人教A版高中数学选修一高三·单元测试卷(八).docx

主视图侧视图附视图图1武威第十五中学2012-2013学年第二学期试卷 高二年级·文科数学（满分120分 时间100 分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷（选择题 共48分）要求：1、选择题的选项填涂在答题卡上 2、填空题的答案写在第一卷的空格处。

一．选择题（每小题只有一个正确答案，每小题4分，共48分）1．已知全集{}13<<-=x x M ，{}1,0,1,2,3---=N ，则N M ⋂= （C ）A ．{-2，-1,0，1}B ．{-3，-2，-1,0}C ． {-2，-1,0}D ．{-3，-2，-1}2．若b a >，下列结论一定成立的是 （C ）A ．nnb a > B ．bc ac > C ．c b c a +>+D ．11--<b a3．已知m +i 1n =-i ，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m n += （B ）A ．-1B ．0C ．1D ．2４.直线34140x y +-=与圆()()22114x y -++=的位置关系是 （A ） A ．相交但直线不过圆心 B ．相切 C ．相交且直线过圆心 D ．相离５.已知几何体的三视图如图1所示，它的表面积是（A ）A.24+B. 22+C.23+D.6６. 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈=ππ,254sin a a ，，则=a tan （D ） A ．43-B ．43 C ． 34 D ．34- 7.函数)43(log 231--=x x y 的定义域是（D ）A ．{}42<<x xB ．{}41<<-x xC ．{}42><x x x 或D ．{}41>-<x x x 或 ８．当0>x 时，函数31-+=xx y 的最小值是 （ A ） A ．-1 B ．-2 C ．1D ．29．=+i12（C ） 年级：________ 班级：________ 姓名：________ 准考证号（7位）：□□□□□□密 封 线 内 不 要 答 题 ------------------------------------------密---------------------------封---------------------------------------线------------------------------------------A ．22B ． 2C ．2D ．110．等比数列{}n a 的前n 项和n S .已知==+=15123910a a a a S ，求，（C ）A ．31B ．31-C ．91D ．91-11若向量)1,1(),0,2(==，则下列结论正确的是(B )．A ．1=⋅b aB ．⊥-)(C ．||||a =D ．b a // 12.ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知2=b ，6π=B ，4π=C ，ABC ∆面积=(B )A ．232+B ．13+C ．232-D ．13-二．填空题 （每小题4分，共16分，答案写到答题卷上）13．关于不等式的基本性质：①如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

第二学期人教A版选修1综合测试卷及详解时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是( )A.错误!未找到引用源。

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=1B.错误!未找到引用源。

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=1C.错误!未找到引用源。

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=1D.错误!未找到引用源。

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=1【解析】选 C.椭圆4x2+9y2=36的焦点坐标是(±错误!未找到引用源。

,0),设椭圆的标准方程是错误!未找到引用源。

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=1,将(3,-2)代入得错误!未找到引用源。

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=1,且a2-b2=5,解得b2=10,a2=15.因此所求椭圆的标准方程是错误!未找到引用源。

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=1.2.(2014·乐山高二检测)函数y=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为( )A.abB.-a(a-b)C.0D.a-b【解析】选D.因为y=x2-(a+b)x+ab,所以y′=2x-(a+b),所以y′|x=a= 2a-(a+b)=a-b.3.(2014·绵阳高二检测)下列各组命题中,满足“p∨q为真,p∧q为假,p为真”的是( )A.p:0=∅;q:0∈∅B.p:在△ABC中,若cos2A=cos2B,则A=B;q:y=sinx在第一象限是增函数C.p:a+b≥2错误!未找到引用源。

(a,b∈R);q:不等式|x|>x的解集是(-∞,0)D.p:圆(x-1)2+(y-2)2=1的面积被直线x=1平分;q:3≥2【解析】选C.A中,p,q为假命题,不满足“p∨q”为真;B中,p是真命题,则“p”为假,不满足题意;C中,p是假命题,q为真命题,“p∨q”为真,“p∧q”为假,“p”为真,故C正确;D中,p是真命题,不满足“p”为真.4.(2013·大理高二检测)椭圆错误!未找到引用源。

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·北京高考)设，是实数，则“>”是“>”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．既不充分也不必要条件．充要条件【解析】设＝，＝－，则有>，但<，故>⇒>；设＝－，＝，显然>，但<，即>⇒>.故“>”是“>”的既不充分也不必要条件．【答案】．过点(，－)的抛物线的标准方程为( )．＝或＝－．＝．＝－或＝．＝－或＝【解析】(，－)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为＝(＞)或＝－(＞)，代入(，－)得＝或＝－.故选.【答案】．(·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是( )①命题“若－＋＝，则＝”的逆否命题为“若≠，则－＋≠”；②“∨为真”是“∧为真”的充分不必要条件；③若∧为假命题，则，均为假命题；④对命题：∃∈，使得＋＋<，则¬：∀∈，均有＋＋≥.．．．．【解析】①正确；②由∨为真可知，，至少有一个是真命题即可，所以∧不一定是真命题；反之，∧是真命题，，均为真命题，所以∨一定是真命题，②不正确；③若∧为假命题，则，至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】．函数()＝＋′()，则(－)与()的大小关系为( )．(－)<()．(－)＝()．无法确定．(－)>()【解析】′()＝＋′()，令＝，得′()＝＋′()，∴′()＝－.∴()＝＋·′()＝－，()＝－，(－)＝.∴(－)>()．【答案】．(·福建高考)命题“∀∈[，＋∞)，＋≥”的否定是( )．∀∈(－∞，)，＋<．∀∈(－∞，)，＋≥．∃∈[，＋∞)，＋<．∃∈[，＋∞)，＋≥【解析】故原命题的否定为：∃∈[，＋∞)，＋<.故选.【答案】．已知双曲线的离心率＝，且与椭圆＋＝有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )．＝±．＝±．＝±．＝±【解析】双曲线的焦点为(±)，＝＝，∴＝，＝＝，∴渐近线方程。

专题8 直线与圆综合大题归类目录【题型一】圆大题基础：轨迹 -圆 .......................................................................................................................... 1 【题型二】圆大题基础：轨迹 -直线 ...................................................................................................................... 2 【题型三】直线与圆：韦达定理型 .......................................................................................................................... 3 【题型四】直线与圆：定点 ...................................................................................................................................... 4 【题型五】直线与圆：定值 ...................................................................................................................................... 4 【题型六】直线与圆：定直线 .................................................................................................................................. 5 【题型七】探索性、存在性题型 .............................................................................................................................. 5 【题型八】面积与最值 .............................................................................................................................................. 6 【题型九】直线与圆的应用题 .................................................................................................................................. 7 培优第一阶——基础过关练 ...................................................................................................................................... 8 培优第二阶——能力提升练 ...................................................................................................................................... 9 培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】圆大题基础：轨迹 -圆【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知A （3，3），点B 是圆x 2+y 2＝1上的动点，点M 是线段AB 上靠近A 的三等分点，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．221(2)(2)9x y -+-=B ．221(2)(2)9x y -++=C ．221(3)(3)3x y -+-=D ．221(3)(3)3x y -++=1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（ ）A．B ．C．1 D ．22.（2017·北京海淀·高二期中）若动点P 在直线1:20l x y --=上，动点Q 在直线2:60l x y --=上，设线段PQ 的中点为00(,)M x y ，且2200(2)(2)8x y -++≤，则2200x y +的取值范围是__________．3.（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知,B C 为圆224x y +=上两点，点()1,1A ，且0AB AC ⋅=，()12AM AB AC =+，则OAM ∆面积的最大值为______.【题型二】圆大题基础：轨迹 -直线【典例分析】.（2022·全国·高二课时练习）已知点(),m n 在过()2,0-点且与直线20x y -=垂直的直线上，则圆C ：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 的轨迹的距离的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(3)4C x y -+-=，过动点(,)P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM ，PN ，（,M N 分别为切点），若||||PM PN =，则226413a b a b +--+的最小值是A ．5B ．13C D ．852.（2020·全国·高二）已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22(2)(4)1x y -+-=，过动点()P a b ，分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点），若PM PN =，的最小值是（ ）A B C D【题型三】直线与圆：韦达定理型【典例分析】（2021·广东·西樵高中高二阶段练习）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．（2021·江苏省镇江中学高二阶段练习）如图，已知图22:9C x y +=与x 轴的左右交点分别为A ，B ，与y 轴正半轴的交点为D ．（1）若直线l 过点(3,4)并且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若点M ，N 是圆C 上第一象限内的点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于点P ，Q ，点P 是线段OQ 中点，直线//MN BD ，求直线AM 的斜率．【题型四】直线与圆：定点【典例分析】（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）已知两个定点()0,4A 、()0,1B ，动点P 满足2PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．(1)求曲线E 的方程；(2)若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2021·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22()()4x a y b -+-=与圆1C ：2268160x y x y +--+=相切于点6855A ⎛⎫⎪⎝⎭，，且直线l ：10x y +-=与圆C 有公共点．(1)求圆C 的方程；(2)设点P 为圆C 上的动点，直线l 分别与x 轴和y 轴交于点M ，N ． ①求证：存在定点B ，使得2PB PM =；①求当12PM PN +取得最小值时，直线PN 的方程．【题型五】直线与圆：定值【典例分析】（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知直线:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=与圆22:40C x y x +-=.(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【变式训练】（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A .(1)求圆C 的标准方程；(2)直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标.(3)直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值.【题型六】直线与圆：定直线【典例分析】（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=. (1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式训练】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知圆C 经过()(0,2,P Q 两点，圆心在直线0x y -=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与y 轴相交于A ，B 两点（A 在B 上方）.直线:1l y kx =+与圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 相交于点T .请问点T 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【题型七】探索性、存在性题型【典例分析】（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ． (1)求圆C 的方程；(2)过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于,M N 两点，若CMN △为直角三角形，求直线2l 的方程； (3)在直线3:2l y x =-上是否存在一点Q ，过点Q 向圆C 引两切线，切点为,E F ，使QEF △为正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．【变式训练】（2021·江苏·高二专题练习）已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M . (1)过M 作圆O 的切线，求切线的方程；(2)过M 作直线l 交圆O 于点C ，D 两个不同的点，且CD 不过圆心，再过点C ，D 分别作圆O 的切线，两条切线交于点E ，求证：点E 在同一直线上，并求出该直线的方程；(3)已知(2,8)A ，设P 为满足方程22106PA PO +=的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B ，试探究：平面内是否存在一定点N ，使得22PB PN 为定值？若存在，请求出定点N 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【题型八】面积与最值【典例分析】（2021·四川省遂宁市第二中学校高二期中（理））已知圆C ：222210x y x y +--+=，直线l 分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，,OA a OB b ==(2,2)a b >>，且圆心C 到直线l 的距离为1.(1)求证：2)22()(a b --=；(2)设(3,1)N ，直线m 过线段CN 的中点M 且分别交x 轴与y 轴的正半轴于点P 、Q ，O 为坐标原点，求①POQ 面积最小时直线m 的方程； (3)求①ABC 面积的最小值.（2022·全国·高二课时练习）已知圆()()22:4C x a y b -+-=，圆心C 在直线y x =上，且被直线:2m x y +=截得弦长为 （1）求圆C 的方程；（2）若0a ≤，点()0,1A ，过A 作两条直线l ，1l ，且满足1l l ⊥，直线l 交圆C 于M ，N 两点，直线1l 交圆C 于P ，Q 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.【题型九】直线与圆的应用题【典例分析】（2022·江苏·高二）在①直线l 与B 、C 均相切，①直线l 截A 、B 、C 所得的弦长均相等，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.问题：2020年是中国传统的农历“鼠年”，现用3个圆构成“卡通鼠”的头像.如图，()0,2A -是A 的圆心，且A 过原点；点B 、C 在x 轴上，B 、C 的半径均为1，B 、C 均与A 外切.直线l 过原点.若___________，求直线l 截A 所得的弦长.【变式训练】1（2022·全国·高二课时练习）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早､保存最好的巨大石拱桥.如图所示，它是一座空腹式的圆弧形石拱桥.(1)利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a 和圆拱高b 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径r ； (2)已知37.02a =米，7.23b =米，计算半径r 的值.（结果保留2位小数）2.（2022·福建省永春第一中学高二期末）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点A 出发，沿着助滑道曲线())0f x b x =-≤≤滑到台端点B 起跳，然后在空中沿抛物线()()2200g x ax ax b x =-->飞行一段时间后在点C 着陆，线段BC 的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知()220g x ax ax b =--在区间[]0,30上的最大值为30-，最小值为70-．(1)求实数a ，b 的值及助滑道曲线AB 的长度．(2)若运动员某次比赛中着陆点C 与起滑门点A 的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，5 2.236≈）．培优第一阶——基础过关练1.（2020·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习（理））由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB 切点分别为A 、B ，若120APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为__________．2.（2021·全国·高二期末）在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆M ：22(1)(1)1x y -+-=上一动点，过圆M 外一点P 向圆M 引-条切线，切点为A ，若|P A |=|PO |，则||PQ 的最小值为（ ）A ．21-B ．21+C ．3214-D ．3214+3.（2021·江苏省响水中学高二阶段练习）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标； （3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．4.（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4) 1.C x y -+-=设动圆C 同时平分圆1C ､圆2C 的周长.(1)求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动.分阶培优练(2)动圆C 是否经过定点⋅若经过，求出定点的坐标;若不经过，请说明理由.5.（2021·广东·广州四十七中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． (1)若PA PB ⊥，求点P 的坐标；(2)设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．6.（2013·湖南长沙·一模（理））已知1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是y 轴上的动点，过B 作AB 的垂线l 交x 轴于点Q ，若()2,4,0AP AQ AB M +=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线x a =，以PM 为直径的圆与直线x a =的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．7.（2022·全国·高二单元测试）已知圆C 过坐标原点O 和点(6,A ，且圆心C 在x 轴上.(1)求圆C 的方程： (2)设点()10,0M -.①过点M 的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求当PCQ △的面积最大时直线l 的方程；①若点T 是圆C 上任意一点，试问：在平面上是否存在点N ，使得32TM TN =.若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.8.（2021·江苏·高二专题练习）圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N . （1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值.9.（2021·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高二阶段练习）如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)培优第二阶——能力提升练1.（2021·山东·薛城区教育局教学研究室高二期中）已知圆()()22:254C x y -+-=，T 为圆C 外的动点，过点T 作圆C 的两条切线，切点分别为M 、N ，使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点，则圆C 的萌点的轨迹方程为_______.2.（2017·重庆一中一模（理））过x 轴下方的一动点P 作抛物线2:2C x y =的两切线，切点分别为,A B ，若直线AB 到圆221x y +=相切，则点P 的轨迹方程为 A ．221(0)y x y -=< B ．22(2)1y x ++=C ．221(0)4y x y +=< D ．21x y =--3.（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高二阶段练习）已知直线l ：x +y +3＝0及圆C ：()()2239x a y -++=，令圆C 在x 轴同侧移动且与x 轴相切，（1）圆心在何处时，圆在直线l 上截得的弦最长； （2）C 在何处时，l 与y 轴的交点把弦分成1：3；（3）当圆C 移动过程中与直线l 交于A ，B 两点时，求OA ·OB 的取值范围.4.（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点A （-4，0），B （-1，0），动点P 满足|P A |=2|PB |.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y =kx -4. （1）求曲线E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且①COD =90°（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k =12，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点.5.（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）①圆心C 在直线:2780l x y -+=上，圆C 过点B (1，5)；①圆C 过直线:3580l x y +-=和圆226160x y y ++-=的交点；在①①这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C 经过点A (6，0)，且 . (1)求圆C 的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线l 与圆C 交于M ，N 两点 ①求弦M N 中点Q 的轨迹方程； ①求证PM PN ⋅为定值.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 6.（2021·安徽·高二阶段练习）已知圆C 过原点，圆心C 是直线2y x =+与直线22y x =-+的交点.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与y 轴交于A ､B 两点（A 在B 上方），直线:1l y kx =+与圆C 交于M ､N 两点，直线AM ，BN 相交于T .请问点T 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.7.（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））已知点(2,0)P 及圆C ：226490x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）设过P 直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当MN =求以MN 为直径的圆的方程； （3）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值.8.（2021·江苏·高二专题练习）如图，已知圆O ①224x y +=，过点E (1，0)的直线l 与圆相交于A ，B 两点.（1）当|AB l 的方程；（2）已知D 在圆O 上，C (2，0)，且AB ①CD ，求四边形ACBD 面积的最大值.9.（2022·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m ，圆拱高约为7.2m ，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.（精确到0.01m ）培优第三阶——培优拔尖练1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆:O 229x y +=与x 轴交于点A 、B ，过圆上动点M (M 不与A 、B 重合)作圆O 的切线l ，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，与切线l 分别交于点,C D ，直线CB 与AD 交于点Q ，Q 关于M 的对称点为P ，则点P 的轨迹方程为_______2.（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）过点(,)P x y 作圆221:1C x y +=与圆222:(2)(2)1C x y -+-=的切线，切点分别为A ､B ，若PA PB =，则22x y +的最小值为（ ）AB ．2C ．D ．83.（2021·北京铁路二中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A .(1)求圆C 的标准方程；(2)若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；(3)直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线,AM AN 的斜率之和为0，求直线l 的斜率.4.（2022·全国·高二课时练习）知圆22:4O x y +=，点P 是直线:4l x =上的动点．（1）若从点P 到圆O 的切线长为P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长； （2）若点()2,0A -，()2,0B ，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N ，求证：直线MN 经过定点()1,0Q ．5.（2021·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(4,4)B ，圆C 与圆22(1)(2)4x y -++=关于直线2450x y --=对称．(1)求圆C 的方程；(2)点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点)A 使得点P 到点A 与M 的距离之比PA PM 为定值，并求12PB PA +的最小值．6.（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习）已知圆O ：224x y +=与x 轴的负半轴交于点P ，过点()1,0Q 且不与坐标轴重合的直线与圆O 交于A ，B 两点.（1）设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.（2）延长PA ，与直线4x =相交于点R ，证明：PBR △的外接圆必过除P 点之外的另一个定点，并求出该点坐标.7.（2020·江苏·苏州大学附属中学高二开学考试）已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）.（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；（3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.8.（2020·安徽省太和第一中学高二期中）已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：4132y x =-被圆M M 在直线l 的下方. （1）求圆M 的方程；（2）设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的范围.9.（2022·全国·高二课时练习）如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?。

第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为()A ．4B ．－4C ．－14D.142．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为()A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1 D.y 29＋x 28＝13．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或04．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D ．55．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是()6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．87.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是()A ．3B ．2C.3D.28．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为()A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θ10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为()A.2－1 B.22C.2D.2＋111．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是()A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是()A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F2向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程．18．(12分)已知点P到F1(0，3)，F2(0，－3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与轨迹C交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)若|AB|＝825，求k.19．(12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值．x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过20．(12分)如图，已知抛物线C1：y＝14原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21．(12分)已知椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1，0)的直线AB交椭圆Γ于A，B两点；当MA→·MB→取得最大值时，求△MAB的面积．22．(12分)已知曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的2倍．(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A2，不垂直于x轴的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点A2)．若以AB为直径的圆经过点A2，试问直线l是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．1．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13<k<12，则椭圆离心率的取值范围是()2．若椭圆x2m＋y2n＝1(m>n>0)和双曲线x2a－y2b＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－a B.12(m－a)C．m2－a2 D.m－a3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C ．3D ．24．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝15．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝16．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是()A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 27．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则()A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．10．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线l 与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于E(x0，0)．(1)求k的取值范围；(2)求证：x0<－3.13．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43 3.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝π2.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB→与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．第3章圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为()A ．4B ．－4C ．－14 D.14答案C2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为13，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的标准方程为()A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 29＋y 28＝1 D.y 29＋x 28＝1答案C解析因为△AF 1B 的周长为12，所以4a ＝12，所以a ＝3.又c a ＝13，所以c ＝1，b 2＝8，所以C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.3．直线l ：y ＝k (x －2)与双曲线x 2－y 2＝1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－1或0答案C解析由题意可知直线l 恒过点(2，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y ＝±x .要使直线l 与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k ＝±1.故选C.4．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D ．5答案B解析由已知可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．∴±a b ＝±12，∴b ＝2a ，∴b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2.∴c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ca＝ 5.5．设a ，b ∈R ，a ≠b 且ab ≠0，则方程bx －y ＋a ＝0和方程ax 2－by 2＝ab 在同一坐标系下的图象可能是()答案B解析方程ax 2－by 2＝ab 变形为x 2b －y 2a＝1，直线bx －y ＋a ＝0，即y ＝bx ＋a 的斜率为b ，纵截距为a .当a >0，b >0时，x 2b －y 2a ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，此时直线的斜率b >0，纵截距a >0，故C 错误；当a <0，b <0时，x 2b －y 2a ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，此时直线的斜率b <0，纵截距a <0，故D 错误；当a <0，b >0，且－a ≠b 时，x 2b －y 2a ＝1表示椭圆，此时直线的斜率b >0，纵截距a <0，故A 错误．故选B.6．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．由|AB |＝42，|DE |＝25，可取D (－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4.故选B.7.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P 是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是()A ．3B ．2C.3 D.2答案B解析如图，记AF1，AF 2与△APF 1的内切圆分别相切于点N ，M ，则|AN |＝|AM |，|PM |＝|PQ |，|NF 1|＝|QF 1|，又因为|AF 1|＝|AF 2|，则|NF 1|＝|AF 1|－|AN |＝|AF 2|－|AM |＝|MF 2|，因此|QF 1|＝|MF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝(|PQ |＋|QF 1|)－(|MF 2|－|PM |)＝|PQ |＋|PM |＝2|PQ |＝2，即2a ＝2，则a ＝1.由|F 1F 2|＝4＝2c ，得c ＝2，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选B.8．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是()A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)答案D解析如图，显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，M (x 0，y 0)12＝4x 1，22＝4x 2，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．由于x 1≠x 2，所以y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2⇒ky 0＝2.①圆心为C (5，0)，由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1⇒ky 0＝5－x 0.②由①②解得x 0＝3，即点M 必在直线x ＝3上，将x 0＝3代入y 2＝4x ，得y 02＝12⇒－23<y 0<23，因为点M 在圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)上，所以(x 0－5)2＋y 02＝r 2(r >0)，r 2＝y 02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y 0≠0，所以4<y 02＋4<16⇒2<r <4.故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F (1，0)为曲线C 的焦点，则曲线C 的方程可能为()A ．y 2＝4x B ．x 2＝4yC.x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ D.x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θ答案AD解析对于A ，y 2＝4x ，抛物线的焦点为F (1，0)，满足；对于B ，x 2＝4y ，抛物线的焦点为F (0，1)，不满足；对于C ，x 2cos 2θ＋y 2sin 2θ＝θ(±cos 2θ－sin 2θ，0)或(0，±sin 2θ－cos 2θ)或曲线表示圆不存在焦点，均不满足；对于D ，x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝θF (1，0)，满足．10．已知A ，B 为圆锥曲线E 的焦点，点C 在E 上，若△ABC 为等腰直角三角形，则E 的离心率可能为()A.2－1 B.22C.2D.2＋1答案ABD 解析若圆锥曲线E 为椭圆，不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设椭圆的离心率为e .因为△ABC 为等腰直角三角形，所以当AB 为斜边时，可以得到b ＝c ＝22a ，则e ＝c a ＝22；当AB 为直角边时，不妨令|AC |＝|AB |＝2c ，所以22c ＋2c ＝2a ，所以e ＝ca ＝2－1.若圆锥曲线E 为双曲线，不妨设双曲线方程为x 2a ′2－y 2b ′2＝1(a ′>0，b ′>0)，设双曲线的离心率为e ′.因为△ABC 为等腰直角三角形，所以AB 只能为直角边，不妨令AC ⊥AB ，则|AC |＝|AB |＝2c ，可以得到22c ′＝2a ′＋2c ′，则e ′＝c ′a ′＝2＋1.故选ABD.11．已知P 是椭圆E ：x 28＋y 24＝1上一点，F 1，F 2为其左、右焦点，且△F 1PF 2的面积为3，则下列说法正确的是()A ．P 点纵坐标为3B ．∠F 1PF 2>π2C ．△F 1PF 2的周长为4(2＋1)D ．△F 1PF 2的内切圆半径为32(2－1)答案CD解析设点P 的坐标为(x ，y )，由椭圆E ：x 28＋y 24＝1，可知a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，所以c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×2c ×|y |＝12×4×|y |＝3，得到y ＝±32，A 说法错误；将y ＝±32代入椭圆E 的方程，得到x 28＋916＝1，解得x ＝±142，不妨取PF 1→·PF 2→2－142，－－142，－＝144－4＋94>0，所以∠F 1PF 2为锐角，B 说法错误；因为a ＝22，所以|PF 1|＋|PF 2|＝42，所以△F 1PF 2的周长为4＋42＝4(2＋1)，C 说法正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，因为△F 1PF 2的面积为3，所以12×r ×4(2＋1)＝3，解得r ＝32(2－1)，D 说法正确．故选CD.12．已知A ，B 两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是()A ．当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)B ．当－1<m <0时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)C ．当0<m <1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线(除去与x 轴的交点)D ．当m >1时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)答案ABD解析设点P 的坐标为(x ，y )(x ≠±1)，则直线AP 的斜率为k AP ＝yx ＋1，直线BP 的斜率为k BP＝y x －1.因为k AP ·k BP ＝m ，所以y x ＋1·y x －1＝m (x ≠±1)，化简得到点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－m ＝1(x ≠±1)，所以正确结论有A 、B 、D.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a ∈{－2，0，1，3}，b ∈{1，2}，则曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆的概率是________．答案38解析由题意，得(a ，b )共有8种不同情况，其中满足“曲线ax 2＋by 2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P ＝38.14．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线x 2－y24＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p ＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案2255解析抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，双曲线x 2－y 24＝1的两条渐近线方程分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p ，三角形的高为p 2，因此12×2p ×p2＝2，解得p ＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y ＝2x 和y ＝－2x 的距离相等，均为|2－0|5＝255.15．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．答案0或2或4解析设该点为P (x ，y )，椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c ＞0)，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2a ＋ex ，|PF 2|＝a －ex .|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|＝2a 2＋2c 2a2x 2＝4c 2.∴x 2＝2a 2－a 4c 2＝a 2（2c 2－a 2）c 2≥0.∴当a 2＞2c 2时，该点不存在；当a 2≤2c 2时，该点存在，且当a 2＝2c 2时这样的点有2个，当c 2<a 2<2c 2时有4个．16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．答案52解析利用渐近线与直线方程求出交点A ，B 的坐标，进而得出中点C 的坐标；由|PA |＝|PB |可知，PC 与直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)垂直，利用斜率关系求出a ，b 的关系式．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax .＝b a x ，－3y ＋m ＝0，得＝－b a x ，－3y ＋m ＝0，得－am a ＋3b ，所以AB 的中点C设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为|PA |＝|PB |，所以PC ⊥l .所以k PC ＝－3，即3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2.在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上异于两顶点的一动点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点．从F 2向∠F 1QF 2的平分线作垂线F 2P ，垂足为P ，求P 点的轨迹方程．解析如图，延长F 2P 交F 1Q 于点A ，连接OP ，则由角平分线的性质，知|AQ |＝|F 2Q |.由三角形中位线性质，知|OP |＝12|F 1A |.∴|OP |＝12(|QF 1|－|QA |)＝12(|QF 1|－|QF 2|)．若点Q 在双曲线的左支上时，|OP |＝12(|QF 2|－|QF 1|)，即|OP |＝12×2a ＝a ，∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y ≠0)．18．(12分)已知点P 到F 1(0，3)，F 2(0，－3)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与轨迹C 交于A ，B 两点．(1)求轨迹C 的方程；(2)若|AB |＝825，求k .解析(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a ＝2，c ＝3，b ＝22－（3）2＝1，故轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y1)，B (x 2，y 2)．2＋y 24＝1，＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＝16(k 2＋3)>0，且x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16（k 2＋3）（k 2＋4）2，所以|AB |2＝(1＋k )2(x 1－x 2)2＝(1＋k )2·16（k 2＋3）（k 2＋4）2＝12825，整理得(17k 2＋53)(k 2－1)＝0，解得k 2＝1，所以k ＝±1.19．(12分)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求m 的值．解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)＝x ＋m ，2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0，＝（2m －8）2－4m 2>0，1＋x 2＝8－2m ，1x 2＝m 2.由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10.得m ＝716(m ＜2)．(2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0.∴m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8.经检验得m ＝－8.20．(12分)如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标；(2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解析(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )，＝k （x －t ），＝14x 2，消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，令Δ＝0，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知点B ，O 关于直线PD 对称，＝－x 02t ＋1，－y 0＝0，0＝2t 1＋t 2，0＝2t 21＋t 2.因此，点B(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0.点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t 2.设△PAB 的面积为S ，所以S ＝12|AP |·d ＝t 32.21．(12分)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M (－2，0)，离心率为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N (1，0)的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点；当MA →·MB →取得最大值时，求△MAB 的面积．解析(1)由已知a ＝2，c a ＝22，得c ＝2，∴a 2－b 2＝2，即4－b 2＝2，∴b 2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴重合时，MA →·MB →＝0.当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1＋2，y 1)，MB →＝(x 2＋2，y 2)．ty ＋1，＋y 22＝1，得(t 2＋2)y 2＋2ty －3＝0.显然Δ>0，∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋2，y 1y 2＝－3t 2＋2.∴MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＝(t 2＋1)·－3t 2＋2＋3t ·－2t t 2＋2＋9＝－3－3t 2－6t 2t 2＋2＋9＝－9t 2－3t 2＋2＋9＝15t 2＋2≤152，∴MA →·MB →的最大值为152.此时t ＝0，直线AB 的方程为x ＝1.综上可知MA →·MB →的最大值为152.1，＋y 22＝1，＝1，＝6＝1，＝－62，不妨令|AB |＝6，又|MN |＝3，∴S △MAB ＝12|MN |·|AB |＝12×3×6＝362.22．(12分)已知曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍．(1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与x 轴正半轴交于点A 2，不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点(异于点A 2)．若以AB 为直径的圆经过点A 2，试问直线l 是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解析(1)∵曲线C 上任意一点S (x ，y )都满足到直线l ′：x ＝2的距离是它到点T (1，0)的距离的2倍，∴|x －2|＝2·（x －1）2＋y 2，化简，得x 22＋y 2＝1，即曲线C 是椭圆，其方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，kx ＋m ，y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4mkx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝(4mk )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0，即2k 2＋1>m 2，x 1＋x 2＝－4mk1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.∵y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2·2m 2－21＋2k 2＋mk ·－4mk 1＋2k 2＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2.∵点A 2(2，0)在以AB 为直径的圆上，∴AA 2⊥BA 2，即AA 2→·BA 2→＝0.又AA 2→＝(2－x 1，－y 1)，BA 2→＝(2－x 2，－y 2)，∴(2－x 1，－y 1)·(2－x 2，－y 2)＝0，即(2－x 1)(2－x 2)＋y 1y 2＝2－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴2＋2·4mk1＋2k 2＋2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝0，化简得2k 2＋42mk ＋3m 2＝0，即(2k ＋m )(2k ＋3m )＝0，∴2k ＋m ＝0或2k ＋3m ＝0.当2k ＋m ＝0时，直线l ：y ＝k (x －2)过定点(2，0)，即过点A 2(2，0)，不满足题意；当2k ＋3m ＝0时，直线l 的方程可化为y ＝综上，直线l1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是()答案C解析由题意知k ＝b 2a c ＋a＝a －ca ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23.故选C.2．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >b >0)有相同的左、右焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是()A ．m －a B.12(m －a )C ．m 2－a 2D.m －a 答案A解析不妨取P 1|＋|PF 2|＝2m ，1|－|PF 2|＝2a ，解得|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a .∴|PF 1|·|PF 2|＝(m ＋a )(m －a )＝m －a .3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.433B.233C ．3D ．2答案A解析利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cosπ3，得4c 2＝r 12＋r 22－r 1r 2.1＋r 2＝2a 1，1－r 2＝2a 2，1＝a 1＋a 2，2＝a 1－a 2.∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c＝r 1c .令m ＝r 12c 2＝4r 12r 12＋r 22－r 1r 2＝41－r 2r 14＋34，当r 2r 1＝12时，m max＝163，∴max＝433.即1e 1＋1e 2的最大值为433.4．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1答案D解析根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D.5．【多选题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P ，Q 的坐标分别为(0，b )，(0，－b )，且四边形A 1PA 2Q 的面积为22，四边形A 1PA 2Q 的内切圆的周长为263π，则双曲线C 的方程为()A.x 22－y 2＝1B ．x 2－y 22＝1C.x 24－y 22＝1 D.x 22－y 24＝1答案AB解析因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，P (0，b )，Q (0，－b )，所以|A 1A 2|＝2a ，|PQ |＝2b ，所以|A 1P |＝|A 2Q |＝|A 1Q |＝|A 2P |＝a 2＋b 2＝c .又四边形A 1PA 2Q 的面积为22，所以4×12ab ＝22，即ab ＝2.记四边形A 1PA 2Q 的内切圆的半径为r ，则2πr ＝263π，解得r ＝63，所以2cr ＝22，所以c ＝ 3.又c 2＝a 2＋b 2＝3＝2，＝1＝1，＝2，所以双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1或x 2－y 22＝1.故选AB.6．【多选题】我们通常称离心率是5－12的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A 1，A 2，B 1，B 2分别为其左、右、上、下顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C 为“黄金椭圆”的是()A ．|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2B ．∠F 1B 1A 2＝90°C ．PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1D ．四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2答案BD 解析∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∴A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．对于A ，若|A 1F 1|·|F 2A 2|＝|F 1F 2|2，则(a －c )2＝(2c )2，∴a －c ＝2c ，∴e ＝13，不符合题意，故A 错误；对于B ，若∠F 1B 1A 2＝90°，则|A 2F 1|2＝|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2，∴(a ＋c )2＝a 2＋a 2＋b 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)，符合题意，故B 正确；对于C ，若PF 1⊥x 轴，且PO ∥A 2B 1，则c k PO ＝kA 2B 1，∴b 2a －c ＝b －a，解得b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴e ＝c a ＝c 2c ＝22，不符合题意，故C 错误；对于D ，若四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆过焦点F 1，F 2，即四边形A 1B 2A 2B 1的内切圆的半径为c ，则由菱形面积公式可得ab ＝c a 2＋b 2，∴c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52(舍去)或e 2＝3－52，∴e ＝5－12，故D 正确．故选BD.7．【多选题】已知方程mx 2＋ny 2＝1，其中m 2＋n 2≠0，则()A ．mn >0时，方程表示椭圆B ．mn <0时，方程表示双曲线C ．n ＝0时，方程表示抛物线D ．n >m >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆答案BD解析mx 2＋ny 2＝1表示椭圆的充要条件是m >0，n >0，A 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示双曲线的充要条件是mn <0，B 正确；当n ＝0时，mx 2＝1不表示抛物线，C 不正确；mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是n >m >0，D 正确．故选BD.8.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________．答案2＋1思路分析根据正方形的边长及O 为AD 的中点，求出点C ，F 的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．解析∵正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b ，O 为AD 的中点，∴b ，又∵点C ，F 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，2＝pa ，2＝2解得ba ＝2＋1.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案x 2＋32y 2＝1思路分析根据题意，求出点B 的坐标代入椭圆方程求解．解析设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →.∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－51－b 23，y 0＝－b 23.∴点B －51－b 23，－将B －51－b 23，－x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案±1解析设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)2＝4x ，＝k （x ＋1），得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2.∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2，y 1＋y 22＝2k ，即1＋2k 2，又|FQ |＝2，F (1，0)，1＋2k2－＝4，解得k ＝±1.11.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析方法一：根据题图设焦点坐标为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，依题意设M ，23b 在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.方法二：设，23b ，代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53.12．已知抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M ，过M 作斜率为k 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为P ，AB 的垂直平分线与x 轴交于E (x 0，0)．(1)求k 的取值范围；(2)求证：x 0<－3.解析(1)由y 2＝－4x ，可得准线x ＝1，从而M (1，0)．设l 的方程为y ＝k (x －1)，＝k （x －1），2＝－4x ，得k 2x 2－2(k 2－2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 存在，∴Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0，∴－1<k <1.又k ≠0，∴k ∈(－1，0)∪(0，1)．(2)证明：设P (x 3，y 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，可得x 3＝x 1＋x 22＝k 2－2k 2，y 3＝＝－2k k 2＝－2k.即直线PE 的方程为y ＋2k ＝－令y ＝0，x 0＝－2k2－1.∵k 2∈(0，1)，∴x 0<－3.13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解析(1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组k （x ＋1），＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝± 2.14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆x225＋y29＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝π2.若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．解析(1)椭圆x225＋y29＝1的右焦点为(4，0)，所以抛物线C的方程为y2＝16x.(2)设点M(a，0)(a≠0)满足题设，当PQ的斜率存在时，PQ的方程为y＝k(x－a)，2＝16x，＝k（x－a）⇒k2x2－2(ak2＋8)x＋a2k2＝0，则x1＋x2＝2（ak2＋8）k2，x1x2＝a2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由∠POQ＝π2，得x1x2＋y1y2＝0.从而x1x2＋k2(x1－a)(x2－a)＝0⇒a2－16a＝0⇒a＝16，若PQ的方程为x＝a，代入抛物线方程得y＝±4a，当∠POQ＝π2时，a＝4a，即a＝16，所以存在满足条件的点M(16，0)．15.如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且AB→与OM→是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．解析(1)设M(x M，y M)，∵F1(－c，0)，∴x M＝－c，y M＝b2a，∴k OM＝－b2ac.由题意知k AB＝－ba，∵OM→与AB→是共线向量，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，∴a＝2c，∴e＝22(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，则r1＋r2＝2a.又|F1F2|＝2c，∴由余弦定理，得cosθ＝r12＋r22－4c22r1r2＝（r1＋r2）2－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1a2－1＝0，当且仅当r1＝r2时等号成立，∴cosθ≥0，∴θ，π2..。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作综合检测(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知下列语句:①你准备考北大吗?②斜率相同的直线平行.③世界上没有免费的午餐.④向抗击非典的英雄致敬!⑤x<-3或x>3.⑥5≥5.其中不是命题的是( )A.①②④B.①④⑤C.②③⑤D.①④答案:B解析:①是疑问句,④是感叹句,⑤无法判断真假.2.下列说法中错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件C.对命题p:A∩⌀=⌀,命题q:A∪⌀=A,则“p∧q”为假命题D.对于命题p:存在x∈R,使得x2+x+1<0,则p:任意的x∈R,均有x2+x+1≥0 答案:C解析:选项C中因为命题p,q均为真命题,所以“p∧q”为真命题.3.已知f(2)=-2,f'(2)=g(2)=1,g'(2)=2,则函数在x=2处的导数值为( )A.-B.C.-5D.5答案:A解析:利用导数的商的运算法则求解,代入条件即可.4.如果p:x>2,q:x≥2,那么p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:易知p⇒q,但q p,故p是q的充分不必要条件.5.θ是任意实数,则方程x2cosθ+y2=4表示的曲线不可能是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案:C解析:无论cosθ为何值,都不会出现x的一次项.6.以=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:将方程=-1化为=1,它表示焦点在y轴上的双曲线,其中a2=12,b2=4,c2=16.由题意知椭圆焦点在y轴上,=16,=12,=16-12=4,∴所求椭圆方程为=1.7.若双曲线=1的两条渐近线恰好是曲线y=ax2+的两条切线,则a的值为( )A. B. C.± D.答案:A解析:双曲线=1的两条渐近线为y=±x,它恰好是抛物线y=ax2+的两条切线,a<0时不可能,∴a>0,且y'=2ax,∴2a=,则a=,经检验此时相切.8.函数f(x)=e x-e x在[0,2]上的最大值为( )A.0B.1C.e-2D.e(e-2)答案:D解析:f'(x)=e x-e,由f'(x)=0,得x=1,比较f(0),f(1),f(2)知最大值为e(e-2).9.如图,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.-1答案:D解析:连接AF1(图略),由圆的性质可知,∠F1AF2=90°.又∵△F2AB是等边三角形,∴∠AF2F1=30°.∴AF1=c,AF2=c,∴e=-1.10.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)答案:B解析:设m(x)=f(x)-(2x+4),则m'(x)=f'(x)-2>0,∴m(x)在R上是增函数.∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,∴m(x)>0的解集为{x|x>-1},即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).11.下列关于函数f(x)=x3-3x2+1(x∈R)的性质叙述错误的是( )A.f(x)在区间(0,2)上单调递减B.曲线y=f(x)在点(2,-3)处的切线方程为y=-3C.f(x)在x=0处取得最大值1D.f(x)在其定义域上没有最大值答案:C解析:由题意得f'(x)=3x2-6x,令f'(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2,所以函数在(0,2)上单调递减,在x=0处取得极大值1.又f'(2)=0,所以A,B,D均正确,只有C错误.12.设函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x),满足f'(x)>f(x),则当a>0时,f(a)与e a f(0)的大小关系为( )A.f(a)=e a f(0)B.f(a)>e a f(0)C.f(a)<e a f(0)D.不能确定答案:B解析:设函数g(x)=,则g'(x)=>0,所以函数g(x)在R上单调递增,所以g(a)=>g(0)=,即f(a)>e a f(0).二、填空题(每小题4分,共16分)13.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”及它的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题有个,真命题有个.答案:2 2解析:在四种命题中,真命题(或假命题)的个数总是偶数0或2或4,本题的原命题是假命题,因此它的逆否命题也是假命题,逆命题“可以被9整除的正整数的各位数字之和是3的倍数”是真命题,因此,否命题也是真命题.14.右图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.答案:2解析:建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±,所以水面宽2米.15.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是.答案:9解析:令y=f(x),则f(x)=x3+11,∴f'(x)=3x2.∴f'(1)=3.∴曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1).令x=0,得y=9.16.如图所示,F为双曲线C:=1的左焦点,双曲线C上的点P i与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称,则的值是.答案:18解析:设E为双曲线的右焦点,根据双曲线的对称性,,∴=2a=6,同理可得其他两对差的值.故所求式子的值为18.三、解答题(共74分)17.(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(2)∀x∈{x|x>0},x+≥2;(3)∃x∈{x|x∈Z},log2x>2.解:(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题;(2)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题;(3)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.18.(12分)命题p:方程=1是焦点在y轴上的椭圆,命题q:函数f(x)=x3-2mx2+(4m-3)x-m在(-∞,+∞)上单调递增,若p∧q为假,p∨q为真,求实数m的取值范围.解:对于命题p,由条件可得m>2.对于命题q,由f'(x)=4x2-4mx+(4m-3)≥0对x∈R恒成立,得Δ=(-4m)2-16(4m-3)≤0,解得1≤m≤3.由p∧q为假,p∨q为真,得p与q一真一假.若p真q假时,则可得解得m>3.若p假q真时,则可得解得1≤m≤2.综上可得,m的取值范围是1≤m≤2或m>3.19.(12分)已知函数f(x)=x3-ax2+3x,a∈R.(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,5]上的最大值;(2)若函数f(x)是R上的单调递增函数,求实数a的取值范围.解:(1)f'(x)=3x2-2ax+3,令f'(3)=0,即27-6a+3=0,∴a=5.f(x)=x3-5x2+3x,令f'(x)=3x2-10x+3=0,解得x=3或x=(舍去).当x变化时,f'(x),f (x)的变化情况如下表:x 1 (1,3) 3 (3,5) 5f'(x)-0 +f( x) -1单调递减↘-9单调递增↗15因此,当x=5时,f(x)在区间[1,5]上有最大值是f(5)=15.(2)f(x)是R上的单调递增函数转化为f'(x)≥0在R上恒成立,从而有f'(x)=3x2-2ax+3,由Δ=(-2a)2-4×3×3≤0,解得-3≤a≤3.20.(12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示.第t 天 410 16 22 Q (万股)36 30 2418(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式;(3)在(2)的结论下,用y (万元)表示该股票日交易额,写出y 关于t 的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少? 解:(1)P=(2)设Q=at+b (a ,b 为常数),将(4,36)与(10,30)的坐标代入,得解得a=-1,b=40. 日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q=40-t ,0<t ≤30,t ∈N *. (3)由(1)(2)可得 y= 即y=当0<t ≤20时,当t=15时,y max =125;当20<t ≤30时,y=t 2-12t+320在(20,30]上是减函数, 所以,第15日交易额最大,最大值为125万元.21.(12分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P ,求抛物线的方程和双曲线的方程.解:依题意,设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),∵点P 在抛物线上,∴6=2p×,∴p=2, ∴所求抛物线的方程为y 2=4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x=-1上, ∴c=1,即a 2+b 2=1. 又点P 在双曲线上, ∴=1, 解方程组 得(舍去)∴所求双曲线的方程为4x 2-y 2=1.22.(14分)已知F 1,F 2是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,O 为坐标原点,点P 在椭圆上,且=0,☉O 是以F 1F 2为直径的圆,直线l :y=kx+m 与☉O 相切,并且与椭圆交于不同的两点A ,B.(1)求椭圆的标准方程; (2)当时,求k 的值.解:(1)依题意,可知PF1⊥F1F2,∴c=1,=1,a2=b2+c2,解得a2=2,b2=1,c2=1,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)直线l:y=kx+m与☉O:x2+y2=1相切,则=1,即m2=k2+1.由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.∵直线l与椭圆交于不同的两点A,B,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴Δ>0⇒k2>0⇒k≠0,x1+x2=-,x1x2=,∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,∴·=x1x2+y1y2=,∴k=±1.。

人教版高中数学选修1～1 全册同步练习及检测目录1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件11.2充分条件与必要条件21.3_1.4试题1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词同步测试第1章《常用逻辑用语》单元测试（1）第1章《常用逻辑用语》单元测试（2）第1章《常用逻辑用语》单元测试（3）第1章《常用逻辑用语》单元测试（4）2.1椭圆《椭圆的几何性质》2.1椭圆2.2双曲线双曲线几何性质2.2双曲线双曲线及其标准方程2.3抛物线习题精选2.3抛物线抛物线及其标准方程第2章《圆锥曲线与方程》单元测试（1）第2章《圆锥曲线与方程》单元测试（2）3.1变化率与导数3.2.2导数的运算法则3.2导数的计算3.3.3函数的最大值与最小值3.3《导数在研究函数中的应用》3.4生活中的优化问题举例第3章《导数及其应用》单元测试（1）第3章《导数及其应用》单元测试（2）1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.答案：312a a a⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，剠．第2题. 若a b c ∈R ，，，写出命题“200ac ax bx c <++=若则，”有两个相异实根的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.答案：逆命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈<R 有实根，则若，，，假；否命题：200ac ax bx c ++=若则，…（a b c ∈R ，，）没有实数根，假；逆否命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根，则，，…，真．第3题. 在命题22a b a b >>若则“，”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为.答案：3．第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是.答案：假设三角形的内角中没有钝角．第5题. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是. 答案：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠．第6题. 命题“若a b ，>则55a b -->”的逆否命题是( ) (A)若a b ，<则55a b --<(B)若55a b --，>则a b >(C) 若a b ，…则55a b --… (D)若55a b --，…则a b …答案：Ｄ第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题答案：Ａ第8题. 命题“若60A ∠=，则ABC △是等边三角形”的否命题是( ) (A)假命题(B)与原命题同真同假(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假答案：Ｄ第9题. ）(A) (B)是有理数(C) (D)答案：Ｄ第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) (A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题 (C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题答案：Ｃ第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( ) (A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题 (C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题答案：Ｃ第12题. 命题“若a A b B ∈∈则，”的否定形式是( ) (A)a A b B ∉∉若则， (B)a A b B ∈∉若则， (C)a A b B ∈∈若则， (D)b A a B ∉∉若则，答案：Ｂ第13题. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) (A)能被3整除的整数，一定能被6整除 (B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除 (C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除 (D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案：Ｂ第14题. 下列说法中，不正确的是( ) (A)“若p q 则”与“若q p 则”是互逆的命题 (B)“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题 (C)“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否的命题 (D)“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否的命题答案：Ｂ第15题. 以下说法错误的是( )(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题 (B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数 (D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案：Ｂ第16题. 下列四个命题:⑴“若220x y +=，则实数x y ，均为0”的逆命题；⑵“相似三角形的面积相等“的否命题 ; ⑶“A B A A B =⊆ 则，”逆否命题;⑷“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，其中真命题为( ) (A) ⑴⑵ (B)⑵⑶ (C)⑴⑶ (D)⑶⑷答案：Ｃ第17题. 命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是．答案：a b +不是偶数则a b ，不都是偶数．第18题. 已知命题:33p …；:34q >，则下列选项中正确的是（） A ．p 或q 为真，p 且q 为真，非p 为假； B ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真； C ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为假； D ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假答案：Ｄ第19题. 下列句子或式子是命题的有（）个．①语文和数学；②2340x x --=；③320x ->；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上． Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个答案：Ａ第20题. 命题①12是4和3的公倍数；命题②相似三角形的对应边不一定相等；命题③三角形中位线平行且等于底边长的一半；命题④等腰三角形的底角相等．上述4个命题中，是简单命题的只有（ ）． Ａ．①，②，④ Ｂ．①，④ Ｃ．②，④ Ｄ．④答案：Ａ第21题. 若命题p 是的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则q 是r 的（ ） Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对答案：Ｂ第22题. 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么q 为 命题．答案：真第23题. 下列命题：①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②4边相等的四边形是正方形的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“22ac bc >则a b >”的逆命题，其中真命题是 ．答案：①，②，③第24题. 命题“若0ad =，则0a =或0b =”的逆否命题是 ，是 命题．答案：若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠，真第25题. 已知命题:p N Z Ü，:{0}q ∈N ，由命题p ，q 构成的复合命题“p 或q ”是 ，是 命题；“p 且q ”是 ，是 命题；“非p ”是 ，是 命题．答案：p 或q ：N Z Ü或{0}∈N ，为真；p 且q :N Z Ü且{0}∈N ，为假；非:p N Z Ú或=N Z ，为假．第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假． （1）23≤；（2）()A A B Ú；（3）1是质数或合数；（4）菱形对角线互相垂直平分．答案：（1）这个命题是“p 或q ”形式，p ：23<，q ：23=．p 真q 假，p ∴或q 为真命题．（2）这个命题是“非p ”形式，:()p A A B ⊆ ，p 为真，∴非p 是假命题．（3）这个命题形式是p 或q 的形式，其中:1p 是命 数，:1q 是质数．因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假命题．（4）这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形对角线互相垂直；:q 菱形对角线互相平分． 因为p 真q 真，所以“p 且q ”为真命题．第27题. 如果p ，q 是2个简单命题，试列出下列9个命题的直值表：（1）非p ；（2）非q ；（3）p 或q ；（4）p 且q ；（5）“p 或q ”的否定；（6）“p 且q ”的否定；（7）“非p 或非答案：第28题. 设命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．答案：否命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=没有实数根”； 逆命题为“若关于x 的方程20x x m +-=有实数根，则0m >”； 逆否命题“若关于x 的方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”． 由方程的判别式14m =+ 得0> ，即14m >-，方程有实根． 0m ∴>使140m +>，方程20x x m +-=有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程20x x m +-=有实根，必须14m >-，不能推出0m >，故逆命题为假．1.2 充分条件与必要条件测试练习第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ａ第2题. 设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．1x > Ｂ．1x < Ｃ．3x > Ｄ．3x <答案：Ａ第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第4题. 设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件答案：Ｂ第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件． 答案：必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空（U 为全集，A B ，为U 的子集）：（1）A B =___________A B ⊆． （2）A B ⊆___________U UB A 痧⊆．答案：⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件，则A 是B ⌝的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第8题. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第9题. 条件甲：()200ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a ->且0ca>，则甲是乙的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｃ第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．答案：（1）必要条件 （2）充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．答案：必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件．答案：必要不充分条件第13题. 设全集为U ，在下列条件中，哪些是B A ⊆的充要条件？ （1）A B A = ； （2）U A B =∅ ð； （3）U UA B 痧⊆．答案：三者都是第14题. 是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．如果存在，求出p 的取值范围．答案：4p ≥时，“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件；不存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．第15题. 已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．答案：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R或．由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤．第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<<Ｄ．12x -<<答案：Ｂ第17题. 设A B ，是非空集合，则A B A = 是A B =的_________条件． 答案：必要不充分第18题. 已知:523p x ->，21:045q x x >+-，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？ 答案：充分不必要条件第19题. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｄ第20题. 已知条件M ：“A B C A B C '''△∽△”；条件N ：“AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥”，则M 是N 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）x A B ∈ 是x A ∈的 ； （2）x A B ∈ 是x B ∈的 ；（3）()U x A ∈ð是x U ∈的； （4）()U x A A ∈ 饀是x A ∈的； （5）“A =∅”是“A B B = ”的 ； （6）“A B Ü”是“A B A = ”的；（7）“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ； （8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的；（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的；（10）设1O ，2O 的半径为1r ，2r ，则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的． 答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件 （4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件 （10）充要条件．第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}23B y y x x A ==+∈，，{}2C z z x x A ==∈，，求使C B ⊆的充要条件．答案：132a ≤≤．第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>，对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么？答案：04a <≤．第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件．答案：01a <≤．第25题. 求三个实数a b c ，，不全为零的充要条件．答案：a b c ，，中至少有一个不是零．第26题. 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，写出B A Ü的一个充分不必要条件．答案：0m =，13m =，12m =-中之一即可．第27题. 三个数a b c ，，不全为零的充要条件是（ ） Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零 Ｃ．a b c ，，中只有一个为零 Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零答案：Ｄ第28题. 设p ：“x y z ，，中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”；q ：22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”，那么p ，q 的真假是（） Ａ．p 真q 真Ｂ．p 真q 假Ｃ．p 假q 真Ｄ．p 假q 假答案：Ｂ第29题. 已知a 为非零实数，x 为某一实数，有命题p ：{}x a a ∈-，，q ：x a =，则p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“13x >且23x >”的充要条件．答案：不是充要条件；1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩．1.2 充分条件与必要条件 同步测试第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ａ第2题. 设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．1x > Ｂ．1x < Ｃ．3x > Ｄ．3x <答案：Ａ第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第4题. 设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件答案：Ｂ第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件． 答案：必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空（U 为全集，A B ，为U 的子集）：（1）A B =___________A B ⊆． （2）A B ⊆___________U UB A 痧⊆．答案：⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件，则A 是B ⌝的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第8题. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第9题. 条件甲：()200ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a ->且0ca>，则甲是乙的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｃ第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．答案：（1）必要条件 （2）充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．答案：必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件．答案：必要不充分条件第13题. 设全集为U ，在下列条件中，哪些是B A ⊆的充要条件？ （1）A B A = ； （2）U A B =∅ ð； （3）U UA B 痧⊆．答案：三者都是第14题. 是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．如果存在，求出p 的取值范围．答案：4p ≥时，“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件；不存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．第15题. 已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．答案：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R或．由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤．第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<<Ｄ．12x -<<答案：Ｂ第17题. 设A B ，是非空集合，则A B A = 是A B =的_________条件． 答案：必要不充分第18题. 已知:523p x ->，21:045q x x >+-，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？ 答案：充分不必要条件第19题. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｄ第20题. 已知条件M ：“A B C A B C '''△∽△”；条件N ：“AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥”，则M 是N 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）x A B ∈ 是x A ∈的 ； （2）x A B ∈ 是x B ∈的 ；（3）()U x A ∈ð是x U ∈的； （4）()U x A A ∈ 饀是x A ∈的； （5）“A =∅”是“A B B = ”的 ； （6）“A B Ü”是“A B A = ”的；（7）“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ； （8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的；（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的；（10）设1O ，2O 的半径为1r ，2r ，则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的． 答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件 （4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件 （10）充要条件．第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}23B y y x x A ==+∈，，{}2C z z x x A ==∈，，求使C B ⊆的充要条件．答案：132a ≤≤．第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>，对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么？答案：04a <≤．第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件．答案：01a <≤．第25题. 求三个实数a b c ，，不全为零的充要条件．答案：a b c ，，中至少有一个不是零．第26题. 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，写出B A Ü的一个充分不必要条件．答案：0m =，13m =，12m =-中之一即可．第27题. 三个数a b c ，，不全为零的充要条件是（ ） Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零 Ｃ．a b c ，，中只有一个为零 Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零答案：Ｄ第28题. 设p ：“x y z ，，中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”；q ：22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”，那么p ，q 的真假是（） Ａ．p 真q 真Ｂ．p 真q 假Ｃ．p 假q 真Ｄ．p 假q 假答案：Ｂ第29题. 已知a 为非零实数，x 为某一实数，有命题p ：{}x a a ∈-，，q ：x a =，则p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“13x >且23x >”的充要条件．答案：不是充要条件；1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩．高中新课标数学选修（1-1）1.3～1.4测试题一、选择题1．若命题:21()p m m -∈Z 是奇数，命题:21()q n n +∈Z 是偶数，则下列说法正确的是（ ）Ａ．p q ∨为真 Ｂ．p q ∧为真 Ｃ．p ⌝为真Ｄ．q ⌝为假答案：Ａ2．在下列各结论中，正确的是（ ）①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分条件但不是必要条件； ②“p q ∧”为假是“p q ∨”为假的充分条件但不是必要条件； ③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要条件但不充分条件； ④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要条件但不是充分条件． Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④ 答案：Ｂ3．由下列命题构成的“p q ∨”，“p q ∧”均为真命题的是（ ） Ａ．:p 菱形是正方形，:q 正方形是菱形 Ｂ．:2p 是偶数，:2q 不是质数 Ｃ．:15p 是质数，:4q 是12的约数 Ｄ．{}:p a a b c ∈，，，{}{}:q a a b c ⊆，， 答案：Ｄ4．命题:p 若a b ∈R ，，则1a b +>是1a b +>的充分条件但不是必要条件，命题:q 函数y =的定义域是(][)13--+ ，，∞∞，则下列命题（ ）Ａ．p q ∨假Ｂ．p q ∧真Ｃ．p 真，q 假Ｄ．p 假，q 真答案：Ｄ5．若命题:p x ∀∈R ，22421ax x a x ++-+≥是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．3a -≤或2a ≥ Ｂ．2a ≥ Ｃ．2a >-Ｄ．22a -<<答案：Ｂ6．若k M ∃∈，对x ∀∈R ，210kx kx --<是真命题，则k 的最大取值范围M 是（ ） Ａ．40k -≤≤ Ｂ．40k -<≤ Ｃ．40k -<≤Ｄ．40k -<<答案：Ｃ 二、填空题7．命题“全等三角形一定相似”的否命题是 ，命题的否定是 ． 答案：两个三角形或不全等，则不一定相似；两个全等三角形不一定相似8．下列三个特称命题：（1）有一个实数x ，使2440x x ++=成立；（2）存在一个平面与不平行的两条直线都垂直；（3）有些函数既是奇函数又是偶函数．其中真命题的个数为 ． 答案：29．命题p q ∧是真命题是命题p q ∨是真命题的 （填“充分”、“必要”或“充要”）条件． 答案：充分10．命题:p x ∃∈R ，2250x x ++<是 （填“全称命题”或“特称命题”），它是 命题（填“真”或“假”），它的否定命题:p ⌝ ，它是 命题（填“真”或“假”）．答案：特称命题；假；x ∀∈R ，2250x x ++≥；真11．若x ∀∈R ，11x x a -++>是真命题，则实数a 的取值范围是 ．答案：(2)-，∞ 12．若x ∀∈R ，2()(1)x f x a =-是单调减函数，则a 的取值范围是 ．答案：(1)- 三、解答题13．已知命题2:10p x mx ++=有两个不相等的负根，命题2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．解：210x mx ++=有两个不相等的负根24020m m m ⎧->⇔⇔>⎨-<⎩，． 244(2)10x m +-+=无实根2216(2)160430m m x ⇔--<⇔-+<13m ⇔<<．由p q ∨为真，即2m >或13m <<得1m >；p q ∧∵为假，()p q p ⌝∧⇒⌝∴或q ⌝为真，p ⌝为真时，2m ≤，q ⌝为真时，1m ≤或3m ≥． p ⌝∴或q ⌝为真时，2m ≤或3m ≥．∴所求m 取值范围为{}123m m m <，或|≤≥．14．若x ∀∈R ，函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：（1）当0m =时，()f x x a =-与x 轴恒相交；（2）当0m ≠时，二次函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是14()0m m a ∆=++≥恒成立，即24410m am ∆=++≥恒成立，又24410m am ++≥是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是2(4)160a '∆=-≤，解得11a -≤≤．综上，当0m =时，a ∈R ；当0m ≠，[]11a ∈-，．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我获奖了”，乙说：“甲未获奖，乙也未获奖”，丙说：“是甲或乙获匀”，丁说：“是乙获奖”，四位歌手的话中有两句是对的，请问哪位歌手获奖． 甲获奖或乙获奖．解：①乙说的与甲、丙、丁说的相矛盾，故乙的话是错误的；②若两句正确的话是甲说的和丙说的，则应是甲获奖，正好对应于丁说的错，故此种情况为甲获奖；③若两句正确的话是甲说的和丁说的，两句话矛盾；④若两句正确的话是丙说的和丁说的，则为乙获奖，对应甲说的错，故此种情况乙获奖． 由以上分析知可能是甲获奖或乙获奖．《1.3简单的逻辑联结词》测试题A卷一．选择题：1．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（）A 命题p一定是假命题 B命题q一定是假命题C命题q一定是真命题 D命题q是真命题或者是假命题2．在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件④“ p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A①② B①③ C②④ D③④3．对下列命题的否定说法错误的是（）A p：能被3整除的整数是奇数； p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B p：每一个四边形的四个顶点共圆； p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C p：有的三角形为正三角形； p：所有的三角形都不是正三角形D p： x∈R，x2+2x+2≤0； p：当x2+2x+2>0时，x∈R4．已知p: 由他们构成的新命题“p且q”，“p或q”, “ ”中，真命题有（）A 1个B 2个C 3个D 4个5．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根B不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根C对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根D至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根6．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A. p真，q真B. p假，q假C. p真，q假D. p假，q真二．填空题：7．命题“ x∈R，x2+1<0”的否定是__________________。

（人教A版）高中数学必修一（全册）课时练习+单元测试卷汇总第1课时集合的含义第2课时集合的表示(2)当M中只含两个元素时, 其元素只能是x和8－x,所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}．(3)满足条件的集合M是由集合{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}中的元素组成, 它包括以下情况：①{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}, 共5个；②{4,0,8}, {4,1,7}, {4,2,6}, {4,3,5}, {0,8,1,7}, {0,8,2,6}, {0,8,3,5}, {1,7,2,6}, {1,7,3,5}, {2,6,3,5}, 共10个；③{4,0,8,1,7}, {4,0,8,2,6}, {4,0,8,3,5}, {4,1,7,2,6}, {4,1,7,3,5}, {4,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6}, {0,8,1,7,3,5}, {1,7,2,6,3,5}, {0,8,2,6,3,5}, 共10个；④{4,0,8,1,7,2,6}, {4,0,8,1,7,3,5}, {4,0,8,2,6,3,5}, {4,1,7,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6,3,5}, 共5个；⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}, 共1个．于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31(个)．A BB A且空集的子集只有一个A{3,4,9},A⊆B A＝BA B A BZ), 当A B答案：D解析：因为N ＝{x |x ≤k }, 又M ＝{x |－1≤x <2}, 所以当M ⊆N 时, k ≥2.6．已知集合P ＝{x |x 2＝1}, 集合Q ＝{x |ax ＝1}, 若Q ⊆P , 则a 的值为( ) A ．1 B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1 答案：D解析：P ＝{－1,1}, 当a ＝0时, Q ＝∅, 当a ≠0时, Q ＝{x |x ＝1a }, ∵Q ⊆P , ∴a ＝0或a ＝±1.二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)7．用适当的符号填空． (1)0________{x |x 2＝0}；(2)∅________{x ∈R |x 2＋1＝0}； (3){0,1}________N ；(4){0}________{x |x 2＝x }；(5){2,1}________{x |x 2－3x ＋2＝0}． 答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4) (5)＝8．已知集合P ＝{x |0<x －a ≤2}, Q ＝{x |－3<x ≤4}, 若P ⊆Q , 则a 的取值范围是________．答案：{a |－3≤a ≤2}解析：依题意, 知P ＝{x |a <x ≤a ＋2}, 又Q ＝{x |－3<x ≤4}, 若P ⊆Q , 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3a ＋2≤4, 解得－3≤a ≤2.9．已知集合M ＝{－1,3,2m －1}, 集合N ＝{3, m 2}, 若N ⊆M , 则实数m ＝________. 答案：1解析：依题意, 知当N ⊆M 时, 只能有m 2＝2m －1, 解得m ＝1, 经检验知满足题意． 三、解答题(本大题共6小题, 共45分)10．(5分)以下各组中两个对象是什么关系, 用适当的符号表示出来： (1)0与{0}； (2)0与∅； (3)∅与{0}；(4){0,1}与{(0,1)}； (5){(a , b )}与{(b , a )}． 解：(1)0∈{0}； (2)0∉∅(3)∅与{0}都是集合, 两者的关系是“包含与不包含”的关系, 所以∅{0}； (4){0,1}是含两个无素0,1的集合；而{(0,1)}是以有序数对为元素的集合, 它只含一个元素．所以{0,1}⊆{(0,1)}；且{0,1}⊉{(0,1)}；(5)当a ＝b 时, {(a , b )}＝{(b , a )}；当a ≠b 时, {(a , b )} ⊆{(b , a )}, 且{(a , b )}⊉{(b , a )}． 11．(13分)设集合A ＝{x , x 2, xy }, 集合B ＝{1, x , y }, 且集合A 与集合B 相等, 求实数x 、y 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1，xy ＝y ，①或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1.②解①, 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ∈R ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0.经检验⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ∈R ，不合题意, 舍去, 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.解②, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.经检验⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，不合题意, 舍去．∅∅12．(9分)已知M ＝{(x , y )|y ＝x 2＋2x ＋5}, N ＝{(x , y )|y ＝ax ＋1}． (1)若M ∩N 有两个元素, 求实数a 的取值范围；(2)若M ∩N 至多有一个元素, 求实数a 的取值范围．解：(1)因为M ∩N 有两个元素, 所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋2x ＋5y ＝ax ＋1有两组解,即一元二次方程x 2＋(2－a )x ＋4＝0有两个不等的实数根, 所以Δ＝(2－a )2－16＝a 2－4a －12>0,结合二次函数y ＝a 2－4a －12的图象, 可得a >6或a <－2. 所以实数a 的取值范围为{a |a >6或a <－2}．(2)因为M ∩N 至多有一个元素, 所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2x ＋5y ＝ax ＋1无解或只有一组解,即一元二次方程x 2＋(2－a )x ＋4＝0无实数根或有两个相等的实数根, 所以Δ＝(2－a )2－16＝a 2－4a －12≤0,结合二次函数y ＝a 2－4a －12的图象, 可得－2≤a ≤6. 所以实数a 的取值范围为{a |－2≤a ≤6}．能力提升13．(5分)对于集合A , B , 我们把集合{x |x ∈A , 且x ∉B }叫做集合A 与B 的差集, 记作A －B .若A ＝{1,2,3,4}, B ＝{3,4,5,6}, 则A －B ＝________.答案：{1,2}解：A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B } ＝{1,2,3,4}－{3,4,5,6} ＝ {1,2 }．14．(13分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}, 集合B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}, 是否存在实数a , 使得集合A , B 同时满足下列三个条件？①A ≠B ；②A ∪B ＝B ；③∅ (A ∩B )．若存在, 求出这样的实数a 的值；若不存在, 说明理由．解：由已知条件可得B ＝{2,3}, 因为A ∪B ＝B , 且A ≠B , 所以A ⊆B , 又A ≠∅, 所以A ＝{2}或A ＝{3}．当A ＝{2}时, 将2代入A 中方程, 得a 2－2a －15＝0, 所以a ＝－3或a ＝5, 但此时集合A 分别为{2, －5}和{2,3}, 与A ＝{2}矛盾．所以a ≠－3, 且a ≠5.当A ＝{3}时, 同上也能导出矛盾．综上所述, 满足题设要求的实数a 不存在．第5课时 补集1．已知全集U＝{0,1,3,5,6,8}, 集合A＝{1,5,8}, B＝{2}, 则集合(∁U A)∪B＝()A．{0,2,3,6} B．{0,3,6}C．{1,2,5,8} D．∅答案：A解析：依题意, 知∁U A＝{0,3,6}, 又B＝{2}, 所以(∁U A)∪B＝{0,2,3,6}．故选A.2．设集合U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,3,5}, B＝{2,3,5}, 则∁U(A∩B)等于()A．{1,2,4} B．{4}C．{3,5} D．{∅}答案：A解析：易知：A∩B＝{3,5}, 则∁U(A∩B)＝{1,2,4}, 故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}, 集合A＝{1,3,5,7}, B＝{3,5}, 则下列各式正确的是() A．U＝A∪B B．U＝(∁U A)∪BC．U＝A∪(∁U B) D．U＝(∁U A)∪(∁U B)答案：C解析：∵∁U B＝{1,2,4,6,7},∴A∪(∁U B)＝{1,2,3,4,5,6,7}＝U.故选C.4．已知M, N为集合I的非空真子集, 且M, N不相等, 若N∩(∁I M)＝∅, 则M∪N＝() A．M B．NC．I D．∅答案：A解析：由N∩(∁I M)＝∅, 可知N与∁I M没有公共元素, 则N⊆M, 又M≠N, 所以N M, 所以M∪N＝M.故选A.5．已知集合A＝{x|x<a}, B＝{x|1<x<2}, 且A∪(∁R B)＝R, 则实数a的取值范围是() A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}答案：C解析：由于A∪(∁R B)＝R, 则B⊆A, 可知a≥2.故选C.6．如图所示, I是全集, M, P, S是I的3个子集, 则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S答案：C解析：阴影部分是M与P的公共部分, 且在S的外部, 故选C.7．设集合M ＝{3,4,7,9}, N ＝{4,5,7,8,9}, 全集U ＝M ∪N , 则集合∁U (M ∩N )中的元素共有________个．答案：3解析：因为U ＝M ∪N ＝{3,4,5,7,8,9}, M ∩N ＝{4,7,9}, 则∁U (M ∩N )＝{3,5,8}, 可知其中的元素有3个．8．已知集合A ＝{x |－2≤x <3}, B ＝{x |x <－1}, 则A ∩(∁R B )＝________. 答案：{x |－1≤x <3} 解析：因为B ＝{x |x <－1}, 则∁R B ＝{x |x ≥－1}, 所以A ∩(∁R B )＝{x |－2≤x <3}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <3}．9．高一(1)班共有学生50人, 其中参加诗歌鉴赏兴趣小组的有30人, 参加书法练习兴趣小组的有26人, 同时参加两个兴趣小组的有15人, 则两个兴趣小组都没有参加的学生有________人．答案：9解析：设参加诗歌鉴赏兴趣小组的学生组成集合A , 参加书法练习兴趣小组的学生组成集合B , 如图所示, 依题意card(A )＝30, card(B )＝26, card(A ∩B )＝15, 则card(A ∪B )＝30＋26－15＝41.所以两个兴趣小组都没有参加的学生有50－41＝9(人)．三、解答题(本大题共4小题, 共45分)10．(12分)已知全集U ＝{3, a 2－3a －2,2}, A ＝{3, |a －1|}, ∁U A ＝{－2}, 求实数a 的值． 解：因为A ∪(∁U A )＝U ,所以{3, －2, |a －1|}＝{3, a 2－3a －2,2},从而⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －2＝－2|a －1|＝2, 解得a ＝3.11．(13分)已知全集U ＝{x |x ≤4}, 集合A ＝{x |－2<x <3}, B ＝{x |－3≤x ≤2}． (1)求(∁U A )∪B ； (2)求A ∩(∁U B )．解：易知∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}, ∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}． 则(1)(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}． (2)A ∩(∁U B )＝{x |2<x <3}．能力提升12．(5分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}, A ＝{1,5}, B ∁U A , 则集合B 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8B∁A．M＝N B．M⊆NC．M⊇N D．M, N无公共元素答案：D解析：因为M＝{(x, y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}＝{(－3,1)}是点集, 而N＝{－3,1}是数集, 所以两个集合没有公共元素, 故选D.6．已知全集U＝R, 集合A＝{x|1<x≤3}, B＝{x|x>2}, 则A∩(∁U B)等于()A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x<2}C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}答案：A解析：U＝R, ∴∁U B＝{x|x≤2}, A∩∁U B＝{x|1<x≤3}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．选A.二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)7．已知集合U＝R, A＝{x|－2<x≤5}, B＝{x|4≤x<6}, 则∁U(A∪B)＝________.答案：{x|x≤－2或x≥6}解析：(A∪B)＝{x|－2<x<6}又U＝R, 所以可得∁U(A∪B)＝{x|x≤－2或x≥6}．8．如图所示, 阴影部分表示的集合为________．答案：∁U(A∪B)∪(A∩B)解析：阴影部分有两类：(1)∁U(A∪B)；(2)A∩B.9．设集合M＝{x|x>1, x∈R}, N＝{y|y＝2x2, x∈R}, P＝{(x, y)|y＝x－1, x∈R, y∈R}, 则(∁R M)∩N＝________, M∩P＝________.答案：{x|0≤x≤1}∅解析：因为M＝{x|x>1, x∈R}, 所以∁R M＝{x|x≤1, x∈R}, 又N＝{y|y＝2x2, x∈R}＝{y|y≥0}, 所以(∁R M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因为M＝{x|x>1, x∈R}表达数集, 而P＝{(x, y)|y＝x －1, x∈R, y∈R}表示点集, 所以M∩P＝∅.三、解答题(本大题共4小题, 共45分)10．(12分)某班有50名学生, 有36名同学参加学校组织的数学竞赛, 有23名同学参加物理竞赛, 有3名学生两科竞赛均未参加, 问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞赛？解：全集为U, 其中含有50名学生, 设集合A表示参加数学竞赛的学生, B表示参加物理竞赛的学生, 则U中元素个数为50, A中元素个数为36, B中元素个数为23, 全集中A、B 之外的学生有3名, 设数学、物理均参加的学生为x名, 则有(36－x)＋(23－x)＋x＋3＝50, 解得x＝12.所以, 本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛．11．(13分)已知集合A＝{x|2<x<7}, B＝{x|2<x<10}, C＝{x|5－a<x<a}．(1)求A∪B, (∁R A)∩B；(2)若C⊆B, 求实数a的取值范围．＝{x|∅满足题设条件, 易知A BA B∅第7课时函数的有关概念第9课时映射与分段函数答案：B解析：因为|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≤0或x ≥2)，－x 2＋2x (0<x <2)，所以所求的图象为B 选项．5．设集合A ＝{a , b }, B ＝{0,1}, 从A 到B 的映射共有______个( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：如图：(2)y ＝x 2－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图所示．11．(13分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <1x 2－2x ，x ≥1.(1)试比较f (f (－3))与f (f (3))的大小；(2)画出函数f (x )的图象； (3)若f (x )＝1, 求x 的值．解：(1)因为－3<1, 所以f (－3)＝－2×(－3)＋1＝7, 又因为7>1, 所以f (f (－3))＝f (7)＝72－2×7＝35. 因为3>1, 所以f (3)＝32－2×3＝3, 所以f (f (3))＝3. 所以f (f (－3))>f (f (3))．(2)函数图象如图实线部分所示．而f(x1)<0, f(x2)<0, ∴f(x1)f(x2)>0. ∴F(x2)－F(x1)<0, 即F(x2)<F(x1)．∴F(x)在(0, ＋∞)上为减函数．。

模块测试卷时间：120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.★★ 已知：:31p x ->，24:0310x q x x ->+-，则P ⌝是q ⌝的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2. ★★方程221ax by +=表示双曲线的必要不充分条件是（ ）A ．0ab <B ．00a b <>且或a>0且b<0C ． 5ab <D ．0ab >3.★★★ 已知32y x px qx =--和图象与x 轴切于()1,0，则()f x 的极值情况是（ ）A ．极大值为1()3f ，极小值为(1)fB ．极大值为(1)f ，极小值为1()3fC ．极大值为1()3f ，没有极小值D ．极小值为(1)f ，没有极大值4. ★★★已知动点(),P x y 满足等式34x y =+，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两相交直线5.★★★ 的椭圆称为“优美椭圆”，设曲线C 是优美椭圆，F ，A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于（ ）A ．060B ．075C ．090D ．01206. ★★★已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,3-上的最小值为（ ） A ．37- B ．29- C ．5- D ．11-7. ★★M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则Q 是M 的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. ★★★已知命题p ：()log 2(01)a y ax a a a =+>≠且的图象必过定点()1,1-，命题q ：(3)y f x =-的图象关于原点对称，则函数()y f x =的图象关于点()3,0对称，则（ ）A ．p q 且为真B ．p q 或为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真9. ★★★已知0a b >>，12,e e 分别为圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b-=的离心率，则12lg lg e e +的值为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不确定10★★.函数3223125y x x x =--+在[]0,3上的最大值和最小值分别是（ ）A ．5,15-B ．5,4C ．4,15--D ．5,16-11.★★★ 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点()1,3，则b 的值为（ ）A ．3B ．3-C ．5D ．5-12. ★★★设'()f x 是函数()f x 的导函数，'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能是（ ）二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分13★★.已知命题p ：26x x -≥，q ：,x Z ∈又已知“p 且q ”和“非q ”同时为假命题，则x 的值为 。

高中同步测试卷(八)章末检测 圆锥曲线与方程 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标是( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－4，0)，(4，0)D ．(－5，0)，(5，0)2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.324．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．a ＞3或a ＜－2D ．a ＞3或－6＜a ＜－25．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.156．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形7．已知点F 1(－4，0)，F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1，F 2的距离之差为6，则该曲线的方程为( )A.x 29－y 27＝1(x ≥3)B.x 29－y 27＝1C.y 29－x 27＝1(y ≥3)D.y 29－x 27＝1 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( )A. 3B.62 C.63 D.339．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 10．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A ．2 5 B. 5 C ．210 D.1011．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是ABCD面内的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．以上都不是12．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2 ，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.2313．已知点(－2，3)与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离是5，则p ＝________． 14．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为(2，2)，则直线l 的方程为________．15．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．16．已知抛物线y 2＝4x的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．18．(本小题满分12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．19.(本小题满分12分)已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．20．(本小题满分12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为2 2，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．21.(本小题满分12分)已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．22．(本小题满分12分)如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)证明直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．参考答案与解析1．[导学号68670046]解析：选D.双曲线焦点在x轴上，且c＝16＋9＝5，所以焦点为(±5，0)．2．解析：选C.由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．[导学号68670047]解析：选C.双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，故是等轴双曲线，离心率e＝ 2.4．解析：选D.焦点在x轴上，则椭圆标准方程中x2项的分母应大于y2项的分母，即a2＞a＋6，解得a＞3或a＜－2.又x2，y2项分母应分别大于0，所以a＞3或－6＜a＜－2.5．[导学号68670048]解析：选B.设长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则2a＋2c＝2×2b，即a＋c＝2b⇒(a＋c)2＝4b2＝4(a2－c2)，整理得5c2＋2ac－3a2＝0，即5e2＋2e－3＝0⇒e ＝35或e ＝－1(舍)．故选B.6．解析：选B.由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.不妨设|PF 1|＞|PF 2|， ∵|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．7．[导学号68670049] 解析：选A.∵点P 到F 1、F 2的距离之差是6，而不是距离的差的绝对值是6，∴点P 所在曲线应是双曲线的右支，由题可知，2a ＝6，c ＝4，∴a ＝3，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝7，∴该曲线的方程为x 29－y 27＝1(x ≥3)，故选A. 8．解析：选B.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵△MF 1F 2为等腰三角形，∠F 1MF 2＝120°，∴∠MF 1F 2＝30°，∴tan 30°＝b c ＝33，b 2c 2＝13， c 2－a 2c 2＝1－(a c )2＝13，(c a )2＝32，∴e ＝62. 9．[导学号68670050] 解析：选B.可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.10．解析：选C.由题意，可知双曲线两个焦点的坐标分别为 F 1(－10，0)，F 2(10，0)．设点P (x ，y )， 则PF 1→＝(－10－x ，－y )，PF 2→＝(10－x ，－y )． ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴x 2＋y 2－10＝0，即x 2＋y 2＝10. ∴|PF 1→＋PF 2→| ＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝2（x 2＋y 2）＋20＝210. 11．[导学号68670051]解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，过P 作PQ 垂直A 1D 1，垂足为Q ，则PQ ∥平面DCC 1D 1，设P 点坐标为(x ，y ，0)，则Q (x ，0，1)，M (1，13，0)，过Q 作QN 垂直DA ，垂足为N ，连接PN ，则|PQ |2＝1＋y 2.|PM |2＝(x －1)2＋(y －13)2.由题意知|PQ |2－|PM |2＝1，即1＋y 2－(x －1)2－(y －13)2＝1，化简得(x －1)2＝23(y －16)．所以轨迹是抛物线．12．解析：选A.由e ＝ca ＝2得，c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a ，又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ， |F 2A |＝2a ，所以cos ∠AF 2F 1＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a＝14.13．[导学号68670052] 解析：∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得（p2＋2）2＋（－3）2＝5.解得p ＝4. 答案：414．解析：由已知可得抛物线方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， ∴k ＝1，∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 答案：y ＝x15．解析：依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，解得4c 2＋36＝4a 2， 即a 2－c 2＝9，故有b ＝3. 答案：3 16．解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°， 如图，则A (－1，2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝ca ＝ 6.答案： 617．解：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F (p 2，0)，直线l ：x ＝p2，∴A ，B 两点坐标为(p 2，p )，(p2，－p )，∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4， ∴12·⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线方程为y 2＝±42x .18．解：由共同的焦点F 1(0，－5)、F 2(0，5)， 可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1；双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1，点P (3，4)在椭圆上，16a 2＋9a 2－25＝1，a 2＝40，双曲线的过点P (3，4)的渐近线为 y ＝b 25－b 2x ，即4＝b 25－b2×3，b 2＝16. 所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1；双曲线方程为y 216－x 29＝1.19．解：(1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x ，得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－1k，y 1·y 2＝－1.因为y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，所以(y 1·y 2)2＝x 1·x 2，所以x 1·x 2＝1， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0， 所以OA ⊥OB .(2)设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为(－1，0)， 所以S △AOB ＝12|ON |·|y 1－y 2|＝12×|ON |×（y 1＋y 2）2－4y 1·y 2 ＝12×1× 1k 2＋4＝10， 解得k 2＝136∴k ＝±16.20．解：(1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点， 设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－169，x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋（－2）2|x 1－x 2| ＝5·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5·（－169）2－4×23＝1092，又点F 2(1，0)到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.21．解：依题意得，|F 1F 2|＝2， 又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3. ∵焦点在x 轴上，∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°， ∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan 120°， 即y ＝－3(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x ＋1），x 24＋y 23＝1.并注意到x ＜0，y ＞0，可得⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝335.22．解：(1)证明：设OA 所在直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即A 点的坐标为(2k 2，2k)．同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得B 点的坐标为(2k 2，－2k )．∴AB 所在直线的方程为 y ＋2k ＝2k＋2k 2k2－2k 2(x －2k 2)，高中数学-打印版精心校对 化简并整理，得(1k－k )y ＝x －2. 不论实数k 取任何不等于0的实数，当x ＝2时，恒有y ＝0.故直线过定点P (2，0)．(2)由于AB 所在直线过定点P (2，0)，所以可设AB 所在直线的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，消去x 并整理得y 2－2my －4＝0. ∴y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4.于是|y 1－y 2|＝（y 1－y 2）2＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝（2m ）2＋16＝2m 2＋4.S △AOB ＝12·|OP |·(|y 1|＋|y 2|) ＝12|OP |·|y 1－y 2|＝12×2×2m 2＋4＝2m 2＋4. ∴当m ＝0时，△AOB 的面积取得最小值为4.。