华罗庚学校数学教材(六年级上)第13讲 棋盘中的数学(四)

本系列共14讲第十三讲棋盘中的数学（四）

——棋盘格的计数问题.文档贡献者：与你的缘

与棋盘有关的另一大类数学问题是计数问题．我们只能就一些简

单的例题进行解说，并随之介绍解题的思想方法．

例1如下左图，在中国象棋盘上，乙方一只边卒已经过河，它

可以向前移一步到B，也可以横行一步到A，要使这个小卒沿最短路

线走到对方帅所在的位置（假定前进路上没任何阻难），问有多少种

不同的走法？

解：为了解这个问题，可以从简单的情形开始，逐步进行．上右

图中，小卒沿最短路线走到A、B、C、D、E、F、G、H的走法都只有

一种，走到K，则有两种：先走到A再走到K，或者先走到B，再走

到K．走到M，则有1＋2＝3种：先走到C再到M有一种，先走到K

再到M有2种（因为走到K有2种走法）．把走法的种数标在各点上，

每个数等于它前面的两个数（下图中左方一个，下方一个）的和．走到帅的位置有70种不走法．

说明：利用标数法可以很快求出从一个点到棋盘上另一点最短的

不同路线数，这是一种很直观有用的计数方法．

例2围棋盘上横竖各有19条线（如下图），在棋盘上组成许多

大小不同的正方形，问其中有多少个和图中右侧小正方形大小一样的正方形（小正方形面积是这个围棋盘的）？14

解法1：我们把小正方形放在大正方形的左上角，则小正方形的

右边线与大正方形的第10条竖线重合．将小正方形向右平行移动一

格（如下图）则又可出现一个小正方形，顺次向右移动9次后，小正

方形的右边线与大正方形的右边线重合．这样前后共得到10个小正

方形．同样，将左上角小正方形再每次向下移动一格，也可得到10

个小正方形．所以共有10×10＝100个小正方形．

解法2：将大正方形左上角的小正方形沿大正方形的对角线AC

移动，第1次移动（如下图）可视为是右移一格和下移一格的合成，

也可视为是下移一格和右移一格的合成．再加上初始位置的小正方

形，这时就有1＋3个小正方形．继续将小正方形沿对角线移动，共

移动9次，小正方形就移动到大正方形的右下角．这时共包含小正方

形（1＋3＋5…＋19）个，我们可按小高斯计算1＋2＋3＋…＋100的方法求出1＋3＋5＋…＋19==100个。(191)102+×

解法3：我们先在下右图小正方形中找一个代表点，例如右下角

的代表点E，然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点E应

在什么地方，通过观察，不难发现：

①点E只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子点

上。子点个数”了，很容易看出正方形ABCD中的格子点为10×10＝

100个．

说明：以上三种解法都有一定代表性．其中解法3既巧妙又迅速，

它利用了“一一对应就一样多”的配对原理．配对原理在计数中是非

常重要的。

例3从8×8的方格棋盘（下图）中取出一个由三个小方格组

成的“”形（可旋转），问有多少种不同的取法？

分析如果从2×2的方格中取“L”形，则有4种不同的取法，

因此，我们只要知道从8×8的方格棋盘上总共可以取出多少个“田”

字形就可以了，又由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线

的交叉点（但不包括边界上的点），反过来每一个这样的交叉点都有

一个以它为中心的“田”字形，于是问题就转化为求横线与竖线一共

有多少个不在边界上的交叉点．解：设S是从棋盘上所能取出的所有“田”字形组成的集合，S

′是棋盘内所有横线和竖线的交叉点（不包括边界上的点）组成的集

合．

由于每个“田”字形的中心点是棋盘内横线与竖线的一个交叉点

且不在边界上，反过来，位于棋盘内横线与竖线交叉点四周的四个小

方格恰好组成一个“田”字形，因此集合S与S′的元素能一一配对．由

配对原理，这两个集合的元素一样多．

而棋盘内横线与竖线的交叉点有：

（9－2）×（9－2）＝49（个）．

所以棋盘上可以取出“田”字形的个数为49个．又由于从一个

“田”字形中可以取出4个“”形，并且，从不同的“田”字形

中取出的“”形是不同的，所以可知，从棋盘上共可以取出49

×4＝196个“”形，即题中“”形的不同取法共196种．

②反过来，右下角正方形ABCD中的每一个格子点都可以作为小

正方形的点E，也只能作为一个小正方形的点E．

这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格

例4如下图在5×5棋盘格中，共有多少个正方形？

解：在5×5的棋盘格中：包含1×1的正方形共25个；

包含2×2的正方形共16个；

包含3×3的正方形共9个；

包含4×4的正方形共4个；

包含5×5的正方形共1个；

总计包含各种正方形共有：

25＋16＋9＋4＋1＝55个．

说明：本题解法是先将正方形分成五类：1×1，2×2，3×3，4

×4，5×5，对每一类都仿例3中第3种解法去解是非常迅速的．

例5下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16

个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的三个点为顶

点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

分析解决这个问题，主要是运用两个结论：

①同底等高的两个三角形的面积相等．

②平行的两条直线间的距离处处相等．

解：设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角

形的面积是：×2×3=312所求的三角形可分两种情形：

①三角形的一边长为2，这边上的高是3．这时，长为2的边只能在原正方形的边上．这样的三角形有：

2×4×4＝32（个）．

②三角形的一边长为3，这边上的高是2．这时，长为3的边是

原正方形的一边或平行于一边的分割线（其中，与①重复的三角形不

再算入）．这样的三角形有：

8×2＝16（个）．

答：所求的三角形共48个（包括上页图中给出的三角形）．

说明：解本题，容易出现两种错误，一是“少”，如忽略了底是3，

高是2的三角形，这样就少算了16个；二是“多”：在计算底是3，

高是2的三角形时，没有考虑其中有16个在情形①中已经计算过了，

于是会得出错误结果64个．

棋盘格计数问题，本质上是一种数数问题．其一要注意会把对象

分类．其二，在每类数数时要做到不重，不漏．这样才能得到正确的

结果。习题十三

1．下图是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上，问：共有多少种不同的放法？

2．下图中的象棋盘上一只小卒过河后沿最短的路走到对方“帅”处，试问这小卒有多少种不同的走法？

3．下图表示某城市的街道图，若从A走到B（只能由北往南，

由西向东），问共有多少种不同的走法？

4．下图是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向

北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，

如果最后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少孩子到过路口C？

5．如下图，在5×5的棋盘上放了二十枚棋子，问：以这些棋子

为顶点的正方形共有多少个？