高中数学第三章推理与证明3.1归纳与类比类比题的题型及解法素材北师大版选修1_2

类比推理学习目标1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；2．掌握运用类比推理的一般步骤。

会进行简单的类比推理。

3．了解归纳推理与类比推理的异同；4．理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。

提高归纳、类比联想的能力。

重难点剖析重点：掌握类比推理的特点与步骤；难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性；学习过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班〔后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师〕一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。

(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积☆上述两个例子均是这种由两个〔两类〕对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理〔简称类比〕．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想，即例3如图，点O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，那么1111111=++CC OC BB OB AA OA 〔Ⅰ〕类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论〔Ⅱ〕？并用证明〔Ⅰ〕时类似的方法给出证明。

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类比题的题型及解法类比题是近几年在数学高考中新出现的题型，它的特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性，猜测它们之间可能具有其它一些相同或相似的属性的思维方法。

所以试题是以类比思维为轴心,与数学方法、数学思想和数学基础知识相整合,着重考查学生的探究能力、创造能力、推理能力,对考生的能力和素质的要求比较高.由于题意新颖,背景独特，在解答时有一定困难。

以下介绍几种高考中的类比题的题型和解法. 一、特殊向一般类比例１（2001年上海高考)已知两个圆：221x y +=①与22(3)1x y +-=②,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题，即已知命题应成为所推广命题的一个特殊。

推广的命题为_____.解析：考生对此题的理解会出现两个误区，一是认为命题就是文字叙述,所以就用文字语言来回答,而这是困难的；另一个误区是没有把握住两个圆对称必须要求两个圆的半径相等，且两圆的圆心位置要不同.可设两个圆的方程为：222()()x a y b r -+-=①和222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠，0r >），则由①式减去②式得两圆的对称轴方程． 二、两个参量向多个参量类比例2 （2001年上海春季高考）若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2a ba b +*=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a b c ，，都能成立的一个等式可以是 ．解析:由于本题是探索性和开放性问题,问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一.这题要把握住2a ba b +*=,还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“+"，则可容易得到()()()a b c a b a c +*=+*+．正确的结论还有:()()()a b c a c b c *+=*+*，()()a b c b a c *+=*等． 三、同类之间类比１。

高考数学类比题考查类型探求从近几年高考数学试题中不难看出，类比题已成为高考试题的热点问题。

笔者认为求解类比推理问题的关键在于确定类比物，建立类比项，通过对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系。

下举例谈谈高考数学类比题考查类型。

一、 图象特征类比型例1、如图1，对于函数2()(0)f x x x =>上任意两点A 2(,)a a ,B2(,)b b ，连线段AB 必在弧线段AB 的上方，设点C 分AB 的比为λ (λ>0)，则由点C 在点/C 上方可得不等式222()11a b a b λλλλ++>+>+>。

请分析函数y=lnx(x>0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是 .解析:本题的类比物是函数2()(0)f x x x =>与函数y=lnx (x>0)的图象，而类比项是a,b 与λ之间建立的不等关系.首先弄清不等式222()11a b a b λλλλ++>+>+>的来龙去脉。

按题给信息，该不等式是“由点C 在点/C 上方”得到的，也就是说该不等式是这一几何特征的代数化。

因为C 分AB 的比为λ (λ>0)，又因为A 2(,)a a ,B 2(,)b b ，所以221a b λλ++>是C 点的纵坐标，而1a b λλ++>是C 点的横坐标，2()1a b λλ++>就是/C 点的纵坐标。

因此由C 点在/C 点的上方.即得222()11a b a b λλλλ++>+>+>。

最后.作出函数y=lnx(x>0)的图象(如图2)进行比较分析.设函数图象上任意两点A (,ln )a a ,B(,)b lnb )，点C 分AB 的比为λ (λ>0)，则C 点坐标为为ln ln (,)11a b a bλλλλ++++。

/C 点坐标为(,ln )11a b a bλλλλ++++。

三角度帮你解决演绎推理角度一、知识梳理演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.角度二、在实践中体会与解决问题例1.把“函数21y x x =++的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论.解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）函数12++=x x y 是二次函数 （小前提）所以函数12++=x x y 的图象是一条抛物线 （结论）例2.已知lg2=m,计算lg0.8.解：（1）lgan=nlga(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10) ——小前提lg0.8=lg(8/10)——结论例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等.解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形, ——大前提在△ABC 中,AD⊥BC,即∠ADB=90° —-小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线, ——小前提 所以 DM=21AB ——结论 同理 EM=21AB 所以 DM=EM. 由此可见，应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙 述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略．再来看一个例子．例4.证明函数2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间（a, b ）内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增．小前提是:2()2f x x x =-+的导数在区间(,1)-∞内满足'()0f x >，这是证明本例的关键．证明：'()22f x x =-+.当(,1)x ∈-∞时，有10x ->，所以'()222(1)0f x x x =-+=->.于是根据“三段论”得2()2f x x x =-+在(,1)-∞内是增函数．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．还有其他的证明方法吗？思考:因为指数函数x y a =是增函数，——大前提 而1()2xy =是指数函数， ——小前提所以1()2xy =是增函数． ——结论(1)上面的推理形式正确吗？(2)推理的结论正确吗？为什么？上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为当01a <<时，指数函数x y a =是减函数），所以所得的结论是错误的．“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的．亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想．例如，欧几里得的《原本》．就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎推理，推出所有其他命题．像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法．继《原本》之后，公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域．例如，牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》中，以牛顿三定律为公理，运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论，建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系．至此，我们学习了两种推理方式一一合情推理与演绎推理．角度三．答疑解惑：1．合情推理与演绎推理的主要区别是什么？归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．人们在认识世界的过程中，需要通过观察、将积累的知识加工、整理，使之条理化、实验等获取经验；也需要辨别它们的真系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．2．演绎推理常见错误产生的主要原因是：(1)．大前提不成立；(2)．小前提不符合大前提的条件。

学习资料§1归纳与类比1．1归纳推理授课提示:对应学生用书第16页［自主梳理］一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．三、归纳推理的特征归纳推理是由部分到________，由个别到________的推理．[双基自测]1．数列1，5,10,16,23,31，x，50,…中的x等于（）A．38B．39C．40D．412．如图所示，探索以下规律：根据规律，从2 015到2 017,箭头的方向依次为(）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓3．1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42,1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，…。

由上述具体事实可得结论:________________。

[自主梳理]一、合情演绎二、每一个事物三、整体一般［双基自测]1．C前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40。

2．D观察规律可得周期T＝4，因此2 015到2 017的箭头与3到5的一致，故选D.3．1＋3＋…＋（2n＋1）＝(n＋1）2(n∈N＋)．利用归纳推理,第n个等式的左边应为1＋3＋…＋（2n＋1)，右边应为（n＋1)2。

授课提示：对应学生用书第16页探究一数式中的归纳推理［例1］(1）观察下列各式：a＋b＝1,a2＋b2＝3,a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11,…，则a10＋b10＝(）A．28B．76C．123D．199（2)已知函数y＝f（x)，对任意的两个实数x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1)·f(x2）成立,且f(0)≠0，则f（－2 012)·f（－2 011）·…·f(2 011)·f(2 012）的值是（）A．0 B．1C．2 011×2 012 D．2 0122[解析］（1）观察各等式的右边，它们分别为1，3,4，7，11，…,发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3,4，7,11，18，29，47，76，123，…，故a10＋b10＝123.（2)当x1＝x2＝0时，f(0）＝f(0)·f(0），又因为f（0）≠0，所以f(0)＝1，于是有f（－x＋x)＝f(－x)·f（x）＝f（0）＝1.所以f（－2 012)·f(2 012)＝1，f（－2 011）·f（2 011）＝1，…，f（－1）·f(1)＝1，f(0）＝1，把上面式子等号两边分别相乘，即可得f(－2 012）·f（－2 011)·…·f(2 011）·f(2 012)＝f(－2 012＋2 012）·…·f(－2 011＋2 011)·…·f(－1＋1）·f(0)＝1.[答案］（1)C(2)B利用归纳推理解决问题的注意事项:归纳推理是一种思维工具，解决这类问题要熟悉有关的知识，要正确运用从特殊到一般的数学思想，常常借助前n项的共性来推出一般性的命题．本题(2)在求解时，运用了从特殊到一般的方法,先找特殊情况f(0)＝1，再归纳出一般结论f（－x）·f(x)＝1.1．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3，4,…。