大学物理第6章真空中的静电场课后习题与答案
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专业知识 整理分享 第6章真空中的静电场习题及答案
1.电荷为q和2q的两个点电荷分别置于x1m和x1m处。一试验电荷置于x轴上何
处，它受到的合力等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 q位于点电荷 0
q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以
2qqqq 00 22
4(x1)4(x1)
ππ 00
故x322
2.电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放
一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都
为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解：(1)以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q为负电荷，所以
2 4 1
π
0 q
a 2
2 cos30
4 1
π
0
( q
3
3 q
a
2 )
3
故qq
3
(2)与三角形边长无关。
3.如图所示，半径为R、电荷线密度为
1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电
荷线密度为2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dqdl
1，dq在带电圆环轴
线上x处产生的场强大小为
dE
4 dq
2
0(xR
y 2 )
根据电荷分布的对称性知，yE0
E z
dEdEcos x
4 1xdq 1 R
3 22 2 O
(xR)
0 2
x l
式中：为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。
E x
4 x
22
0(xR) 3
2 dq z
x2 1 R R 1 x
4x2R 2
0() 3 2 2xR 2 ( 0 2 ) 3 2 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dqdx 2，dq受到的电场力大小为
Rx12
dFxdx
Edq 3 2 22 2
(xR)0
方向沿x轴正方向。
直线段受到的电场力大小为
Rlx12
Fdx
dF 3 2 02 22 0xR)
(
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专业知识 整理分享 1R11 2 1/22
R22
lR 0
方向沿x轴正方向。
4.一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为。求：
（1）圆心处O点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O点场强。
解：（1）在半圆环上取dqdlRd，它在O点产生场强大小为
dq dEd 2 4 π 4R πR 00 ，方向沿半径向外
根据电荷分布的对称性知，E0 y
dE xdEsinsin
4πR 0 d
E x sind
042π π R 0 0 R
故 EEx 2 π 0 R ，方向沿x轴正向。
（2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
5．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上距杆的
一端距离为d的P点的电场强度。
q
解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dqdxdx，dq在P点产生的场强大小为
L
dqdx
dE，方向沿x轴负方向。 22 40x4x 0
故P点场强大小为
EdE P
q d
d L
4 dx
x 0
2
x
L qP
O
d
4 dd 0 L
方向沿x轴负方向。
6.一半径为R的均匀带电半球面，其电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。
解：建立图示坐标系。将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。 2 在半球面上取宽度为dl的细圆环，其带电量dqdS2rdl2Rsind ，dq在O
点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
xdq
dE，方向沿x轴负方向 3 22 2 40(xr) x WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 利用几何关系，xRcos，rRsin统一积分变量，得
xdq
dE 22 40(xr) 3
2 r dl
4 1Rcos2 2R 3 R 0 sind O
R
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专业知识 整理分享 20 sincosd
因为所有的细圆环在在O点产生的场强方向均沿为x轴负方向，所以球心处电场强度的大小为
/2
EdEsincosd 0
2040
方向沿x轴负方向。
7.一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为，如
图所示。试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强。
解：应用补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为R的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整
的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为的半径为R的带电圆盘，由场强叠加原理知，
P点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的矢量和。
“无限大”带电平面在P点产生的场强大小为
σ
E，方向沿x轴正方向 1 2 0
半径为R、电荷面密度的圆盘在P点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上
的场强公式）
x
E(1) 2 22 2 0 Rx
故P点的场强大小为 ，方向沿x轴负方向
R
P
Ox
xx
E E 1 E 2 2 2Rx 0 2
方向沿x轴正方向。
8.(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的
电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场
强度通量是多少?
解：（1）由高斯定理 E s dS q 求解。立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通
0
量相等，所以通过各面电通量为
q e 6 0
（2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则
q
通过边长2a的正方形各面的电通量 e 6 0
对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则 q e，如果它包含q所在顶点，
24 0
则0
e。
9.两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为
1和2，试求空间各处场强。 WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 解：如图所示，电荷面密度为1的平面产生的场强大小为
1 E，方向垂直于该平面指向外侧
2 0 1 E 1 2
电荷面密度为2的平面产生的场强大小为 E 2
3WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 2 E，方向垂直于该平面指向外侧
2 0
由场强叠加原理得
1
两面之间，E()，方向垂直于平面向右
E1E 212 2 0
1
1面左侧，E1E()，方向垂直于平面向左
E 212 2 0
1
2面右侧，EE1E()，方向垂直于平面向右 212 2 0
4.如图所示，一球壳体的内外半径分别为 R和 1 R，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度 2
为（0）。试求各区域的电场强度分布。
解：电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理 E S 1 dSq
0 i 得
21 E4rq i 0
当 rR时，q0，所以 1i
E0
当 44 3 3R
R1rR时，) qi(r，所以 2 1 33
3 (rR 1 E 2 3r 0 3 )
当 44 33 rR时，2R)
qi，所以 (R 21 33
E (R
3 2 3
r 0 R 1 2 3 )
5.有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为 R和R2（R2R1），若大球面的面电荷密 1
度为，且大球面外的电场强度为零。求：（1）小球面上的面电荷密度；（2）大球面内各点的电场
强度。
解:（1）电场具有球对称分布，以r为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理 E S 1
dSq
0 i
得
21 E4rq WORD格式可编辑
专业知识 整理分享 i 0
当 22
r时，E0，440
Ri，所以
qR2R 21
（ R
R
2)
1 2
（2）当 rR时，q0，所以 1i
E0
当 R1rR时， 2 22 qi4R14R，所以 2
E（ R
r 2) 2
0
4
