高一数学角度制与弧度制的认识与换算
角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．两种度量制度像亲哥俩，既有联系又有区别．在一般的三角函数中，角度制与弧度制都可用．但因三角函数是解析函数，角度制反映的更多是几何思想，不符合三角函数的解析思想，即不能参加实数运算，故而发明弧度制填补这一空缺．从历史的过程看，弧度作为度量的一种方式，大约是在18世纪由Roger Cotes首先提出来的，它让很多公式变得更简单．
一、两种度量制的定义
1．角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称．
2．弧度制：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制．
二、两种度量制的不同
三、两种度量制的相同
1. 以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值．
2. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
四、两种度量制的换算
五、两种度量制下的扇形弧长，面积计算公式
六、两种度量制换算的应用
1．角度与弧度的换算
2．表示角的集合
3．扇形的弧长公式及面积公式的应用
新课标高一数学必修4任意角和弧度制
第一课时 1.1.1 任意角
教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.
教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法.
教学难点：理解角的任意大小.
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？
（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）
2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ → 说明研究推广角概念的必要性
（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）
二、讲授新课：
1.教学角的概念：
① 定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.
② 讨论：推广后角的大小情况怎样？ （包括任意大小的正角、负角和零角）
③ 示意几个旋转例子，写出角的度数.
④ 如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.
（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ）
⑤ 练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？
⑥ 讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？
结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题. ⑦ 讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？
与α终边相同的角如何表示？
⑧ 结论：与α角终边相同的角，都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，写成集合呢？
⑨ 讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？
注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍
苏教版高一数学弧度制
§3 弧度制
洋浦实验中学 吴永和
一、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
2、 过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
3、 情感态度与价值观
通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教学用具
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教学用具:多媒体、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制--弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度．
5.1.2 弧度制
学习目标
1.借助圆建立弧度制的概念，培养数学抽象、直观想象的核心素养.
2.应用弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.
1.角的单位制及换算关系
(1)角的单位制
①角度制
规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
②弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度.
③角的弧度数的求法
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|=𝑙𝑟.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度与弧度的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°=π180 rad≈0.017 45 rad 1 rad=(180π)°≈57.30°
度数×π180=弧度数 弧度数×(180π)°=度数
(3)一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0 π6 π4 π3 π2 2π3
度 135° 150° 180° 270° 360° —
弧度 3π4 5π6 π 3π2 2π —
2.弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式
度量制 公式
弧长公式 扇形面积公式
角度制 l=𝑛π𝑅180 S=𝑛π𝑅2360
弧度制 l=α·R
(0
(0
角度与弧度的换算
[例1] 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-800°;(3)7π12;(4)-11π5.
解:(1)20°=20×π180 rad=π9 rad.
(2)-800°=-800×π180 rad=-40π9 rad.
(3)7π12 rad=712×180°=105°.
(4)-11π5 rad=-115×180°=-396°.
