g∈S5｝,长度为10；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，长度为15；3阶子群都同构C3，有1个共轭类，即：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，长度为10；4阶子群有3个共轭类，即：｛＜（1234）＞g|g∈S5｝，长度为15；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，长度为 15；｛＜（12）（34），（13）（24）＞g|g∈S5｝，长度为 5；其中＜（1234）＞≌C4，＜（12）（34）＞≌C2×C2，＜（12）（34），（12）（24）＞≌C2×C25阶子群都同构于C5，有1个共轭类，即：｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，长度为 6；6阶子群有3个共轭类，即：｛Sg｛1，2，3｝|g∈S5｝，长度为 10；｛＜（12），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；｛＜（12），（34），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；其中 S｛1，2，3｝≌S3，＜（12），（345）>≌C6，＜（12），（34），（345）>≌S38阶子群都同构于D8，有1个共轭类，即：｛＜（12），（1423）＞g|g∈S5｝，长度为 15；10阶子群都同构于D10，有1个共轭类，即：｛＜（12345），（12），（35）＞g|g∈S5｝，长度为 6；12阶子群有两个共轭类，即：｛Ag｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为5；｛（S｛1，2｝×S｛3，4，5｝）｝，长度为10；其中 A｛1，2，3｝≌A4，S｛1，2｝×S｛3，4，5｝≌S2×S320阶子群都同构于＜x，y|y4=x5=1，xy=x2＞，有1个共轭类，｛＜（12345）（|2354）＞g|g∈S5｝，长度为 6；24阶子群都同构于S4，有1个共轭类，即：｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为 560阶子群有1个共轭类，即：｛A5｝，长度为1.证明由（i1，i2，…，i）sσ=σ-（1i1，i2，…，i）sσ=（iσ1，iσ2，…，iσ）s，知S5中元素可分为7个共轭类，分别为：（｛1）｝；因为S5=120，由Largrange定理可知S5的子群的阶可能为：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。

第八节 不变子群与商群基本概念：不变子群，商群.重点、难点：不变子群的判定，不变子群与商群的关系.一 概念本节主要讨论一下一类重要的子群—不变子群. i.e.左右陪集均相等的子群.定义2.8.1 设N 是群G 的子群，若对G a ∈∀，均有Na aN =，则称N 是群G 的不变子群或正规子群,记作G N <.一个不变子群N 的一个左（或右）陪集统一叫做N 的一个陪集.例1 ①G G < ； ②G e <}{①G a ∈∀，}{}{G g ga Ga G G g ag aG ∈===∈=②G a ∈∀，a ea ae ==例2 交换群G 的任何一个子群都是G 的正规子群.例3设G 是群.记},{)(ab ba G b G a G C =∈∀∈=，可以证明)(G C 为G 的一个子群，称为群G 的中心.①φ≠⇒∈)()(G C G C e②)()()()()()()()(,)(,1111G C ab ab g b ga b ag gb a bg a g ab G C b g b gb gb b g gb bg gaag G g G C b a ∈⇒=====⇒⎭⎬⎫∈⇒=⇒=⇒==∈∀⇒∈---- 易证G G C <)(.例 4 3S G =，则G N <)}132(),123(),1{(=.证 G N ≤)1( aN Na G a =∈∀,)2(. （Page74,例４）注 不变子群的定义中的“Na aN =”是指两个集合相等，而不是指“N n na an ∈∀=,”.二 判别准则先介绍集合乘积的概念定义2.8.2 设m S S S ,,,21Λ为群G 的m 个子集合，用记号},,1,|{2121m i S s s s s S S S i i m m ΛΛΛ=∈=称为集合m S S S ,,,21Λ的乘积.定理2.8.1 设N 是G 的子群，则T.F.A.E. :（1）G N <；（2）N n G a N ana ∈∀∈∀∈-,,1；(3) G a N aNa ∈∀⊆-,1；(或G a N Na a ∈∀⊆-,1)(4) G a N aNa ∈∀=-,1； (5)N 的每一个左陪集也是N 的一个右陪集.证 (1)⇒(2)：N n anaa n an t s N n Na aN an ∈'=⇒'=∈'∃⇒=∈-1..,(2)⇒(3): 显然(3)⇒(4)：只须证1-⊆aNa N ：111)(,---=⇒∈⇒∈∀∈∀a na a a n N na a G a N n ，故N aNa =-1(4)⇒(1)：aN aNe a aNa Na N aNaG a ===⇒=∈∀--)(,11(1)⇒(5)：显然 (5)⇒(1)：,G a ∈∀则Nb aN t s G b =∈∃..,Θ Nb Na Nb Na Nb Na a Na a Nb aN a prop =⇒≠⋂⇒⋂∈⇒⎭⎬⎫∈=∈2.7.2φ 故aN Na =,即G N <.注 由此判别定理可以导出许多关于不变子群的性质，这里不作介绍了.如1.G HN G N G H ≤⇒≤<,2.⎩⎨⎧⋂⇒G MN G N M G N G M <<<<, 3.正规子群不具有传递性，即3221,N N N N <<推不出31N N <，但有传递性2131321,N N N N N N N <<⇒⊆⊆4.,G H ≤记}|{)(Ng gN G g H N G =∈=三 商群下面讨论不变子群N 的所有陪集之集.定理2.8.2 设,G N <令}|{/G a aN N G ∈=，规定：N G bN aN N ab bN aN /,,)()()(∈∀=⋅则),/(⋅N G 是一个群，称为G 关于N 的商群.证 (1)• 是N G /的一个代数运算，即证与代表元的选取无关：假设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈=⇒⎭⎬⎫==--Nn b b N n a a bN N b aN N a 21111111， 又Θ3111311..,n b b n t s N n Nb N b G N =∈∃⇒=⇒<于是N n n n b b b n b b a a b b a ab ∈=====-----323111*********)()(，从而N b a N ab )()(11=， ∴)()()()(11N b N a bN aN ⋅=⋅(2)),/(⋅N G 为一个群：(Ⅰ)封闭性：显然(Ⅱ)结合律：N G cN bN aN /,,∈∀，有N c ab cN N ab cN bN aN ))(()()(=⋅=⋅⋅N c ab N bc a N bc aN cN bN aN ))(())(())(()(===⋅⋅(Ⅲ)单位元：N G aN /∈∀，)()()()()()(eN aN N ae aN N ea aN N e ⋅====⋅ (Ⅳ)逆元：,/,/1N G N a N G aN ∈∃∈∀-使得)()()()()(111aN N a eN N aa N a aN ⋅===⋅---故),/(⋅N G 为一个群.注 商群N G /中一定要求“G N <”.（否则不知道是左陪集还是右陪集之集） 推论2.8.3 ]:[|/|N G N G =，特别地，当∞<||G 时，有||/|||/|N G N G =. 例5 设.,,N km G mZ N Z G ∈==< 则]}1[,],0{[/-=m mZ Z Λ，|]:[ .m/mZ=|ZNZ=作业：Page 74 第1题，第3题，第4题，第5题。

群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的是关于集合上的运算的代数系统。

而群与子群则是群论中的两个基本概念。

首先，我们来谈谈群的概念。

群是由一个集合以及一个运算组成的代数结构。

这个运算满足四个基本性质：封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素。

封闭性指的是任意两个元素进行运算后的结果仍然属于群的集合中。

结合性是指群中任意三个元素进行运算时，先进行其中两个元素的运算，再与第三个元素进行运算，结果应该与先将后两个元素进行运算后再与第一个元素进行运算的结果相等。

单位元素是指在群中存在一个特殊的元素，与群中的任意元素进行运算后，结果不变。

逆元素则是指群中的每个元素都有一个特殊的元素与之进行运算后，结果为单位元素。

群的例子有很多，例如，整数集合{…, -2, -1, 0, 1, 2, …}构成了一个群，其中的运算是加法。

在这个群中，0是单位元素，任意整数n的逆元素是-n。

另一个例子是二阶对称群S2，它是由两个元素e和s组成，其中e是单位元素，s的平方等于e。

可以发现，群的定义非常广泛，不同的群可能有不同的性质和结构。

接下来，我们来讨论子群的概念。

子群是一个群的一个子集，同时也是一个群。

即子群继承了原群的运算，并且满足群的四个基本性质。

如果一个子集满足封闭性、结合性、存在单位元素和存在逆元素这四个性质，那么我们就可以称它为原群的子群。

当然，子群中的单位元素和逆元素都是继承自原群中的。

子群在群论中有着重要的地位，它可以帮助我们研究群的结构和性质。

通过寻找原群的子群，我们可以将复杂的群分解为更简单的子群，进而更方便地分析群的性质。

有时候，我们可以通过子群的性质来推导出原群的性质，或者通过研究子群中的元素来了解原群的特点。

子群的例子也有很多。

例如，对于整数群，它的所有偶数构成的集合{…, -4, -2, 0, 2, 4, …}就是一个子群。

因为任意两个偶数相加还是偶数，单位元素是0，并且每个偶数的相反数依然是偶数。