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第三章 《不等式（复习）》导学案 【学习目标】 1．会用不等式（组）表示不等关系； 2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.【知识链接】复习1：【学习过程】※ 典型例题例1咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g 、4g 、3g ；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g 、5g 、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g ，咖啡2000g ，糖3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式..例2 比较大小.（1）2(32)______626++； （2）22(32)______(61)--；（3）152- 165-； （4）当0a b >>时，1122log _______log a b ； （5）(3)(5)______(2)(4)a a a a +-+-；（6）22(1)x + 421x x ++；例3 利用不等式的性质求取值范围：（1）如果3042x <<，1624y <<，则x y +的取值范围是 ， 2x y -的取值范围是 ，xy 的取值范围是 ， x y的取值范围是 （2）已知函数2()f x ax c =-，满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤，那么(3)f 的取值范围是 .例4 已知关于x 的方程(k -1)x 2+(k +1)x +k +1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围.例5 已知x 、y 满足不等式22210,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，求3z x y =+的最小值.例6 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的范围.※ 动手试试练1. 已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.练2. 某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，经测试，当船速为10公里/小时，燃料费用是每小时20元，其余费用（不论速度如何）都是每小时320元，试问该船以每小时多少公里的速度航行时，航行每公里耗去的总费用最少，大约是多少？【学习反思】※ 学习小结1．用不等式表示不等关系；2．比较大小；3．利用不等式的性质求取值范围和证明不等式；4．会解一元二次不等式；5．会画二元一次方程（组）与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解；6．利用基本不等式求最大（小）值.※知识拓展设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>对应的二次函数为2()(0)f x ax bx c a =++>1．方程()0f x =在区间(,)k -∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>-<且()0f k >； 2．方程()0f x =在区间(,)k +∞内有两个不等的实根⇔0,2b k a∆>->且()0f k >； 3． 方程()0f x =有一根大于k ，另一根k ⇔()0f k <；4．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有且只有一根（不包括重根）⇔12()()0f k f k <g （12,k k 为常数）；5．方程()0f x =在区间12(,)k k 内有两不等实根⇔ ⇔120,2b k k a∆>-<且12()0,()0f k f k >>； 6．方程()0f x =在区间12(,)k k 外有两不等实根⇔ ()0,()0f k f k <<【基础达标】）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设0a b <<，下列不等式一定成立的是（ ）.A ．22a ab b <<B ．22b ab a <<C ．22a b ab <<D ．22ab b a << 2. ,a b R ∈，且22a b +=，则24a b +的取小值是（ ）.A ．4B ．2C ．16D ．83. 二次不等式的解集是全体实数的条件是（ ）.A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩ 4. 不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域内的整点坐标是 .5. 变量,x y 满足条件430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，设y z x =，则z 的最小值为 . 【拓展提升】（1）22427180440x x x x ⎧-+>⎪⎨++>⎪⎩ （2）2232041590x x x x ⎧+-≥⎪⎨-+>⎪⎩2. 某运输公司有7辆可载6t 的A 型卡车与4辆可载10t 的B 型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车252元，每天派出A 型车和B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低？。
2017-２0１8学年高中数学第三章不等式3.2 均值不等式同步导学案新人教B版必修５编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（２017-201８学年高中数学第三章不等式 3.2 均值不等式同步导学案新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3．2 均值不等式【预习达标】⒈正数a 、b 的算术平均数为 ;几何平均数为 ．⒉均值不等式是 ．其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释?⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式,但都必须保证 ;另外等号成立的条件是 ．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式,并注明所需条件)（１)a 2+b 2 ( ） (2)2b a （ )（3）a b + ) （4）x ） （５)x+x1 (ｘ<0) (6）a ｂ≤ （ )⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a ＋b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立.６.⑴函数f(x)＝ｘ(2－ｘ)的最大值是 ；此时x 的值为__＿___＿__＿＿___＿＿＿＿_；．⑵函数f(x ）=2x （2-ｘ)的最大值是 ;此时ｘ的值为_＿__＿_________＿＿_＿_;⑶函数f （x) =x(2－2ｘ)的最大值是 ;此时ｘ的值为＿________＿_________；⑷函数f （ｘ）=x （２+x)的最小值是 ；此时ｘ的值为＿____＿_＿＿＿＿___＿＿_＿＿.【典例解析】例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞),且a+b+c=１，求证a 1 +b 1+c1≥9.例⒉(1）已知x 〈45,求函数y=4x －2+541-x 的最大值. (2)已知x>0,y 〉0,且+x 1y9＝1，求x+y 的最小值。
二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅【题型二、二次方程的根与二次函数的零点之间的关系】【例2】探究一元二次不等式250x x -<的解集【方法技巧】求一元二次不等式的解集实际要先求出一元二次方程等于0时的解集，即二次函数与X 轴的交点，二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点.【题型三、分式不等式的解法】 【例3】(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-(],2-∞ D 的取值范围是（1 3⎫<⎬⎭，则abD的解集是（12x x≥≤或12x x><或9.设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是（ ） A ．()(),13,-∞-+∞ B ．R C ．{}1x x ≠D ．{}1x x =10.不等式2560x x -++≥的解集是______________________________． 11.()21680k x x --+<的解集是425x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则k =_________． 12.已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．【能力提升】1.已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 、b 的值．2.已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．3.若关于m 的不等式2(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围.。
高中数学《3.4 基本不等式》导学案（3）新人教A 版必修5学习目标1．理解并掌握基本不等式及变形应用． 2．会用基本不等式求最值问题 ※ 学习重点、难点：1．利用基本不等式求最值．(重点)2．利用基本不等式求最值时的变形转化(难点)1、若x ＞0，则34x x+的最小值为 2、若a,b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lga ·lgb 的最大值是3、设0<x<32，求函数y ＝x(3－2x)的最大值；一层练习 4、若a <1，则a ＋1a －1有最___值，为________．5、设0>x ，求xx y 133--=的最大值二层练习 6、求)0(112<-+=x xx y 的最大值7、求)0(123≠+=x xx y 的值域8、求函数y ＝x ＋1x的值域．9、求)1(1622>-++=x x x x y 的最小值求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值．二、合作探究题型四 利用基本不等式解有条件的最值问题1、已知,0,0>>b a 且,4=ab 求b a 23+的最小值2、已知,0,0>>b a 且,14=+b a 求ab 的最大值3、已知x>0，y>0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．4、已知,0,0>>y x 且124++=y x xy 求xy 的最小值5、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3求2x ＋y 的最小值；6、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ．(3)设x>0，y>0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．1．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－42．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．16 D ．不存在6．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．(2)设x >－1，求y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值．4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－36．若lg x ＋lg y ＝1，则2x＋5y的最小值为________．8．设正数x ，y 满足x ＋y ≤a ·x ＋y 恒成立，则a 的最小值是______． 2已知2a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，则11a b+的最小值是( )A ．B ．3-C ．3+D ．33(2011·安徽合肥一模)若M ＝24a a+(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]1函数y ＝3x ＋32－x的最小值为__________．4. 若14<<-x ，则22222-+-x x x 的最小值为（ ）(1).11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ； (2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是_______________________. 2、已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3.求a ＋b 的最小值．达标练习课后练习。
不等式的恒成立问题
教学目标：掌握高一阶段常见的恒成立问题的处理方法：图像法、
分离参数法、最值法；
教学重点：常见的恒成立问题的处理方法
教学难点：理解各种方法的使用条件，会结合问题选择合适的方法
教学形式：微课
教学过程
【直接引入】
恒成立问题是高中数学的重要内容，也是各类考试中常考的知识点。
本节课，结合高一学生的认知水平，讲一下不等式的恒成立问题。
【问题讲解】
1、方法归纳
2、例题选讲
3、课堂小结
一、一元二次不等式在R 上恒成立 图像法（用a 和∆反映）
二、一元二次不等式或其他不等式在区间上恒成立 分离参数法或最值法
2()4,[1,3],()0f x x kx x f x k =-+∈≥例2、已知函数对任意不等式恒成立，求实数的取值范围？min 4()0[1,3]4(),[1,3]()[1,2]()(2)44.(,4]f x k x x x x x x x x x k k ϕϕϕϕ≥≤+∈=+∈==≤-∞解：由可得对任意恒成立令由对勾函数的单调性知在递减，在[2,3]递增所以则即实数的取值范围是2()1[,1]()0f x x mx x m m f x m =+-∈+<例3、已知函数对任意的都有成立，求实数
的取值范围？max 222()0()[,1]()(1)()010(1)0(1)(1)100.(,0)22
f x f x x m m f m f m f m m m f m m m m m m <∈++⎧<+-<⎧⎪⎨⎨+<+++-<⎪⎩⎩-<<-解：由题意可知而在的最大为或则即解得即的取值范围是。
第三章第一节：不等关系和不等式（1）班级：姓名：成绩：学习目标：1、过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景2、比较大小的方法（作差比较法）；学习重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；作差比较法.学习难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
学习过程：预习﹒交流﹒评价1、限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过写成不等式就是：2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示新知﹒巩固﹒展示学点一：用不等式表示不等关系1、设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d AB2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元：3、某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。
按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式.学点二：比较两个数大小的方法(作差比较法)如果a-b 是，那么a ＞b ；如果a-b ，那么a=b ；如果a-b 是，那么a ＜b .反过来也对。
即a-b ⇔a ＞b ；a-b ⇔a=b ；a-b ⇔a ＜b .X 4、（1）比较x 6+1与x 4+x 2的大小，其中x ∈R ；（2）若x ＜y ＜0，试比较（x 2+y 2）（x-y ）与（x 2-y 2）（x+y ）的大小.5、.已知a 、b ∈R ，求证：a 2+b 2≥2ab拓展﹒提高A 组：1．用不等式表示下面的不等关系：1） a 与b 的和是非负数；2） 某公路立交桥对通过车辆的高度“限高4m ”3） 如图，在一个面积为3502m 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍。
3．2 均值不等式【预习达标】⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．⒉均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a 2+b 2 ( ) （22（ ） （3）a b b （ ） （4）x x(x>0) （5）x x (x<0) （6）ab ≤ （ ） ⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________；． ⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑶函数f(x) =x(2－2x)的最大值是 ；此时x 的值为___________________； ⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此时x 的值为___________________。
【典例解析】例⒈已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例⒉（1）已知x<45，求函数y=4x －2+541-x 的最大值． （2）已知x>0，y>0，且+x 1y9＝1，求x ＋y 的最小值。
（3）已知a 、b 为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
【达标练习】一．选择题：⒈下列命题正确的是（ ）Ａ．a 2+1>2a Ｂ．│x+x 1│≥2 Ｃ．abb a +≤2 Ｄ．sinx+x sin 4最小值为4． ⒉以下各命题(1)x 2+112+x 的最小值是1；（2）1222++x x 最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+a 1）(b+b1)的最小值是4，其中正确的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ ） Ａ．a b ＋ba ≥2 Ｂ．a 2+b 2≥2ab Ｃ．a b 2＋b a 2≥a ＋b Ｄ．b a 11+≥2+ba +2 ⒋设a 、b ∈R ＋，若a+b=2，则ba 11+的最小值等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4⒌已知a ≥b>0，下列不等式错误的是（ ）Ａ．a 2+b 2≥2ab Ｂ．222b a a +≥ Ｃ．b a ab ab +≤2 Ｄ．112--+≥b a ab 二．填空题：⒍若a 、b 为正数且a+b=4，则ab 的最大值是________．⒎已知x>1.5，则函数y ＝2x+324-x 的最小值是_________．⒏已知a 、b 为常数且0<x<1，则xb x a -+122的最小值是_________________________． 三．解答题：⒐（1）设a=232xx +，b=26x ，c=294x x +且x ≠0，试判断a 、b 、c 的大小。
）1第三章第一节：不等关系和不等式（班级：姓名：成绩：学习目标理解不感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，过具体情景，、1：等式（组）的实际背景；、比较大小的方法（作差比较法）2 . 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；作差比较法学习重点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
学习难点：学习过程：预习﹒交流﹒评价评价：，40km/h不超过v的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度40km/h、限速1 写成不等式就是：应不p，蛋白质的含量2.5%应不少于f、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量2 ，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.3%少于新知﹒巩固﹒展示评价：学点一：用不等式表示不等关系AB d上的任意一点，则为平面B，d的距离为与平面A、设点1 元的价格销售，可以售出2.5、某种杂志原以每本2万本。
根据市场调查，若单价每提高8用不等式表示销元，x若把提价后杂志的定价设为本。
2000销售量就可能相应减少元，0.1 万元：20售的总收入仍不低于的钢管截成4000mm、某钢铁厂要把长度为3600mm两种。
按照生产的要求，600mm和500mm . 倍。
怎样写出满足所有上述不等关系的不等式3钢管的500mm的数量不能超过 ) 作差比较法(学点二：比较两个数大小的方法那么是，a-b如果aa-b即反过来也对。
b .＜a那么是，a-b如果；a=b 那么，a-b如果；b ＞＜aa-b；a=b a-b；b＞ 1246+xxx；R∈x的大小，其中与+1）比较1（、42222 . -y）的大小x+y（）x）与（x-y（）（+yx，试比较（0＜y＜x）若222b、a已知.、52ab ≥+ba，求证：R∈拓展﹒提高评价：：组A．用不等式表示下面的不等关系：1 5m ab 的和是非负数；与）1 5m 5m m”4某公路立交桥对通过车辆的高度“限高）2 5m 2m大L的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长350如图，在一个面积为）3倍。
2019-2020学年高中数学 第三章《不等式》复习课导学案新人教版必修5【知识要点】1.不等关系:参考教材73页的8个性质;2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2之间的关系：3.一元二次不等式恒成立情况小结： 20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔__________⎧⎨⎩；20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔__________⎧⎨⎩． 4. 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域：y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域．说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．5. （1）重要不等式：如果__________，那么ab b a 222≥+（当且仅当________时取“=”）；（2）基本不等式：如果______________≤2a b +（当且仅当________时取“=”）． 【课中导学】例１． 解下列不等式：（1）22740x x +->； （2）2430x x -+->； （3）2(1)10()ax a x a R -++<∈.例2. 已知,x y 满足条件675232x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩.（1）求目标函数3z x y =+的最大值；（2）求目标函数3z x y =-的最大值；（3）若,x y 均为整数，求目标函数3z x y =+的最大值。
例3. （1）求函数222(1)1x x y x x -+=<-的最大值；（2）求函数1(13)(0)3y x x x =-<<的最大值； （3）求函数4sin sin y x x=+，(0,)x π∈的最小值【总结】【反馈检测】1.如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）（A ）11a b< （B< （C ）22a b < （D ）||||a b > 2.已知34x <<,12y <<,写出下列式子的取值范围：(1)x y +∈ ；(2)x y -∈ ；（3）xy ∈ ；（4）x y∈ . 3.若一元二次不等式23208kx kx x +-<对一切实数都成立，的解集是φ，则实数k 的取值范围是____________.4.设,x y 为正数，则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）. （ A ） 6 ( B ) 9 （ C ） 12 （ D ） 155. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的值是最大值为12，则（1）最优解是____________；*（2）23a b +的最小值为__________.6.设函数)32lg()(-=x x f 的定义域为集合M ，函数34)(2+-=x x x g 的定义域为集合N ．求：（1）集合M ，N ；（2）集合N M ，N M ．7. 围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为x (单位：元). （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.8、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C 。
2014-2015学年高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测目录3.1不等关系与不等式 (2)3.2一元二次不等式及其解法(一) (7)3.2一元二次不等式及其解法(二) (12)3．3.1二元一次不等式(组)与平面区域 (16)3．3.2简单的线性规划问题(一) (22)3．3.2简单的线性规划问题(二) (28)3.4≤a＋b2(二) (39)第三章不等式复习课 (43)第三章不等式章末检测（A） (49)第三章不等式章末检测（B） (56)3.1 不等关系与不等式课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立． (2)符号表示 a －b >0⇔a >b ； a －b ＝0⇔a ＝b ； a －b <0⇔a <b .2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a>0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>b c 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b>aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >a b2>a .3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a答案 C解析 ∵1e<x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >0 答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对． 可取特值，如a ＝2，b ＝－1， a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0， 又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A. 二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5， ∴－1≤a －b ≤6.8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， ∴f (x )>g (x )．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案 x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 2＋x 2＝－x －2＋x 2≤0， ∴x 1＋x 2≤12. 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 答案 A >B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n .∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．解 方法一 作差法 a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b2－a －b a 2＋b2a 2＋b 2a ＋b＝a －b a ＋b 2－a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －b a ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b .方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a ＋b >a －b a ＋b . 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x4，①当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，3x4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f (x )＜g (x )；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f (x )＝g (x )；③当⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜3x4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2， ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21， a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1 ＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎪⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．3.2 一元二次不等式及其解法(一)课时目标1．会解简单的一元二次不等式．2．了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的相互关系．1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a ；(2)若a <0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0).3.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32答案 B解析 ∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0， ∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2} 答案 D解析 由题意知，－ba ＝1，c a＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.3．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，∴x ≤－6或x >2.4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1.5．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－2,2] C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0. 当m ＝2时，4>0，x ∈R ；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0， 解得－2<m <2.此时，x ∈R . 综上所述，－2<m ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)． 二、填空题7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应点如下表： X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是______________． 答案 {x |x <－2或x >3}8．不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是________． 答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0，∴－3≤x <－2或0<x ≤1.9．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________． 答案 k ≤2或k ≥4解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0， 解得k ≥4或k ≤2.10．不等式(x 2－x ＋1)(x 2－x －1)>0的解集是________________．答案 {x |x <1－52或x >1＋52}解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x 2－x －1)(x 2－x ＋1)>0可转化为解不等式x 2－x －1>0，由求根公式知，x 1＝1－52，x 2＝1＋52.∴x 2－x －1>0的解集是 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >1＋52. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1－52或x >1＋52. 三、解答题11．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2， 知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－13＋2＝－b a－13×2＝ca，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .所以不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2－5ax －3a >0.又因为a <0，所以2x 2－5x －3<0，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3.12．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解 将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. ∵a 2－a ＝a (a －1)．∴当a <0或a >1时，a <a 2，解集为{x |x <a 或x >a 2}．当0<a <1时，a 2<a ，解集为{x |x <a 2或x >a }． 当a ＝0或1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．综上知，当a <0或a >1时，不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0或1时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠a }．【能力提升】13．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3答案 B解析 由(1－a i x )2<1，得1－2a i x ＋(a i x )2<1， 即a i ·x (a i x －2)<0. 又a 1>a 2>a 3>0.∴0<x <2a i，即x <2a 1，x <2a 2且x <2a 3.∵2a 3>2a 2>2a 1>0∴0<x <2a 1.14．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. 当a ＝0时，x ≤－1；当a >0时，x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1；当a <－2时，－1≤x ≤2a. 综上所述，当a >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a或x ≤－1；当a ＝0时，解集为{}x |x ≤－1；当－2<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{}x |x ＝－1；当a <－2时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a .1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．3.2 一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：(1)f xg x>0⇔f (x )·g (x )>0；(2)f xg x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x g x；(3)f xg x ≥a ⇔f x －ag xg x≥0.3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；ax2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C解析 解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 答案 C解析 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．不等式x ＋5x －2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D解析 x ＋5x －2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 答案 B解析 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g＝x 2－3x ＋2>0g －＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3.二、填空题 7．若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0 ∴a ＝4.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f x，gx的解集可用P 、Q 表示为________．答案 P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ， 所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f x ，g x 的解集为P ∩∁I Q .10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________． 答案 0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4. 三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？解 由题意可列不等式如下：⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋k ＋x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解 由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋k ＋x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}， 方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 【能力提升】13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在答案 A解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2，∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f －，f即⎩⎪⎨⎪⎧x －－＋x 2－2x ＋1>0，x －＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0.∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域课时目标1．了解二元一次不等式表示的平面区域．2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得的符号都相同． (2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0 B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <0答案 C解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C 正确．2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A解析 由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0， 即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.3．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )答案 B解析 不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 C解析 画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1 答案 D解析 区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)， C (a ，－a )．S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1.6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34 答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.二、填空题7．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0解析如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0， 直线BC 的方程为x －y ＋2＝0， 把(0,0)代入2x ＋y －5＝－5<0， ∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0.8．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个．答案 6解析 由题意点(x ，y )的坐标应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N y ∈Nx ＋y ≤2，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．答案 －1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎪⎨⎪⎧a >0a ＋1≤0.无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0. 综上所述，－1<a ≤0.10．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．答案 74解析如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．又D (0,1)，B (0,2)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (－2,0)． S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.三、解答题11．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y ≤327，又∵y ≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，得y ≤267，∴整点有：(4,2)(4,3)．把x ＝5代入6x ＋7y ≤50，得y ≤207，∴整点有：(5,2)；把x ＝6代入6x ＋7y ≤50，得y ≤2，整点有(6,2)；把x ＝7代入6x ＋7y ≤50，得y ≤87，与y ≥2不符．∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是多少？解 P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即是直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为(－k2，－m2)，∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，它表示的区域如图所示，直线x －y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为(－12，12)，∴S △＝12×1×12＝14.故面积为14. 能力提升13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞) 答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)．对y ＝a x的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3. 要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3.14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．答案 0<a ≤1或a ≥43解析不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23时表示的区域是△AOB ，此时a ＝43； 当a >43时，表示区域是△AOB ；当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1； 当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域，当1<a <43时，区域是四边形．故当0<a ≤1或a ≥43时表示的平面区域为三角形．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)．8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则y x的最大值为________．答案 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y －1≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方，即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32， |OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值． 解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －－x －－， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2； z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．3．3.2 简单的线性规划问题(二)课时目标1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．一、选择题1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋a 2y ≥c 1，b 1x ＋b 2y ≥c 2，x ≥0，y ≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a 1x ＋b 1y ≤c 1，a 2x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1，b 1x ＋b 2y ≤c 2，x ≥0，y ≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ＝c 1，b 1x ＋b 2y ＝c 2，x ≥0，y ≥0答案 C解析 比较选项可知C 正确．2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A.14B.35 C ．4 D.53 答案 B解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元 答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．5．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－43 答案 C解析 y ＝kx －z .若k >0，则目标函数的最优解是点A (4,0)或点C (0，4)，不符合题意． ∴k <0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．∴k AB ≤k ≤k BC ，即－2≤k ≤－23.二、填空题6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元． 7．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，则z ＝10x ＋10y 的最大值是________．答案 90解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y ∈N *，计算区域内与点⎝⎛⎭⎪⎫112，92最近的整点为(5,4)，当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．答案 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤300，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为S ＝7x ＋12y .从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝0，3x ＋10y －300＝0，得A (20,24)，故当x ＝20，y ＝24时， S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)． 三、解答题9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．10．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？ 解(1)则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，。
