高中数学《弧度制》导学案

1．1.2

弧度制

1.角的单位制

□1长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作□2弧度，通常略去不写.□3以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．

弧度数的计算：

2．角度与弧度的换算

(1)角度制与弧度制的换算

(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表

3．扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为r，弧长为l，α(0

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( )

(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( )

(3)用弧度表示的角都是正角．( )

(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．做一做

(1)(教材改编P9T5)在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )

A.4π3 cm B.20π3 cm

C.10π3 cm D.50π3 cm

答案 B

解析 记r＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l＝|α|r＝20π3.

(2)－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．

答案 －3π4 660°

解析 －135°＝－135×π180＝－3π4，11π3＝113×180°＝660°.

探究1 弧度制的概念

例1 下列命题中，假命题是( )

A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π

C．弧度制下，角与实数之间建立了一一对应关系

D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关

解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题．

答案 D

拓展提升

角度制和弧度制的比较

(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．

(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．

(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．

(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．

【跟踪训练1】 下列叙述中正确的是( )

A．1弧度是1度的圆心角所对的弧

B．1弧度是长度为半径的弧

C．1弧度是1度的弧与1度的角之和

D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位

答案 D

解析 弧度是度量角的大小的一种单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小．故选D.

探究2 角度和弧度的换算

例2 把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－5π12；3.5.

解 112°30′＝2252×π180＝5π8.

36°＝36×π180＝π5.

－5π12＝－5π12×180π°＝－75°.

3．5＝3.5×180π°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)．

拓展提升

用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角．

【跟踪训练2】 (1)－300°化为弧度是( )

A．－4π3 B．－5π3 C．－7π4 D．－7π6

(2)8π5化为度数是( )

A．278° B．280° C．288° D．318°

答案 (1)B (2)C

解析 (1)－300°＝－300×π180＝－5π3.

(2)8π5＝85×180°＝288°.

探究3 用弧度制表示角的集合

例3 已知角α＝2005°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；

(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．

解 (1)2005°＝2005×π180rad＝401π36rad＝5×2π＋41π36 rad，

又π<41π36<3π2，

∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．

(2)与α终边相同的角为2kπ＋41π36(k∈Z)，

由－5π≤2kπ＋41π36<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.

∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是

－31π36，－103π36，－175π36.

拓展提升

用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．

【跟踪训练3】 (1)将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为________；

(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

答案 (1)－8π＋7π4 (2)见解析

解析 (1)∵－1125°＝－1125×π180＝－25π4，

而－25π4＝－8π＋7π4，∴－1125°＝－8π＋7π4.

(2)因为终边落在OA处的角θ＝2kπ＋5π12，k∈Z，终边落在OB处的角θ＝2kπ－π6，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为θ 2kπ－π6

探究4 扇形的弧长及面积公式的应用

例4 (1)已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2，则扇形的面积为________cm2；

(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？

解析 (1)设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，由圆心角为2 rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.

故扇形的面积S＝12lr＝12×4×2＝4 cm2.

(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，扇形的面积是12lR＝(π－1)R2.

答案 (1)4 (2)见解析

拓展提升

弧度制下涉及扇形问题的解题策略

(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0

(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

【跟踪训练4】 已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：

(1) AB︵的长；

(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．

解 (1)∵120°＝2π3，∴AB︵的长l＝2π3×6＝4π.

(2)S扇形AOB＝12lr＝12×4π×6＝12π.

如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，

于是有S△OAB＝12×AB×OD＝12×2×33×3＝93，

∴弓形的面积为S扇形AOB－S△AOB＝12π－93.

1.弧度制与角度制的区别与联系

(1)区别

①单位不同．弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；

②定义不同．

(2)联系

不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．

2.角度制与弧度制换算时应注意的问题

(1)弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可．

(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应该把它理解为名数，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．

(3) 用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝π4弧度，不必写成45°≈0.785弧度．

(4)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．

(5)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋π4，k∈Z，都不正确.

1．2145°转化为弧度数为( )

A.163 B.322 C.16π3 D.143π12

答案 D

解析 2145°＝2015×π180 rad＝143π12 rad.

2．α＝－2 rad，则α的终边在( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案 C

解析 ∵1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．

3．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．

答案 π5，π3，7π15

解析 A∶B∶C＝3∶5∶7，

则A占总度数的33＋5＋7＝15；

B占总度数的53＋5＋7＝13；

C占总度数的73＋5＋7＝715.

三角形的内角和为π，则A为π5，B为π3，C为7π15.

4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．

答案  α2kπ＋π2

解析 若角α的终边落在第二象限，则