环向应变计算衬砌轴力和弯矩公式

有压隧洞多采用圆形断面，内水压力常是控制衬砌断面的主要荷载。

为了充分利用围岩的弹性抗力，围岩厚度应超过三倍开挖洞径，并使衬砌与围岩紧密贴结。

欲求衬砌在某种荷载组合下的内力，只需分别计算出各种荷载单独存在时衬砌的内力，然后进行叠加。

1、均匀内水压力作用下的内力计算当围岩厚度大于3倍开挖洞径时，应考虑围岩的弹性抗力，将衬砌视为无限弹性介质中的厚壁圆管，根据衬砌和围岩接触面的径向变位相容条件，求出以内水压力p 所表示的弹性抗力P 0，而后按轴对称受力的弹性理论厚壁管公式计算衬砌的内力。

如图1所示，在内水压力p 和弹性抗力p 0作用下，按弹性理论平面变形情况，求得厚壁管管壁任意半径r 处的径向变位u 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--+-+=0222221)21()(1)()21()1(p t t r r p t r r E r u e e μμμ (1) 取r=r e ，得衬砌外缘的径向变位u e 为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+-+=02221)21(111)21()1(p t t p t Er u e e μμμ (2) 式中 E ——衬砌材料的弹性模量；μ——衬砌材料的泊松比；t ——衬砌外半径与内半径之比，t=r e /r i 。

图1 衬砌在均匀内水压力作用下的应力计算图当开挖的洞壁作用有p 0时，按文克尔假定，洞壁的径向变位y=p 0/K=p 0r e /100K 0，此处，K 为岩石的弹性抗力系数，K 0为单位弹性抗力系数。

根据变形相容条件，y=u e ，整理后可得围岩的弹性抗力为p At Ap --=201 (3))21)(1()1(00μμμ-+++-=K E K E A (4)A 为弹性特征因素，式中的E 、K 0分别的kPa 和kN/m 3计；若以kg/cm 2和kg/cm 3为单位，则需将式中的E 改为0.01E 。

按弹性理论的解答，厚壁管在均匀内水压力p 和弹性抗力p 0作用下，管壁厚度内任意半径r 处的切向正应力σt 为0222221)(1)(1p t r r t p t r r e e t -+--+=σ (5) 分别令r =r i 及r =r e ，即可得到单层衬砌在均匀内水压力p 作用下内边缘切向拉应力σi和外边缘切向拉应力σe 为p At A t i -+=22σ (6)p At Ae -+=21σ (7) 因为t ＞1，显然σi ＞σe 。

材料⼒学的基本计算公式-材料⼒学弯曲公式材料⼒学的基本计算公式外⼒偶矩计算公式（P功率，n转速）1.弯矩、剪⼒和荷载集度之间的关系式2.轴向拉压杆横截⾯上正应⼒的计算公式（杆件横截⾯轴⼒F N，横截⾯⾯积A，拉应⼒为正）3.轴向拉压杆斜截⾯上的正应⼒与切应⼒计算公式（夹⾓a 从x轴正⽅向逆时针转⾄外法线的⽅位⾓为正）4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）5.纵向线应变和横向线应变6.泊松⽐7.胡克定律8.受多个⼒作⽤的杆件纵向变形计算公式?9.承受轴向分布⼒或变截⾯的杆件，纵向变形计算公式10.轴向拉压杆的强度计算公式11.许⽤应⼒，脆性材料，塑性材料12.延伸率13.截⾯收缩率14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）15.拉压弹性模量E、泊松⽐和切变模量G之间关系式16.圆截⾯对圆⼼的极惯性矩（a）实⼼圆（b）空⼼圆17.圆轴扭转时横截⾯上任⼀点切应⼒计算公式（扭矩T，所求点到圆⼼距离r）18.圆截⾯周边各点处最⼤切应⼒计算公式19.扭转截⾯系数，（a）实⼼圆（b）空⼼圆20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应⼒计算公式21.圆轴扭转⾓与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式22.同⼀材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或23.等直圆轴强度条件24.塑性材料；脆性材料25.扭转圆轴的刚度条件? 或26.受内压圆筒形薄壁容器横截⾯和纵截⾯上的应⼒计算公式,27.平⾯应⼒状态下斜截⾯应⼒的⼀般公式,28.平⾯应⼒状态的三个主应⼒, ,29.主平⾯⽅位的计算公式30.⾯内最⼤切应⼒31.受扭圆轴表⾯某点的三个主应⼒，，32.三向应⼒状态最⼤与最⼩正应⼒,33.三向应⼒状态最⼤切应⼒34.⼴义胡克定律35.四种强度理论的相当应⼒36.⼀种常见的应⼒状态的强度条件，37.组合图形的形⼼坐标计算公式，38.任意截⾯图形对⼀点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式39.截⾯图形对轴z和轴y的惯性半径? ,40.平⾏移轴公式（形⼼轴z c与平⾏轴z1的距离为a，图形⾯积为A）41.纯弯曲梁的正应⼒计算公式42.横⼒弯曲最⼤正应⼒计算公式43.矩形、圆形、空⼼圆形的弯曲截⾯系数?，，44.⼏种常见截⾯的最⼤弯曲切应⼒计算公式（为中性轴⼀侧的横截⾯对中性轴z的静矩，b为横截⾯在中性轴处的宽度）45.矩形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处46.⼯字形截⾯梁腹板上的弯曲切应⼒近似公式47.轧制⼯字钢梁最⼤弯曲切应⼒计算公式48.圆形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处49.圆环形薄壁截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处50.弯曲正应⼒强度条件51.⼏种常见截⾯梁的弯曲切应⼒强度条件52.弯曲梁危险点上既有正应⼒σ⼜有切应⼒τ作⽤时的强度条件或，53.梁的挠曲线近似微分⽅程54.梁的转⾓⽅程55.梁的挠曲线⽅程?56.轴向荷载与横向均布荷载联合作⽤时杆件截⾯底部边缘和顶部边缘处的正应⼒计算公式57.偏⼼拉伸（压缩）58.弯扭组合变形时圆截⾯杆按第三和第四强度理论建⽴的强度条件表达式，59.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩和同时作⽤时，合成弯矩为60.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩和同时作⽤时强度计算公式61.62.弯拉扭或弯压扭组合作⽤时强度计算公式63.剪切实⽤计算的强度条件64.挤压实⽤计算的强度条件65.等截⾯细长压杆在四种杆端约束情况下的临界⼒计算公式66.压杆的约束条件：（a）两端铰⽀µ=l（b）⼀端固定、⼀端⾃由µ=2（c）⼀端固定、⼀端铰⽀µ=0.7（d）两端固定µ=0.567.压杆的长细⽐或柔度计算公式，68.细长压杆临界应⼒的欧拉公式69.欧拉公式的适⽤范围70.压杆稳定性计算的安全系数法71.压杆稳定性计算的折减系数法72.关系需查表求得。

两端简支梁力学计算公式
1.弯矩计算公式：
弯矩是梁中最常见的力学特征之一，用来描述梁的弯曲性质。

在两端简支梁中，弯矩可以通过以下公式计算：
M=(wL^2)/8
其中，M表示弯矩，w表示分布载荷的单位长度，L表示梁的长度。

2.剪力计算公式：
剪力是横截面梁中的各个部分之间的内力，用来描述梁的抗剪能力。

在两端简支梁中，剪力可以通过以下公式计算：
V=(wL)/2
其中，V表示剪力，w表示分布载荷的单位长度，L表示梁的长度。

3.轴力计算公式：
轴力是梁中的纵向内力，用来描述梁的受力性质。

在两端简支梁中，轴力可以通过以下公式计算：
N=(wL)/2
其中，N表示轴力，w表示分布载荷的单位长度，L表示梁的长度。

4.梁的挠度计算公式：
梁的挠度是梁受到外力作用后发生的弯曲变形。

在两端简支梁中，梁的挠度可以通过以下公式计算：
δ=(5wL^4)/(384EI)
其中，δ表示梁的挠度，w表示分布载荷的单位长度，L表示梁的长度，E表示梁的弹性模量，I表示梁的截面惯性矩。

5.梁的应力计算公式：
在两端简支梁中，梁的应力可以通过以下公式计算：
σ=(My)/I
其中，σ表示梁的应力，M表示弯矩，y表示离梁轴心的距离，I表示梁的截面惯性矩。

以上公式只涵盖了两端简支梁力学计算中的一部分，实际应用中还需要考虑其他因素，例如温度变化、应变等。

此外，梁的材料性质和截面形状也会对计算结果产生影响，因此在具体应用中需要根据实际情况进行调整。

土木工程结构力学重点公式速记在土木工程结构力学中，掌握和记忆各类重要公式是非常重要的。

这些公式在分析和设计土木结构时起到了至关重要的作用。

下面是一些结构力学中的重点公式，供大家参考和学习。

1. 应力和应变1.1 线弹性应力-应变关系：σ = Eε其中，σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。

1.2 泊松比：ν = -εt/εl其中，ν是泊松比，εt是横向应变，εl是纵向应变。

2. 梁的基本公式2.1 弯矩和剪力：弯矩： M = -EI(d^2y/dx^2)剪力： V = -EI(d^3y/dx^3)在上述公式中，M表示弯矩，V表示剪力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，y表示位移，x表示距离。

2.2 梁的挠度：δ = (F*l^3)/(3EI)其中，δ表示挠度，F表示外力，l表示梁的长度，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩。

3. 柱和压杆的公式3.1 柱的稳定性：Pcr = π^2EI/[(KL)^2]其中，Pcr表示临界压力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示杆件的有效长度系数，L表示柱的长度。

3.2 压杆的最小截面面积：Amin = (Fcr*S)/σy其中，Amin表示最小截面面积，Fcr表示临界力，S表示长度，σy表示材料屈服应力。

4. 桁架结构的公式4.1 桁架成员的力：F = (PL)/(AE)其中，F表示力，P表示外力，L表示成员长度，A表示横截面面积，E表示弹性模量。

4.2 桁架的稳定性：Ncr = (π^2EI)/[(KL)^2]其中，Ncr表示临界力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示杆件的有效长度系数，L表示桁架的长度。

5. 地基基础的公式5.1 承载力：q = cNc + q'Nq + 0.5γBNγ其中，q表示承载力，c表示黏土的凝聚力，Nc表示凝聚力系数，q'表示黏聚力的有效张力，Nq表示摩擦系数，γ表示土的重度，B表示基础底面积，Nγ表示重度系数。

3拱形曲墙式衬砌结构计算3.1基本资料：公路等级山岭重丘高速公路围岩级别Ⅴ级围岩容重γ=20KN/m3S弹性抗力系数 K=0.18×106 KN/m变形模量 E=1.5GPa衬砌材料 C25喷射混凝土=22 KN/m3材料容重γh=25GPa变形模量 Eh二衬厚度 d=0.45m3.2荷载确定：3.2.1围岩竖向压力根据《公路隧道设计规范》的有关计算公式及已知的围岩参数，代入公式q=0.45 × 2S-1 ×γ×ω其中：S——围岩的级别，取S=5；γ——围岩容重，取γ=20 KN/m3；ω——宽度影响系数，由式ω=1+i (B-5)计算，其中，B为隧道宽度，B=11.93+2×0.45+2×0.10=13.03m，式中0.10为一侧平均超挖量;B>5时，取i =0.1，ω=1+0.1*(13.03-5)=1.803所以围岩竖向荷载（考虑一衬后围岩释放变形取折减系数0.4）q=0.45×16×20×1.803*0.4＝259.632*0.43k /m N =103.853k /m N3.2.2计算衬砌自重g=1/2*(d 0+d n ) *γh =1/2×(0.45+0.45) ×22=9.9 3k /m N根据我国复合式衬砌围岩压力现场量测数据和模型实验，并参考国内外有关资料，建议Ⅴ级围岩衬砌承受80%-60%的围岩压力，为安全储备这里取：72.70 3k /m N1）全部垂直荷载q= 72.70+g=82.603k /m N 2）围岩水平均布压力e=0.4×q=0.4×82.60=33.043k /m N3.3衬砌几何要素3.3.1衬砌几何尺寸内轮廓线半径： r 1 =7.000 m , r 2 = 5.900 m 内径r 1，r 2所画圆曲线的终点截面与竖直轴的夹角：α1=70.3432°， α2 =108.7493°拱顶截面厚度d 0 =0.45 m ,拱底截面厚度d n =0.45m 。

目录一、二次衬砌结构计算 (1)(一)基本参数..................................................................... (2)(二)荷载确定 (2)(三)计算衬砌几何要素 (3)(四)位移计算 (4)1.单位位移 (5)2.载位移—主动荷载在基本结构中引起的位移 (6)3.载位移—单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移 (8)4.墙底（弹性地基梁上的刚性梁）位移 (12)(五)解力法方程 (12)(六)计算主动荷载和被动荷载分别产生的衬砌内力 (13)(七)最大抗力值的求解 (14)(八)计算衬砌总内力 (16)(九)衬砌截面强度检算 (17)(十)内力图 (18)参考资料 (19)二次衬砌结构计算一、二次衬砌结构计算选取五级级围岩复合式衬砌的二次衬砌作为典型衬砌，做结构计算。

（一）基本参数1. 围岩级别：Ⅴ2. 围岩容重：318.5/kN m γ=；3. 围岩弹性抗力系数：531.510/K kN m =⨯；4. 衬砌材料为C25混凝土，弹性模量72.8510h E kPa =⨯，容重323/h kN m γ=。

5. 抗压极限强度：23109.11m kN f cu ⨯=，321.2710td f kN m =⨯；6. 衬砌拱厚度：50d cm =；（二）荷载确定1. 围岩垂直均布压力按矿山法施工的隧道围岩荷载为：()()s-15-15-120.4520.45218.5150.45218.510.112.735236.03/s q i B kN m γω=⨯=⨯⨯⨯+-⎡⎤⎣⎦=⨯⨯⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦=式中：s —围岩类别，此处s=5;γ—围岩容重，此处γ=18.5kN/m 3;ω—跨度影响系数，ω=1+i(B-5),隧道跨度B=12.72m,B=5~15m 时，i 取0.1。

考虑到初期支护承担大部分围岩压力，而二次衬砌一般作为安全储备，故对围岩 压力进行折减，本隧道按25%折减，取为177.02kN/m 2。

材料力学公式汇总一、轴向拉压。

1. 轴力计算。

- 截面法：F_N=∑ F_i（F_N为轴力，F_i为截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 正应力计算。

- σ=(F_N)/(A)（σ为正应力，A为横截面面积）3. 胡克定律。

- Δ L=(F_NL)/(EA)（Δ L为轴向变形量，L为杆件原长，E为弹性模量）4. 泊松比。

- ν =-(varepsilon')/(varepsilon)（ν为泊松比，varepsilon为轴向线应变，varepsilon'为横向线应变）二、扭转。

1. 扭矩计算。

- 截面法：T=∑ M_i（T为扭矩，M_i为截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线方向时，扭矩为正）2. 切应力计算（圆轴扭转）- τ=(Tρ)/(I_p)（τ为切应力，ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 对于圆轴最大切应力：τ_max=(T)/(W_t)（W_t=(I_p)/(R)，R为圆轴半径）- 对于实心圆轴：I_p=(π D^4)/(32)，W_t=(π D^3)/(16)（D为圆轴直径）- 对于空心圆轴：I_p=(π)/(32)(D^4 - d^4)，W_t=(π)/(16D)(D^4 - d^4)（d为空心圆轴内径）3. 扭转角计算（圆轴扭转）- φ=(TL)/(GI_p)（φ为扭转角，L为轴长，G为切变模量）三、弯曲内力。

1. 剪力和弯矩计算。

- 截面法：F_Q=∑ F_i（F_Q为剪力，截面左侧向上的外力或右侧向下的外力为正）- M=∑ M_i（M为弯矩，使梁下侧受拉的弯矩为正）2. 剪力图和弯矩图绘制。

- 利用载荷、剪力、弯矩之间的微分关系：(dF_Q)/(dx)=q(x)，(dM)/(dx)=F_Q，frac{d^2M}{dx^2} = q(x)（q(x)为分布载荷集度）四、弯曲应力。

1. 正应力计算（梁的纯弯曲）- σ=(My)/(I_z)（σ为正应力，M为弯矩，y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对中性轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z=(I_z)/(y_max)）- 对于矩形截面：I_z=frac{bh^3}{12}，W_z=frac{bh^2}{6}（b为截面宽度，h 为截面高度）- 对于圆形截面：I_z=(π D^4)/(64)，W_z=(π D^3)/(32)2. 切应力计算（矩形截面梁）- τ=frac{F_QS_z^*}{bI_z}（S_z^*为所求点以上（或以下）部分截面对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 最大切应力（矩形截面）：τ_max=(3F_Q)/(2bh)（发生在中性轴上）五、弯曲变形。