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关于若干个不同形式的极限性质及其相互等价性质的证明

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关于若干个不同形式的极限性质及其相互等价性质的证明
作者：杨兆兰杨荣
来源：《求知导刊》2015年第03期
摘要：对数列和函数极限的保号性给出了一个等价的形式，并证明了其与若干个极限性质的相互等价性，对各种形式的极限性质给出了它们之间等价的本质关系，便于初学者更好地学习和理解极限及其性质。

关键词：极限；保号性；保不等式性；等价性
极限理论是微积分的理论基础，而极限的保号性是极限理论中重要的性质，因此深刻理解这些性质，对学好极限理论起着十分重要的作用。

本文给出了数列和函数极限保号性等价的一种结论，并证明了各种极限性质之间的等价性。

一、数列极限保号性及与其他极限性质的等价性
性质1
（1）若liman=a，则对任何a′
存在正数N，使得当n>N时有an>a′。

（2）若liman=a，则对任何a′>a，存在正数N，使得当n>N时有
an
证明（1）：设a′
（>0），存在正数N，使得当n>N时有—an-a—a-ε=a′。

结果得证。

对（2）的情形可类似证明。

命题1：性质1与下列数列极限的性质是等价的。

性质2 （数列极限的保号性）
（1）若liman=a>0，则对任何a′∈（0，a），存在正数N，使得当n>N时有an>a′。

（2）若liman=aN时有an
性质3（数列极限的保不等式性）
设an，bn均为收敛数列，若存在正数N0，当n>N0时有an≤bn，则存在liman≤limbn[1]。

性质4
（1）若liman=a>0，则存在正数N，使得当n>N时有an>0。

（2）若liman=aN时有an
性质5
若liman=a，limbn=b，aN时有an
性质6
（1）若存在正数N，当n>N时有an≥0，且liman=a存在，有a≥0。

（2）若存在正数N，当n>N时有an≤0，且liman=a存在，则a≤0[2]。

证明：性质1=性质2：设liman=
a>0，对任何a′∈（0，a），即有
a′N时有an>a′。

同理可证a
性质2=性质3：反设结论不成立，即有liman>limbn，则对数列an-bn有，lim（an-bn）=有liman-limbn=c>0，由性质2（2）可知，对任何a′∈（0，c），存在正数N0，使得当n>N0时有an-bn>a′>0，即有an>bn矛盾，原结论成立。

性质3=性质4：设liman=a>0。

若结论不成立，即对任意的正数Nk，都存在nk>Nk，但有an ≤0，由性质3可知，liman≤lim0=0，但an又为an的子列，所以有liman =liman=a>0，矛盾，同理可证a
性质4=性质5：设cn=an-bn，则limcn=lim（an-bn）=a-bN时有cn=an-bn
性质5= 性质6：若存在正数N，当n>N时有an≥0，且liman=a存在，而aN时有an
性质6= 性质1：设liman=a，及任何a′Nk，但an ≤a′（k=1，2，…），则数列an -a′≤0，由性质6（2）可知，lim（an -a′）=a-a′≤0，但又由数列an-a′可知，lim（an-a′）=a-a′>0。

矛盾，同理可证a′>a的情形。

二、函数极限保号性及与其他极限性质的等价性
性质1
（1）若limf（x）=A，则对任何rr。

（2）若若limf（x）=A，则对任何r>A，存在U0（x0），使得对一切x∈U0（x0）有f （x）
证明（1）：由r0），存在δ，使得对一切x∈U0（x0；δ），有—f（x）-A—
f（x）>A-ε=r。

对（2）的情形可类似证明。

命题2：性质1与下列函数极限的性质是等价的。

性质2 （函数极限的局部保号性）
（1）若limf（x）=A>0，则对任何正数rr>0。

（2）若limf（x）=A-r>0 [3]。

性质3（函数极限的局部保不等式性）
设limf（x）与limg（x）都存在，且在某邻域U0（x0；δ）内有f（x）≤
g（x），则limf（x）≤limg（x）[4]。

性质4
设limf（x）存在，若limf（x）=
A>0（或A0（或f（x）
性质5
若limf（x）=A，limg（x）=B，若A
性质6
设limf（x）=A存在，且在某邻域U0（x0；δ）内有f（x）≥0（或f（x）≤
0），则A≥0（或A≤0）[7]。

可仿照命题1的证明方法证明如下：
性质1=性质2：若limf（x）=
A>0，则对任何正数rr>0，同理可证A
性质2= 性质3：反设结论不成立，即有limf（x）>limg（x），则对函数f（x）-g（x）有，lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）=C>0，由性质2（1）可知，对任何正数
rr>0，即有f（x）>g（x），矛盾。

性质3=性质4：设limf（x）=A>
0，若结论不成立，即对任意的δn=—，
都存在xn>δn，但有f（x）≤0。

由性质3可知，A=limf（xn）≤lim0=0，但由归结原则，有limf（xn）=limf（x）=A>0，矛盾。

同理可证A
性质4=性质5：设c（x）=f（x）-g（x），则limc（x）=lim（f（x）-g（x））=
A-B
性质5=性质6：若limf（x）=A存在。

且在U0（x0；δ）内有f（x）≥0，而A
性质6=性质1：设limf（x）=A，
及任何rδn，但有
f（xn）≤r，则f（xn）-r≤0，由归结原则及性质6可知，a-a′=lim（f（x）-r）≤0。

但又由函数f（x）-r可知，lim（f（x）-r）=A-r>0，矛盾。

同理可证r>A的情形。

在《数学分析（第四版）》中给出了数列极限性质1、3、5（函数极限性质2、3、5），但未给出它们之间相互等价的证明；同济大学应用数学系编的《高等数学》中给出了数列极限性质4、6（函数极限性质4、6）。

也未给出它们之间相互等价的结论；相关论文也证明了数列极限性质2、3、4、6（函数极限性质2、3、4、6）的相互等价性，但未证明数列极限性质1、5（函数极限性质1、5）和其他极限性质的等价性。

这些极限性质相互等价关系的证明，旨在帮助学习者更好地理解和掌握极限的性质。

参考文献：
[1][3][4][6]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007：29—30.
[2][5][7]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001：23—30.
（作者单位：杨兆兰兰州文理学院师范学院；杨荣西北师范大学数学与统计学院）。

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高等数学极限公式汇总

高等数学极限公式汇总

高等数学极限公式汇总在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它贯穿了整个学科的始终。

极限的计算和应用需要掌握一系列的公式和方法，下面就为大家详细汇总一下高等数学中的极限公式。

一、数列极限1、定义：对于数列$＼｛a_n\｝＄，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n ＞ N$时，有$｜a_n A| ＜＼epsilon$，则称数列$＼｛a_n\｝＄的极限为$A$，记作$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A$。

2、数列极限的性质（1）唯一性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则极限是唯一的。

（2）有界性：如果数列$＼｛a_n\｝＄的极限存在，则数列$＼｛a_n\｝＄是有界的。

（3）保号性：如果$＼lim_{n\to\infty} a_n ＝ A ＞ 0$（或$A ＜0$），则存在正整数$N$，当$n ＞ N$时，有$a_n ＞ 0$（或$a_n ＜0$）。

3、常见数列的极限（1）＄＼lim_{n\to\infty} ＼frac{1}｛n} ＝ 0$（2）＄＼lim_{n\to\infty} q^n ＝ 0$（＄｜q| ＜ 1$）（3）＄＼lim_{n\to\infty} C ＝ C$（＄C$为常数）二、函数极限1、定义（1）当$x\to x_0$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$＼delta$，使得当$0 ＜｜x x_0| ＜＼delta$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to x_0$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to x_0} f(x) ＝ A$。

（2）当$x\to\infty$时，函数$f(x)＄的极限对于函数$f(x)＄，如果对于任意给定的正数$＼epsilon$，总存在正数$M$，使得当$｜x| ＞ M$时，有$｜f(x) A| ＜＼epsilon$，则称函数$f(x)＄当$x\to\infty$时的极限为$A$，记作$＼lim_{x\to\infty} f(x) ＝A$。

2.3 极限的性质

2.3 极限的性质


PM
f ( x ) kx b k2 1
o
18
x
2.3 极限的性质
∵由渐近线的定义，当 x 时， PM 0 ，
∴ lim
x
f ( x ) kx b k2 1
x
( f ( x ) kx b ) 0 ， 0 ，即 lim x
性质 2’ （数列极限的有界性）
若 lim x n 存在，则数列 x n 有界，即
n
L 0 ，使得 n N , 有 xn L 。
注：①性质 2’的等价命题是:若 xn 无界，则 xn 发散。
②收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛。 例如 {(1)n } 有界，但不收敛。
2.3 极限的性质
2.3 极限的性质
lim f ( x ) 存在，则极限必唯一。 性质 1（唯一性）若 x x
0
证明：用反证法。
假设 lim f ( x ) a ， lim f ( x ) b ， （a b） ，取
x x0 x x0
ba 2
0，
1 0 ，使得当 0 | x x0 | 1 时，恒有 f ( x) a ，
x x0
12
2.3 极限的性质
例4 下列做法是否正确?
lim ( x 3) 0 x3 x 3 (1) lim 2 1. 2 x 3 x 9 lim ( x 9) 0
x 3
1 1 ( 2) l i mx si n l i mx l i msi n 0. x 0 x x 0 x 0 x
推论 若 lim x n a ， lim y n b ，且 xn yn ，则 a b 。
n
上_下极限三种定义的等价证明(精)

上_下极限三种定义的等价证明(精)

设lim k →∞
x n k
＝ξ，则对一切k ∈N，成立inf n＞n k
－1
｛x n｝≤x n k
≤sup n＞n k
－1
｛x n｝，对k →＋∞取极限，得h ≤ξ≤H．其次证明，存
在｛x n｝的子列
｛x n k
｝与｛x m k
｝，使得lim k →∞
x m k
＝H，lim k →∞
x m k
＝h．事实上，对ε1＝1，
对每个n ∈N，由于有m＞n，
使x m ∈－ε＋ε），所以
－ε≤sup m ≥n
｛x m｝（n ≥1），
（1）
其次由于有［＋ε，＋∞）中只有｛x n｝的有限项，所以存在N，使得当n＞N时，x n＜＋ε，因此当n＞N时，
sup m ≥n
｛x m｝≤＋ε（n＞N）．（2）
综合（1）（2）得到，当n＞N时，－ε≤sup m ≥n
＜εn＝1，易
见lim k →∞
x n k
＝b，即b ∈H 2，于是H 1哿H 2．综合以上两方
面，再由a和b的任意性知H 1＝H2．故最大聚点即为
子极限中之的最大者，最小聚点即为子极限中的最小者，即定义1和定义2等价.
定理2定义1圯定义3．证明设为有界数列｛x n｝的最大聚点，则对坌ε＞0，－ε＋ε）中含有｛x n｝的无限多项，而在＋ε，＋∞）中只含有｛x n｝中有限多项．于是对坌ε＞0，
βk＝supn＞k
｛x n｝＝sup｛x k＋1，…，x k＋i，…｝，
αk＝infn＞k
｛，于是得到数列｛βk｝和数列｛αk｝，显然数列｛βk｝是单调减少的，｛αk｝是单调增加的，所以这两个数列极限都存在，称｛βk｝的极限是｛x n｝的上极限，记作H，称｛αk｝的极限是｛x n｝的下极限，记作h．也就是
等价无穷小公式及证明

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等价无穷小公式及证明在我们的数学学习中，等价无穷小可是一个非常重要的概念哦！它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多复杂问题的大门。

那什么是等价无穷小呢？简单来说，就是在某个变化过程中，两个无穷小量的比值的极限为 1 。

比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。

咱们先来看几个常见的等价无穷小公式。

当 x 趋近于 0 时，有以下这些：tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 x²/2 ，ln(1 + x) 等价于 x ，e^x - 1 等价于 x 。

接下来咱们聊聊怎么证明这些等价无穷小公式。

就拿 sin x 和 x 来说吧，咱们可以利用泰勒公式展开。

sin x = x - x³/3! + x⁵/5! -... ，当 x趋近于 0 时，后面那些高次项相对于 x 来说就可以忽略不计啦，所以sin x 就近似等于 x ，它们就是等价无穷小。

再比如说 1 - cos x 等价于 x²/2 这个公式。

我们可以利用三角函数的二倍角公式cos 2α = 1 - 2sin²α ，把 cos x 表示成 1 - 2sin²(x/2) ，那么 1 - cos x 就等于 2sin²(x/2) 。

而当 x 趋近于 0 时，sin(x/2) 等价于 x/2 ，所以 2sin²(x/2) 就等价于 2×(x/2)² = x²/2 。

我还记得我之前给学生们讲等价无穷小的时候，有个学生特别可爱。

那节课刚开始，他一脸迷茫地看着我，感觉完全被这些概念给搞晕了。

我就从最基础的例子开始讲起，慢慢引导他们。

当讲到 sin x 和 x 等价无穷小时，我在黑板上一步一步地推导，那个学生眼睛眨也不眨地盯着黑板，手里的笔不停地记着。

等到课程结束的时候，他突然兴奋地跟我说：“老师，我好像懂了！”那一刻，我心里别提多有成就感了。