应力张量应变张量与应力应变关系

第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。

现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。

虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。

三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。

应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。

2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。

平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。

在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。

在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。

t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。

在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。

上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。

图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。

应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。

对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。

流体力学中应力应变关系
流体力学是研究流体运动和变形的学科，应力和应变是流体力学中关键的概念。

应力是流体内部各点受到的力，应变是流体形变程度的度量。

在流体力学中，应力和应变之间存在一定的关系，通常用应力张量和应变张量来描述。

应力张量包含了流体各点在各个方向上受到的应力大小和方向信息，应变张量则包含了流体在各个方向上的形变程度。

在牛顿流体中，应力张量和应变张量之间的关系是线性的，即应力与应变成比例关系，比例系数被称为粘度。

而在非牛顿流体中，应力与应变的关系则更加复杂。

流体力学中的应力应变关系是研究流体运动和变形的基础，对于工程应用和科学研究都具有重要意义。

在许多工程领域，如航空、水利、化工等，流体力学的应用广泛，深入研究应力应变关系可以为工程设计和实际应用提供更加准确和可靠的理论基础。

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应力张量和应变张量的关系在物理和工程的世界里，有两个小伙伴总是形影不离，那就是应力张量和应变张量。

就像老鼠和米饭，或者说是鱼和水，这俩家伙其实是相辅相成的，缺一不可。

今天咱们就来聊聊这两位的关系，顺便让这话题变得轻松有趣，让大家听了觉得“这还真有意思！”1. 应力张量——你能忍受多少压力？1.1 什么是应力张量？应力张量嘛，可以简单理解为“压力的图谱”。

想象一下，你在参加一场拔河比赛，另一边的人使劲拉，你的手臂就会感受到拉力。

这个拉力就是应力。

如果我们把这个感觉用一个数学对象来表示，那就是应力张量。

它可以告诉我们在一个物体内部，各个方向上受到了多大的压力。

1.2 应力的分类应力可不是单一的，它分成好几种，像是“拉应力”、“压应力”和“剪应力”。

拉应力就像你拉一根橡皮筋，越拉越长；压应力则像是在面团上用力按，面团就变扁了。

至于剪应力嘛，想象一下你在切水果，刀子刮过的地方就是受到剪应力的地方。

通过这些应力，我们就能感受到物体内部的变化和状态。

2. 应变张量——变形的小精灵2.1 应变张量的概念说到应变张量，它就像是应力张量的反应者，专门负责记录物体是如何变形的。

用个简单的比喻来说，假如应力是拉面师傅的力量，那么应变就是拉出来的面条。

面条在拉伸的过程中，变长了，变细了，这就是应变在作怪。

2.2 应变的种类应变同样有多种形式，比如“拉伸应变”、“压缩应变”和“剪切应变”。

拉伸应变就像你把橡皮筋拉得细细的，压缩应变就像把一个泡沫压扁，而剪切应变就像你用力划过一块巧克力，让它变得不平整。

这些变形的形式让我们对材料的性能有了更深的理解。

3. 应力与应变——亲密无间的关系3.1 他们是好朋友说到应力和应变的关系，其实就是一个因果关系。

就像是“打虎亲兄弟，上阵父子兵”，应力会导致应变的发生。

你想啊，当一个物体受到外力作用时，它肯定会有所反应，这个反应就是应变。

这就像你被朋友拉着走，脚步肯定要跟着他的节奏走，这样才能保持平衡。

张量与连续介质力学基本公式总结在连续介质力学中，有一些基本的公式被广泛应用于系统建模和问题求解。

这些公式包括牛顿第二定律、应力应变关系、连续性方程和能量守恒等。

1.牛顿第二定律连续介质力学的基础是牛顿第二定律，它描述了质点的运动情况。

对于一个连续介质，牛顿第二定律可以推广为控制体中动量的变化率等于力的和，即∂(ρv)/∂t=∇•σ+ρg其中，ρ是介质的密度，v是介质的速度矢量，t是时间，σ是应力张量，g是重力矢量。

这个方程可以用来描述介质的运动。

2.应力应变关系应力应变关系描述了介质中力与变形之间的关系。

在连续介质力学中，通常假设介质是线性弹性的，即应力张量与应变张量之间存在线性关系。

在各向同性的介质中，应力张量与应变张量之间的关系可以用胡克定律表示，即σ=λ(∇•v)I+2μE其中，λ和μ是介质的弹性常数，I是单位张量，E是应变张量。

这个方程可以用来计算各向同性介质中的应力分布。

3.连续性方程连续性方程描述了质点数密度的守恒。

在连续介质力学中，这个方程被推广为质量守恒方程，即∂ρ/∂t+∇•(ρv)=0这个方程说明了质点的数密度随时间和空间的变化率。

它告诉我们质点不会凭空消失或产生，而是通过流体的运动来重新分布。

4.能量守恒能量守恒方程描述了介质中能量的转化和分布。

在连续介质力学中，可将能量守恒方程表示为∂(ρe)/∂t + ∇•(ρve + q) = ρg•v + ∇•σ•v其中，e是单位质量的内能，v是速度矢量，q是热通量矢量。

这个方程考虑了能量的传输、转化和产生与消耗。

它可以用来分析介质中的热传导、热膨胀和内部能量变化等现象。

这些公式构成了连续介质力学的基本框架，可以用来描述各种各样的物理现象，如流体力学、固体力学、热力学等。

通过结合实际问题和适当的边界条件，这些公式可以用于求解各种与连续介质力学相关的工程和科学问题。

总之，张量与连续介质力学基本公式是研究介质在连续性假设下力学行为的关键工具。

dft计算合金应力应变曲线
DFT（密度泛函理论）是一种计算材料性质的量子化学方法，可以用于计算合金的应力应变曲线。

要计算合金的应力应变曲线，首先需要构建一个包含合金的模型。

这个模型可以包含原子的位置和类型，晶格常数以及合金组成等信息。

然后，使用DFT方法计算模型中原子的总能量。

这可以通过
求解含有电子波函数的Kohn-Sham方程来实现。

得到的总能
量可以用来计算各个应变情况下的力学性质，如弹性常数和体模量。

接下来，可以使用应力应变关系来计算应力应变曲线。

应力应变关系描述了应变量和内部应力（也称为应力张量）之间的关系。

例如，哈密顿公式可以用来计算应力应变曲线，其中应力张量和应变张量之间的关系是线性的：
σ = C ε
在这里，σ是应力张量，C是弹性常数矩阵，ε是应变张量。

通过施加不同的应变，可以计算得到不同应变下的应力，从而得到应力应变曲线。

需要注意的是， DFT方法可以计算材料的力学性质，但对于
合金而言，原子间相互作用的选择对计算结果会有影响。

因此，选择适当的交换相关泛函和做适当的校正是很重要的。

总之，使用DFT方法可以计算合金的应力应变曲线，需要构建合金模型，计算总能量，并利用应力应变关系得到应力应变曲线。

我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。

首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。

但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。

由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。

对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。

平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。

本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。

本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。

在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。

我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。

物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。

则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。

一 应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。

图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。

如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。

此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。

若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。

从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。

4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。

由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。

前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。

Cauchy应力张量引言在固体力学中，应力是描述物体内部受力状态的物理量。

Cauchy应力张量是一种用来描述物体内部应力状态的数学工具。

它是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy在19世纪提出的，被广泛应用于工程力学和材料科学领域。

应力的概念应力是物体内部单位面积上的力，是描述物体受力状态的重要物理量。

在固体力学中，应力可以分为两种类型：正应力和剪应力。

正应力是垂直于物体内部某一平面的力，可以分为拉应力和压应力。

拉应力是指物体内部某一平面上的力向外作用，而压应力则是指力向内作用。

剪应力是平行于物体内部某一平面的力，它使得物体内部的不同部分相对滑动。

剪应力可以分为正剪应力和负剪应力，取决于剪切方向。

Cauchy应力张量的定义Cauchy应力张量是一种用来描述物体内部应力状态的数学工具。

它是一个二阶对称张量，用一个3x3矩阵表示。

Cauchy应力张量的定义如下：其中，σij表示物体在i方向上的作用力对j方向上的面积元素的作用。

Cauchy应力张量的性质Cauchy应力张量具有以下性质：1.对称性：Cauchy应力张量是一个对称矩阵，即σij = σji。

这是因为在物体内部，力的作用方向与面元素的方向无关。

2.等效应力：Cauchy应力张量可以通过计算其主应力的平均值得到等效应力。

等效应力是一个标量，用来描述物体受力状态的强度。

3.应力变换：在不同坐标系下，Cauchy应力张量的分量会发生变换。

这可以通过线性代数中的坐标变换公式来实现。

4.应力分量与应变分量的关系：Cauchy应力张量与应变张量之间存在线性关系，这是弹性力学的基本原理之一。

Cauchy应力张量的应用Cauchy应力张量在工程力学和材料科学中有广泛的应用，其中一些重要的应用包括：1.结构分析：Cauchy应力张量可以用来分析物体内部的受力状态，从而评估结构的安全性和稳定性。

2.材料设计：通过对Cauchy应力张量的分析，可以优化材料的力学性能，提高材料的强度和耐久性。

abaqus 应力应变不对应abaqus是一种广泛应用于工程领域的有限元分析软件，用于模拟和分析各种结构的力学行为。

在abaqus中，应力和应变是两个重要的物理量，它们描述了物体在外力作用下的变形和变形后的力学响应。

应力是物体内部的力分布情况，可以通过应力张量来描述。

应力张量包含了九个分量，分别为xx、yy、zz、xy、xz、yz、yx、zx、zy。

其中，xx、yy和zz分别表示物体在x、y和z方向上的正应力，xy、xz和yz分别表示物体在x、y和z方向上的剪应力。

应力的单位是帕斯卡(Pa)，1Pa等于1牛顿/平方米(N/m²)。

应变是物体发生形变后的变形程度，可以通过应变张量来描述。

应变张量也包含了九个分量，与应力张量的分量一一对应。

应变分为线性应变和切变应变两种。

线性应变是物体在外力作用下产生的长度变化，切变应变是物体在外力作用下产生的形状变化。

应变的单位是无量纲，通常用百分比或小数表示。

在abaqus中，可以通过给定物体的几何形状、材料性质和加载条件来模拟分析物体的力学行为。

在模拟过程中，abaqus会根据给定的参数计算出物体的应力和应变分布情况，以及其他与物体力学性能相关的结果。

然而，虽然abaqus可以提供准确的应力应变分析结果，但在实际应用中，由于各种因素的影响，模拟结果与实际情况之间可能存在差异。

这种差异可能是由于模型的简化、材料参数的不确定性、加载条件的误差等引起的。

应力和应变的关系也不是简单的线性关系。

在材料的弹性阶段，应力和应变呈线性关系，称为胡克定律。

但当应力超过材料的屈服强度时，材料会发生塑性变形，应力和应变之间的关系就不再是线性的了。

在这种情况下，塑性应变会随着应力的增加而增加，材料会发生形状改变和残余变形。

因此，正确理解和使用abaqus的应力应变分析结果是非常重要的。

在进行工程设计和结构优化时，需要综合考虑各种因素，并结合实际情况进行合理的判断和调整。

此外，还需要注意模型的合理性和准确性，以及模拟结果的可靠性和可验证性。

我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。

物体由于受到外界载荷后，在 物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相 应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。

则一定材料的物体其产生的应力 和应变也必然存在一定的关系。

一应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度） 、 加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、 粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况六个应变分量x 、y 、z 、xy 、yz 、zx 只有一个自由变化，应力应变关系图仁1图中0A 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故0B 为初始弹性阶段，C 点位 初始屈服点，s为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中 E ，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段， CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。

如果在进入塑性阶段卸载后再加载，本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x 、y 、z 、xy 、yz 、zx只有一个不为零,例如在D点卸载至零，应力应变关系自D点沿DO'到达O'点，且DO' // OA其中OO'为塑性应变p, DG为弹性应变e，总应变为它们之和。

此后再继续加载,应力应变关系沿ODEF变化，D点为后继屈服点，OD为后继弹性阶段，s'为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。

若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段COC'，而在强化阶段DOD'，s s，称为Bauschinger效应。

从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。

因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T、t的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幕强化模型、等向强化模型、随动强化模型。

我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。

但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。

而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。

变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。

在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。

此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。

而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。

相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。

我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。

本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。

在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。

即，),,(T t f εσ=。

另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。

简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。

我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。

在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。

而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。

另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。

在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。

初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。

初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。

最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。

一、应力与应变1、应力在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。

通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor)的二阶张量。

概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。

具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。

很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态。

对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。

2、应变应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量。

因此是一个无量纲的物理量。

在直杆模型中，除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变”，另外，还定义了压缩时以截面边长（或直径）改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。

对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数”。

3、本构关系应力与应变的关系我们叫本构关系（物理方程）。

E σε=（应力=弹性模量*应变） 4、许用应力（allowable stress ）机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。

要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。

凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。

许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。

失效应力为：静强度设计中用屈服极限（yield limit ）或强度极限（strength limit ）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit ）。

5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系塑性材料（大多数结构钢和铝合金）以屈服极限为基准，除以安全系数后得许用应力，即[]()/ 1.5~2.5s n n σσ==。