下载文档原格式
第五章 力 法§5—1 超静定结构概述超静定结构是工程实际中常用的一类结构，前已述及，超静定结构的反力和内力只凭静力平衡条件是无法确定的，或者是不能全部确定的。
例如图5—1a所示的连续梁，它的水平反虽可由静力平衡条件求出，但其竖向反力只凭静力平衡条件就无法确定，因此也就不能进一步求出其全部内力。
又如图5—1b所示的加劲梁，虽然它的反力可由静力平衡条件求得，但却不能确定杆件的内力。
因此，这两个结构都是超静定结构。
分析以上两个结构的几何组成，可知它们都具有多余约束。
多余约束上所发生的内力称为多余未知力。
如图5—1a所示的连续梁中，可认为B支座链杆是多余约束，其多余未知力(图5—1c)。
又如图5—1b所示的加劲梁，可认为其中的BD杆是多余约束，其多余为FBy未知力为该杆的轴力F(图5—d)。
超静定结构在去掉多余约束后，就变成为静定结构。
N常见的超静定结构类型有：超静定梁（图5—2），超静定刚架（图5—3），超静定桁架（图5—4），超静定拱（图5—5），超静定组合结构（图5—6）和铰接排架（图5—7）等。
超静定结构最基本的计算方法有两种，即力法和位移法，此外还有各种派生出来的方法，如力矩分配法就是由位移法派生出来的一种方法。
这些计算方法将在本章和以下两章中分别介绍。
§5—2 力法的基本概念在掌握静定结构内力和位移计算的基础上，下面来寻求分析超静定结构的方法。
先举一个简单的例子加以阐明。
设有图5—8a 所示一端固定另一端铰支的梁，它是具有一个多余约束的超静定结构。
如果以右支座链杆作为多余约束，则去掉该约束后，得到一个静定结构，该静定结构称为力法的基本结构。
在基本结构上，若以多余未知力代替所去约束的作用，并将原有荷载q 作用上去，则得到如图5—8b 所示的同时受荷载和多余未知力作用的体系。
该体系称为力法的基本体系。
在基本体系上的原有荷载是已知的，而多余力是未知的。
因此，只要能设法先求出多余未知力，则原结构的计算问题即可在静定的基本体系上来解决。
第四节图乘法求位移略第五节超静定结构一、平面体系的几何组成分析（一）几何不变体系、几何可变体系1．几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，任意荷载作用后体系的位置和形状均能保持不变[图5-56 (a)、(b)、(c)]。
这样的体系称为几何不变体系。
2．几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，即使在微小的荷载作用下，也会产生机械运动而不能保持其原有形状和位置的体系[图5-56 (d)、(e)、(f)]称为几何可变体系（也称为常变体系）。
（二）自由度和约束的概念1．自由度图5-56在介绍自由度之前，先了解一下有关刚片的概念。
在几何组成分析中，把体系中的任何杆件都看成是不变形的平面刚体，简称刚片。
显然，每一杆件或每根梁、柱都可以看作是一个刚片，建筑物的基础或地球也可看作是一个大刚片，某一几何不变部分也可视为一个刚片。
这样，平面杆系的几何组成分析就在于分析体系各个刚片之间的连接方式能否保证体系的几何不变性。
图5-57自由度是指确定体系位置所需要的独立坐标（参数）的数目。
例如，一个点在平面内运动时，其位置可用两个坐标来确定，因此平面内的一个点有两个自由度[图5-57（a）]。
又如，一个刚片在平面内运动时，其位置要用x、y、φ三个独立参数来确定，因此平面内的一个刚片有三个自由度[图5-57 (b)]。
由此看出，体系几何不变的必要条件是自由度等于或小于零。
那么，如何适当、合理地给体系增加约束，使其成为几何不变体系是以下要解决的问题。
2．约束和多余约束减少体系自由度的装置称为约束。
减少一个自由度的装置即为一个约束，并以此类推。
约束主要有链杆（一根两端铰接于两个刚片的杆杆称为链杆，如直杆、曲杆、折杆）、单铰（即连接两个刚片的铰）和刚结点三种形式。
假设有两个刚片，其中一个不动设为基础，此时体系的自由度为3。
若用一链杆将它们连接起来，如图5-58（a）所示，则除了确定链杆连接处A的位置需一转角坐标外，确定刚片绕A转动时的位置还需一转角坐标，此时只需两个独立坐标就能确定该体系的运动位置，则体系的自由度为2，它比没有链杆时减少了一个自由度，所以一根链杆相当于一个约束；若用一个单铰把刚片同基础连接起来，如图5-58 (b)所示，则只需转角坐标够就能确定体系的运动位置，这时体系比原体系减少了两个自由度，所以一个单铰相当于两个约束；若将刚片同基础刚性连接起来，如图5-58 (c)，则它们成为一个整体，都不能动，体系的自由度为0，因此刚结点相当于三个约束。
第三节静定结构的受力分析、剪力图与弯矩图静定结构包括静定桁架、静定梁、多跨静定梁、静定刚架、三铰刚架、三铰拱等。
一、多跨静定梁多跨静定梁是由若干根梁用铰相连，并与基础用若干个支座连接而成的静定结构。
例如图5-41中所示的多跨静定梁，AB部分（在竖向荷载作用下）不依赖于其他部分的存在就能独立维持其自身的平衡，故称为基本部分；BC部分则必须依赖于基本部分才能维持其自身的平衡，故称为附属部分。
受力分析时要从中间铰链处断开，首先分析比较简单的附属部分，然后分别按单跨静定梁处理，如图5-41～图5-44所示。
图5-41图5-42图5-43图5-44二、静定刚架静定平面刚架的常见形式有悬臂刚架、简支刚架、外伸刚架，它们是由单片刚接杆件与基础直接相连，各有三个支座反力。
弯矩M画在受拉一侧，剪力V、轴力N要标明+、-号。
实际上，如果观察者站在刚架内侧，把正弯矩画在刚架内侧，把负弯矩画在刚架外侧，那么与弯矩画在受拉一侧是完全一致的。
如图5-45、图5-46所示。
校核：利用刚结点C的平衡。
图5-45图5-46三、三铰刚架三铰刚架由两片刚接杆件与基础之间通过三个铰两两铰接而成，有4个支座反力(图5-47)；三铰刚架的一个重要受力特性是在竖向荷载的作用下会产生水平反力（即推力）。
多跨（或多层）静定刚架则与多跨静定梁类似，其各部分可以分为基本部分[如图5-48(a)中的ACD部分]和附属部分[如图5-48 (a)中的BC部分]。
图5-47图5-58如图5-49（a）所示的三铰刚架。
可先取整体研究平衡：图5-49再取AC平衡：最后取BC，平衡：，令V（x）=，得：四、三铰拱三铰拱是一种静定的拱式结构，它由两片曲杆与基础间通过三个铰两两铰接而成，与三铰刚架的组成方式类似，都属于推力结构。
拱结构与梁结构的区别，不仅在于外形不同，更重要的还在于在竖向荷载作用下是否产生水平推力。
为避免产生水平推力，有时在三铰拱的两个拱脚间设置拉杆来消除所承受的推力，这就是所谓的带拉杆的三铰拱。
四、用力法求解超静定结构
步骤：
(1)确定基本未知量——多余力的数目n。
(2)去掉结构的多余联系得出一个静定的基本结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。
(3)根据基本结构在多余力和原有荷载的共同作用下，在去掉多余联系处(B点)的位移应与原结构中相应的位移相同的条件，建立力法典型方程：
式中、、分别表示当=1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示当 =1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示当荷载单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示去掉多余联系处(B点)沿、和方向的总位移。
其中各系数和自由项都为基本结构的位移，因而可用图乘法求得，如：
为此，需要作出基本结构的单位内力图、……和荷载内力图。
(4)解典型方程，求出各多余力。
(5)多余力确定后，即可按分析静定结构的方法，给出原结构的内力图（最后内力图），按叠加原理：。
例5-26如图5-73（a）所示梁超静定次数n=l，力法典型方程：
图5-73 (c)中，式中
所以
而
图5-73
例2-27如图5-74所示
图5-74
超静定次数n=l
力法方程：
因为
所以
五、利用对称性求解超静定结构
图5-75（a）、(b)对称结构受正对称荷载作用。
图5-75 (c)、(d)对称结构受反对称荷载作用。
不难发现，对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的，且在对称轴上反对称的多余力为零；对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的，且在对称轴上对称的多余力为零。
注意：轴力和弯矩是对称内力，剪力是反对称内力。
图5-75
实际上，如果结构对称、荷载对称，则轴力图、弯矩图对称，剪力图反对称，在对称轴上剪力为零。
如果结构对称、荷载反对称，则轴力图、弯矩图反对称，剪力图对称，在对称轴上轴力、弯矩均为零。
例5-28如图5-76（a）所示为3次超静定结构。
依对称性取一半为研究对象，如图5-76 (b)所示，其中反对称力。
图5-76
用表示切口两边截面的、水平相对线位移，表示其铅垂相对线位移，表示其相对转角，由于，则力法方程化简为
由图5—76(c)、(d)、(e)所示、、的图形，可得：
代回力法方程，得
解出
由可得到最后弯矩图M，如图5-76(f)所示；根据荷载图与弯矩图可知位移变形图，如图5-76 (a)中虚线所示。
例5-29图5-77 (a)原为3次超静定结构，但可把它分解成图5-77 (b)和图5-77(c)的叠加。
而图5-77 (b)不产生弯矩，所以图5-77（a）的弯矩与图5-77 (c)相同。
利用图5-77 (c)的反对称性，把它从对称轴切断，则对称内力=0，=0，力法方程化简为一次：
取左半部分汁算：
代回力法方程，可得。
利用画出弯矩图5-77（g），其中右半部分可利用反对称性画出。
根据荷载图与弯矩图可知位移变形图如图5-77(a)中虚线所示。
图5-77
例5-30奇数跨和偶数跨两种对称刚架的简化。
图5-78 (a)中C截面不会发生转角和水平线位移，但可发生竖向线位移；同时在C面上将有弯矩和轴力，但无剪力。
故可用图5-78(c)中C处的定向支撑来代替。
图5-78(b)中CD杆只有轴力和轴向变形（否则不对称）。
在刚架分析中，一般忽略轴力的影响，所以(1点将无任何位移发生。
故可用网5-78 (d)中C处的固定支座来代替。
图 5-78
图5-78(a)、(b)的弯矩图的大致形状如图5-78 (e)、(f)所示。
六、多跨超静定连续梁的活载布置
应用结构力学的影响线理论，可以找到多跨超静定连续梁相应内力量值的最不利荷载位置。
我们以图5-79 (a)所示五跨连续梁有关弯矩的最不利活载的布置为例，说明其规律性。
(1)从图5-79(b)、(c)中可知：求某跨跨中附近的最大正弯矩时，应在该跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。
(2)从图5-79 (d)、(e)、(f)、(g)中可知：求某支座的最大负弯矩时，应在该支座相邻两跨布满活载，其余每隔一跨布满活载。
掌握上述规律后，对于有关多跨连续梁的相应问题，就可以迎刃而解了，例如参考习题5-94等。
对于不同的超静定结构，有时使用位移法和力矩分配法也很方便。
由于篇幅所限，兹不赘述。
图 5-79
第六节压杆稳定
轴向拉压杆组成的桁架结构在建筑物和桥梁中有着广泛的应用。
19世纪末以来，单纯的强度计算已不能满足工程中压杆设计的需要，压杆稳定问题日益突出。
所谓压杆稳定是指中心受压直杆直线平衡的状态在微小外力干扰去除后自我恢复的能力。
压杆失稳是指压杆在轴向压力作用下不能维持直线平衡状态而突然变弯的现象。
压杆的临界力，是使压杆直线形式的平衡由稳定开始转化为不稳定的最小轴向压力。
也可以说，临界力，是压杆保持直线形式的稳定平衡所能够承受的最大荷载。
不同杆端约束下细长中心受压直杆的临界力表达式，可通过平衡或类比的方法推出。
本节给出几种典型的理想支承约束条件下，细长中心受压直杆的欧拉公式表达式（表5-4）。
由表5-4所给的结果可以看出，中心受压直杆的临界力Fe，受到杆端约束情况的影响。
杆端约束越强，杆的抗弯能力就越大，其临界力也越高。
对于各种杆端约束情况，细长中心受压等直杆临界力的欧拉公式可写成统一的形式
(5-27)
式中，EI为杆的抗弯刚度，因数∥称为压杆的长度因数，与杆端的约束情况有关。
称为原压杆的相当长度，其物理意义可从表5-4中各种杆端约束下细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零，故可设想拐点处有一铰，而将压杆在挠曲线两拐点间的一段看作两端铰支压杆，并利用两端铰支压杆临界力的欧拉公式（式5-27），得到原支承条件下压杆的临界力。
这两拐点之间的长度，即为原压杆的相当长度μl。
或者说，相当长度为各种支承条件下的细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度。
各种支承约束条件下等截面细长压杆临
界力的欧拉公式表5-4
况另
端铰支
另
端自由
但可
沿横向相
对移动失
稳
时
挠
曲
线
形
状
临界力
欧拉公
式
长度因
数μ
μ=1 μ≈0.7 μ=0.5 μ=2 μ=1
应当注意，细长压杆临界力的欧拉公式（式5-27）中，I是横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩。
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩。
若杆端在不同方向的约束情况不同（如柱形铰），则I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。
在工程实际问题中，支撑约束程度与理想的支撑约束条件总有所差异，因此，其长度因数μ值应根据实际支撑的约束程度，以表5-4作为参考来加以选取。
在有关的设计规范中，对各种压杆的μ值多有具体的规定。
对各种压杆的μ值多有具体的规定。
例5-31 （2011年）对于相同材料的等截面轴心受压杆件，在图5-80中的三种情况下，其承载能力Pl、P2、P3的比较结果为：
图 5-80
A P1=P2<P3
B Pl=P2>P3
C P1>P2>P3
D P1<P2<P3
提示：图中杆1的相当长度为1×l=l；
杆2的相当长度为；
杆3的相当长度为0.7l。
由公式可知，当EI相同时，μl越小，越大，故杆3的临界力P3最大，而杆1和杆2的临界力P1=P2。
答案：A
例题
1．确定右图中所示结构的超静定次数：
(A)一次
(B)二次
(C)三次
(D)四次
【答案】B
【说明】该结构的计算自由度W=3×5-(2×4+9)=-2；自由度S=0，多余约束n=S-W=2，故超静定次数为2。
2．右图所示结构超静定次数为：
(A)5
(B)6
(C)7
(D)8
【答案】D
【说明】划分成如图3-221所示的4个钢片，计算自由度w=3×4-(3×2+2×2+10)=-8。
3．如下图所示结构在荷载作用下的各弯矩图中哪个图是正确的(图中弯矩图画于构件的下侧)?
【答案】C
【说明】该结构为对称结构，可取一半作为研究对象，如图3—274．所示。
B支座只能提供水平反力，则结构水平段无剪力，弯矩图为一水平直线；又水平段下侧受拉。
4．确定图中所示结构的超静定次数：
(A)一次
(B)二次
(C)三次
(D)四次
【答案】A
本页可删除
亲爱的朋友：
人生当自勉，学习需坚持。
从这一刻开始，我依旧是我，只是心境再不同。
不论今后的路如何，我都会在心底默默鼓励自己，坚持不懈，等待那一场破茧的美丽。
祝你成功!加油！。
