高等数学：第七讲 反函数的导数

反三角函数求导公式的证明§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设)(y x ϕ=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ϕ=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ϕ，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==ϕ内也是单调、可导的，而且)(1)(y x f ϕ'=' (1)证明： ∀∈x I x ，给x 以增量x ∆),0(x I x x x ∈∆+≠∆由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知0)()(≠-∆+=∆x f x x f y于是y xx y ∆∆=∆∆1因直接函数)(y x ϕ=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→∆x 时，必有0→∆y)(11lim lim00y y x x y y x ϕ'=∆∆=∆∆→∆→∆即：)(1)(y x f ϕ'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 1112113122x x arctgx x a x a x '=-'=+'=证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数函数 y x sin =在)2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0因此，在 )1,1(-=x I 上， 有 y x cos 1)arcsin (=' 注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -='证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,)tgy x = 在 I y 上单调、可导且0cos 12>='y x 故2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='='证3a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='='类似地，我们可以证明下列导数公式：(arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=--'=-+'=1111122二、复合函数的求导法则如果)(x u ϕ=在点x 0可导，而)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数])([x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==证明：因)(lim00u f x y u '=∆∆→∆，由极限与无穷小的关系，有 )0,0()(0→→∆∆⋅+∆'=∆αα时当u u u u f y用0≠∆x 去除上式两边得：x u x u u f x y ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆α)(0由)(x u ϕ=在x 0的可导性有：00→∆⇔→∆u x ， 0lim lim 00==→∆→∆ααu x ])([lim lim 000x u x u u f x y x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=∆∆→∆→∆αx u x u u f x x x ∆∆⋅+∆∆⋅'=→∆→∆→∆0000lim lim lim )(α)()(00x u f ϕ'⋅'=即)()(000x u f dx dy x x ϕ'⋅'==上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：若u x =ϕ()在开区间I x 可导，y f u =()在开区间I u 可导，且∀∈x I x 时，对应的 u I u ∈，则复合函数])([x f y ϕ=在I x 内可导，且dx du du dy dx dy ⋅= (2) 复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。

反函数求导公式大全反函数的求导公式可通过链式法则来推导得到。

设有函数y=f(x)，其反函数为x=f^(-1)(y)，则有以下求导公式：1.如果函数y=f(x)在点x处可导，且f'(x)≠0，则反函数x=f^(-1)(y)在对应点y=f(x)处也可导，且有以下关系式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)2.若函数y=f(x)和反函数x=f^(-1)(y)在区间上均可导，且在该区间上f'(x)≠0，则有以下关系式：(f^(-1))'(y)=1/f'(f^(-1)(y))或(f^(-1))'(f(x))=1/f'(x)下面列举一些常见函数及其反函数的求导公式：1.幂函数y=x^n，其中n是常数，且n≠0反函数为x=y^(1/n)，则有：(y^(1/n))'=(1/n)*(y^(1/n-1))2.指数函数y=a^x，其中a是常数，且a>0且a≠1反函数为x = log_a(y)，则有：(log_a(y))' = 1 / (y * ln(a))3.对数函数y = log_a(x)，其中a是常数，且a>0且a≠1反函数为x=a^y，则有：(a^y)' = (a^y) * ln(a)4.三角函数(a)正弦函数y = sin(x)，其中-π/2 ≤ x ≤ π/2反函数为x = arcsin(y)，则有：(arcsin(y))' = 1 / √(1 - y^2)(b)余弦函数y = cos(x)，其中0 ≤ x ≤ π反函数为x = arccos(y)，则有：(arccos(y))' = -1 / √(1 - y^2)(c)正切函数y = tan(x)，其中-π/2 < x < π/2反函数为x = arctan(y)，则有：(arctan(y))' = 1 / (1 + y^2)5.双曲函数(a)双曲正弦函数y = sinh(x)反函数为x = arcsinh(y)，则有：(arcsinh(y))' = 1 / √(y^2 + 1) (b)双曲余弦函数y = cosh(x)反函数为x = arccosh(y)，则有：(arccosh(y))' = 1 / √(y^2 - 1) (c)双曲正切函数y = tanh(x)反函数为x = arctanh(y)，则有：(arctanh(y))' = 1 / (1 - y^2)。

反函数的导数复合函数的求导法则当函数f(x)在一些区间上连续、单调且可导时，它在该区间上必存在反函数g(x)。

反函数的导数可以通过以下方法求得。

设函数f(x)的反函数为g(x)，则有f(g(x))=x和g(f(x))=x。

根据反函数的定义，可以得到以下关系：f(g(x))=x (1)g(f(x))=x (2)对方程(1)两边求导，可得：f'(g(x))*g'(x)=1所以g'(x)=1/f'(g(x))同理，对方程(2)两边求导，可得：g'(f(x))*f'(x)=1所以g'(x)=1/f'(f(x))综上所述，反函数的导数可由上述公式求得。

其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，f'(f(x))表示f(x)在x处的导数。

复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的，求复合函数的导数需要使用链式法则或其他求导法则。

以下是复合函数求导的常见法则。

1.链式法则设函数y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)均可导。

则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = dy/du * du/dx其中 dy/du 表示函数 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示函数 g(x) 对x 的导数。

2.乘积法则设函数y=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)均可导。

则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。

3.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)均可导且v(x)≠0。

dy/dx = (v(x) * du/dx - u(x) * dv/dx) / v(x)^2其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。

常见反函数反函数导数（微分）公式反函数：在数学中，一个函数的反函数（inverse function) 是这样一个函数，它与原函数的作用相反。

如果一个函数 f 的定义域为 X，值域为 Y，那么 f^-1 的定义域为 Y，值域为 X，且满足 f(f^(-1)(x)) = x 和 f^(-1)(f(x)) = x，其中 x 属于 X。

反函数是一种非常重要的数学概念，它可以帮助我们解决一系列复杂的数学问题。

通过使用反函数，我们可以在不知道函数的具体形式的情况下，求出方程的解，或者对函数的性质进行推导。

常见的反函数包括：1.幂函数的反函数：这里我们考虑具体的例子，比如f(x)=x^2，那么它的反函数可以表示为f^(-1)(x)=√x，其中x>=0。

可以看出，原函数是单调递增的，而反函数是单调递减的。

2. 指数函数的反函数：比如 f(x) = a^x，其中 a > 0 且a ≠ 1，那么其反函数为 f^(-1)(x) = log_a(x)，其中 x > 0。

这里的反函数就是对数函数。

3. 对数函数的反函数：比如 f(x) = log_a(x)，其中 a > 0 且 a≠ 1，那么其反函数为 f^(-1)(x) = a^x，其中 x 是实数。

反函数导数（微分）公式：反函数的导数也是一个重要的概念，在微积分中经常会用到。

为了计算反函数的导数，我们可以使用链式法则。

假设f和g是互为反函数的函数，如果f在x处可导，且f'(x)≠0，那么g在对应的y=f(x)处也可导，并且有以下公式：g'(y)=1/f'(x)，其中x属于X，y属于Y。

具体的例子如下：1.幂函数的反函数导数：如果f(x)=x^2，那么其反函数f^(-1)(x)=√x，那么有f'(x)=2x，所以反函数的导数为：(f^(-1))'(x)=1/(2√x)，其中x>=0。

2. 指数函数的反函数导数：如果 f(x) = a^x，那么其反函数 f^(-1)(x) = log_a(x)，那么有 f'(x) = a^x * ln(a)，所以反函数的导数为：(f^(-1))'(x) = 1 / (x * ln(a))。

反函数求导
反函数在数学中一般指满足某种关系的一类函数，它们的定义域和值域在某种变换下是完全对立的。

函数求导，是指给定函数的某个点，通过求出函数在该点的切线斜率，来研究整个函数在该点的极值以及函数的变化情况。

反函数求导，就是求取从反函数到另一函数的求导。

由于反函数是完全对立的，所以在反函数求导时，要注意反函数围绕原函数的对称性，即求取的导数的正负符号与原函数左右点的计算正负值相反。

例如，对于函数f(x) = x^2，反函数为f^-1(x) = sqrt(x)，则求取f^-1(x)的导数，在x = 8时，由于f(8)=-8，f(8)=-1，则f^-1(x)的导数应为1/2。

反函数求导的具体过程是：
1.先，将原函数按对称性改写为f(g(x))的形式；
2.后，用求导法则来进行求导，从而可以得到f(g(x))的导数；
3.后，用变量替换法将f(g(x))的导数展开为g(x)的导数。

反函数求导的应用非常广泛，它可以用来求解某种函数的极值点，可以用于求解微分方程，也可以用来求解复杂的函数的极值问题。

总的来说，反函数求导是一项数学理论，它通过求取反函数到另一函数的导数，可以让我们更好地理解函数，并得出更好的解决方案。

反函数求导技术的应用不仅仅可以帮助我们更加准确地求解函数及
其极值，而且还能够为更复杂函数的求解提供有效的帮助。

- 1 -。

反函数求导有什么法则？
反函数求导过程中应该遵循什么法则呢？想知道的考生看过来，下面由小编为你精心准备了“反函数求导有什么法则？”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
反函数求导有什么法则？
反三角函数的求导过程:利用dy/dx=1/(dx/dy)，然后进行相应的换元。

一、反函数求导方法
若F(X),G(X)互为反函数，
则:F'(X)*G'(X)=1
E.G.:y=arcsinx x=siny
y'*x'=1 (arcsinx)'*(siny)'=1
y'=1/(siny)'=1/(cosy)=1/根号(1-sin^2y)=1/根号(1-x^2)
其余依此类推。

二、反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。

它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。

三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

反三角函数的图像与性质。

反函数的导数怎么求
y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）
反函数的导数：
yarcsinx,
那么，siny=x,
求导得到，cosy *y'=1
即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)^2]=1/√(1-x^2)
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。

例题：求y=arcsinx 的导函数。

首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy，因为x=siny，所以cosy=√1-x2，所以y‘=1/√1-x2。

1、反函数的导数就是原函数导数的倒数。

2、设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作
y=f^(-1)(x)。

反函数y=f^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

3、若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。

4、求导是数学计算中的一个计算方法。

5、导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商
的极限。

在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。

可导的函数一定连续。

不连续的函数一定不可导。

6、除了在某几个原函数的导数为0的点以外，利用原函数的可导性就可以说明反函数可导了。

反函数高阶导数公式推导一、反函数的导数反函数的定义为：x=f^{-1}(y) \tag{1}这里f^{-1}表示f的逆映射。

该反函数的导数和直接函数的导数关系十分简单：\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} \\一种非正式但十分方便的说法是：反函数的导 (d\check{a} o) 数等于直接函数的倒(d \grave{a} o) 数。

教材中已经给出过严密的证明，这里不再赘述。

而另一种简单的理解方式则是直接将导数看作“商”来处理。

因为这里所有的“商”对应的极限都是存在的。

（在这篇回答里已经解释过：关于Leibniz记号)。

接下来讨论几个简单却又常在初学时容易犯晕的问题。

二、反函数的高阶导数同济习题2-3.4：设\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^\prime}，试导出\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}。

这里容易犯迷糊的问题：（1）\frac{d^2x}{dy^2} 不就已经是反函数的二阶导数了吗？（2）为什么\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3} 不能写成x^{\prime\prime},x^{\prime\prime\prime}？解析：（1）没错！\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}本来就是反函数的二、三阶导数。

通常问这个问题的原因就是没有读清题意。

这道题的隐含的意思是，要我们包含y^\prime,y^{\prime\prime} 等符号的表达式来表示反函数的导数。

另外也要注意，y,y^\prime,y^{\prime\prime} 本质上都是关于 x 的函数，在它们有显式表达式时都是关于 x 的表达式。

（2）如果我们明确说明x=f^{-1}(y) 的话，用x^{\prime\prime},x^{\prime\prime\prime} 来表示\frac{d^2x}{dy^2},\frac{d^3x}{dy^3}。

反函数的求导技巧反函数是指，如果函数f(x)在定义域D上是单调增加的，则其反函数f^(-1)(x)在值域上也是单调增加的。

在微积分中，我们经常需要对反函数进行求导。

本文将介绍几种常见的反函数求导技巧。

一、使用链式法则当我们需要对反函数进行求导时，可以利用链式法则来简化计算。

假设函数y=f(x)的反函数为x=f^(-1)(y)，则有关系式：f(f^(-1)(y))=y对上述等式两边同时求导，可以得到：f'(f^(-1)(y)) * (f^(-1))'(y) = 1从中可以解出(f^(-1))'(y)：(f^(-1))'(y) = 1 / f'(f^(-1)(y))这个式子给出了计算反函数导数的关键公式。

二、借助已知函数导数有时，我们可以先求出原函数的导数，再通过倒数的关系得到反函数的导数。

例如，已知函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，那么其反函数f^(-1)(y)=ln(y)的导数可以通过以下步骤得到：1. 令y=f(x)，即x=ln(y)；2. 对等式两边同时求导，得到1=1/y * (f^(-1))'(y)；3. 解出(f^(-1))'(y)=1/y，即(f^(-1))'(y)=1/y=f^(-1)(y)。

三、反对数函数的导数对数函数和指数函数是互为反函数的关系。

对数函数y=loga(x)是将指数函数y=a^x的自变量和因变量交换得到的。

已知指数函数a^x的导数为(a^x)’=a^x * ln(a)，则对数函数的导数为：(loga(x))' = 1 / (a^x * ln(a))也可以看出，当a=e时，自然对数函数的导数为1/x，即(log(x))'=1/x。

四、反三角函数的导数三角函数和反三角函数也是互为反函数的关系。

已知三角函数y=sin(x)的导数为y’=cos(x)，则反三角函数y=arcsin(x)的导数可以通过以下步骤求得：1. 令y=sin(x)，即x=arcsin(y)；2. 对等式两边同时求导，得到1=cos(x) * (d/dy(arcsin(y)))；3. 解出(d/dy(arcsin(y)))=1/cos(x)，由三角恒等式可得(d/dy(arcsin(y)))=1/√(1-y^2)。

反函数求导公式大全1. 反函数的概念反函数是解决方程的一种方法，与正函数相对应。

在正函数中，给定一个自变量，可以求出一个唯一的因变量。

但有时候我们需要找到一个与因变量相对应的唯一自变量。

这时候就需要使用反函数。

2. 反函数求导的意义反函数的求导可以帮助我们求得一个函数的反函数的导数。

这对于解决一些问题非常有用。

例如，如果我们要求某个函数值的变化率，但很难求出该函数的导数，但是如果我们可以找到这个函数的反函数，那么我们就可以利用反函数的导数来计算该函数值的变化率。

3. 反函数的基本公式- 如果y=f(x)在区间I上是单调增加的，则其反函数x=g(y)在相应区间J上也是单调增加的。

反函数的导数可以使用公式g'(y) = 1/f'(x)- 如果y=f(x)在区间I上是单调减少的，则其反函数x=g(y)在相应区间J上也是单调减少的。

反函数的导数可以使用公式g'(y) = -1/f'(x)4. 反三角函数的导数公式反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。

这些函数的求导公式如下：- 反正弦函数的导数：(arcsin x)' = 1 / sqrt(1-x^2)- 反余弦函数的导数：(arccos x)' = -1 / sqrt(1-x^2)- 反正切函数的导数：(arctan x)' = 1 / (1+x^2)5. 反双曲函数的导数公式反双曲函数也包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数等。

这些函数的求导公式如下：- 反双曲正弦函数的导数：(arcsinh x)' = 1 / sqrt(1+x^2)- 反双曲余弦函数的导数：(arccosh x)' = 1 / sqrt(x^2-1)- 反双曲正切函数的导数：(arctanh x)' = 1 / (1-x^2)6. 实例分析对于函数y=x^2，在区间[0,+∞)上单调增加。

其反函数为x=sqrt(y)，在区间[0,+∞)上也是单调增加。

- 50 -§2.3 反函数的导数 复合函数的导数一.反函数的导数 1.法则设x=()y ϕ是直接函数，()x f y =是它的反函数。

由ch1§10Th4知，若x=()y ϕ在区间I y 内单调且连续，则其反函数y=f(x)在对应区间I=(){}y I y y x x ∈=,ϕ内也是单调且连续的。

若x=()y ϕ又是可导的，考虑反函数y=f(x)的可导性及()()。

与y x f ϕ'',间的关系。

()y y I x x x x I x x x ∆∈∆+≠∆∆∈∀有,,0,,由y=f(x)的单调性,()(),0≠-∆+=∆x f x x f y 有yxx y ∆∆=∆∆1,因y=f(x)连续，故当00→∆⇒→∆y x ,假设()()()()()1111lim lim ,0lim ,0000y x f y yx x y y x y y x y ϕϕϕ'=''=∆∆=∆∆≠∆∆≠'→∆→∆→∆即则即结论：如果函数x=()y ϕ在某区间I y 内单调、可导且()0≠'y ϕ,那么它的扫函数y=f(x)在对应区间内也可导且有(1)式成立。

即反函数的导数等于直接函数导数- 51 -的倒数。

2.反三角函数的导数例1.y=arcsinx D=[-1,1] 是 x=siny 的反函数，x=siny 在⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππy 内单调、可导且()2211s i n 11c o s 11,0c o s s i n xy y x y y y y x-=-=='='∴>=' 类似可求 ()211arccos xx --='例2．y=arctgx ()+∞∞-,是x=tgy 在开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππy 的反函数(单调可导)，()()222222111111sec 1,0cos 1sec xarcctgx x y tg y y x y tgy x x y +-='+=+=='∴>=='='同理，ex.设x=()1,0≠>a a a y 为直接函数，则y=log a x 是反函数，()+∞∞-==,y y I a x 在内单调可导，且()()()ax a a x I a aa ya x yyln 1ln 1log ,0,0ln =='+∞=∴≠='内有在 特殊地，a=e ()xx 1ln ='..复合函数的求导法则1.如果()x u ϕ=在点x 0可导，而在点()00x u ϕ=可导，则复合函数()][x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为()()000x u f dx dyx x ϕ'⋅'==。

反函数求导有什么法则？
反函数求导过程中应该遵循什么法则呢？想知道的考生看过来，下面由小编为你精心准备了“反函数求导有什么法则？”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
反函数求导有什么法则？
反三角函数的求导过程:利用dy/dx=1/(dx/dy)，然后进行相应的换元。

一、反函数求导方法
若F(X),G(X)互为反函数，
则:F'(X)*G'(X)=1
E.G.:y=arcsinx x=siny
y'*x'=1 (arcsinx)'*(siny)'=1
y'=1/(siny)'=1/(cosy)=1/根号(1-sin^2y)=1/根号(1-x^2)
其余依此类推。

二、反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。

它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。

三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

反三角函数的图像与性质。

反函数的求导
设原函数为y=f()，则其反函数在y点的导数与f'()互为倒数（即原函数，前提要f'()存在且不为0）。

1、求反函数先判断反函数是否存在，严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同，再判断该函数与它的反函数在相应区间上单调性是否一致，例如求y=^2的反函数，反函数是正负根号，求完后注意定义域和值域，反函数的定义域就是原函数的值域。

2、反函数的求导怎么求导，把其中一个的自变量与因变量反写，若与另一形式相同，且定义域相同，则二者互为反函数如果y=f()的导数为y'=f'()那么反函数=g(y)在点b=f(a)可导且g'(b)=1、f'(a)。

3、求反函数有什么实际意义，“反函数的概念”，是函数概念的进一步深化，反映了函数概念中两个变量既相互对立，又相互统一、相互依存的辩证关系。

原函数与反函数的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法。