大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案
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⼤学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案
第6章 真空中的静电场 习题及答案1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。⼀试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合⼒等于零？
解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑⼒的⼤⼩及⽅向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合⼒才可能为0，所以
2
00
2
00
)
1(π4)
1(π42-=
+x qq x qq εε
故 223+=x2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三⾓形的三个顶点。试问：(1)在这三⾓形的中⼼放⼀个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑⼒之和都为零)?(2)这种平衡与三⾓形的边长有⽆关系?
解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由⼒平衡知，q '为负电荷，所以
2
2
20)
33(
π4130cos π41
2
a q q a
q
'=
εε
故 q q 33-='
(2)与三⾓形边长⽆关。
3. 如图所⽰，半径为R 、电荷线密度为1λ的⼀个均匀带电圆环，在其轴线上放⼀长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的⼀端处于圆环中⼼处。求该直线段受到的电场⼒。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产⽣的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产⽣的场强⼤⼩为
)
(42
2
0R x dq dE +=
πε
根据电荷分布的对称性知，0==z y E E
2
3
2
2
)
(41 cos R x xdq dE dE x +=
=πε
θ
式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹⾓。+=
2
32
2
0)
(4dq R x x
E x πε
2
32
2
10
)(24R x R x +?=
πλπε
2
32201)(2R x x
R
+=
ελ
下⾯求直线段受到的电场⼒。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场⼒⼤⼩为dq E dF x =dx R x x
R 2
3
2
2
21)
(2+=
ελλ
⽅向沿x 轴正⽅向。
直线段受到的电场⼒⼤⼩为=dF F dx R x x R
l
+=
2
32
2
21)
(ελλ2
()??
+-=
2
/12
2
2111
R
l R R
ελλ2
⽅向沿x 轴正⽅向。4. ⼀个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆⼼处O 点的场强；
（2）将此带电半圆环弯成⼀个整圆后，圆⼼处O 点场强。 解：（1）在半圆环上取?λλRd l dq ==d ，它在O 点产⽣场强⼤⼩为2
0π4R
dq dE ε=
ελ
d R
0π4=
，⽅向沿半径向外
根据电荷分布的对称性知，0=y E
ελ
d R
dE dE x sin π4sin 0=
=
R
d R
E x 000
π2sin π4ελ
ελ
π
=
=
故 RE E x 0π2ελ
=
=，⽅向沿x 轴正向。
（2）当将此带电半圆环弯成⼀个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆⼼处电场强度为零。 5．如图所⽰，真空中⼀长为L的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的⼀端距离为d 的P 点的电场强度。解：建⽴图⽰坐标系。在均匀带电细直杆上取dx Lq dx dq =
=λ，dq 在P 点产⽣的场强⼤⼩为
2
02
044x
dx
x
dq dE πελπε=
=
，⽅向沿x 轴负⽅向。
故 P 点场强⼤⼩为 ?+=
=L
d d
P x
dx
dE E 2
04πελ
()
L d d q
+π=
04ε
⽅向沿x 轴负⽅向。6. ⼀半径为R 的均匀带电半球⾯，其电荷⾯密度为σ，求球⼼处电场强度的⼤⼩。
解：建⽴图⽰坐标系。将均匀带电半球⾯看成许多均匀带电细圆环，应⽤场强叠加原理求解。 在半球⾯上取宽度为dl 的细圆环，其带电量rdl dS dq πσσ2?=?=θθπσd R sin 22=， dq 在O 点产⽣场强⼤⼩为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）
2
3
2
20)(4r x xdq
dE +=πε ，⽅向沿x 轴负⽅向 利⽤⼏何关系，θcos R x =，θsin R r =统⼀积分变量，得
2
3
220)(4r x xdq
dE +=πε θθπσθπεd R R
R sin 2cos 412
30?=L
θθθεσ
d cos sin 20
=
因为所有的细圆环在在O 点产⽣的场强⽅向均沿为x 轴负⽅向，所以球⼼处电场强度的⼤⼩为=
dE E θθθεσ
πd cos sin 22
/0
=
4εσ
=
⽅向沿x 轴负⽅向。7. ⼀“⽆限⼤”平⾯，中部有⼀半径为R 的圆孔，设平⾯上均匀带电，电荷⾯密度为σ，如图所⽰。试求通过⼩孔中⼼O 并与平⾯垂直的直线上各点的场强。解：应⽤补偿法和场强叠加原理求解。
若把半径为R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠⽽成，挖去圆孔的带电平⾯等效为⼀个完整的“⽆限⼤”带电平⾯和⼀个电荷⾯密度为σσ-='的半径为R 的带电圆盘，由场强叠加原理知，P 点的场强等效于“⽆限⼤”带电平⾯和带电圆盘在该处产⽣的场强的⽮量和。“⽆限⼤”带电平⾯在P 点产⽣的场强⼤⼩为
12εσ=
E ，⽅向沿x 轴正⽅向
半径为R 、电荷⾯密度σσ-='的圆盘在P 点产⽣的场强⼤⼩为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）022εσ
=E )1(22x
R x +-，⽅向沿x 轴负⽅向 故 P 点的场强⼤⼩为 2
20212x
R x E E E +=
-=εσ ⽅向沿x 轴正⽅向。
8. (1)点电荷q 位于⼀边长为a 的⽴⽅体中⼼，试求在该点电荷电场中穿过⽴⽅体的⼀个⾯的电场强度通量；(2)如果该场源点电荷移动到该⽴⽅体的⼀个顶点上，这时穿过⽴⽅体各⾯的电场强度通量是多少?
解：（1）由⾼斯定理0d εq
S E s
= 求解。⽴⽅体六个⾯，当q 在⽴⽅体中⼼时，每个⾯上电通
量相等，所以通过各⾯电通量为6εq e =
Φ
（2）电荷在顶点时，将⽴⽅体延伸为边长a 2的⽴⽅体，使q 处于边长a 2的⽴⽅体中⼼，则通过边长a 2的正⽅形各⾯的电通量06εq e =
Φ
对于边长a 的正⽅形，如果它不包含q 所在的顶点，则024εq e =Φ，如果它包含q 所在顶点，
则0=Φe 。9. 两个⽆限⼤的平⾏平⾯都均匀带电，电荷的⾯密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场强。 解：如图所⽰，电荷⾯密度为1σ的平⾯产⽣的场强⼤⼩为12εσ=E ，⽅向垂直于该平⾯指向外侧
电荷⾯密度为2σ的平⾯产⽣的场强⼤⼩为2σ
1σ
22εσ=
E ，⽅向垂直于该平⾯指向外侧
由场强叠加原理得 两⾯之间，)(2121021σσε-=
-=E E E ，⽅向垂直于平⾯向右 1σ⾯左侧，)(2121021σσε+=+=E E E ，⽅向垂直于平⾯向左 2σ⾯右侧，)(21210
21σσε+=
+=E E E ，⽅向垂直于平⾯向右
10. 如图所⽰，⼀球壳体的内外半径分别为1R 和2R ，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为ρ（0>ρ）。试求各区域的电场强度分布。
解：电场具有球对称分布，以r 为半径作同⼼球⾯为⾼斯⾯。由⾼斯定理∑?=i
S
q
S d E 0
1
ε 得
i q r E ∑=
0
21
4επ
当1R r
当21R r R <
(3
13
R r q i ππρ-
=∑，所以
2
03
133)
(r R r E ερ-=
当2R r >时，)343
4(3
13
2R R q i ππρ-
=∑，所以
2
03
13
23)
(r
R R E ερ-=
11. 有两个均匀带电的同⼼带电球⾯，半径分别为1R 和2R （12R R >），若⼤球⾯的⾯电荷密度为σ，且⼤球⾯外的电场强度为零。求：（1）⼩球⾯上的⾯电荷密度；（2）⼤球⾯内各点的电场强度。解:（1）电场具有球对称分布，以r 为半径作同⼼球⾯为⾼斯⾯。由⾼斯定理∑?=i
S
q
S d E 0
1
ε 得
i q r
E ∑=
0
2
1
4επ
当2R r >时，0=E ，044212
2=?'+?=∑R R q i πσπσ，所以
σσ2
1
2)R R （
-='
（2）当1R r
当21R r R <
2
2)
εσr R E （
-=
负号表⽰场强⽅向沿径向指向球⼼。12. ⼀厚度为d 的⽆限⼤的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为ρ，求板内外的场强。
解：电场分布具有⾯对称性，取同轴闭合圆柱⾯为⾼斯⾯，圆柱⾯与平板垂直，设两底⾯圆到
平板中⼼的距离均为x ，底⾯圆的⾯积为S ?。由⾼斯定理∑?=i
S
q
S d E 0
