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广东工业大学试卷用纸，共2页，第1页广东工业大学考试试卷（B ）考试时间：2020年1月4日（第18周星期五）一.填空题：（每小题4分，共20分）1 .极限 lim? =2 .曲线y = 21nx + ；i 的拐点坐标为4 .反常积分「72公=5 .微分方程/满足y x二.选择题：（每小题4分，共20分）f sint 2dt2.函数y = xsinx + cosx （0 W x W 4）的单调递减区间是（(A) 3 ：（B ）；：(C) 2：(D)- 2(A) 0,?(C) (D)7t 2课程名称:等数学A （1） 试卷满分100分1 -COSX3.若函数/«=仄7_1r 0 ''在x = 0处连续，则”x = 0)o3.「吧叫& = :( )oJ1 X(A) --1：[B) — + 1 ；(C)-；(D) 12 2 24.曲线），=:—渐近线的条数为（)o厂-1(A) 0：（B） 1：（C） 2：(D) 35.设函数/w在（-8,+ 8）上可微，且= 则函数y = /（/'（x））在x = 0处的微分 "丁3=（）。
（A）2dx：（B）-2dx ；（C）4dx ：（D）-4dx三.计算题：（共37分）1.（7分）函数y = y（x）由参数方程= 确定，求二。
y = 2cosZ dx1（2 + 3 吓2.（7分）求极限：lim -- 0 T 33.（7分）求不定积分：f tan \ dx.J 1 + cosr4.（8分）求圆,d+y2—2）, = o绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积。
5.（8分）求微分方程〉，"-2y'-3y = Yx"的通解。
四 .（8分）求介于x = 0和x = l之间的由两条曲线G :/=），，。
2：/=4¥（0<〃<1）所困成的图形面积的最小值。
五.（7 分）证明：当x 2 0时，arctan^f + x > lii（x + Vl + x2） o六.（8分）已知函数/⑴在L㈤上连续，在（a,力内可导，且/（〃）=劝，/（切="，其中尤为不等于0的常数，证明：（1）存在ge（a,b）,使得了《） =有;（2）存在两个不同的点小4 使得（0）・/'（4）=矛。
收敛收敛收敛 =-==∞→+=121211)(D. C. 3B. 0lim A.n n n n n n nn n u uuu u{81 D. 61 C. 41 B. 21 A.)(d }20,10,10),,( 4 则，设、=≤≤≤≤≤≤=Ω⎰⎰⎰Ωv xy z y x z y xnn n n n n n n n n n n n nn n n n n x x x x x f x xx f x x )1(3)1( D. )1(3)1( C. )1(4)1( B. )1(4)1( A. )()(131)()1(11 50100100--------=-+=-=+∑∑∑∑∑∞=+∞=∞=+∞=∞=的幂级数为展开成，则已知、三、计算题 (共5题，每题8分，共40分)方程处的切平面方程与法线，，在点求曲面、)1 2 1(1123 1222P z z y x +=++,d 122222222≥≤++Ω++=⎰⎰⎰Ωz a z y x v z y x I 为上半球体其中，分利用球面坐标求三重积、的线段，，与点，，为连接点其中，求曲线积分、)3 5 2()1 2 3( d )( 3B A L s z y x I L⎰+-=装的收敛半径及收敛域求幂级数、∑∞=14 4n nn x n订的通解求微分方程、y y x '='' 5线四、综合题 (共3题，每题10分，共30分)的极值求函数、23),( 133++-=xy y x y x f取顺时针方向是圆其中，分利用格林公式求曲线积、,4d )31e (d )31e ( 22233=+++-=⎰y x C y x x y y I x C x的通解、求微分方程123-='+''x y y2019—2020学年第二学期期末考试 《高等数学(A)Ⅱ》答案及评分标准一、填空题(每题3分，共15分)11、 ；收敛、 2；213、；44、；)(e 5C x y x +=、二、选择题(每题3分，共15分) D 1、；A 2、；C 3、；A 4、；B 5、 三、计算题(每题 8分，共40分)1123),,( 1222--++=z z y x z y x F 令解：、1246-='='='z F y F x F z y x ，，则 ，}1,8,6{=⇒n023860)1()2(8)1(6=-++=-+-+-z y x z y x ，即故切平面方程为118261-=-=-z y x 法线方程为⎰⎰⎰=aI 022 0 d sin d d 2ρϕρϕθππ、解：⎰⎰=222 0d sin 21d ππϕϕθa ⎰=πϕ2 02d 21a 2a π= 3、}2 3 1{，，解： -==AB s ， 线段AB 的方程为213213-=-=--z y x ，即参数方程)10(21 323≤≤⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t t z t y t x ， 2,3,1='='-='⇒z y x t t ， 故原式⎰-=1d 14)22(t t 102)2(14t t -=14=414lim /4)1/(4lim 41=+=+=∞→+∞→n n nn n n n n ρ 、解： ，41=∴R 时当41-=x ， 收敛级数∑∞=-1)1(n n n ，时当41=x ，发散级数∑∞=11n n，)41,41[-故收敛域为 )( 5x p y ='令解：、，则原方程化为x xp p d 1d 1= ⎰⎰=⇒x xp pd 1d 1，1ln ln ln C x p +=故，x C y x C p 11='=⇒，即 故所求通解为22112d C x Cx x C y +==⎰四、综合题 (每题10分，共30分)1、解：x y f y x f y x 33 3322+-='+='，，解⎩⎨⎧=+-=+03303322x y y x 得)1 1( )0 0(-，，， 又y f f x f yy xy xx 6 3 6-=''=''=''，， ， 在点)0 0(，处，092>=-=∆AC B ，不取极值在点)1 1(-，处，060272>=<-=-=∆A AC B 且，取极小值，极小值为1)1 1(=-，f 3331e 31e 2x Q y y P x x +=-=，令解：、，则22e e x x Q y y P x x +=∂∂-=∂∂， ⎰⎰+-=⇒Dy x y x I d d )(22r r d d 232 0 ⎰⎰-=πθ⎰-=πθ2 04d π8-=0 32=+r r 特征方程为、解：，1 0 21-==⇒r r 、，x C C Y -+=e 21故齐次方程的通解为)(*b ax x y +=设特解，1222 *-=++x b a ax y 代入原方程得把⎩⎨⎧-=+=⇒1222b a a 3 1-==⇒b a 、，x x y 3*2-=⇒x x C C y x 3e 221-++=-故通解为。
广东省广州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()e 1n +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），n m s =,若任取(),a b A∈，则满足1ab >的概率是( )A ．2e B．1e C ．e 2e - D ．e 1e- 【答案】C【解析】由题意得，n s e =，则m e =，即0a e <<，01b <<，如图所示，作曲线()101a b b=<<，交直线1,b a e ==于点()11A ，，1,B e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则满足事件1ab >的实验区域为曲边形ABC ，其面积为111112e S e dx e e x ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭⎰，所以所求概率为221e e P e e --==⨯，故选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）A ．3，5B ．4，7C ．5，9D ．6，11【答案】C【解析】 执行第一次循环后，11s =+，2,3i k ==，执行第二次循环后，112316s =+++<，3,5i k ==，执行第三次循环后，11233516s =+++++<，4,7i k ==，执行第四次循环后1123354716s =+++++++>，此时5,9i k ==，不再执行循环体，故选C .点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．3B ．-6C ．10D ．12【答案】C【解析】 试题分析：当时，为奇数，，； 当时，为偶数，，； 当时，为奇数，，； 当时，为偶数，，； 当时，输出． 考点：程序框图．4．一个正方形花圃，被分为5份A 、B 、C 、D 、E ，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）．A ．24 种B ．48 种C ．84 种D ．96种【答案】D【解析】【分析】区域A 、C 、D 两两相邻，共有34A 24=种不同的种植方法，讨论区域E 与区域A 种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果.【详解】区域A 、C 、D 两两相邻，共有34A 24=种不同的种植方法，当区域E 与区域A 种植相同颜色的花时，种植B 、E 有122⨯=种不同的种植方法，当区域E 与区域A 种植不同颜色的花时，种植B 、E 有212⨯=种不同的种植方法，∴不同的种植方法有()34A 2296⨯+=种， 故选D【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与分析、运算及求解能力，属于中档题． 5．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5B ．5C ．13D ．13【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i -=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅-Q 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,13.2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 【答案】D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差7．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数；A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【答案】C【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①．故选C ．点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．8．由曲线2y x = ，3y x =围成的封闭图形的面积为（ ）A ．13B ．14C ．112D ．712【答案】C【解析】围成的封闭图形的面积为13423100111()()343412x x x x dx -=-=-=⎰，选C. 9．的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A ．-55B ．-61C ．-63D ．-73 【答案】D【解析】【分析】令得到所有系数和，再计算常数项为9，相减得到答案.【详解】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选D.【点睛】 本题考查了二项式系数和，常数项的计算，属于常考题型.10．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．直线D ．线段【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义知，复数z 对应的动点P 到,i i -对应的定点12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为定值2，且12||2F F =，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数z ，,i i -对应的点分别为12,,P F F , 则由2z i z i ++-=知：12||||2PF PF +=,又12||2F F =，所以动点P 的轨迹为线段1F F .故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.11．下列命题正确的是（ ）A ．进制转换：()()210110113=B ．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C ．“若1x =，则方程20x x -=”的逆命题为真命题D ．若命题p ：0x ∀>，10x ->，则p ⌝：00x ∃≤，010x -≤【答案】A【解析】【分析】根据进制的转化可判断A ，由中位数的概念可判断B ，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【详解】A .()0123211011202121214813=⨯+⨯+⨯+⨯=++=,故正确.B. 样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C . “若1x =，则方程20x x -=”的逆命题为: “方程20x x -=,则1x =”，为假命题，故不正确.D. 若命题p ：0x ∀>，10x ->.则p ⌝：00x ∃>，010x -≤，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.12．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【答案】C【解析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有214530C C =种；快译通1台和录音机2台，取法有124540C C =种， 根据分类计数原理知共有304070+=种.故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24【解析】【分析】由972S =可得148a d +=，然后根据等差数列的通项公式可得249a a a ++13(4)a d =+24=，即为所求．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则191919()9(28)9(4)7222a a a d S a d ++===+=， ∴148a d +=．∴2491111()(3)(8)3(4)24a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=．故答案为1．【点睛】本题考查等差数列中基本量的运算，解题的关键在于将问题转化为1a 和d 进行处理，属于基础题．14．复数的共轭复数为__________． 【答案】【解析】试题分析：：，则共轭复数为， 考点：复数代数形式的乘除运算． 15．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =U ð_______． 【答案】{}4【解析】由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B =U ，则(){}4U C A B ⋃=，故答案为{}4.16．计算123452!3!4!5!6!++++=____． 【答案】719720； 【解析】【分析】根据阶乘的定义：!(1)(2)1n n n n =--L ，计算得到答案.【详解】123452!3!4!5!6!++++ 1234521321432154321654321=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111123830144=++++ 719720=. 【点睛】本题考查阶乘的计算，考查基本的运算求解能力，要求计算过程耐心、细心，才不会出错.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知曲线()()1x f x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3x g x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】 (Ⅰ)1,3a b e ==；(Ⅱ)0e m -<<【解析】【分析】（Ⅰ）利切点()()1,1f 为曲线()y f x =和直线y bx e =-的公共点，得出()1f b e =-，并结合()1f b '=列方程组求出实数a 、b 的值；（Ⅱ）解法1：由()0g x =，得出()2x m e x =-，将问题转化为直线y m =与曲线()u x =()2x e x -的图象有两个交点时，求出实数m 的取值范围，然后利用导数研究函数()u x =()2x e x -的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m 的取值范围；解法2：利用导数得出函数()y g x =的极小值为()1g ，并利用极限思想得出当x →-∞时，()g x m →-，结合题意得出()100g m ⎧<⎨->⎩，从而得出实数m 的取值范围．【详解】 （Ⅰ）()()1x f x e ax =+，()()()'11x x x f x e ax e a e ax a =++⋅=++，()()()()12111f e a b f e a b e ⎧=⋅+=⎪∴⎨=⋅+=-'⎪⎩1,3a b e ∴==； （Ⅱ）解法1：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，函数()()2x g x e x m =--有两个零点，相当于曲线()()2x u x e x =⋅-与直线y m =有两个交点.()()()'21x x x u x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,u x <()u x ∴在(),1-∞单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0,u x >()u x ∴在()1,+∞单调递增，1x ∴=时，()u x 取得极小值()1u e =-，又x →+∞时，()u x →+∞；2x <时，()0u x <，0e m ∴-<<；解法2：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，()()()'21x x x g x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,g x <()g x ∴在(),1-∞上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0,g x >()g x ∴在()1,+∞上单调递增，1x ∴=时，()g x 取得极小值()1g e m =--，又x →-∞时，()g x m →-，()100g m ⎧<⎨->⎩0e m ∴-<<.【点睛】 本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．18．设a R ∈,函数21()2x f x e ax =-,()f x '是函数()f x 的导函数, e 是自然对数的底数. (1)当2a =时,求导函数()f x '的最小值;(2)若不等式()2f x ≥对任意1x ≥恒成立,求实数a 的最大值;(3)若函数()f x 存在极大值与极小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）min ()22ln 2f x =-'（2）24e -（3）(,)e +∞【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为2x e -，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式2122x e a x-≤，再利用导数研究()()221x e h x x x -=≥单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数a 的取值范围，进而得其最大值;（3）函数()f x 存在极大值与极小值，即()f x '存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数()f x '不单调且最小值小于零，即得a e >，再证明a e >时()f x '有且仅有两个零点.详解：解：()xf x e ax '=- （1）当2a =时，()2x f x e x '=-记()()2xg x f x e x ==-' 则()2xg x e '=-，由()0g x '=得ln2x =. 当ln2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减当ln2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增所以当ln2x =时，()min 22ln2g x =-所以()min 22ln2f x =-'（2）由()2f x ≥得2122x e ax -≥，即2122x ax e ≤-因为1x ≥，所以()212*2x e a x-≤. 记()()221x e h x x x -=≥，则()()2422x x e x e x h x x--⨯'= ()324x x e x -+= 记()24x y x e =-+，则()2x x y e x e =+-' ()1x x e =- 因为1x ≥，所以0y '≥且不恒为0所以1x ≥时，y 单调递增，当1x =时，min 40y e =->，所以()()3240x x e h x x '-+=> 所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 12h x h e ==-因为()*对1x ≥恒成立， 所以122a e ≤-，即24a e ≤- 所以实数a 的最大值为24e -（3）记()()x m x f x e ax ==-'，()xm x e a '=- 因为()f x 存在极大值与极小值，所以()f x '，即()m x 存在两个零点，且()m x 在零点的两侧异号. ①当0a ≤时，()0m x '>，()m x 单调递增，此时()m x 不存在两个零点；②当0a >时，由()0m x '=，得ln x a =当ln x a <时，()0m x '<，()m x 单调递减，当ln x a >时，()0m x '>，()m x 单调递增，所以()()min ln m x m a = ln a a a =-所以()m x 存在两个零点的必要条件为：()ln m a ln 0a a a =-<，即a e > 由a e >时， (ⅰ)记1ln ()y a a e a =->，则2110y a a'=--< 所以当a e >时，1ln y a a=-单调递减， 当a e >时，11ln 10a a e -<-<，所以1ln a a <.所以()m x 在1,ln a a ⎛⎫⎪⎝⎭上，有且只有一个零点. 又()m x 在(),ln a -∞上单调，所以()m x 在(),ln a -∞上有且只有一个零点，记为1x ，由()m x 在(),ln a -∞内单调递减，易得当1x x =时，函数()f x 存在极大值 （ⅱ）记ln ()y a a a e =->，则110y a=->' 所以a e >时，ln 10a a e ->->，所以ln a a >由（1）知2a =时，()2xf x e x =-有()min 22ln20f x =->'所以()f x 在R 上单调递增，所以a e >时, ()220aem a e a e e =->->因为()0m a >且()ln 0m a <，()m x 的图像在()ln ,a a 单调且不间断， 所以()m x 在()ln ,a a 上，有且只有一个零点. 又()m x 在()ln ,a +∞上单调所以()m x 在()ln ,a +∞上有且只有一个零点，记为2x ，由()m x 在()ln ,a +∞内单调递增，易得当2x x =时，函数()f x 存在极小值 综上，实数a 的取值范围为(),e +∞.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.19．1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第n 个数为n a .在图2的杨辉三角中，第()2n n ≥行是()1n a b -+展开式的二项式系数01n C -，11n C -，…，11n n C --，记杨辉三角的前．n 行所有数之和．．．．．．为n T .（1）求n a 和n T 的通项公式；（2）当2n ≥时，比较n a 与n T 的大小，并加以证明.【答案】（Ⅰ）2n a n =，21n n T =-（Ⅱ）n n a T <，证明见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）由正方形数的特点知2n a n =，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第n 行n 个数的和，由此能求出n a 和n T 的通项公式；（Ⅱ）由24n ≤≤时，n n a T >，5n ≥时，n n a T <，证明：24n ≤≤时，n n a T >时，可以逐个验证；证明5n ≥时，n n a T <时，可以用数学归纳法证明． 【详解】（Ⅰ）由正方形数的特点可知2n a n =；由二项式定理的性质，杨辉三角第n 行n 个数的和为01111112n n n n n n S C C C -----=++⋅⋅⋅+=，所以21121222n n n T S S S -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+21n =-.（Ⅱ）24a =，22213T =-=，所以22a T >；39a =，33217T =-=，所以33a T >；416a =，442115T =-=，所以44a T >； 525a =，552131T =-=，所以55a T <； 636a =，662163T =-=所以66a T <；猜想：当24n ≤≤时，n n a T >；当5n ≥时，n n a T <. 证明如下： 证法1：当24n ≤≤时，已证.下面用数学归纳法证明：当5n ≥时，n n a T <. ①当5n =时，已证： ②假设()*5,n k k k N =≥∈时，猜想成立，即kk aT <，所以221k k <-；那么，()12121221221121k k k k T k ++=-=⋅-=-+>+()22221211k k k k k =++>++=+，所以，当1n k =+时，猜想也成立． 根据①②，可知当5n ≥时，n n a T <. 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求法，以及数学归纳法不等式的证明，其中解答中要认真审题，注意二项式定理和数学归纳法的合理运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20．从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm ）落在各个小组的频数分布如下表： 数据 分组[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5)频数3 8 9 12 10 5 3（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[)27.5,30.5的概率； （2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布()2,N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 【答案】（1）0.16；（2）22.7；（3）0.1587. 【解析】分析：（1）根据条件得到概率为8P=50；（2）由平均数的概念得到数值；（3）结合第二问得到的均值，以条件中所给的2 22.37S =得到，S=4.73，由()22.7 4.7322.7 4.730.1587P z -<<+=得到结果. 详解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.（2）样本平均数.（3）依题意.而，，则....即为所求.点睛：这个题目考查了平均数的计算，概率的理解，以及正态分布的应用，正态分布是一种较为理想的分布状态，常见的概率()()()-+-2+2-3+3P z P z P z μσμσμσμσμσμσ<<<<<<，，. 21．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）31,2 {(11;2x tt y t=+=+是参数）（2）2【解析】【分析】【详解】（1）直线的参数方程为1cos6{1sin6x ty tππ=+=+，即312{112x ty t=+=+(t为参数)（2）把直线312{112x ty t=+=+代入得22231(1)(1)4,(31)202t t t t+++=++-=122t t=-，则点P到,A B两点的距离之积为222．椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>过点1(3,)2M，且离心率为3．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，过点2(0)P，的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，求OA OB⋅u u u v u u u v的取值范围．【答案】（1）2214xy+=；（2）13[1,)4OA OB⋅∈-u u u v u u u v．【解析】分析：（1）根据题意得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先考虑直线l的斜率不存在时OA OB⋅u u u v u u u v 的值，再考虑当直线l的斜率存在时，OA OB⋅u u u v u u u v的范围，最后综合得到OA OB⋅u u u v u u u v的范围.详解：（1）由题得22222221214, 1.b c a b a a b c =⎪⎪=∴==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩（）所以椭圆的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，()()0,1,0,1A B -，所以1OA OB ⋅=-u u u v u u u v． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx C x y D x y =+，222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()221416120k x kx +++=， 由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u v u u u v ()()21212217124114k x x k x x k=++++=-++， 所以1314OA OB u u u v u u u v -<⋅<，综上131,4OA OB ⎡⎫⋅∈-⎪⎢⎣⎭u u u v u u u v ．点睛：（1）本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力基本计算能力.(2)设直线的方程时，如果涉及斜率，一定要分斜率存在和不存在两种情况讨论，所以本题要先讨论当直线l 的斜率不存在时OA OB ⋅u u u v u u u v的值.。
学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 肖劲森 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ---------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）19. 求函数在给定区间上的最大值与最小值2824+-=x x y ，[1,3]x ∈-；20. 求)1ln()(x x x f +-=的极值。
20*. 求极限2x 01ln(1x)lim[]x x→+-．四. 计算题（二）(每小题6分，总分18分)21．圆柱体内接于半径为R 的球，试求体积为最大的圆柱体的高。
22．作一底为正方形，容积为1082m 的无盖长方体容器，怎样做用料最省？23．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？五．证明题（每小题6分， 共12分）24. 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()bf b af a f f b a ξξξ-'=+-．班级（学生填写）： 姓名： 学号： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）24*.设0a b <<函数()f x 在[,]a b 上连续，在内(,)a b 可导，证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-．25．证明 当x x xxx <+<+>)1ln(10时，26证明方程32432++=++ax bx cx a b c 在(0,1)内至少有一个实根．六．应用题（二题选一题，每小题5分， 共5分）27．假设某工厂生产某产品x 千件的成本是x x x x c 156)(23+-=,售出该产品x 千件的收入是()9r x x =，问是否存在一个能取得最大利润的生产水平？如果存在的话，找出这个生产水平.28．要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？班级（学生填写）： 姓名： 学号： --------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封--------------------------- 线 ------------------------------------------------ （答题不能超出密封线）科目: 高等数学第三章 单元测试题答案一．单项选择题 1．选（B ）0)(<'x f 则有)(x f 单调减少。
贵州大学2019-2020学年度第二学期考试试卷(B)答案高等数学1-2一、选择题（每小题3分，共12分）1、B2、B3、D4、B二、填空题（每小题3分，共24分）1、232z yz x e xy z --+ 23、⎰⎰-+21110),(y y dx y x f dy 4、20π 5、6 6、12(1)(1)n n n n n ∞=+-+∑ 7、11(,]33- 8、2(1)y C x =+三、计算题（共64分）1、求函数322(,)336f x y x xy x y =+--的极值，并判断是极大值还是极小值.（7分）解：由223(1)06(2)0x y f x y f y x ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩ 解得驻点 ()1,0，()1,0-… …… …… …… …… …2分再由A x f xx ==6,B y f xy ==6，6(2)yy f x C =-=，…………………………..3分 在()1,0处，6,0,6A B C ===-,由于02<-B AC , 函数没有极值……………….4分 在()1,0-处，6,0,18A B C =-==-,由于02>-B AC 且0A <，函数有极大值， 极大值为(1,0) 2.f -=…………………………………………………….7分2、设函数2(,)z f x y x y =+，其中),(v u f 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,.（7分） 解：令2,u x y v x y ==+，则2u xy x ∂=∂，2u x y ∂=∂，1=∂∂x v ，1=∂∂y v ……………… 2分 记''12,u v f f f f ==，''12z u v f f x x x∂∂∂=+∂∂∂''122xyf f =+…………………………………3分 =∂∂∂y x z 2'12xf '12f xy y ∂+∂'2f y∂+∂……………………………………… ………………….4分='12xf ''''11122()u v xy f f y y∂∂++∂∂''''2122()u v f f y y ∂∂++∂∂…………………………………….5分 ='12xf 2''''11122()xy x f f ++2''''2122()x f f ++ ………………………………….6分='12xf 3''2''11122(2)x yf xy x f +++''22f +……………………………………..7分3、计算二重积分2DI x ydxdy =⎰⎰，其中其中22{(,)1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥.（7分） 解法1：利用极坐标计算，令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，对应的区域:D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤1020r πθ…………….2分 I ⎰⎰=Ddrd rr r θθθsin cos 22…………………………………………………..4分⎰⎰=201042sin cos πθθθdr r d …………………………………………………..6分 1515131=⨯=………………………………………………………… …… 7分 解法2：利用直角坐标计算，对应的区域:D 20101x y x≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩…………………….2分 I 211200x dx ydy -=⎰……………………………………………………..4分12201(1)2x x dx =-⎰……………………………………………………..6分 1111().23515=⨯-= ………… ……………………………………… 7分4、计算曲线积分2232(3822)(812)yL I x y xy y dx x x y ye dy =+-++++⎰，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周22y x x =-.（8分） 解：如图添加曲线段OA ：20:,0→=x y ，AO 与围成区域D ………….2分 由于2Q P x y∂∂-=∂∂……….4分 利用格林公式计算曲线积分，()L OA OAI Pdx Qdy +=-+⎰⎰ 第4题图形()OA D Q P dxdy Pdx Qdy x y∂∂=--+∂∂⎰⎰⎰ 20222||4 4.D dxdy dx D π=-=-=-⎰⎰⎰…………………………..8分5、计算曲面积分333(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=+++⎰⎰，其中为上半锥面22z x y =+与上半球面221z x y =--围成立体的整个边界曲面的外侧. （7分）解: 2223()P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂.……………………………………2分 由Guass 公式，有2223()I x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰……………………………………4分 212240003sin d d d ππθϕρρϕρ=⎰⎰⎰……………………………………6分 62(1).52π=-……………………………………7分6、将函数431)(2-+=x x x f 展出2x -的幂级数，并写出可展区间.（8分） 解：211111()()34(4)(1)514f x x x x x x x ===-+-+--+…………………………..2分 1111111[][]251(2)6(2)51(2)616x x x x =-=⋅-⋅-+-+-+-+……………4分 0112(1)[(2)()]566n n n n x x ∞=-=---∑ 2(21,1)6x x --<<……….6分 1011(1)(1)(2)56n n n n x ∞+==---∑………………………………………….7分 由221,16x x --<< ，得可展区间为()1,3…………………………….8分7、求微分方程3(1)2(1)dy x y x dx+-=+ 满足初始条件(1)0y =的特解. （7分）解：原方程化为22(1)1dy y x dx x -=++，为一阶线性微分方程. ………….2分 通解为：22211[(1)]dx dx x x y e x e dx C -++⎰⎰=++⎰………………………….4分22(1)()(1)().x dx C x x C =++=++⎰……………………………………………….6分又(1)0y =，所以 1.C =-所求特解为：2(1)(1).y x x =+-………………………………….7分8、求微分方程''2'3xy y y e -+=的通解. （8分）解：先求齐次方程''2'0y y y -+=的通解.特征方程为2210r r -+=，解得1,21r =.……………………………….2分所以齐次方程的通解为12()().x Y x e C x C =+……………………………….4分 因为1λ=是二重根，所以设原方程的特解为2*().x xy Q x e ax e ==……….6分 2()Q x ax =代入方程''() 3.Q x = 解得3.2a =所以特解为23*.2x y x e =……………………………….7分 所以原方程的通解为2123().2x y e x C x C =++…………………….8分四、设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，其中f 为连续函数，求)(x f .（5分）解：因⎰⎰+-=x xdt t tf dt t f xx x f 00)()(sin )(，令0=x ，得0)0(=f 且)()()(cos )(0x xf x xf dt t f x x f x +--='⎰⎰-=xt f x 0)(cos ，……………………..1分 令0=x ，得1)0(='f且有)(sin )(x f x x f --=''，即''()()sin f x f x x +=-，…………………..2分上述微分方程对应的齐次方程的特征方程有根i r ±=2,1，而自由项为)sin cos 0(0x x e x -，i iw =+λ是特征方程的根，故令特解为*()(cos sin )f x x a x b x =+，带入微分方程并比较系数得0,21==b a ，即*1()cos 2f x x x =. 于是通解为121()cos sin cos 2f x c x c x x x =++，…………………………………..4分 且1211'()sin cos cos sin 22f x c x c x x x x =-++- 再由条件(0)0,'(0)1f f ==，可得21,021==c c ， 故x x x x f cos 21sin 21)(+=……………………………………………………………….5分。
