1 有限元-应力应变关系

混凝土应力应变分析与设计混凝土是一种常用的建筑材料，它具有良好的抗压性能，但是其抗拉性能较差。

在混凝土结构中，混凝土的受力状态往往是复杂的，需要进行应力应变分析和设计。

1. 混凝土的力学性质混凝土是一种非均质材料，其力学性质受到多个因素的影响，如水胶比、骨料种类和大小、加水量等。

通常情况下，混凝土的强度随着水胶比的降低而增加，在一定范围内随着骨料粒径的增大而增加，在一定范围内随着加水量的增大而降低。

2. 混凝土应力应变关系混凝土在受到外部载荷作用时会发生应变，根据胡克定律可知其应变与应力呈线性关系。

但是在混凝土达到极限强度之前，其应力应变关系并不完全符合线性规律。

因此，在进行混凝土结构设计时需要采用非线性分析方法。

3. 混凝土试验为了确定混凝土的力学性质和应力应变关系，需要进行混凝土试验。

常用的试验方法有压缩试验、拉伸试验和弯曲试验。

在试验过程中，需要注意保证试样的质量和尺寸符合标准要求，并严格控制试验条件。

应力应变分析1. 基本假设在进行混凝土结构的应力应变分析时，通常采用弹塑性理论。

基本假设为：混凝土是一种线性弹性材料，在受到小应变作用时呈现线性规律，在受到大应变作用时呈现非线性规律；混凝土是一种各向同性材料，其力学性质与方向无关；混凝土结构是一个连续体，其内部各点处于相同状态。

2. 应力计算在进行混凝土结构的应力计算时，需要考虑外部载荷和自重荷载对结构产生的影响。

根据静平衡条件和材料本身的特点，可以得出结构内部的正应力、剪应力和法向压应力等。

3. 应变计算在进行混凝土结构的应变计算时，需要考虑材料本身的应变特性和结构的几何形状。

通常采用有限元分析方法进行计算，可以得出结构内部各点处的应变分布。

4. 应力应变关系根据混凝土试验数据和弹塑性理论，可以得出混凝土的应力应变关系。

在进行混凝土结构设计时，需要根据实际情况选择合适的材料参数和非线性分析方法，以确保结构安全可靠。

设计案例以某钢筋混凝土框架为例，进行混凝土应力应变分析和设计。

第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。

经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。

从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。

它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。

通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。

在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。

尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。

通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。

2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。

3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。

4）有限元的收敛性和误差估计。

由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。

另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。

§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。

2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。

铝材挤压过程分析（状态非线性问题）1、问题描述（1）问题的提出在用模具挤压型材的过程中，可能由于模具先天设计不合理导致挤压型材从模具口出来后产生一定程度的变形，如果变形超出许可程度，那么工作人员需要进行修模或者重新设计模具。

利用有限元分析软件可以预测型材和模具在挤压载荷的作用下产生的变形和应力，设计人员可以通过计算结果，分析原因，并对模具和挤压方式等进行改进。

（2）问题描述如图1-1所示为金属铝坯料和挤压模具结构示意图，铝的应力应变关系如图1-2所示，坯料与模具之间的摩擦因数为0.1，求挤压过程中坯料内部的应力场变化。

坯料材料参数：弹性模量：E1=69MPa；泊松比：v1=0.26。

模具材料参数：弹性模量：E1=360MPa；泊松比：v2=0.3。

图1-1 金属坯料和模具图1-2 铝的应力和应变关系2、整体规划该问题属于状态非线性大变形接触问题。

在分析过程中根据轴对称性，选择挤压式样和模具纵截面的1/2建立几何模型。

3、选择单元类型，定义材料性能因为该问题属于接触问题，所以选择CONTA172接触单元和TARGE169目标单元以及PLANE182结构单元进行求解。

坯料材料参数：弹性模量：E1=69MPa；泊松比：v1=0.26。

模具材料参数：弹性模量：E1=360MPa；泊松比：v2=0.3。

TARGE169单元实常数设置如图2-1所示：图3-1 TARGE169单元实常数设置4、创建几何模型（1）通过坐标值生成矩形面，选择Main Menu/Preprocessor/Modeling/Create/Ar eas/Rectangle/By Dimensions 命令，在出现的对话框中输入点的坐标值分别为：X1=0，Y1=0；X2=8E-3，Y2=0.05；X3=7E-3，Y3=-0.02；X4=0.025，Y4=-0.01。

得到如图4-1所示图形。

图4-1 两个矩形面（2）定义两个关键点，选择Main Menu/Preprocessor/Modeling/Create/Keypoints/In Active CS命令，在出现的对话框中输入关键点编号分别为9，10，坐标值分别为：（8E-3,0，0），（0.025，0，0）。

构造应力场模拟——有限元理论、方法和研究进展张胜利【摘要】采用有限元数值模拟方法对构造地质问题进行描述和定量化求解是当前地质学领域的研究的一个热点,在近10年以来取得了重要进展,形成了比较完整的理论和技术体系,并在一些典型的地质构造带获得了重要的研究成果.本文以有限元数值模拟方法理论作为出发点,总结分析了国内外有限元数值模拟方法在构造应力场领域的研究进展情况和技术方法,并讨论了其目前存在的问题和未来发展方向.【期刊名称】《地震工程学报》【年(卷),期】2010(032)004【总页数】6页(P405-410)【关键词】构造应力场;数值模拟;有限单元法【作者】张胜利【作者单位】五邑大学信息学院,广东,江门,529020;中科院广州地化所,广东,广州,510640【正文语种】中文【中图分类】P315.12Abstract：The Finite Element Method（FEM）has been used in the study of tectonic stress field for a long time，and the essence of numerical modeling has been adopted to the well－established numerical methods of multidisciplinary acknowledge including mathematics，physics andmechanics for studing characters of geological tectonics.In the last decade，great advances have been made on the numerical simulation method，not only an integrated theory has been built up，but also some significant results have been born from several typical tectonic belts.So the FEM becomes one of the most important numerical methods in the study of tectonic stress field.In this paper，taking theory of FEM as a springboard，the new progress and methods in this field at home and abroad is summarized and analyzed.Some problems and prospect of the researching on the field is also given.Key words：Tectonic stress field；Numerical model；Finite element method地壳中的各种地质构造都是岩石受力发生变形的产物，它们的产生和发展必然也受力学规律的支配。

有限元法基础试题（A ）一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵eT k B DBd Ω=Ω⎰中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。

1.2边界条件通常有两类。

通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。

1.3内部微元体上外力总虚功：()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ⎡⎤=+++++⎣⎦+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ⎡⎤+++⎣⎦的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。

1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。

1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。

二、判断题（5×2分）2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。

（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。

（ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。

（ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。

（ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。

（ ） 三、简答题（26分）3.1列举有限元法的优点。

（8分）3.2写出有限单元法的分析过程。

（8分）3.3列出3种普通的有限元单元类型。

（6分）3.4简要阐述变形体虚位移原理。

（4分）四、计算题（54分）4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。

用Ansys或Abaqus分析钢管混凝土结构或构件用Ansys或Abaqus分析钢管混凝土结构或构件以上两个软件国外都有人用来分析钢管混凝土结构，但建模的方法不尽相同。

关键在于钢管和混凝土本构关系的选取以及两者之间的界面处理方法，各位有没有这方面的经验能向我们大家介绍一下。

==========程序中大概只有Drucker-Prager比较适合描述受约束混凝土的本构关系，因为这个模型可以考虑 hydrostatic stress （流体静应力）的影响。

在程序中，需要输入cohesion, angle of internal friction，(one more for ANSYS is the angle of dilatancy)。

值得注意的是，两个软件确定这几个参数的公式各不相同，很是令人头疼。

其实user manuals不可能给出明确的表达式，因为到目前为止，好像没有研究把钢管的强度，混凝土的强度，含钢率等等因素（i.e. the confinement）全部在Drucker-Prager 中考虑进去。

至于两种材料的界面，日本的 Hanbin Ge曾用link element来模拟，但在他的文章中，没有详细的描述。

轴压状况下，好像可以忽略滑移。

偏压可能情况有所不同。

==========韩教授书上的混凝土应力-应变关系，可以简单理解为单向受力的混凝土本构关系（考虑了钢管的约束），因此不能用于多向应力状态下混凝土的有限元分析。

材料非线性有限元分析，需要定义材料的屈服面，流动准则，强化准则，等等。

对受约束的混凝土，还要考虑体积膨胀，钢管对它的约束等因素。

显然，不是一个简单的应力-应变曲线所能概括的。

==========三向有限元分析，需要定义屈服面、流动准则和强化准则等等，而考虑钢管约束的混凝土本构关系，只是应力-应变关系。

对钢管混凝土的有限元分析，主要困难是如何定义屈服面，和模拟两个材料之间的滑移，我曾经用过接触分析（contact analysis）来求轴压构件的承载力，发现最大承载力能够比较精确地求得，但是精确的荷载-位移曲线很难获得，因为商用软件（Ansys\Marc）里面的D-P模型是塑性模型。

矩形梁的弹塑性分析（VM24）1原附件1.1帮助文档（VM24）VM24Plastic Hinge in a Rectangular Beam OverviewTest CaseA rectangular beam is loaded in pure bending. For anelastic-perfectly-plastic stress-strain behavior, show that the beamremains elastic at M = Myp = σypbh2/6 and becomes completely plastic atM = Mult = 1.5 Myp.Figure 24.1 Plastic Hinge Problem SketchMaterial PropertiesE = 30 x 106 psiυ = 0.3σyp = 36000 psiGeometricPropertiesb = 1 inh = 2 inIz= b h3/12 = 0.6667in4LoadingM = 1.0 Mypto 1.5Myp(Myp= 24000in-lb)Analysis Assumptions and Modeling NotesThe problem is solved by using two types of plasticity rules: •the bilinear kinematic hardening (BKIN)•the bilinear isotropic hardening (BISO)An arbitrary beam length is chosen. Because of symmetry, only half of the structure is modeled (since length is arbitrary, this means only that boundary conditions are changed). The load is applied in four increments using a do-loop, and convergence status is determined from the axial plastic strain for each load step in POST26.Results Comparison (for both analyses)1.Solution converges2.Solution does not converge (indicates that the structure hascollapsed). Moment ratios slightly less than 1.5 will also show a collapse since plasticity is monitored only at discrete integration points through the cross-section.1.2命令流文件/COM,ANSYS MEDIA REL. 10.0 (05/31/2005) REF. VERIF. MANUAL: REL. 10.0 /VERIFY,VM24/PREP7/TITLE, VM24, PLASTIC HINGE IN A RECTANGULAR BEAMC*** STR. OF MATLS., TIMOSHENKO, PART 2, 3RD ED., PG. 349, ART. 64C*** USING BILINEAR KINEMATIC HARDENING PLASTICITY BEHA VIOR TO DESCRIBEC*** THE MATERIAL NONLINEARITYANTYPE,STATICET,1,BEAM23R,1,2,(2/3),2 ! AREA = 2, IZZ = 2/3, H = 2MP,EX,1,30E6MP,NUXY,1,0.3TB,BKIN,1,1 ! BILINEAR KINEMATIC HARDENING TBTEMP,70TBDATA,1,36000,0 ! YIELD POINT AND ZERO TANGENT MODULUSN,1 ! DEFINE NODESN,2,10E,1,2 ! DEFINE ELEMENTD,1,ALL ! BOUNDARY CONDITIONS AND LOADSSA VE ! SA VE DATABASEFINISH/SOLUSOLCONTROL,0NEQIT,5 ! MAXIMUM 5 EQUILIBRIUM ITERATIONS PER STEPNCNV,0 ! DO NOT TERMINATE THE ANALYSIS IF THE SOLUTION FAILS! TO CONVERGEOUTRES,EPPL,1 ! STORE PLASTIC STRAINS FOR EVERY SUBSTEPCNVTOL,U ! CONVERGENCE CRITERION BASED UPON DISPLACEMENTS ANDCNVTOL,ROT ! ROTATIONS*DO,I,1,4F,2,MZ,(20000+(I*4000)) ! APPLY MOMENT LOADSOLVE*ENDDOFINISH/POST26NSOL,2,2,U,Y,UY2 ! NODE 2 DISPLACEMENTESOL,3,1,,LEPPL,1,EPPLAXL ! AXIAL PLASTIC STRAINPRV AR,2,3FINISH/CLEAR, NOSTART ! CLEAR PREVIOUS DATABASE BEFORE STARTING PART2/PREP7C*** USING BILINEAR ISOTROPIC HARDENING PLASTICITY BEHA VIOR TO DESCRIBEC*** THE MATERIAL NONLINEARITYRESUMETBDELE,BKIN,1 ! DELETE NONLINEAR MATERIAL TABLE BKINTB,BISO,1,1 ! BILINEAR ISOTROPIC HARDENING TBTEMP,70TBDATA,1,36000,0 ! YIELD POINT AND ZERO TANGENT MODULUSFINISH/SOLUSOLCONTROL,0NEQIT,5 ! MAXIMUM 5 EQUILIBRIUM ITERATIONS PER STEPNCNV,0 ! DO NOT TERMINATE THE ANALYSIS IF THE SOLUTION FAILS! TO CONVERGEOUTRES,EPPL,1 ! STORE PLASTIC STRAINS FOR EVERY SUBSTEPCNVTOL,U ! CONVERGENCE CRITERION BASED UPONDISPLACEMENTS ANDCNVTOL,ROT ! ROTATIONS*DO,I,1,4F,2,MZ,(20000+(I*4000)) ! APPLY MOMENT LOAD SOLVE*ENDDOFINISH/POST26NSOL,2,2,U,Y,UY2 ! NODE 2 DISPLACEMENT ESOL,3,1,,LEPPL,1,EPPLAXL ! AXIAL PLASTIC STRAIN PRV AR,2,3/OUT,vm24,vrt/OUTFINISH*LIST,vm24,vrt2.设计题目图1受纯弯曲的悬臂梁的弹塑性弯曲问题描述如图1所示，一矩形悬臂梁梁受纯弯曲问题。

内聚力模型在裂纹萌生及扩展中的应用孙家啟;纪冬梅;唐家志【摘要】断裂及开裂是工程中严重的结构失效形式.结合传统断裂力学中应力强度因子K以及J积分,综述了内聚力模型基本思想及发展,分析了典型的内聚力模型及模型应用的局限性,总结了不同内聚力模型在有限元中的实现形式,概述了国内外学者关于内聚力模型解决不同材料裂纹萌生与扩展的研究状况,得出了内聚力模型可以用以研究裂纹尖端塑性变形、静力和疲劳载荷条件下的蠕变开裂,以及金属、岩土材料及混凝土、复合材料及纳米晶材料裂纹萌生与裂纹扩展的结论.【期刊名称】《上海电力学院学报》【年(卷),期】2016(032)002【总页数】7页(P129-134,139)【关键词】内聚力模型;有限元方法;裂纹萌生;裂纹扩展【作者】孙家啟;纪冬梅;唐家志【作者单位】上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090;上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090;上海电力学院能源与机械工程学院,上海200090【正文语种】中文【中图分类】TB383.1对于含裂纹结构失效的问题,尤其是裂纹尖端应力场的分布与演化,研究者们尝试采用不同的方法予以解决.1921年,GRIFFITH A A[1]提出,当裂纹扩展过程中释放的弹性应变能与新裂纹形成的表面能相等时,裂纹就会失稳扩展,这对脆性材料的断裂理论做出了开创性研究.[2]严格地说,Griffith理论只适用于理想脆性材料,IRWIN G R[3]和OROWAN E[4]各自提出了裂纹尖端区域塑性耗散功的理论,将Griffith理论应用到工程材料中.1958年,IRWIN G R[5]提出了临界应力强度因子概念,巧妙地将能量释放率和裂纹尖端应力强度因子结合起来,进一步推动了断裂力学的发展.1961年,PARIS P C等人[6]将应力强度因子理论应用于疲劳裂纹扩展的研究中.当裂纹尖端塑性区尺寸不能忽略时,裂纹尖端塑性区域的应力应变场已无法由K场表征.RISE J R[7]提出了与路径无关的J积分,奠定了弹塑性断裂力学的理论框架.J 积分虽然可以处理弹塑性材料的断裂问题,但对于塑性过程区相当大的裂纹前缘,萌生后裂纹的扩展过程是人们更为感兴趣的阶段,[8]而且传统断裂力学往往不适用于研究裂纹的萌生阶段.近年来,内聚力模型(Cohesive Zone Model,CZM)已被广泛应用于有关裂纹扩展的研究中,相比于应力强度因子K,内聚力的存在使得裂纹尖端保持闭合的趋势,在一定程度上减轻甚至消除了应力的奇异性.CZM将裂纹问题归结为一个非线性边值问题,并不需要起裂扩展准则,而且该模型基于弹塑性断裂力学,其适应性强,可以解决很多的非线性、大变形问题.本文综述了CZM的发展过程、与有限元算法结合的具体实现,以及基于内聚力模型的有限元算法在不同材料裂纹萌生与扩展中的应用.1.1 内聚力模型的发展CZM首先由DUGDALE D S[9]和BARENBLATT G I[10]提出,BARENBLATT G I 将CZM应用于脆性材料的断裂研究中,DUGDALE D S采用类似CZM模型,研究了裂纹尖端的屈服和塑性区尺寸的大小.在这些早期关于非线性断裂的研究中,当内聚力区尺寸小于裂纹和试样尺寸时,CZM理论与GRIFFITH A A的能量平衡理论等效.对于内聚应力的分布,DUGDALE D S将其看作在数值上等于材料的屈服强度,但这与物理事实不符.BARENBLATT G I认为内聚应力是内聚区裂纹面各点处裂纹张开位移的函数,在分子尺度上引入了内聚力,但符合这一特性的解析式较难具体给出,而实际情况下,多数研究者仍然假设内聚力为常数.HILLERBORG A等人[11]在BARENBLATT G I的基础上加入了拉伸强度,首次将内聚力模型应用到有限元计算中,模拟了脆性材料的断裂过程.该模型不仅允许已有裂纹的增长,还允许新裂纹的萌生与演化,并且完整地描述了基于该模型断裂过程的细节.NEEDLEMAN A[12]采用高次多项函数,模拟了延性材料的断裂情况.KOLHE R 等人[13]在对镍铝合金的剪切断裂性能进行数值模拟时,采用了分段函数的方法来描述CZM.CZM的实质是表征分子和原子间相互作用的简化模型,裂纹的尖端被假定为两个裂纹界面组成的一个很小的内聚区,内聚区的本构关系即界面上作用牵引力T与两裂纹面间相对位移U之间的关系.图1为内聚力模型和裂纹尖端内聚区的分布.图1中,由未完全承载的点A开始,T随着U的增加而增加,随之达到一个应力最大值Tmax的点C,此时该材料点的应力承载达到了最大值,材料点开始出现初始损伤.随着界面位移的继续增大,应力开始下降,该阶段为材料点的损伤扩展阶段,点E为裂纹界面完全分离的材料点,其承载降为零.内聚力区内应力的变化通过内聚力法则和裂纹界面位移联系起来,针对不同的材料,可以选择不同的内聚力法则,通过选取适当的参数,可以反映界面层的强度、韧度等力学性能.1.2 内聚力模型分类1.2.1 基于有效位移的内聚力模型基于位移的内聚力模型将裂纹上下表面之间的有效牵引力定义为有效分离位移的函数,即牵引力分离法则.常见的牵引力分离法则有线性软化、双线性软化,以及指数、梯形等.将模型中有效牵引力与内聚强度σmax归一化处理后如图1所示.不同模型的区别在于与之间函数关系的不同,通常情况下,材料的断裂是基于裂纹面法向应力Tn 的1型裂纹和基于裂纹面切向应力Tt 的2型裂纹的混合失效模式. TVERGAARD V[14]引入的内聚力模型为:式中:δn,δt——断裂时对应的断裂面法向和切向位移;无量纲有效位移, ;立方多项式模型有效牵引力,αe——无量纲1型和2型断裂模式混合常数;Δn,Δt——裂纹面法向和切向位移.式(1)是基于有效位移的内聚力模型的代表形式,如文献[15]提出的内聚力模型为: 式中:ψ——界面表面能.而法向和切向的牵引力Tn和Tt满足令αe=δn/δt,式(3)和式(4)即式(1)的特例.文献[16]提出的能够应用于多晶脆性材料和沥青混凝土的线性软化模型为:式中:σmax——法向内聚强度;τma x——切向内聚强度;Ds——内部残余强度变量.上述模型亦可以扩展到三维裂纹的模拟,然而基于有效位移的内聚力模型存在以下两个问题:一是模型在软化条件下,正的刚度容易造成不合理的牵引力-位移关系的出现;二是模型的断裂能为常数,而实际上1型裂纹和2型裂纹的断裂能不同,在混合断裂模式中,断裂能不是常数,所以模型不能进行混合断裂的模拟.1.2.2 基于势能的通用内聚力模型基于有效位移的内聚力模型在解决裂纹扩展中出现的问题,可以在基于势能的通用内聚力模型中得到解决.基于势能的通用内聚力模型应用三次多项式表示法向牵引力,用线性关系式表示切向牵引力,例如文献[17]应用于研究空穴形成和生长的模型为:式中:αs——剪切刚度参数.由界面表面能函数可得到法向和切向牵引力:式中,Δn<δn,但当Δn>δn时,对应点的内聚力为零.内聚力模型在断裂力学研究的问题上有诸多的优势,并且随着计算机计算能力和有限元方法的日益发展,更多的研究者开始使用和改进内聚力模型并结合有限元方法,用以解决多种材料的断裂问题.有限元中内聚力模型的实现方式是引入内聚力单元,利用内聚力单元建立界面周围材料之间的应力应变关系,用应力-位移形式,即用TSL(Traction Separation Law)来定义内聚力单元的本构关系.当内聚力单元的应力或应变状态满足损伤起始准则后,内聚力单元开始发生损伤,即进入损伤演化阶段.目前,TSL法则主要有双线性、梯形、多项式以及指数等多种表达式,图2给出了常见的线性衰减演化和指数衰减演化模式.这两种演化模式都是在只受法向拉力作用下,应力值随着相对位移的增加而增大,当界面元的相对位移大于其损伤点U0所对应的位移后,随着相对位移的增加,界面元刚度开始下降;当界面元相对位移增加至图中B点时,界面单元刚度降为零,此时界面元的相对位移为Uf,界面元连接的上下两个单元可以完全分离.曲线O-A-B-O所包围的面积即为材料破坏过程中的应变能释放率,数值上等于新生裂纹面的界面表面能.利用内聚力单元模拟裂纹的扩展,首先要将内聚力单元嵌入有限元模型中,嵌入的方式有两种:一是在可能出现裂纹的路径中插入内聚力单元;二是在数值模拟的过程中,在需要的时间和位置自适应地插入内聚力单元.在使用内聚力模型分析工程材料的失效问题时,有限元分析是非常重要的.[18]对于内聚力模型本身的适用性不存在很大争议,但是如何在数值模拟中植入内聚力模型,提出了很多种方法,如XIE D等人将其分为两种:一是连续内聚力模型,二是离散型内聚力模型.[19-20]连续内聚力模型认为断裂过程区是一个连续的柔性层,连续介质的本构关系采用内聚力法则.目前常用的连续内聚力单元为CAMANHD P P等人[21]提出的零厚度的界面内聚力单元.离散内聚力模型认为断裂过程区为一个离散的弹簧基础,弹簧基础连接两个裂纹表面相邻的节点对,用非线性类型的弹簧基础模拟内聚力特性.CZM已经被广泛应用于研究多种材料的失效现象,其研究对象包括脆性材料、准脆性材料、高分子聚合物材料、功能梯度材料、纳米材料、单晶和多晶材料等.此外,CZM也被应用于疲劳裂纹扩展、钢筋混凝土的粘结滑移、材料的动态断裂等现象的研究中.3.1 脆性材料针对弹塑性分析中小范围屈服条件下线弹性裂纹的分析,研究者对内聚区作了很多种假设.1967年,KEER L M[22]假定内聚区牵引力沿着光滑连接的裂纹表面以经典弹性力学本构方程分布.在Keer方法的基础上,CRIBB J L和TOMKINS B[23]得到了一种满足脆性材料裂纹尖端应力分布的内聚区应力与裂纹面张开位移的关系.随后,SMITH E[24]得到了内聚区应力-张开位移的通用理论,并且可以用一系列简单公式表达其关系.对于混凝土、岩石、纤维混凝土等准脆性材料存在相对较大的非线性断裂区域,其表现出的明显非线性断裂特性和断裂参数,存在显著的尺寸效应现象引起了国内外许多学者的关注.HILLERBORG A等人[25]在模拟混凝土材料断裂的过程中引入了线性软化模型,该模型由材料的内聚力强度和产生新的裂纹面释放的断裂能决定.之后有许多断裂分析模型得到了应用,如等效裂纹、双参数和双K断裂模型,以及由初始断裂能和总断裂能确定的用于研究混凝土断裂及裂纹尺寸效应的双线性软化模型等.WEIBULL W[26]关于由随机统计性引起的尺寸效应的研究、CARPINTERI A[27]关于裂纹的分形特性引起的尺寸效应的研究和BAIANT Z P等人[28]关于裂纹的能量释放和应力重新分布引起的尺寸效应的研究是国内外关于混凝土材料断裂和裂纹尺寸效应研究的3个主要方面.另外,相关学者对纤维混凝土的断裂过程也进行了研究,纤维混凝土的断裂要考虑素混凝土失效以及与纤维相关的失效机制.3.2 聚合物聚合物典型的失效主要有材料的剪切屈服和银纹的产生两种形式.与剪切屈服相比,由于裂纹尖端应力集中而导致的银纹生成和积累更容易造成聚合物材料的失效,细观层次的银纹形成和断裂表现为宏观层次的裂纹生成和扩展.内聚力在聚合物材料银纹扩展的研究中得到了广泛应用.聚合物的断裂过程包括银纹的萌生、银纹的扩展和银纹的断裂3个过程.文献[29]应用基于细观力学的内聚表面模型来分析聚合物银纹断裂的3个阶段,研究者将高密度的内聚表面插入连续介质中,模拟了聚合物中的大规模银纹形成现象.3.3 纳米晶金属金属材料的断裂过程一般要经历微裂纹的萌生、裂纹的扩展和裂纹扩展到临界尺寸后扩展失稳至完全断裂几个阶段.随着晶粒尺寸的减小,与较粗晶金属相比,微、纳米晶金属材料的变形机制出现了很多新特征,晶粒内部会产生较大的应变梯度,原子模拟和传统连续介质方法无法解释材料的微结构由于尺寸效应而表现出的强化和尺度效应.于是表征超细晶和纳米晶金属晶粒内部不均匀塑性变形的基于机制的应变梯度塑性(CMSG)理论和模拟晶粒间滑移与分离,以及晶间微裂纹的萌生和扩展的内聚力界面模型在纳米晶金属断裂研究中得到广泛应用.HUANG Y等人[30]基于Taylor位错模型建立了CMSG,只包含传统应力、应变分量的CMSG理论的本构方程可以表示为:式中:应力率;K——体积弹性模量;kk——体应变率;δij——Kronecker张量;μ——剪切模量;应变率偏量;——等效应变率;σe——von Mises等效应力;σy——材料初始屈服强度;m——率敏感性指数;——应力偏量;f——单轴拉伸时塑性应变ξp的无量纲函数.基于该本构关系,利用内聚力模型,吴波等人[31]对纳米晶Ni晶间断裂进行了数值模拟.该研究利用Voronoi tessellation方法建立随机晶粒模型,假定晶间断裂是纳米晶Ni惟一的断裂失效模式,验证了纳米晶金属晶粒的尺度效应会对材料宏观力学性能产生重要影响,得到了纳米晶Ni晶间微裂纹的萌生和扩展很大程度上依赖于晶粒几何形状和晶粒材料特性分布的结果.吴波等人[32]利用同样的方法,得出了随着纳米孪晶铜晶粒尺寸和孪晶薄层间距的减小,晶内应变梯度效应增强、材料得到强化的结论.3.4 疲劳裂纹增长内聚力模型已成功地模拟了很多材料的单调断裂问题.对于疲劳裂纹而言,由于载荷的施加与卸载,致使裂纹尖端应力重新分布,疲劳裂纹扩展产生阻滞现象.因此,在循环载荷下,适合疲劳裂纹扩展的内聚力模型的开发成为解决此类问题的关键.YANG B 等人[33]在模拟材料的疲劳裂纹扩展时,提出了一种内聚力模型,该模型模拟准脆性材料在任意载荷下的疲劳裂纹的萌生和扩展比经典断裂力学更具优势和灵活性.BOUVARD J L等人[34]在研究单晶高温合金疲劳裂纹扩展时,提出了一种基于损伤演化的内聚力模型,该模型为不可逆转的内聚力模型,不仅能够解决带预置裂纹纯疲劳裂纹、高温下蠕变疲劳的萌生和扩展,还可以应用于复杂载荷下及几何形状复杂试样的裂纹扩展.(1) 相对于传统断裂力学,内聚力模型在模拟裂纹前缘、裂纹萌生过程中塑性区的演化过程有很大的优势;(2) 内聚力模型与有限元算法的结合推动了内聚力模型的发展,为材料塑形断裂的研究提供了强有力的手段;(3) 内聚力模型可用于研究裂纹尖端塑性变形、静力和疲劳载荷条件下的蠕变开裂,以及金属、岩土材料及混凝土、复合材料及纳米晶等多种材料的裂纹萌生与裂纹扩展.【相关文献】[1]GIRIFFITH A A.The phenomena of rupture and flow in 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ug有限元应力-单元和应力-单元-节点有限元应力分析是工程领域中一种常用的数值计算方法，可用于评估结构的应力和变形情况。

在ug有限元软件中，应力的计算主要基于单元和单元节点。

本文将详细介绍ug有限元应力-单元和应力-单元-节点的相关概念和计算方法。

在ug有限元分析中，将结构划分为若干个小的几何单元，用于离散化结构。

每个单元代表结构中的一个局部区域，可以是一维、二维或三维的。

根据结构的几何形状和应力分布特点，可以选择不同类型的单元。

常见的单元类型有线性单元、二次单元、六面体单元等。

在有限元分析中，应力是描述结构单位面积内各个方向力的分布情况。

根据虚功原理和位移-应力关系，可以通过计算单元节点上的位移和形状函数来得到应力的近似值。

具体计算方法可以采用基于应力-应变关系的理论，如背单元法、纯形法等。

3.单元节点单元节点是单元中的特定点，用于描述单元内部的状态和连接单元之间的关系。

在ug有限元软件中，可以通过设置单元节点的位移和边界条件来模拟结构的加载和约束条件。

通过计算单元节点上的位移和形状函数，可以得到单元内部的应力分布情况。

4.应力-单元-节点计算方法在ug有限元应力分析中，通过在结构上离散化生成单元，并根据输入的加载条件和边界条件，计算得到单元节点上的位移和形状函数。

进一步利用位移和形状函数，可以得到单元内部的应力分布情况。

通过对所有单元的应力进行合并和平均处理，可以得到整个结构的应力情况。

综上所述，ug有限元应力-单元和应力-单元-节点是一种常用的结构应力分析方法。

通过划分单元和计算单元节点上的位移和形状函数，可以得到结构的应力分布情况。

在ug有限元软件中，可以选择不同类型的单元和应力计算方法，以满足工程需求。

该方法在工程领域具有广泛的应用价值，可以帮助工程师评估和优化结构的强度和稳定性。

(ANSYS 软件)的理论基础－基本方程，边界条件。

基本方程：描述应力状态的平衡方程描述应变状态的几何方程 －－－－－有限元计算的核心思想。

描述应力应变关系的本构方程 对应的边界条件。

2.1应力状态分析图2.1为单元体的应力状态。

图2.1 单元体的任一点的应力状态描述：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211σσσσσσσσσσij ，剪应力互等ji ij σσ=，六个独立分量单元体的静力平衡问题。

单元体沿三个坐标轴方向的力的平衡条件和对三个轴的力矩平衡条件。

三维力的平衡微分方程：1312111=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ 0=+∂∂j i ij F x σ 0=∂∂i ij x σ2322212=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ0,=+j i ij F σ0,=i ij σ 03332313=+∂∂+∂∂+∂∂F z y x σσσ j=1,2,3 j=1,2,3note: 1. σ11 在垂直x 轴平面的应力，在X 轴的分量。

2. F 为体力，包括：重力、磁力、惯性力，与物体的质量成正比。

F i 为I 轴的体力分量。

3.物体表面单位面积的面力T 三个分量为T x ,T y ,T z ,或T １,T ２,T ３,应力σ的三个分量σx ,σy ,σz 或σ1,σ2,σ3 应力边界条件：332313232221223121111σσσσσσσσσ++=++=++=T T T 3,2,1===i T T iji ji i σσ表达作用在物体表面单位面积丧的面力T 与物体内的应力分量之间的关系。

2.2 应变状态分析 图2.2为单元体的应变状态。

图2.2单元体的一点的应变状态的张量描述：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211εεεεεεεεεεεεεεεεεεεzz zy zx yz yy yxxz xy xxij 与应力状态相似。