2020版高考数学二轮复习编专题八数学文化与创新应用第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破练习理

第1讲 数学文化一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22 B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ．5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B ．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3； 故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC＝x3＝PQ1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝AP AC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2； 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________． 解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎪⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.若4>n 不成立，执行循环体，S ＝1516，k ＝4＋1＝5.若5>n 不成立，执行循环体，S ＝3132，k ＝5＋1＝6.若6>n 不成立，执行循环体，S ＝6364，k ＝6＋1＝7.…由输出的S ∈(1516，6364)，可得当S ＝3132，k ＝6时，应该满足条件6>n ，所以5≤n <6，故输入的正整数n 的值为5.答案：515．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，B n ＝2n－12－1，令3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．答案：316．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为________．解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P ­ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD 且PA ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P ­ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2.答案：3π2第1讲 数学文化函数中的数学文化题[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个；②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形． 其中正确的命题为( )A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④【解析】 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故④错误．故选A ．【答案】 A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练](2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的12，第2关所收税金为剩余持金的13，第3关所收税金为剩余持金的14，第4关所收税金为剩余持金的15，第5关所收税金为剩余持金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为( )A ．136斤 B ．130斤 C ．125斤 D ．120斤解析：选C ．设此人持金x 斤，根据题意知第1关所收税金为x2斤；第2关所收税金为x6斤；第3关所收税金为x 12斤；第4关所收税金为x 20斤；第5关所收税金为x30斤．易知x 2＋x 6＋x 12＋x 20＋x30＝1，解得x ＝65.则第5关所收税金为125斤．故选C ．数列中的数学文化题[典型例题](1)(2019·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)(2019·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A ．17532里B ．1 050里C ．22 57532里D ．2 100里【解析】 (1)由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1516，d ＝18.所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15.因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C ．(2)由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{a n }，则该匹马首日行走的路程为a 1，公比为12，则有a 1[1－(12)7]1－12＝700，则a 1＝350×128127，则a 1[1－(12)14]1－12＝22 57532(里)．故选C ．【答案】 (1)C(2)C(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[对点训练]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D ．因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D ．2．(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A ．507斗粟B ．107斗粟C ．157斗粟D ．207斗粟解：选C ．法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C ．法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207(斗)，羊主人应赔偿5×17＝57(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157(斗)，故选C ．三角函数中的数学文化题[典型例题]《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．32 B ．34 C ．52D ．54【解析】 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，可设三角形的三边分别为a ＝(2－1)x ，b ＝5x ，c ＝(2＋1)x ，由题意得(2－1)x ＋5x ＋(2＋1)x ＝(22＋5)x ＝22＋5，则x ＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2＋1)2(2－1)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22＋3－22－522＝34，故选B ． 【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练](2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m ，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m ．若该小区内某居民在距离楼底27 m 高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.解析：设两住宅楼楼间距实际为x m ．如图，根据题意可得，tan ∠DCA ＝27x，tan ∠DCB ＝45－27x＝18x，又∠DCA ＋∠DCB ＝45°，所以tan (∠DCA ＋∠DCB )＝27x ＋18x1－27x ·18x＝1，整理得x 2－45x －27×18＝0，解得x ＝54或x ＝－9(舍去)．所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m.答案：54立体几何中的数学文化题[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A ．158B ．162C ．182D ．324(2) (2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．【解析】 (1)如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27.因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162. 故选B ．(2)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A ­BCD 所示，其中AB ＝22，BC ＝CD ＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A ­BCD 的外接球，设外接球的直径为2R ，所以4R 2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R 2＝3，因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.【答案】 (1)B (2)12π立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．[对点训练]1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V ＝112×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2解析：选A ．设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得体积为V ＝πr 2h .由题意知V ＝112×(2πr )2×h ，所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.故选A ．2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V ＝13πh (R 2＋r 2＋R ·r )，其中R ，r 分别表示上、下底面的半径，h 为高)( )A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸解析：选A ．由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为12×(12＋6)＝9(寸)，则盆中水的体积为13π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)，所以这一天该地的平均降雨量约为342ππ×122≈2(寸)，故选A ．算法中的数学文化题[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)()A．12 B．24C．36 D．48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝110011，k＝2，n＝7，则输出的b＝( )A．19 B．31C．51 D．63【解析】(1)按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin 60°＝332，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B．(2)按照程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b＝51时，i＝i＋1＝7，跳出循环，故输出b＝51.故选C．【答案】(1)B (2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为( )A．3 B．6C．7 D．30解析：选C．a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b 不满足都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b 成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b 不成立，a＝12，b＝3，a＝12－3＝9，n＝4＋1＝5；a＝b不成立，a>b成立，a＝9－3＝6，n ＝5＋1＝6；a＝b不成立，a>b成立，a＝6－3＝3，n＝6＋1＝7；a＝b成立，输出的kb＝6，n＝7.概率中的数学文化题[典型例题](1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( )A ．13 B ．14 C ．15D ．16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．136B ．118C ．112D ．19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P ＝9＝3.故选A ．(2)函数y ＝3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118.故选B ．【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有。

第1讲　数学文化及核心素养类试题「考情研析」 数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.核心知识回顾1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1　(2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．i <20，S ＝S －，i ＝2i1iB ．i ≤20，S ＝S －，i ＝2i1i C ．i <20，S ＝，i ＝i ＋1S 2D ．i ≤20，S ＝，i ＝i ＋1S 2答案　D解析　根据题意可知，第一天S ＝，所以满足S ＝，不满足S ＝S －，故排除A ，B ；由框图可知，12S 21i 计算第二十天的剩余时，有S ＝，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.S 2以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A ．121B ．81C ．74D ．49答案　B解析　满足a ≤32，第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；满足a ≤32，第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16；满足a ≤32，第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；满足a ≤32，第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32；满足a ≤32，第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40.不满足a ≤32，输出S .故选B.考向2 数列中的数学文化例2　(2019·陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2n －1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前15项和为( )A ．110B ．114C ．124D ．125答案　B解析　由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第n ＋1行，令x ＝1，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为20，第2行为21，第3行为22，…以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为S n ＝＝2n －1，若除去所有为1－2n1－21的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则T n ＝，令＝15，解得n ＝5，所以前15项的和表示前7行的数列之和减去所n n ＋1 2n n ＋1 2有的1，即(27－1)－13＝114，即前15项的数字之和为114，故选B.以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14＋a 15＋a 16＋a 17的值为( )A ．55B ．52C ．39D ．26答案　B解析　设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布，则S 30＝390，所以30×5＋d ＝390，30×292解得d ＝，所以a 14＋a 15＋a 16＋a 17＝4a 1＋58d ＝4×5＋58×＝52.故选B.16291629考向3 立体几何中的数学文化例3　(2019·六安市第一中学高三模拟)我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．答案　4π解析　因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2a －πb 2a ＝πb 2a ，所以椭球体的体积为1323V ＝πb 2a ，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为43V ＝πb 2a ＝π×12×3＝4π，故答案是4π.4343依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若A 1A ＝AB ＝2，当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为( )A. B. C ．2 D ．28322答案　C解析　由阳马的定义，知VB －A 1ACC 1＝A 1A ·AC ·BC ＝AC ·BC ≤(AC 2＋BC 2)＝AB 2＝，当且仅1323131343当AC ＝BC ＝时等号成立，所以当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为2×××2＝2，故选C.1222考向4 概率中的数学文化例4　(2019·皖南八校高三第三次联考)七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D.5161132381332答案　A解析　设正方形的边长为4，则正方形的面积为S ＝4×4＝16，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为2，下底边长为3，高为，所以阴影部分的面积为S 1＝×(2＋3)×＝5，根据22212222几何概型，可得概率为P ＝＝，故选A .S 1S 516数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．《算法统宗》是我国古代的数学名著，书中把三角形中的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在邪田内随机种植一株茶树，则该茶树恰好被种在圭田内的概率为( )A. B. C. D.2152541515答案　A解析　根据题意，得出其示意图如图所示，题意为：在直角梯形ABCD 内随机种一株茶树，求该茶树恰好被种在三角形AEF 内的概率．且已知AB ＝20，DC ＝10，AD ＝10，AE ＝8，三角形AEF 的高h ＝5，所以该茶树被种在三角形AEF 内的概率P ＝＝，故选A.8×5×1220＋10 ×10×12215考向5 推理与证明中的数学文化例5　(2019·南充市第三次诊断)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A .钱 B.钱 C .钱 D .钱54433253答案　B解析　设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，解得a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×＝a ＝，故选B.(－a 6)4343以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论．解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题．(2019·上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年．答案　戊戌解析　从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61÷10＝6余1，则2078年的天干为戊，61÷12＝5余1，则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年．考向6 数学文化与现代科学例6　2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③<；④c 1a 2>a 1c 2.c1a 1c2a 2其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案　D解析　观察题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF|，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0，知<，即<，从而c 1a 2>a 1c 2，>.即④式正a 1－c1c1a 2－c2c2a 1c1a 2c2c1a 1c2a 2确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ＝________.(θ＋π4)答案　－7解析　依题意，得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5si nθ－5c os θ＝1，则(0<θ<π2)si nθ－c os θ＝.15从而(si nθ＋c os θ)2＝2－(si nθ－c os θ)2＝，则si nθ＋c os θ＝，492575因此sin θ＝，c os θ＝，tanθ＝.故tan ＝＝－7.453543(θ＋π4)tan θ＋11－tan θ真题押题『真题模拟』1．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324答案　B解析　如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝×3＋×3＝27，因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B.2＋624＋622．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝lg ，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的52E 1E 2星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案　A解析　由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg 52E 1E 2＝10.1，所以＝1010.1.故选A.E 1E 2E 1E 23．(2019·湖南省高三六校联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n ，x 的值分别为3，，则输出v 的值为( )32A ．17B ．11.5C ．10D ．7答案　B解析　初始值n ＝3，x ＝，程序运行过程如下：32v ＝2，v ＝2×＋1＝4，n ＝2，不满足n ≤0；32v ＝4×＋1＝7，n ＝1，不满足n ≤0；32v ＝7×＋1＝，n ＝0，满足n ≤0，退出循环，32232输出v 的值为＝11.5.故选B.2324．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案　26　－12解析　先求面数，有如下两种方法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V )＋面数(F )－棱数(E )＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V ＋F －E ＝2，得面数F ＝2＋E －V ＝2＋48－24＝26.再求棱长.作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH ，如图，设其边长为x ，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF ，过H ，G 分别作HM ⊥AF ，GN ⊥AF ，垂足分别为M ，N ，则AM ＝MH ＝NG ＝NF ＝x .又AM ＋MN ＋NF ＝1，即x ＋x ＋x ＝1.解得x ＝－1，即2222222半正多面体的棱长为－1.2『金版押题』5．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A.斗粟B.斗粟C.斗粟D.斗粟507107157207答案　C解析　解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝，故a 3＝，a 3－a 1＝－＝，故选C.5720720757157解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×＝斗，羊主人应赔偿5×47207＝斗，故牛主人比羊主人多赔偿了－＝斗，故选C.175********76．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A．2 B．4＋2222C．4＋4D．4＋6答案　C2解析　由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为1，则底面三角形腰长为，22底边长为2，三棱柱高为2，所以侧面积为2×2＋2××2＝4＋4.故选C.配套作业一、选择题1．(2019·赤峰市高三模拟)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是( )A. B. C. D.23355934答案　A解析　因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P ＝＝，故选A.69232．(2019·南昌外国语学校高三高考适应性测试)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16,20，则输出的a 的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．1答案　C解析　输入a ，b 的值，分别为16,20，第一次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：不满足a >b ，满足a ≤b ，故b ＝20－16＝4；第二次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝16－4＝12；第三次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝12－4＝8；第四次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝8－4＝4；第五次循环：第一层判断：满足a ＝b ＝4，故输出4，选C.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A ．48里B ．24里C ．12里D ．6里答案　C解析　设第一天的路程为a 1里，则＝378，a 1＝192，所以a 5＝192×＝12.a 1[1－(12)6]1－121244．(2019·河南洛阳高三阶段性考试)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．’马主曰：‘我马食半牛．’今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k 的值为2，则m ＝( )A. B. C. D.5035071031007答案　B解析　运行该程序，第一次循环，S ＝50－m ，k ＝1；第二循环，S ＝50－3m ，k ＝2；第三次循环，S ＝50－7m ，此时要输出k 的值，则50－7m ＝0，解得m ＝，故选B.5075．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x 求得x ＝.类11＋11＋…1x 5＋12比上述过程，则 ＝( )3＋23＋2…A ．3B.13＋12C ．6D ．22答案　A解析　令 ＝x (x >0)，两边平方，得3＋2＝x 2，即3＋2x ＝x 2，解得3＋23＋2…3＋2…x ＝3，x ＝－1(舍去)，故 ＝3，选A.3＋23＋2…6．(2019·江西省名校高三5月联考)我国古代《九章算术》将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A. B. C ．27 D ．1810031043答案　B解析　由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体的体积V ＝×(4＋36＋)×2＝.故选B.134×3610437．(2019·河北联考)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōng)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．则它的体积是(注：1丈＝10尺，取π＝3)( )A ．704立方尺B ．2112立方尺C ．2115立方尺D ．2118立方尺答案　B 解析　设圆柱体底面圆半径为r ，高为h ，周长为C .因为C ＝2πr ，所以r ＝，所以C2πV ＝πr 2h ＝π××h ＝＝＝2112(立方尺)．故选B.C 24π2C 2h 4π482×11128.(2019·南宁市高三第一次适应性测试)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值13的，则输入的x ＝( )13A.35B.911C.2123D.4547答案　C解析　i ＝1时，x ＝2x －1；i ＝2时，x ＝2(2x －1)－1＝4x －3；i ＝3时，x ＝2(4x －3)－1＝8x －7；i ＝4时，退出循环．此时，8x －7＝x ，解得x ＝.故选C.1321239．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩1213余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤．问141516此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( )A.斤B.斤C.斤D.斤120125130136答案　B解析　假设原来持金为x ，则第1关收税金x ；第2关收税金x ＝x ；第3关收税金1213(1－12)12×3x ＝x ；第4关收税金x ＝x ；第5关收税金14(1－12－16)13×415(1－12－16－112)14×5x ＝x .依题意，得x ＋x ＋x ＋x ＋x ＝1，即16(1－12－16－112－120)15×61212×313×414×515×6x ＝1，x ＝1，解得x ＝，所以x ＝×＝.故选B.(1－16)566515×615×66512510．(2019·陕西省高三第一次模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 的值为( )(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A ．12B ．24C ．48D ．96答案　B解析　模拟执行程序，可得n ＝6，S ＝3sin60°＝，332不满足条件S ≥3.10，n ＝12，S ＝6×sin30°＝3，不满足条件S ≥3.10，n ＝24，S ＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24.故选B.11．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )2017　2016　2015　2014……6　5　4　3　2　14033　4031　4029……………11　9　7　5　38064　8060……………………20　16　12　816124…………………………36　28　20………………………… A．2017×22016B．2018×22015C．2017×22015D．2018×22016答案　B解析　从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20＝5×22,48＝6×23，…，所以第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2017行只有一个数，其值为(2017＋1)×22017－2＝2018×22015，故选B.12. (2019·德州市高三下学期第一次练习)正整数N除以正整数m后的余数为n，记为N≡n(MOD m)，例如25≡1(MOD6)．如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该程序框图，当输入N＝25时，则输出N＝( )A．31B．33C．35D．37答案　A解析　模拟程序的运行，可得N＝25，N＝26，不满足条件N≡1(MOD3)，N＝27，不满足条件N≡1(MOD3)，N＝28，满足条件N≡1(MOD3)，不满足条件N≡1(MOD5)，N＝29，不满足条件N≡1(MOD3)，N＝30，不满足条件N≡1(MOD3)，N＝31，满足条件N≡1(MOD3)，满足条件N≡1(MOD5)，输出N的值为31.故选A.二、填空题13．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是________．答案　34解析　由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.14．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________．答案　6解析　设等差数列{a n }，首项为a 1，公差为3，则S 5＝5a 1＋×3＝60，解得a 1＝6，即得到5×42橘子最少的人所得的橘子个数是6.。

第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长•高考中多以选择题的形式出现，难度中等核心知识回顾1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目.2 •与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数.3 •以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等.4 •以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题.热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1 （2019 •哈尔滨市第三中学高三第二次模拟）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完•现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）1A. i <20, S= S— r, i = 2i1B. i w 20, S= S—r, i = 2iSC. i <20, S= 2, i = i + 1S ••D. i w 20, S= ^, i = i + 1答案D1 S 1解析根据题意可知，第一天S= 2，所以满足S= ，不满足S= S— r，故排除A, B;由S框图可知，计算第二十天的剩余时，有S= 2且i = 21,所以循环条件应该是i w 20.故选D.以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强 调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律， 理解程序框图的算法功能.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚, 问积几何？ ”设每层外周枚数为 a ,如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 121 B . 81 C . 74 D . 49 答案 B解析 满足a <32,第一次循环：S = 1, n = 2, a = 8;满足a <32,第二次循环：S = 9, n = 3, a = 16；满足a w 32,第三次循环：S = 25, n = 4, a = 24；满足a w 32,第四次循环：S =49, n = 5, a = 32；满足 a w 32,第五次循环：S = 81, n = 6, a = 40.不满足 a w 32,输出 S 故选B.考向2数列中的数学文化例2 （2019 •陕西省高三第三次教学质量检测）我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在 “杨辉三角”中，第 n 行的所有数字之和为 2_1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前 15项和为（ ）A. 110 B . 114 C . 124 D . 125 答案 B解析 由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第n + 1行，令x = 1,可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第1行为20,第2行为21,第3行为22，…以此类推，即每 行的数字之和构成首项为 1,公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S n = 岂 =2n - 1,若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为 1,2,3,4，…，可以=5,所以前15项的和表示前 7行的数列之和减去所有的 项的数字之和为114，故选B.看成构成一个首项为 1，公差为2的等差数列，则Ti =n + 1人n ,令一 n + 12=15,解得n 1,即(2 7- 1) - 13= 114,即前 15以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题•解题的关键是将古代实际问题转化为 现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方 程思想求解.《张丘建算经》卷上第 22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈•”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了 5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布•记该女子一月中的第 n 天所织布的尺数为 a n ,贝V a i4+ a i5 + a i6 + ai 7的值为（）A . 55B • 52C • 39D • 26考向3 立体几何中的数学文化例3（20i9 •六安市第一中学高三模拟 ）我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异” •意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积 相等，则这两个几何体的体积相等•椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体•如图，将底面 直径都为2b ,高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面3上，用平行于平面3且与平面3任意距离d 处的平面截这两个几何体， 可横截得到S 圆及S 环两截面.可 以证明S 圆=S 环总成立•据此，半短轴长为 i ,半长轴长为3的椭球体的体积是 _____________________________ •答案 4n2i 2 2 2解析 因为S 圆=S 环总成立，则半椭球体的体积为n b 2a — -n b 2a =-n b 2a ，所以椭球体3 342一4的体积为V = -n b a ,因为椭球体的半短轴长为 i ,半长轴长为3,所以椭球体的体积为 V =§ 24 2n b a = — nX1 X 3= 4n,故答案是 4 n.3依托立体几何，传播数学文化•立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国 古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既答案 B解析设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布，则S 30= 390,所以30X 5+30X 29 216 =390,解得d =函，所以 a i4+ a i5+ a i6 + a i7= 4a i + 58d = 4 X 5+ 58 X 1629= 52.故选 B.符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年•例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 ABC- A 1B 1G 中，AC 丄BC 若AA = AB= 2，当阳马B- AACC 体积最大 时，则堑堵 ABC-ABC 的体积为（）A. 8B.型 C . 2 D . 2农 答案 C解析 由阳马的定义，知 VB- A 1ACC = ?AA ・ AC- BC= |A C- BC C £（AC + BC = 当且仅当 AC= BC= 2时等号成立，所以当阳马 B- AACC 体积最大时，则堑堵 ABC- ABC 的 1体积为2 X 2 X 2= 2,故选C.考向4概率中的数学文化 例4（2019 •皖南八校高三第三次联考 ）七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆 以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余•体 物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之•如图是一个用七巧板拼 成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）答案 A解析 设正方形的边长为 4，则正方形的面积为 S = 4X 4= 16,此时阴影部分所对应的直 角梯形的上底边长为 2眾，下底边长为3眾，高为迈,所以阴影部分的面积为 S = -1 X （2迄+3 2） X 2 = 5,根据几何概型，可得概率为P =弓=三，故选A S 16数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素 养•解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解.5 113 A.亦 B. 32 C. 8 D. 13 32《算法统宗》是我国古代的数学名著，书中把三角形中的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位•现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田•若在邪田内随机种植一株茶树，则该茶树恰好被种在圭田内的概率为2 2 4A.i5B. 5C. i5D.答案A解析根据题意，得出其示意图如图所示，题意为：在直角梯形ABC［内随机种一株茶树,求该茶树恰好被种在三角形AEF内的概率.且已知AB= 20, DC= 10, AD= 10, AE= 8，三角形18X 5X - 22AEF的高h= 5，所以该茶树被种在三角形AEF内的概率P= =応，故选A.1 1520 + 10 X 10X考向5推理与证明中的数学文化例5 （2019 •南充市第三次诊断）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何•”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）•这个问题中，甲所得为（）5 4 3 5A 5钱B. 3钱霭钱D.3钱4 3 2 3答案B解析设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a—2d, a—d, a, a+ d, a+ 2d,贝U a—2d + a—d= a+ a + d+ a+ 2d,解得a= —6d,又a—2d+ a—d+ a+ a+ d+ a+ 2d= 5,a 4 4••• a= 1,贝U a—2d= a —2X — - =：a=：，故选B.6 3 3以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论•解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题.(2019 •上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支•十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸•十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥•天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲” 重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为年.答案戊戌解析从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61 - 10= 6余1,则2078 年的天干为戊，61 - 12= 5余1,则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年.考向6数学文化与现代科学例6 2016年1月14 日,国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施•如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道H绕月飞行.若用2C1和2C2分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴长，给出下列式子：① a*1 + C1 =比+ C2 :② a1 —C1 = a2 —C2 ；C1 C2③一<—:④ aa2>a1C2.a a2其中正确式子的序号是（）A.①③B .①④ C .②③ D .②④答案D解析观察题图可知a1>a2, C1>C2, ••• a1+ C1>a2+ C2,即①式不正确；a1 —C1 = a2—C2= |PF| ,a1 —C1 a2 —C2 a1 a2 C1 C2即②式正确；由a1 —C1= a2—C2>0, C1>C2>0，知< ，即<，从而oa2>a1C2, > .' C1 C2 C1 C2 a1 a2即④式正确，③式不正确.(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.（2）注意到椭圆轨道I 和n 共一个顶点 P 和一个焦点F ,题目所给四个式子涉及长半轴长 和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查， 是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的. 如图所 示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形•如果小正方形的n面积为1，大正方形的面积为25,直角三角形中较大的锐角为0，那么tan= _________答案n依题意，得大、小正方形的边长分别是 5,1 ,于是有5si n e — 5c os e = 1 0< e ,贝U si n e — c os e =5从而(si n e + c os e )2= 2 — (si n e — c os e )2= 2f ,贝y Si n e + c os e = 5,4 34n因此 sin e = 5, c os e = 5, tane = 3.故tan 0+広=真题押题 『真题模拟』1 • （2019 •浙江高考）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积 不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示 （单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3） 是（）A . 158B • 162C • 182D • 324 答案 B解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为 6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为 4,下底为6，高为3,另一个的上底为 2,下底为6，高为3.则底面 面积S =—厂解析n tan e +11 — tan e _7.x 3+—厂X 3= 27,因此，该柱体的体积W= 27X 6= 162.故选B.2. （2019 •北京高考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述•两颗星的5 R星等与亮度满足m —m= lg 1,其中星等为m的星的亮度为压（k = 1,2）•已知太阳的星等是2 E2—26.7，天狼星的星等是一1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）10.1 ——10.1A. 10 B • 10.1 C • lg 10.1 D • 10答案A5 E解析由题意知，m=—26.7 , m=— 1.45 ,代入所给公式得—1.45 —（—26.7）= lg2 匕R E i所以lg --= 10.1 ,所以三=1010.1.故选A.巳—23 • （2019 •湖南省高三六校联考）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法•如图所示的程序框图，是利3用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n, x的值分别为3, ?,则输出v的值为（）A. 17B. 11.5C. 10D. 7答案B3 一一解析初始值n= 3, x = 2，程序运行过程如下：v = 2,3v = 2X + 1 = 4, n = 2,不满足n w0；3v = 4x + 1 = 7, n=1,不满足n w0；3 23v = 7X 2+ 1 = ~, n=0,满足n w0,退出循环,23输出v的值为_ = 11.5.故选B.4. （2019 •全国卷n ）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”1）•半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体•半正多面体体现了数学的对称美•图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有___________ 个面，其棱长为_________ •答案26 2 — 1解析先求面数，有如下两种方法.解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2X 9+ 8= 26（个）面.解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数（V）+面数（F）—棱数（E）= 2（欧拉公式）.由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24,故由V+ F—E= 2，得面数F= 2 + E—V= 2 + 48 —24 = 26.再求棱长.作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH口图，设其边长为x,则正八边形的边长即为半正多面体的棱长. 连接AF,过H, G分别作HMLAF, GNLAF,垂足分别为M N 则AM= MH= NG= NF=*x.又AM + MNb NF= 1,即~22x+ x+#x= 1.解得x= 2—1,即半正多面体的棱长为2—1.『金版押题』5•《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗•苗主责之粟五斗•羊主曰：“我羊食半马•”马主“我马食半牛•”今欲衰偿之，问各出几何•其意思是：今有牛、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半. 马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半•”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（A.50斗粟B.号斗粟C.字斗粟D. 20斗粟答案C解析解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a, a2, a3,则这3个数依次成5 20 20 5 15等比数列，公比q= 2,所以a1 + 2a+ 4a1 = 5，解得a1 = 7，故a3=〒，a3 —a1=〒—-=〒，故选C.4 20解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是 1 : 2 : 4,故牛主人应赔偿5X片=20斗，羊主人1 5 20 5 15应赔偿5X 7=5斗，故牛主人比羊主人多赔偿了20-1=号斗，故选C.6 •《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” •已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A. 2B. 4+ 2 2C. 4 + 4 2D. 4+ 6 2答案C解析由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为1,则底面三角形腰长为2，底边长为2,三棱柱高为2,所以侧面积为2X 2 + 2X 2X 2= 4 + 4 2.故选C.配套作业、选择题1 . （2019 •赤峰市高三模拟）《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题: 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是（2 3 5A. 3B. 5C. 9D.答案A解析因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，6 2根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P= 9=3故选A.2. （2019 •南昌外国语学校高三高考适应性测试）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a, b分别为16,20 , 则输出的a的值为（）A. 0 B . 2 C.4 D . 1答案C解析输入a, b的值，分别为16,20 ,第一次循环：第一-层判断::满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断：不满足a>b满足a w b,故b= 20 —16= 4；第二次循环：第 -层判断:满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断: 满足a>b,故a= 16— 4 = 12；第三次循环：第-层判断:满足a z b,进入第二层选择结构，第二层判断: 满足a>b,故a= 12— 4 = 8；a zb ,进入第二层选择结构，第二层判断：满足 a >b .故 a = 8— 4= 4；为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数, “有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6天后到达目的地” •则该人第五天走的路程为( )A . 48 里B • 24 里C • 12 里D • 6 里 答案 C4 1 6a 1 1- 2 1解析 设第一天的路程为 a 1里，贝U ------------------------ 1 ---- = 378, a 1= 192，所以a 5 = 192x12.1 —24 • (2019 •河南洛阳高三阶段性考试 )《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食 人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马•’马主曰：‘我马食半牛•’今欲衰偿之， 问各出几何？ ”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟•羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半•”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半•”打算 按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知 1斗=10升，针对这一问题， 设计程序框图如图所示，若输出k 的值为2,贝U m =()次循环，S = 50 — 7m 此时要输出k 的值，则50 — 7m = 0， 5 •我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有: 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” •它体现了一种无限与有限的转化过程•比如在 1 1表达式1 +中“…”即代表无限次重复， 但原式却是个定值，它可以通过方程1+-= 1x1 +1 +…x 求得x = 节1.类比上述过程，则 一.3+ 2 3+ 2 •••=( )第四次循环：第一层判断：满足 第五次循环：第一层判断：满足a =b = 4，故输出 4,选 C.3 •中国古代数学著作《算法统宗》 中有这样一个问题: “三百七十八里关，初步健步不请公仔细算相还” •其大意为: 50 代亍5010 100 B. 7 C. T D. ~答案解析 运行该程序，第一次循环， S = 50 — m k = 1; 第二循环，S = 50 — 3m , k = 2;第三解得m = 50,故选B. “割之弥细，所失弥少，割之又割,A . 3 C. 6 答案 A解析 令'3+ 2 3 + 2 •••= x (x >0)，两边平方，得 3+ 2 3+ 2=x 2 3 4，即 3+ 2x = x 2, 解得 x = 3,x =— 1(舍去)，故 ，3+ 2\ 3 + 2 .…=3,选 A.6. （2019 •江西省名校高三 5月联考）我国古代《九章算术》将上、下两个平行平面为矩 形的六面体称为刍童•如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底 的长分别为2和6，高为2,则该刍童的体积为（）100 104A.刁B. — C . 27 D . 18 答案 B解析 由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为 2和6,高为2,所以几何体1 ； ---- 104的体积 V = 3X （4 + 36+ 4X 36） X 2=—.故选 B.3 37. （2019 •河北联考）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有 圆堡瑽（c o ng ）,周四丈八尺，高一丈一尺•问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城 堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺•则它的体积是（注：1丈=10尺，取n= 3）（）A . 704立方尺B . 2112立方尺 C. 2115立方尺 D. 2118立方尺答案 B2CC ?h 482X 11、 ,=n r h =nX2X h = == 2112（立方尺）.故选 B.4 n 4 n 128. （2019 •南宁市高三第一次适应性测试）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一 首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒， 借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原 1 1壶中3的酒量”，即输出值是输入值的3,则输入的x =（）B. D. 2 2解析设圆柱体底面圆半径为r，高为h,周长为C.因为C= 2n r,所以r ，所以V2 n余金的I ，第3关收税金为剩余金的4,第4关收税金为剩余金的 5第5关收税金为剩余金的3 4 5 1,5关所收税金之和，恰好重1斤•问此人总共持金多少. 6A.丄斤B.丄斤C.丄斤D. — 斤 20 25 30 36 答案 1111 1 11111 11—2一6一徨一20x =依题意，得 2x +2X3x +I X4x ++丙％= j 即 1一加 56 1 161=1, 6x = X 解得 x =5，所以5^6x =5^6X 5=2?故选 B.10 . （2019 •陕西省高三第一次模拟 ）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的(参考数据：sin 15 ° ~ 0.2588 , sin7.5 ° ~ 0.1305) A . 12 B . 24 C . 48 D . 96A .| 9 B.— 11 21 C.2I 45D .47 答案 C解析 i = 1 时，x = 2x — 1; i = 2 时，x = 2(2 x — 1) — 1 = 4x — 3; i = 3 时，x = 2(4x — 3)—1= 8x — 7; i = 4时，退出循环.此时,1 218x — 7 = -x ，解得 x = 2|.故选 C.9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关， 前关二而税一,次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问 本持金几何.”其意思为：今有人持金出五关，第11关收税金为持金的2第2关收税金为剩则在此问题中，第5关收税金（）解析 假设原来持金为x ，则第1关收税金1x ；第1收税金-1 1 1 1 1 1 — 2—6x =芮x ；第4关收税金5 1—2 12关收税金|1 1一 - x = _ 6 12 4X51 1x ;第5关收税金-6多边形的边数无限增加时， 多边形面积可无限逼近圆的面积, 并创立了 “割圆术”， 利用“割 圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14 ，这就是著名的“徽率” .如图n 的值为（ ）解析 模拟执行程序，可得 n = 6, S= 3sin60 °= ,不满足条件 S 》3.10 , n = 12, S = 6x sin30 ° = 3,不满足条件 S >3.10 , n = 24, S = 12x sin15 °~ 12x 0.2588 = 3.1056，满足条件 S >3.10 , 退出循环，输出n 的值为24.故选B.11.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪 三角形数表，并称之为“开方作法本源”图•下列数表的构造思路就源于“杨辉三角” •该 表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后 一行仅有一个数，则这个数是 ()2017 2016 2015 2014… …6 5 4 3 214033 4031 .............9 7 5 34029 ............. (II)8064 8060- ...on 16 12 8 (20)16124……•…36 28 20答案 B解析 从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差 为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2,第三行从右到左的公差为4，…，即第n 行从右到左的公差为2n 「1,而从右向左看，每行的第一个数分别为 1 = 2X2「1,3= 3X2 0,8 = 4X2 1,20=5X2 2,48= 6X2 3，-,所以第n 行的第一个数为(n + 1) X2 ^.显然第2017行只有一个数， 其值为(2017 + 1) X 2 2017_2= 2018X 2 2015，故选 B.12. (2019 •德州市高三下学期第一次练习)正整数N 除以正整数 m 后的余数为n ,记为N= n (MOD)，例如25三1(MOD6)如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该 程序框图，当输入 N= 25时，则输出N =()A. 31B. 33C. 35D. 37A . 2017X22016B . 2018X22015C. 2017X22015D. 2018X22016解析模拟程序的运行，可得N= 25,N= 26,不满足条件N三1(M0D3) N= 27,不满足条件N三1(M0D3) N= 28,满足条件N三1(M0D3)不满足条件N三1(M0D5) N= 29,不满足条件N^ 1(M0D3) N= 30,不满足条件N三1(M0D3) N= 31,满足条件N^ 1(M0D3)满足条件N^ 1(M0D5)输出N的值为31.故选A.二、填空题13 .《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法•我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“ 1”，把阴爻“”当作数字“ 0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是答案34解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010,转化为十进制数为0X2°+ 1 X 2 1+ 0X 2 2+ 0X 2 3+ 0X 2 4+ 1 X 2 5= 34.14 •《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗•问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子•”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是 _________________ •答案6亠、5X4解析设等差数列｛a n｝，首项为a,公差为3，贝U S5 = 5a i+ — X3= 60，解得a i= 6, 即得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6.。

第2讲 新定义型、创新型、应用型试题突破配套作业一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10答案 C解析 根据题意，当x ＝16时y ＝1，所以A ，B 不正确；当x ＝17时y ＝2，所以D 不正确，故选C.2．(2018·某某模拟)已知13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×322， 13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×422， 13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4×522， …由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122，因为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3025， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋122＝3025，所以n 2(n ＋1)2＝(2×55)2，所以n ＝10，故选C.3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是某某人，是某某人；乙说胡老师不是某某人，是某某人； 丙说胡老师既不是某某人，也不是某某人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )A ．一定是某某人B ．一定是某某人C ．一定是某某人D ．可能是某某人 答案 D解析 本题考查推理与证明的有关知识，考查推理论证的能力． 若胡老师是某某人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意； 若胡老师是某某人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意； 若胡老师是某某人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意；若胡老师是某某人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．4．(2018·某某模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案 C解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c . 若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2. 故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾， ∴c ≤2.故c ∧d ≤2.本题选C.5．(2018·某某模拟)某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动答案 C解析 令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的．6．对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x－a (e 为自然数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞) 答案 B 解析7．(2018·某某模拟)设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设f (x )＝13x 3－2x 2＋83x ＋1，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 8)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 D解析 由题意可得，f ′(x )＝x 2－4x ＋83，f ″(x )＝2x －4，由f ″(x )＝0可得，x ＝2，即题中的三次函数关于点(2，f (2))中心对称；结合数列的通项公式可知：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 8)＝f (－5)＋f (－3)＋…＋f (9)＝8f (2)＝8.8．(2018·某某模拟)若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③ 答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b 2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立．故选B.9．(2018·某某模拟)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 答案 D解析 设从2017年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n >200，∴1.12n >200130，两边取常用对数得n lg 1.12>lg 200130，∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12＝0.3－0.110.05＝3.8，∴n ≥4，故选D.10．(2018·某某模拟)如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10.记m i ＝AB →2·AP →i (i ＝1,2，…，10)，则m 1＋m 2＋…＋m 10的值为( )A ．153B ．45C ．603D ．180 答案 D解析 因为AB 2与B 3C 3垂直，设垂足为C ，所以AP →i 在AB →2上的投影为AC ，m i ＝AB →2·AP →i ＝|AB →2|·|AC →|＝23×33＝18，从而m 1＋m 2＋…＋m 10的值为18×10＝180.故选D.11．(2018·枣庄模拟)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如图中实心点的个数5,9,14,20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2018项为a 2018，则a 2018＋1＝( )A ．1020×2018 B．2025×1008 C ．1010×2021 D．1011×2019 答案 C解析 观察梯形数的前几项，得5＝2＋3＝a 1， 9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3， …a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋12＋n ＋22＝12(n ＋1)(n ＋4)， 由此可得，a 2018＝12×2019×2022＝1011×2019∴a 2018＋1＝(1010＋1)(2021－2)＋1＝1010×2021. 二、填空题12．(2018·大兴模拟)国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．答案 3800解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ≤800，x －800×14%，800<x ≤4000，11%·x ，x >4000.如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.13．(2018·某某揭阳联考)定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f ab －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．例如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值X 围是________．答案 (0,2)解析 ∵函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是区间[－1,1]上的平均值函数， ∴关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝f 1－f －11－－1在(－1，1)内有实数根．由－x 2＋mx ＋1＝f 1－f －11－－1⇒x 2－mx ＋m －1＝0.解得x 1＝m －1，x 2＝1.又1∉(－1,1)，∴x ＝m －1必为均值点，即－1<m －1<1⇒0<m <2.∴实数m 的取值X 围是(0,2)．14．(2018·启东模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ＝1，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P －ABCEF 的体积的取值X 围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 ∵PF ⊥EF ，PF ⊥AF ，EF ∩AF ＝F ，∴PF ⊥平面ABCEF ，设DF ＝x (0<x <1)，则EF ＝x ，FA ＝2－x ，∴S ABCEF ＝S ABCD －S △DEF ＝12(1＋2)×1－12x 2＝12(3－x 2)，∴五棱锥P －ABCEF 的体积V (x )＝13×12(3－x 2)·x＝16(3x －x 3)， V ′(x )＝12(1－x 2)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当0<x <1时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，故V (0)<V (x )<V (1)，即V (x )的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。

第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．核心知识回顾1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．热点考向探究考向1 新定义型问题例 1 (1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝e x}；M4＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．其中是“互垂点集”集合的为( )A．M1 B．M2 C．M3 D．M4答案 D解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线上的两点，对于集合M 1，当x 1＝0时，y 1＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝y 2＝x 22＋1＝0不成立，所以集合M 1不是“互垂点集”．对于集合M 2，x >0，当x 1＝1时，y 1＝0，x 1x 2＋y 1y 2＝x 2＝0不成立，所以集合M 2不是“互垂点集”．对于集合M 3，当x 1＝0时，y 1＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝y 2＝e x 2＝0不成立，所以集合M 3不是“互垂点集”．排除A ，B ，C.故选D.(2)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知a ＝2 时有两个解．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．1．若数列{a n }满足1a n ＋1－pa n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3·…·b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新运算：x*y ＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b ＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的是( )A．② B．①② C．②③ D．①②③答案 D解析根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a＋10b＋10c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a*b＝b*a，故②正确；(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.考向2 创新型问题例2 (1)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π的值约为( )A.227B.4715C.5116D.6017答案 B解析(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x＋y>1，x2＋y2<1，0<x<1，0<y<1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360＝π4－121×1，解得π＝4715.(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A.23B.25C.12D.15 答案 C解析 本题考查古典概型和排列组合．依题意，从5种物质中任取2种，共有C 25＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．1．(2019·南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 答案 C解析 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≤1)，x 2(x >1)，2⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2(x ≤2)，x 2(x >2)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ≤1)，x 3－2(1<x ≤2)，x 3－x 2(x >2)，可求出当x ≤1时，函数的最大值是－1；当1<x ≤2时，函数的最大值是6.所以当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于6，选C.2．把数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1中的项1287应记为________．答案 A (8,17)解析 令2n －1＝287⇒n ＝144⇒1287是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n －1的第144项，由S 7＝27－12－1＝127⇒A (8,17)．考向3 实际应用型问题例3 (1)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q 答案 D解析 由题图2可知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 两点，不选B ，A ；若是P 点，则从最高点到点C 依次递减，与图2矛盾，因此取Q ，即选D.(2)(2019·湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为f (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)，商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润＝收入－成本)，该企业一个月应生产该商品的数量为( )A ．9万件B ．18万件C ．22万件D ．36万件答案 B解析 由题意可得，获得最大利润时的收入是20x 万元，成本是12x 2＋2x ＋20，所以此时的利润为M ＝20x －12x 2＋2x ＋20＝－12x 2＋18x －20＝－12(x －18)2＋142≤142，当且仅当x ＝18时，取最大值．故选B.求解应用题的一般步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( )A.M 2M 1R B.M 22M 1R C.33M 2M 1RD. 3M 23M 1R答案 D解析 由α＝r R 得r ＝αR ，代入M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.又∵3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，∴3α3≈M 2M 1，∴α≈ 3M 23M 1，∴r ＝αR ≈ 3M 23M 1R .故选D. 2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元)的函数．已知销售单价不低于1元．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x 的函数关系为L (x )＝ax2＋b (a ，b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )A ．1元B ．2元C ．3元D ．4元 答案 D解析 由题得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝ax 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧L (4)＝2.125，L (20)＝0.205，即⎩⎪⎨⎪⎧a 42＋b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝18，所以L (x )＝32x 2＋18，故函数L (x )的表达式为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.125，1≤x ≤4，32x 2＋18，4<x ≤20.故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x8，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x ＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x8在区间(4,16]上单调递减，在区间[16,20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元时，月销售额可以达到最大值，故选D.真题押题『真题模拟』1．(2019·重庆模拟)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 依题可知e i x表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.2．(2019·钦州市高三三模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变，剩余质量为原来的14.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的14，两年后变为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，依此类推，得到n 年后质量是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，只需要⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ≤1100⇒n >3，故选B.3．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cos A sin A 1＝cos Bsin B 1＝cos Csin C 1＝1，则称△ABC 为“V 类三角形”．“V 类三角形”一定满足( ) A ．有一个内角为30° B．有一个内角为45° C ．有一个内角为60° D．有一个内角为75° 答案 B解析 由对称性，不妨设A 1和B 1为锐角，则A 1＝π2－A ，B 1＝π2－B ，所以A 1＋B 1＝π－(A＋B )＝C ，于是cos C ＝sin C 1＝sin(A 1＋B 1)＝sin C ，即tan C ＝1，解得C ＝45°，故选B.4．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．①②③ 答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.5．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M­数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M­数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M­数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．解 (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M­数列”．(2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n ). 当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得b n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )－b n －1b n2(b n －b n －1)，整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *.因为数列{c n }为“M­数列”，设公比为q ，所以c 1＝1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以qk －1≤k ≤q k，其中k ＝1,2,3，…，m (m ∈N *)． 当k ＝1时，有q ≥1；当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln kk －1.设f (x )＝ln x x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：因为ln 22＝ln 86<ln 96＝ln 33，所以f (k )max ＝f (3)＝ln 33.取q ＝33，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1≤k 也成立．因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5.『金版押题』6．已知一族双曲线E n ：x 2－y 2＝n2019(n ∈N *，n ≤2019)，设直线x ＝2与E n 在第一象限内的交点为A n ，点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，记△A n B n C n 的面积为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝________.答案5052解析 设A n (x 0，y 0)，可得x 20－y 20＝n2019. 双曲线E n ：x 2－y 2＝n2019(n ∈N *，n ≤2019)的渐近线方程为x －y ＝0，x ＋y ＝0.由点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，不妨设B n 在第一象限内，可得|A n B n |＝|x 0－y 0|2， |A n C n |＝|x 0＋y 0|2，易知双曲线E n 的两条渐近线互相垂直，可得A n B n ⊥A n C n ，则△A n B n C n 的面积a n ＝12|A n B n |·|A n C n |＝12·|x 0－y 0|2·|x 0＋y 0|2＝x 20－y 204＝18076n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝18076×12×2019×2020＝5052. 配套作业一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10答案 C解析 根据题意，当x ＝16时y ＝1，所以A ，B 不正确；当x ＝17时y ＝2，所以D 不正确，故选C.2.(2019·黄山市高三第二次质量检测)2018年，晓文同学参加工作，月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )A．7000 B．7500 C．8500 D．9500答案 C解析参加工作时就医费为7000×15%＝1050，设目前晓文同学的月工资为x，则目前的就医费为10%·x，因此10%·x＝1050－200＝850，∴x＝8500.故选C.3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )A．一定是南昌人 B．一定是广州人C．一定是福州人 D．可能是上海人答案 D解析若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意；若胡老师是上海人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意；若胡老师是广州人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．4．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 答案 C解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故选C.5．某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，当学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动 答案 C解析 令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的．6．对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞) D．[1，＋∞) 答案 B解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，即y 1＝e x 1－a ，y 2＝e x 2－a ，因为关于原点对称，所以e x 1－a ＝－e x 2＋a ，即2a ＝e x 1＋e x 2≥2e x 1·e x 2＝2e 0＝2，因为x 1≠x 2，所以a >1，故选B.7．若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③ 答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立．故选B.8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 答案 D解析 设从2017年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n >200，∴1.12n >200130，两边取常用对数得n lg 1.12>lg 200130，∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，∴n ≥4，故选D.9．(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK 或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 答案 D解析 根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月减少，月跑步平均里程高峰期大致在9月、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选D.二、填空题10．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．答案 3800解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ≤800，(x －800)×14%，800<x ≤4000，11%·x ，x >4000.如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.11．(2019·北京市东城区高三综合练习)设A ，B 是R 上的两个子集，对任意x ∈R ，定义：m ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉A ，1，x ∈A ，n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉B ，1，x ∈B .(1)若A ⊆B ，则对任意x ∈R ，m (1－n )＝________； (2)若对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则A ，B 的关系为________． 答案 (1)0 (2)A ＝∁R B解析 (1)∵A ⊆B .则当x ∉A 时，m ＝0，m (1－n )＝0. 当x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m (1－n )＝0. 综上可得m (1－n )＝0.(2)对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即当x ∈A 时，必有x ∉B 或x ∈B 时，必有x ∉A ，∴A ，B 的关系为A ＝∁R B .12．(2019·濮阳市高二下学期升级考试)某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________．答案 3解析 ∵A 完成后，C 才可以开工；B ，C 完成后，D 才可以开工，完成A ，C ，D 需用时间依次为2，x,4天，且A ，B 可以同时开工，又∵该工程共需9天， ∴2＋x max ＋4＝9⇒x max ＝3.13．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，－x 2＋4x ，x >0，则f [f (－1)]＝________，若实数a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．答案 4 (2,4]解析 f [f (－1)]＝f (21)＝－4＋8＝4，因为a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，所以－2<a ≤0<b <2<c ，b ＋c ＝4，因此a ＋b ＋c ＝a ＋4∈(2,4]．14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ＝1，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P －ABCEF 的体积的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 ∵PF ⊥EF ，PF ⊥AF ，EF ∩AF ＝F ，∴PF ⊥平面ABCEF ，设DF ＝x (0<x <1)，则EF ＝x ，FA ＝2－x ，∴S ABCEF ＝S ABCD －S △DEF ＝12×(1＋2)×1－12x 2＝12(3－x 2)，∴五棱锥P －ABCEF 的体积V (x )＝13×12(3－x 2)·x ＝16(3x －x 3)，V ′(x )＝12(1－x 2)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当0<x <1时，V ′(x )>0，V (x )单调递增，故V (0)<V (x )<V (1)，即V (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。

第1讲 数学文化及核心素养类试题「考情研析」 数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.核心知识回顾1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1 (2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．i <20，S ＝S －1i，i ＝2i B ．i ≤20，S ＝S －1i，i ＝2i C ．i <20，S ＝S 2，i ＝i ＋1D ．i ≤20，S ＝S 2，i ＝i ＋1 答案 D解析 根据题意可知，第一天S ＝12，所以满足S ＝S 2，不满足S ＝S －1i，故排除A ，B ；由框图可知，计算第二十天的剩余时，有S ＝S 2，且i ＝21，所以循环条件应该是i ≤20.故选D.以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A ．121B ．81C ．74D ．49答案 B解析 满足a ≤32，第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；满足a ≤32，第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16；满足a ≤32，第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；满足a ≤32，第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32；满足a ≤32，第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40.不满足a ≤32，输出S .故选B.考向2 数列中的数学文化例2 (2019·陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2n －1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前15项和为( )A ．110B ．114C ．124D ．125答案 B解析 由题意，n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第n ＋1行，令x ＝1，可得二项展开式的二项式系数的和2n ，其中第1行为20，第2行为21，第3行为22，…以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前n 行的数字之和为S n ＝1－2n 1－2＝2n －1，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则T n ＝n (n ＋1)2，令n (n ＋1)2＝15，解得n ＝5，所以前15项的和表示前7行的数列之和减去所有的1，即(27－1)－13＝114，即前15项的数字之和为114，故选B.以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14＋a 15＋a 16＋a 17的值为( )A ．55B ．52C ．39D ．26答案 B解析 设从第2天开始，每天比前一天多织d 尺布，则S 30＝390，所以30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629，所以a 14＋a 15＋a 16＋a 17＝4a 1＋58d ＝4×5＋58×1629＝52.故选B. 考向3 立体几何中的数学文化例 3 (2019·六安市第一中学高三模拟)我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面．可以证明S 圆＝S 环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．答案 4π解析 因为S 圆＝S 环总成立，则半椭球体的体积为πb 2a －13πb 2a ＝23πb 2a ， 所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ， 因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为V ＝43πb 2a ＝43π×12×3＝4π， 故答案是4π.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若A 1A ＝AB ＝2，当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为( )A.83B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 由阳马的定义，知V B －A 1ACC 1＝13A 1A ·AC ·BC ＝23AC ·BC ≤13(AC 2＋BC 2)＝13AB 2＝43，当且仅当AC ＝BC ＝2时等号成立，所以当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为12×2×2×2＝2，故选C. 考向4 概率中的数学文化例 4 (2019·山西省高三高考考前适应性训练)中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数．现从1～15这15个数中随机抽取3个数，则这三个数为勾股数的概率为( )A.1910B.3910C.4455D.6455答案 C解析 从这15个数中随机抽取3个数所有基本事件个数为C 315，其中为勾股数的为(3,4,5)，(6,8,10)，(9,12,15)，(5,12,13)，共4个，故概率P ＝4C 315＝4455，故选C.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是________．答案 49解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…共有9×10＝90个，其中ABA 是偶数则A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8.B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…共有4×10＝40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49. 考向5 推理与证明中的数学文化例5 (2019·南充市第三次诊断)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.43钱C.32钱D.53钱 答案 B解析 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，解得a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43，故选B.以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论．解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题．(2019·上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年．答案 戊戌解析 从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61÷10＝6余1，则2078年的天干为戊，61÷12＝5余1，则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年．考向6 数学文化与现代科学例6 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2.其中正确式子的序号是( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④答案 D解析 观察题图可知a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0，知a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2.即④式正确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P 和一个焦点F ，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.答案 －7解析 依题意，得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43. 故tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7. 真题押题『真题模拟』1．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324答案 B解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B.2．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案 A解析 由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.3．(2019·湖南省高三六校联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n ，x 的值分别为3，32，则输出v 的值为( )A ．17B ．11.5C ．10D ．7答案 B解析 初始值n ＝3，x ＝32，程序运行过程如下： v ＝2，v ＝2×32＋1＝4，n ＝2，不满足n ≤0；v ＝4×32＋1＝7，n ＝1，不满足n ≤0；v ＝7×32＋1＝232，n ＝0，满足n ≤0，退出循环，输出v 的值为232＝11.5.故选B. 4．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案 26 2－1解析 先求面数，有如下两种方法．解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V )＋面数(F )－棱数(E )＝2(欧拉公式)．由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由V ＋F －E ＝2，得面数F ＝2＋E －V ＝2＋48－24＝26.再求棱长.作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH ，如图，设其边长为x ，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF ，过H ，G 分别作HM ⊥AF ，GN ⊥AF ，垂足分别为M ，N ，则AM ＝MH ＝NG ＝NF ＝22x .又AM ＋MN ＋NF ＝1，即22x ＋x ＋22x ＝1.解得x ＝2－1，即半正多面体的棱长为2－1.『金版押题』5．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟B.107斗粟C.157斗粟D.207斗粟 答案 C解析 解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C.解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207斗，羊主人应赔偿5×17＝57斗，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157斗，故选C. 6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A ．2B ．4＋2 2C ．4＋4 2D ．4＋6 2答案 C解析 由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为1，则底面三角形腰长为2，底边长为2，三棱柱高为2，所以侧面积为2×2＋2×2×2＝4＋4 2.故选C.配套作业一、选择题1．(2019·赤峰市高三模拟)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是( )A.23B.35C.59D.34答案 A解析 因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P ＝69＝23，故选A.2．(2019·南昌外国语学校高三高考适应性测试)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16,20，则输出的a 的值为( )A ．0B ．2C ．4D ．1答案 C解析 输入a ，b 的值，分别为16,20，第一次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：不满足a >b ，满足a ≤b ，故b ＝20－16＝4；第二次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝16－4＝12；第三次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝12－4＝8；第四次循环：第一层判断：满足a ≠b ，进入第二层选择结构，第二层判断：满足a >b ，故a ＝8－4＝4；第五次循环：第一层判断：满足a ＝b ＝4，故输出4，选C.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A ．48里B ．24里C ．12里D ．6里答案 C解析 设第一天的路程为a 1里，则a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，a 1＝192，所以a 5＝192×124＝12. 4．(2019·河南洛阳高三阶段性考试)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．’马主曰：‘我马食半牛．’今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k 的值为2，则m ＝()A.503B.507C.103D.1007答案 B解析 运行该程序，第一次循环，S ＝50－m ，k ＝1；第二循环，S ＝50－3m ，k ＝2；第三次循环，S ＝50－7m ，此时要输出k 的值，则50－7m ＝0，解得m ＝507，故选B. 5．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类比上述过程，则 3＋23＋2…＝( ) A ．3 B.13＋12 C ．6 D ．2 2答案 A解析 令3＋23＋2…＝x (x >0)，两边平方，得3＋23＋2…＝x 2，即3＋2x ＝x 2，解得x ＝3，x ＝－1(舍去)，故 3＋23＋2…＝3，选A.6．(2019·江西省名校高三5月联考)我国古代《九章算术》将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为( )A.1003B.1043C ．27D ．18 答案 B解析 由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体的体积V ＝13×(4＋36＋4×36)×2＝1043.故选B. 7．(2019·河北联考)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōng)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．则它的体积是(注：1丈＝10尺，取π＝3)( )A ．704立方尺B ．2112立方尺C ．2115立方尺D ．2118立方尺答案 B 解析 设圆柱体底面圆半径为r ，高为h ，周长为C .因为C ＝2πr ，所以r ＝C 2π，所以V ＝πr 2h ＝π×C 24π2×h ＝C 2h 4π＝482×1112＝2112(立方尺)．故选B. 8．(2019·南宁市高三第一次适应性测试)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x ＝( )A.35B.911C.2123D.4547答案 C解析 i ＝1时，x ＝2x －1；i ＝2时，x ＝2(2x －1)－1＝4x －3；i ＝3时，x ＝2(4x －3)－1＝8x －7；i ＝4时，退出循环．此时，8x －7＝13x ，解得x ＝2123.故选C. 9．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( )A.120斤B.125斤C.130斤D.136斤 答案 B解析 假设原来持金为x ，则第1关收税金12x ；第2关收税金13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3关收税金14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；第4关收税金15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112x ＝14×5x ；第5关收税金16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16－112－120x ＝15×6x .依题意，得12x ＋12×3x ＋13×4x ＋14×5x ＋15×6x ＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x ＝1，56x ＝1，解得x ＝65，所以15×6x ＝15×6×65＝125.故选B.10.(2019·陕西省高三第一次模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 的值为( )(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A ．12B ．24C ．48D ．96答案 B解析 模拟执行程序，可得n ＝6，S ＝3sin60°＝332，不满足条件S ≥3.10，n ＝12，S ＝6×sin30°＝3，不满足条件S ≥3.10，n ＝24，S ＝12×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24.故选B.11．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 14033 4031 4029……………11 9 7 5 38064 8060……………………20 16 12 816124…………………………36 28 20…………………………A ．2017×22016 B ．2018×22015 C ．2017×22015 D ．2018×22016答案 B解析从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n行从右到左的公差为2n－1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1＝2×2－1,3＝3×20,8＝4×21,20＝5×22,48＝6×23，…，所以第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.显然第2017行只有一个数，其值为(2017＋1)×22017－2＝2018×22015，故选B.12.(2019·德州市高三下学期第一次练习)正整数N除以正整数m后的余数为n，记为N≡n(MOD m)，例如25≡1(MOD6)．如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该程序框图，当输入N＝25时，则输出N＝( )A．31B．33C．35D．37答案 A解析模拟程序的运行，可得N＝25，N＝26，不满足条件N≡1(MOD3)，N＝27，不满足条件N≡1(MOD3)，N＝28，满足条件N≡1(MOD3)，不满足条件N≡1(MOD5)，N＝29，不满足条件N ≡1(MOD3)，N ＝30，不满足条件N ≡1(MOD3)，N ＝31，满足条件N ≡1(MOD3)，满足条件N ≡1(MOD5)，输出N 的值为31.故选A.二、填空题13．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是________．答案 34 解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.14．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________．答案 6解析 设等差数列{a n }，首项为a 1，公差为3，则S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.。

第2讲新定义型、创新型、应用型试题突破「考情研析」本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值5分，题目新而不难，备考时要高度重视．核心知识回顾1.新定义型问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．2．创新型问题创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力，加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为熟悉的问题来加以解决．3．实际应用型问题将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决)．热点考向探究考向1 新定义型问题例1(1)(2019·北京市顺义区高三第二次统练)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∃(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}；M2＝{(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝e x}；M4＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．其中是“互垂点集”集合的为() A．M1B．M2C．M3D．M4答案 D解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合M1，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝x22＋1＝0不成立，所以集合M1不是“互垂点集”．对于集合M2，x>0，当x1＝1时，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0不成立，所以集合M2不是“互垂点集”．对于集合M3，当x1＝0时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝e x2＝0不成立，所以集合M 3不是“互垂点集”．排除A ，B ，C.故选D.(2)若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好由两个“友情点对”，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 B解析 首先注意到(0，a )没有对称点，当x >0时，f (x )＝－x 3＋6x 2－9x ＋a ，则－f (－x )＝－x 3－6x 2－9x －a ，即－x 3－6x 2－9x －a ＝2(x <0)有两个实数根，即a ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)有两个实数根．画出y ＝－x 3－6x 2－9x －2(x <0)的图象如图所示，由图可知a ＝2 时有两个解．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．1．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号． 2．(2019·长沙市长郡中学高三上学期第五次调研)定义两个实数间的一种新运算：x *y ＝lg (10x ＋10y )，x ，y ∈R .对任意实数a ，b ，c ，给出如下结论：①(a *b )*c ＝a *(b *c )；②a *b ＝b *a ；③(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )，其中正确的是( )A ．②B ．①②C ．②③D ．①②③答案 D解析 根据运算法则，可知(a *b )*c ＝lg (10a ＋10b ＋10c )，a *(b *c )＝lg (10a ＋10b ＋10c )，所以(a *b )*c ＝a *(b *c )，故①正确；结合相应式子的运算律，可知a *b ＝b *a ，故②正确；(a *b )＋c ＝lg (10a ＋10b )＋c .(a ＋c )*(b ＋c )＝lg (10a ＋c ＋10b ＋c )＝lg [10c (10a ＋10b )]＝lg (10a ＋10b )＋c ，所以(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )，故③正确；所以正确的是①②③，故选D.考向2 创新型问题例2 (1)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(x ，y )；然后统计x ，y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m ＝102，那么可以估计π的值约为( )A.227B.4715C.5116D.6017答案 B解析 (构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )所需满足的条件为⎩⎨⎧ x ＋y >1，x 2＋y 2<1，0<x <1，0<y <1，作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有102360＝π4－121×1，解得π＝4715.(2)(2019·重庆模拟)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为( )A.23B.25C.12D.15答案 C解析 本题考查古典概型和排列组合．依题意，从5种物质中任取2种，共有C 25＝10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P ＝12，故选C.高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新型问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合情推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．1．把数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1的所有数按照从大到小的原则写出如图所示的数表，第k 行有2k －1个数，第t 行的第s 个数(从左数起)记为A (t ，s )，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1中的项1287应记为________．113 1517 19 111 113115 117 119 (129)… … …答案 A (8,17)解析 令2n －1＝287⇒n ＝144⇒1287是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12n －1的第144项，由S 7＝27－12－1＝127⇒A (8,17)．2．(2019·南充市高三第一次高考适应性考试)在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得1⊕x ＝⎩⎨⎧ 1(x ≤1)，x 2(x >1)，2⊕x ＝⎩⎨⎧ 2(x ≤2)，x 2(x >2)，所以f (x )＝⎩⎨⎧ x －2(x ≤1)，x 3－2(1<x ≤2)，x 3－x 2(x >2)，可求出当x ≤1时，函数的最大值是－1；当1<x ≤2时，函数的最大值是6.所以当x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于6，选C.考向3 实际应用型问题例3 (1)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q答案 D解析 由题图2可知固定位置到点A 距离大于到点C 距离，所以舍去N ，M 两点，不选B ，A ；若是P 点，则从最高点到点C 依次递减，与图2矛盾，因此取Q ，即选D.(2)(2019·湖南六校联考)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为f (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)，商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润＝收入－成本)，该企业一个月应生产该商品的数量为( )A ．9万件B ．18万件C ．22万件D ．36万件答案 B解析 由题意可得，获得最大利润时的收入是20x 万元，成本是12x 2＋2x ＋20，所以此时的利润为M ＝20x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x ＋20＝－12x 2＋18x －20＝－12(x －18)2＋142≤142，当且仅当x ＝18时，取最大值．故选B.1．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( ) A. M 2M 1R B. M 22M 1RC. 33M 2M 1RD. 3M 23M 1R答案 D 解析 由α＝r R 得r ＝αR ，代入M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )·M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.又∵3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，∴3α3≈M 2M 1，∴α≈ 3M 23M 1，∴r ＝αR ≈ 3M 23M 1R .故选D.2．某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量L (x )(单位：千双)是关于销售单价x (单位：元)的函数．已知销售单价不低于1元．当月销售量最少为0.205千双时，该店才会正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为20元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；当销售单价不超过4元时，月销售量为2.125千双．研究表明：当4≤x ≤20时，月销售量L (x )与销售单价x 的函数关系为L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)．记月销售额(单位：千元)为f (x )＝x ·L (x )，为使f (x )达到最大值，则销售单价x 应为( )A ．1元B ．2元C ．3元D ．4元答案 D解析 由题得，当1≤x ≤4时，L (x )＝2.125；当x ＝20时，L (x )＝0.205；当4≤x ≤20时，L (x )＝a x 2＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎨⎧ L (4)＝2.125，L (20)＝0.205，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 42＋b ＝2.125，a 202＋b ＝0.205，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝18，所以L (x )＝32x 2＋18，故函数L (x )的表达式为L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2.125，1≤x ≤4，32x 2＋18，4<x ≤20.故f (x )＝x ·L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2.125x ，1≤x ≤4，32x ＋x 8，4<x ≤20.当1≤x ≤4时，f (x )为增函数，故当x＝4时，f (x )的最大值为8.5；当4<x ≤20时，可知函数f (x )＝32x ＋x 8在区间(4,16]上单调递减，在区间[16,20]上单调递增，又f (4)＝8.5，f (20)＝4.1，所以f (x )的最大值为8.5.综上，当x ＝4，即当销售单价为4元时，月销售额可以达到最大值，故选D.真题押题『真题模拟』1．(2019·重庆模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 依题可知e i x 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x ，sin x )，故e 2i 表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.2．(2019·钦州市高三三模)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变，剩余质量为原来的14.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的14，两年后变为原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫142，依此类推，得到n 年后质量是原来的⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，只需要⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ≤1100⇒n >3，故选B.3．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三二模)对于△ABC ，若存在△A 1B 1C 1，满足cos A sin A 1＝cos B sin B 1＝cos Csin C 1＝1，则称△ABC 为“V 类三角形”．“V 类三角形”一定满足( )A ．有一个内角为30°B ．有一个内角为45°C ．有一个内角为60°D ．有一个内角为75°答案 B解析 由对称性，不妨设A 1和B 1为锐角，则A 1＝π2－A ，B 1＝π2－B ，所以A 1＋B 1＝π－(A ＋B )＝C ，于是cos C ＝sin C 1＝sin(A 1＋B 1)＝sin C ，即tan C ＝1，解得C ＝45°，故选B.4．(2019·北京高考)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE 面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.5．(2019·江苏高考)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M-数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数．若存在“M-数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．解 (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎨⎧ a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎨⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M-数列”．(2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0. 由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2. 由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n ). 当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得b n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )－b n －1b n 2(b n －b n －1)， 整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列．因此，数列{b n}的通项公式为b n＝n(n∈N*)．②由①知，b k＝k，k∈N*.因为数列{c n}为“M-数列”，设公比为q，所以c1＝1，q>0.因为c k≤b k≤c k＋1，所以q k－1≤k≤q k，其中k＝1,2,3，…，m(m∈N*)．当k＝1时，有q≥1；当k＝2,3，…，m时，有ln kk≤ln q≤ln kk－1.设f(x)＝ln xx(x>1)，则f′(x)＝1－ln xx2.令f′(x)＝0，得x＝e.列表如下：因为ln 22＝ln 86<ln 96＝ln 33，所以f(k)max＝f(3)＝ln 3 3.取q＝33，当k＝1,2,3,4,5时，ln kk≤ln q，即k≤qk，经检验知q k－1≤k也成立．因此所求m的最大值不小于5.若m≥6，分别取k＝3,6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在．因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5.『金版押题』6．已知一族双曲线E n：x2－y2＝n2019(n∈N*，n≤2019)，设直线x＝2与E n 在第一象限内的交点为A n，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，记△A n B n C n的面积为a n，则a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝________.答案505 2解析设A n(x0，y0)，可得x20－y20＝n 2019.双曲线E n：x2－y2＝n2019(n∈N*，n≤2019)的渐近线方程为x－y＝0，x＋y＝0.由点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ，不妨设B n 在第一象限内，可得|A n B n |＝|x 0－y 0|2， |A n C n |＝|x 0＋y 0|2，易知双曲线E n 的两条渐近线互相垂直，可得A n B n ⊥A n C n ， 则△A n B n C n 的面积a n ＝12|A n B n |·|A n C n |＝12·|x 0－y 0|2·|x 0＋y 0|2＝x 20－y 204＝18076n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝18076×12×2019×2020＝5052.配套作业一、选择题1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 答案 C解析 根据题意，当x ＝16时y ＝1，所以A ，B 不正确；当x ＝17时y ＝2，所以D 不正确，故选C.2．(2019·黄山市高三第二次质量检测)2018年，晓文同学参加工作，月工资为7000元，各种用途占比统计如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为( )A ．7000B ．7500C ．8500D ．9500答案 C解析 参加工作时就医费为7000×15%＝1050，设目前晓文同学的月工资为x ，则目前的就医费为10%·x ，因此10%·x ＝1050－200＝850，∴x ＝8500.故选C.3．某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：甲说胡老师不是上海人，是福州人；乙说胡老师不是福州人，是南昌人；丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对．由此可推测胡老师( )A ．一定是南昌人B ．一定是广州人C ．一定是福州人D ．可能是上海人答案 D解析 若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合题意；若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙对一半，符合题意；若胡老师是上海人，则甲全错，乙一对一错，丙全对，符合题意若胡老师是广州人，则甲一对一错，乙一对一错，丙一对一错，不符合题意．4．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧ b ，a ≤b ，a ，a >b ，若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2答案 C解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故选C.5．某班级有一个学生A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，当学生A 开始跑步时，在教室内有一个学生B ，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B “感觉”到学生A 的运动是( )A ．逆时针方向匀速前跑B ．顺时针方向匀速前跑C ．顺时针方向匀速后退D ．静止不动答案 C解析 令操场的周长为C ，则学生B 每隔50秒看一次，学生A 都距上一次学生B 观察的位置C 26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B “感觉”到学生A 的运动是顺时针方向匀速后退的．6．对函数f (x )，如果存在x 0≠0使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(e ，＋∞)D ．[1，＋∞) 答案 B解析 由题意可知，函数存在奇对称点，即函数图象上存在两点关于原点对称，可设两点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，即y 1＝e x 1－a ，y 2＝ex 2－a ，因为关于原点对称，所以e x 1－a ＝－e x 2＋a ，即2a ＝e x 1＋e x 2≥2e x 1·e x 2＝2e 0＝2，因为x 1≠x 2，所以a >1，故选B.7．若存在正实数a ，b ，使得∀x ∈R 有f (x ＋a )≤f (x )＋b 恒成立，则称f (x )为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x )＝x 2＋x ＋1；②f (x )＝|x |；③f (x )＝sin(x 2)，其中是“限增函数”的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③答案 B解析 对于①，f (x ＋a )≤f (x )＋b 即(x ＋a )2＋(x ＋a )＋1≤x 2＋x ＋1＋b ，即2ax ≤－a 2－a ＋b ，x ≤－a 2－a ＋b 2a 对一切x ∈R 恒成立，显然不存在这样的正实数a ，b .对于②，f (x )＝|x |，即|x ＋a |≤|x |＋b ，|x ＋a |≤|x |＋b 2＋2b |x |，而|x ＋a |≤|x |＋a ，∴|x |＋a ≤|x |＋b 2＋2b |x |，则|x |≥a －b 22b ，显然，当a ≤b 2时式子恒成立，∴f (x )＝|x |是“限增函数”．对于③，f (x )＝sin(x 2)，－1≤f (x )＝sin(x 2)≤1，故f (x ＋a )－f (x )≤2，当b ≥2时，对于任意的正实数a ，b 都成立．故选B.8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(lg 2≈0.3，lg 1.3≈0.11，lg 1.12≈0.05)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年答案 D解析 设从2017年后第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n >200，∴1.12n >200130，两边取常用对数得n lg 1.12>lg 200130，∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，∴n ≥4，故选D.9．(2019·湖南省宁乡一中、攸县一中高三联考)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK 或点赞．加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程(单位：十公里)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8,9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳答案 D解析 根据折线图得中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程在2月、7月、8月、11月减少，月跑步平均里程高峰期大致在9月，10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故选D.二、填空题10．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为________元．答案 3800解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎨⎧ 0，0≤x ≤800，(x －800)×14%，800<x ≤4000，11%·x ，x >4000.如果稿费为4000元应纳税为448元，现知，某人共纳税420元，∴稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800. 11．(2019·北京市东城区高三综合练习)设A ，B 是R 上的两个子集，对任意x ∈R ，定义：m ＝⎩⎨⎧ 0，x ∉A ，1，x ∈A ，n ＝⎩⎨⎧0，x ∉B ，1，x ∈B .①若A ⊆B ，则对任意x ∈R ，m (1－n )＝________；②若对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则A ，B 的关系为________．答案 0 A ＝∁R B解析 ①∵A ⊆B .则当x ∉A 时，m ＝0，m (1－n )＝0.当x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m ＝n ＝1，m (1－n )＝0.综上可得m (1－n )＝0.②对任意x ∈R ，m ＋n ＝1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1，即当x ∈A 时，必有x ∉B 或x ∈B 时，必有x ∉A ，∴A ，B 的关系为A ＝∁R B .12．(2019·濮阳市高二下学期升级考试)某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________．答案 3解析 ∵A 完成后，C 才可以开工；B ，C 完成后，D 才可以开工，完成A ，C ，D 需用时间依次为2，x,4天，且A ，B 可以同时开工，又∵该工程共需9天，∴2＋x max ＋4＝9⇒x max ＝3.13．(2019·湖州三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，－x 2＋4x ，x >0，则 f [f (－1)]＝________，若实数a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．答案 4 (2,4]解析 f [f (－1)]＝f (21)＝－4＋8＝4，因为a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，所以－2<a ≤0<b <2<c ，b ＋c ＝4，因此a ＋b ＋c ＝a ＋4∈(2,4]．14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ＝1，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P －ABCEF 的体积的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 ∵PF ⊥EF ，PF ⊥AF ，EF ∩AF ＝F ，∴PF ⊥平面ABCEF ，设DF ＝x (0<x <1)，则EF ＝x ，F A ＝2－x ，∴S ABCEF ＝S ABCD －S △DEF ＝12×(1＋2)×1－12x 2＝12(3－x 2)，∴五棱锥P －ABCEF的体积V (x )＝13×12(3－x 2)·x ＝16(3x －x 3)，V ′(x )＝12(1－x 2)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当0<x <1时，V ′(x )>0，V (x )单调递增， 故V (0)<V (x )<V (1)，即V (x )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.。

第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.核心知识回顾1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1 (2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )1iSSii，．A<20，＝－＝2i1iSSii 2≤20，＝＝－B．，iSiiiS1，＝＝，C．＋<202SiiiS1＝D．，≤20，＋＝2D答案S11SSSS；由，不满足，＝B－，故排除解析根据题意可知，第一天＝，所以满足A＝i22SiSi D.≤20.故选21＝框图可知，计算第二十天的剩余时，有，所以循环条件应该是＝，且2以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，a) ( 问积几何？”设每层外周枚数为，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为A．121 B．81 C．74 D．49答案 BaSnaaS＝98＝；满足，解析满足≤32，第一次循环：1＝，2＝，≤32，第二次循环：naaSnaaS≤32，第四次循环：；满足24＝，4＝，25＝≤32，第三次循环：；满足16＝，3＝naaSnaaS.40.不满足＝65，，＝32；满足≤32，输出≤32，第五次循环：，＝81＝49，＝＝故选B.考向2 数列中的数学文化例2 (2019·陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在n－1n，若去除所有为“杨辉三角”中，第1行的所有数字之和为2的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前15项和为( )A．110 B．114 C．124 D．125答案 Bnnx＝1，可得二项展开＋1解析由题意，行，令次二项式系数对应的杨辉三角形的第n012，…以此类推，即每一22，第2行为，第3行为2式的二项式系数的和，其中第1行为2Sn行的数字之和为的等比数列，则杨辉三角形中前，公比为行的数字之和构成首项为12nn21－n，…，可以1,2,3,41的项，则剩下的每一行的数字的个数为，若除去所有为＝＝2－121－nnnn＋＋nT，解得看成构成一个首项为1，公差为，令152的等差数列，则＝＝n227＝5，所以前15项的和表示前7行的数列之和减去所有的1，即(2－1)－13＝114，即前15项的数字之和为114，故选B.以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，n天所织布390尺布．记该女子一月中的第天计算)共织1第天织了5尺布，现在一月(按30aaaaa的值为( 的尺数为，则＋＋)＋n17161514A．55 B．52 C．39 D．26答案 B30×29dSd30×5＋＝设从第2天开始，每天比前一天多织390尺布，则，所以解析daaaaad B.3021616＝4×5＋58×＋＝＋4＝52.＋，解得＝39058＝，所以故选＋1171514162929 考向3 立体几何中的数学文化我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：)3 (2019·六安市第一中学高三模拟例“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面ab用平行上，直径都为2的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面，高皆为βSdS 可处的平面截这两个几何体，可横截得到β任意距离两截面．及于平面β且与平面环圆SS．总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3以证明的椭球体的体积是＝________环圆答案4π12222SSbababa，所以椭球体＝总成立，则半椭球体的体积为π＝π－π解析因为环圆33442VbaV＝3，所以椭球体的体积为，因为椭球体的半短轴长为1的体积为π＝，半长轴长为33422ba＝π×1×3＝4ππ，故答案是4π.3依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面ACCAAABBAABCBCACBCA体积最大＝＝，若的四棱锥．如图，在堑堵2－，当阳马－中，⊥111111CBABCA)－( 时，则堑堵的体积为11182 2．A. B.2 C．2 D3C答案42111222ABBCACBCACBCACAVBAACCA，·＝＝·)≤解析由阳马的定义，知(－1＝1＝·＋CABABCACBCBAACC的体积最大时，则堑堵当且仅当＝－＝2时等号成立，所以当阳马－133333111111C.，故选2×2＝2体积为×2×2考向4 概率中的数学文化例4 (2019·皖南八校高三第三次联考)七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼)( 成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为135113 C.A. D B.3232816A答案S此时阴影部分所对应的直设正方形的边长为解析4，则正方形的面积为，＝4×4＝161S＋22，＝高为2，所以阴影部分的面积为角梯形的上底边长为下底边长为22，×(2312S51A.＝＝，故选P)×2＝5，根据几何概型，可得概率为32S16数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．《算法统宗》是我国古代的数学名著，书中把三角形中的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在)邪田内随机种植一株茶树，则该茶树恰好被种在圭田内的概率为(1422 C.A. B. D.551515A答案ABCD内随机种一株茶树，在直角梯形根据题意，得出其示意图如图所示，题意为：解析AEADAEFABDC，三角形＝10＝，8求该茶树恰好被种在三角形内的概率．且已知20＝，10＝，18×5×22AEFhAEFP＝内的概率，所以该茶树被种在三角形，故选＝A. 5＝的高151＋2考向5 推理与证明中的数学文化例5 (2019·南充市第三次诊断)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( ) 5435DAC .钱 .钱 B.钱钱.3243B答案ddaadadaaad2，则－2，，＋－，2，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为解析＋－daadada 2＋－＝，＋＋＋＋dadaadadada解得＝－6＝，又－2＋2－＋5＋＋，＋＋a44????adaaa－＝－2×，故选B.∴＝1，则－2＝＝??633以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论．解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题．(2019·上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此．类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年．答案戊戌解析从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61÷10＝6余1，则2078年的天干为戊，61÷12＝5余1，则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年．考向6 数学文化与现代科学例6 2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫cc分别表示和为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用22星在P点第二次变轨进入仍以F21aa分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： 2和2椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用21acacacac；＝；②①－＋－＝＋22211211cc21caac.③<；④>2211aa21其中正确式子的序号是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④D答案aaccacacacac＝|PF|即①式不正确；，解析观察题图可知>－，－>，∴，＋>＝＋221121211122aaaa c－cc－c21221112caacacccac，，知>，从而，即<.><>0，－－即②式正确；由＝>0>2212111212aa cccc212121即④式正确，③式不正确．抽以探测卫星轨道为背景，命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，(1)．象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的π????tan ＋θ＝，直角三角形中较大的锐角为θ，那么________.面积为1，大正方形的面积为25??4答案－7π????cn<θ0<，1os小正方形的边长分别是5,1，于是有5siθθ－5＝依题意，解析得大、??21nc osθ＝si.θ－则549722ncncnc osθ＝，＝)，则si ＋θ(siosθ)＝2－θθ－＋os从而(siθ255πtanθ＋1434????tantanc＋θ＝＝－θ＝，＝θ.故，因此sinθ＝7.os??435θ51－tan真题押题『真题模拟』1．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积VShS 是柱体的底＝，其中不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式柱体3h)单位：cm(cm)(面积，是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示单位：，则该柱体的体积)( 是A．158 B．162 C．182 D．324答案 B解析如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面2＋64＋6SV ＝27×6＝162.故选×3＝27，因此，该柱体的体积B.面积＝×3＋222．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的E51mmmEk ＝1,2)(－．已知太阳的星等是＝lg ，其中星等为的星的亮度为星等与亮度满足kk12E22－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )10.1－10.1．10．10.1 C．lg 10.1 DA．10 B答案 AE51mm＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg 由题意知，解析26.7＝－，，21E22EE1110.1.，所以lg＝10.1＝10故选A.所以EE223．(2019·湖南省高三六校联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利．3nxv的值为( 3，，则输出用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入)，的值分别为2A．17B．11.5C．10D．7答案 B3nx＝，程序运行过程如下：3，解析初始值＝2v＝2，3nnv，不满足4，≤0；＝2＋＝2×1＝23nvn，不满足＝＝4×＋17，≤0；＝12233nnv，满足≤0，退出循环，＋＝7×1＝，＝02223v B.＝输出的值为11.5.故选2中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状．(2019·全国卷Ⅱ4)多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对1)的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此是一个棱数为2称美．图48 ．________个面，其棱长为________则该半正多面体共有1.正方体的棱长为1262－答案解析先求面数，有如下两种方法．个面，中间部分9解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有面．26(个)有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝EFV．由图欧拉公式＋面数(2()－棱数())解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(＝)VEFVFE48－＋2＋形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由＋＝－2＝2，得面数＝的正方形. 24＝26.再求棱长作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1－xABCDEFGH连，设其边长为，如图，上的正八边形则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．2AMxAMGNHAFGHMAFAFMNMHNGNF又，过，＝分别作⊥＝，⊥＝接，垂足分别为，.，则＝222xNFMNxxx1，即半正多面体的棱长为2－＋－＋1.＝1＋＋＝，即解得1. ＝222『金版押题』5．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔)( 偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿20101550 斗粟A.斗粟斗粟 C. D.斗粟 B.7777C答案aaa个数依次成，则这解析解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为，3，aaaqaaaa，故－＝＝等比数列，公比，＝2，所以＋2－＋4＝5，解得，故＝＝31215202055111313177777C.选204斗，羊主人＝5×∶4，故牛主人应赔偿解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2771520155C.＝斗，故选5×应赔偿＝斗，故牛主人比羊主人多赔偿了－77777《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”．6)( 的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为2 2 4＋2．BA．26＋4．4C．＋42 DC答案，则底面三角由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为解析1C.×2＝2，所以侧面积为2，三棱柱高为，底边长为2形腰长为22×2＋2×44＋2.故选配套作业一、选择题1．(2019·赤峰市高三模拟)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是( )2353A. B. C. D. 3594答案 A解析因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，62P＝＝，故选A.根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率932．(2019·南昌外国语学校高三高考适应性测试)下边程序框图的算法思路源于我国古代ab分别为16,20，，数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a的值为( 则输出的)1．4 D．2 C．0 B．A．答案 Cab的值，分别为16,20，，解析输入abab，，进入第二层选择结构，第二层判断：不满足>第一次循环：第一层判断：满足≠abb＝20－16≤＝，故4；满足abab，，进入第二层选择结构，第二层判断：满足第二次循环：第一层判断：满足>≠a＝16－4＝故12；abab，第三次循环：第一层判断：满足，进入第二层选择结构，第二层判断：满足≠>a＝12－4＝8；故abab，第四次循环：第一层判断：满足，进入第二层选择结构，第二层判断：满足≠>a ＝8－4＝4；故ab＝4，故输出4，选C.第五次循环：第一层判断：满足＝3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为( )A．48里 B．24里 C．12里 D．6里答案 C1????6????a－11????21aaa＝192×＝设第一天的路程为里，则12.378，，所以＝192＝解析511421－124．(2019·河南洛阳高三阶段性考试)《九章算术》中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马．'马主曰：‘我马食半牛．'今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗＝10升，针对这一问题，km)( ＝，则2的值为设计程序框图如图所示，若输出100501050 C. D.A B.7733B答案kmkSmS；第三－，，＝1；第二循环，2＝50－3解析运行该程序，第一次循环，＝＝5050mmkmS B. ，此时要输出＝的值，则50－7＝0，解得次循环，，故选＝50－77割之又割，“割之弥细，所失弥少，5．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在11＝＋表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1x1＋1＋…11＋5xx) ＋23求得＋＝2…＝( .类比上述过程，则 32113＋3 A．B. 22．2C．6 DA答案22xxxxx，…＝＋，即32＝…＝2解析令 3＋3＋23(>0)，两边平方，得3＋2＋2xx A.…＝3，选2，故1(舍去)＋ 323＋，解得＝3＝－我国古代《九章算术》将上、下两个平行平面为矩)56．(2019·江西省名校高三月联考形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底)( ，则该刍童的体积为2，高为6和2的长分别为10410018 ． CA.．27 D B.33B答案，所以几何体26，高为解析由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和1041V ＋4×36)×2＝.故选＝×(4＋36的体积B.337．(2019·河北联考)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cōng)，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺．则它的体积是(注：1丈＝10尺，取π＝3)( )A．704立方尺 B．2112立方尺D立方尺．2118立方尺 C．2115B答案CVCrrCrh，所以＝2π解析设圆柱体底面圆半径为，高为，所以，周长为.因为＝π2222hCC×11482hhr B.＝＝＝．故选)2112(立方尺×π＝π＝×212π44π8.(2019·南宁市高三第一次适应性测试)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原11x＝( 的酒量”，即输出值是输入值的壶中，则输入的)33．3A 59 B.1121 C.2345 D.47答案 Cixxixxxixx－2(4时，3)－3；＝1；＝＝2时，3＝2(21)－－1解析＝＝1时，＝24－121xixxx ＝.，解得8故选－7＝－1＝8C.－7；＝4时，退出循环．此时，3239．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问1本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩2111余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的3451，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在此问题中，第5关收税金( ) 61111斤 B.斤 C.A.斤 D.斤20253036答案B1111????xxxx－1；第3＝解析假设原来持金为关，则第1关收税金；第2关收税金??2322×31111111111????????xxxx－－1－－－1；第54关收税金收税金＝关收税金＝；第????12662264×553×44．11111111111????????xxxxxxxx－－－－1－1，即1＝＋.依题意，得＋＝＋＋????62026125×64×55×622×33×4161156xxx B..故选＝，×＝1，解得＝＝，所以＝1255×65655×6年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正公元26310．(2019·陕西省高三第一次模拟)利用“割多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，多边形的边数无限增加时，，这就是著名的“徽率”．如图3.14圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值n)的值为( 是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)(96 ．．48 D．A12 B．24 CB答案33Sn＝3sin60°，＝6，解析模拟执行程序，可得2SnS＝6×sin30°＝3，12不满足条件，≥3.10，＝SnSS≥3.10，，3.1056＝24，满足条件不满足条件≥3.10，＝12×sin15°≈12×0.2588＝n的值为24.故选退出循环，输出B.11．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是( )12 3 4 5 2014……62015 2016 20174033 4031 4029……………11 9 7 5 38064 8060……………………20 16 12 816124…………………………36 28 20…………………………2018×2A．2017×2 B20152016．2018×2DC．2017×220162015．B答案从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差解析n行从为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，…，即第n－1－1,0,1,20＝2×218＝4×23右到左的公差为2＝3×2，而从右向左看，每行的第一个数分别为n3－22,nn.显然第(2017＋1)×2，…，所以第＝5×248＝6×2行只有一个数，行的第一个数为201522017－，故选＋1)×2其值为(2017B.＝2018×2Nmn，记为除以正整数后的余数为12. (2019·德州市高三下学期第一次练习)正整数Nnm)，例如25≡1(MOD6)．如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该≡(MOD NN ＝( 时，则输出 )程序框图，当输入＝25A．31B．33C．35D．37A答案．解析模拟程序的运行，可得N＝25，N＝26，NN＝27，不满足条件≡1(MOD3)，NN＝28，不满足条件≡1(MOD3)，NNN＝29≡1(MOD3)，不满足条件，≡1(MOD5)，满足条件NN＝30≡1(MOD3)，，不满足条件NN＝31，不满足条件≡1(MOD3)，NNN的值为31.≡1(MOD3)，满足条件故选≡1(MOD5)，输出A. 满足条件二、填空题13．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“．________”表示的十进制数是34答案．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为解析，转化为十进制数为0×2＋1×2＋0×2＋0×2＋0×2＋1×2＝34.54230110001014．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是________．答案 65×4aaSaa＝660×3＝，解得，＋＝3，首项为{解析设等差数列}，公差为，则5n15112即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.。