反函数的导数复合函数的求导法则

反函数的导数复合函数的求导法则当函数f(x)在一些区间上连续、单调且可导时，它在该区间上必存在反函数g(x)。

反函数的导数可以通过以下方法求得。

设函数f(x)的反函数为g(x)，则有f(g(x))=x和g(f(x))=x。

根据反函数的定义，可以得到以下关系：f(g(x))=x (1)g(f(x))=x (2)对方程(1)两边求导，可得：f'(g(x))*g'(x)=1所以g'(x)=1/f'(g(x))同理，对方程(2)两边求导，可得：g'(f(x))*f'(x)=1所以g'(x)=1/f'(f(x))综上所述，反函数的导数可由上述公式求得。

其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，f'(f(x))表示f(x)在x处的导数。

复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的，求复合函数的导数需要使用链式法则或其他求导法则。

以下是复合函数求导的常见法则。

1.链式法则设函数y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)均可导。

则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = dy/du * du/dx其中 dy/du 表示函数 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示函数 g(x) 对x 的导数。

2.乘积法则设函数y=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)均可导。

则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。

3.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)均可导且v(x)≠0。

dy/dx = (v(x) * du/dx - u(x) * dv/dx) / v(x)^2其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。

反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。

证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。

则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。

二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。

三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。

证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。

2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。

证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。

因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。

3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。

·复习 函数的和差积商的求导法则.·引入 前面我们复习了函数的和差积商的求导法则，应用这些法则和一些基本初等函数的导数公式可以求出一些比较简单的初等函数的导数.但是，产生初等函数的方法，除了四则运算外，还有函数的复合，因而复合函数的求导法则是求出等函数的导数所不可缺少的工具.·讲解新课第三节 复合函数、反函数的求导法则一 复合函数的求导法则定理1（链式法则） 设函数)(x u ϕ=在点x 处可导，()x u x ϕ''=；函数)(u f y =在对应点)(x u ϕ=处也可导，()u y f u ''=，则复合函数[])(x f y ϕ=在点x 处也可导，且有dxdu du dy dx dy ⋅=. 上式也可写成x u x u y y '⋅'=' 或)()()(x u f x y ϕ'⋅'='的形式.此定理说明，求复合函数[])(x f y ϕ=对x 的导数时，可先求出()y f u =对u 的导数和)(x u ϕ=对x 的导数，然后相乘即得.显然以上法则也可用于多次复合的情形.推论 如设()y f u =,()u v ϕ=,()v x φ=都可导，则复合函数{[()]}y f x ϕφ=对x 的导数为dy dy du dvdx du dv dx=⋅⋅或x u v x y y u v ''''=⋅⋅.例1 求函数5)1(x y +=的导数．解：函数5)1(x y +=是由5y u =，1u x =+复合而成，因为45u y u '=，1x u '=，所以4455(1)x u xy y u u x '''===+． 例2 已知x y sin ln =，求dxdy解：函数x y sin ln =是由u y ln =，x u sin =复合而成。

反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数是指由一个反函数和一个普通函数复合而成的函数，通常被写作f（g（x））。

求反函数的导数复合函数的求导法则就是链式法则。

链式法则可以让我们求解复杂函数的导数，它可以将复杂的函数分解成一些简单的函数，然后利用其中的一些简单函数的已知导数计算出整个函数的导数。

首先了解几个基本概念：
1、定义域：定义域指变量的取值范围，所有在定义域内的取值，对应的函数值都是定义的。

2、域：函数的取值范围就叫域，也就是实际上函数所取得的真实数值范围。

3、反函数：如果一个函数f（x）的反函数是g（x），那么g（x）的定义域就是f（x）的域，而f（x）的定义域就是g（x）的域。

4、导数：导数表示函数的变化率，是描述函数单调性的概念。

基于上文所说的基本概念，可以提出反函数的导数复合函数的求导法则：
即反函数的导数复合函数f（g（x））的求导法则是：
f（g（x））的导数等于f（g（x））在g（x）处的导数乘以g（x）在x处的导数。

即：
f（g（x））′=f（g（x））′g（x）′
举例说明：
如果f（x）和g（x）分别如下定义：
f（x）=x2+1
g（x）=ln（x）。

- 50 -§2.3 反函数的导数 复合函数的导数一.反函数的导数 1.法则设x=()y ϕ是直接函数，()x f y =是它的反函数。

由ch1§10Th4知，若x=()y ϕ在区间I y 内单调且连续，则其反函数y=f(x)在对应区间I=(){}y I y y x x ∈=,ϕ内也是单调且连续的。

若x=()y ϕ又是可导的，考虑反函数y=f(x)的可导性及()()。

与y x f ϕ'',间的关系。

()y y I x x x x I x x x ∆∈∆+≠∆∆∈∀有,,0,,由y=f(x)的单调性,()(),0≠-∆+=∆x f x x f y 有yxx y ∆∆=∆∆1,因y=f(x)连续，故当00→∆⇒→∆y x ,假设()()()()()1111lim lim ,0lim ,0000y x f y yx x y y x y y x y ϕϕϕ'=''=∆∆=∆∆≠∆∆≠'→∆→∆→∆即则即结论：如果函数x=()y ϕ在某区间I y 内单调、可导且()0≠'y ϕ,那么它的扫函数y=f(x)在对应区间内也可导且有(1)式成立。

即反函数的导数等于直接函数导数- 51 -的倒数。

2.反三角函数的导数例1.y=arcsinx D=[-1,1] 是 x=siny 的反函数，x=siny 在⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππy 内单调、可导且()2211s i n 11c o s 11,0c o s s i n xy y x y y y y x-=-=='='∴>=' 类似可求 ()211arccos xx --='例2．y=arctgx ()+∞∞-,是x=tgy 在开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππy 的反函数(单调可导)，()()222222111111sec 1,0cos 1sec xarcctgx x y tg y y x y tgy x x y +-='+=+=='∴>=='='同理，ex.设x=()1,0≠>a a a y 为直接函数，则y=log a x 是反函数，()+∞∞-==,y y I a x 在内单调可导，且()()()ax a a x I a aa ya x yyln 1ln 1log ,0,0ln =='+∞=∴≠='内有在 特殊地，a=e ()xx 1ln ='..复合函数的求导法则1.如果()x u ϕ=在点x 0可导，而在点()00x u ϕ=可导，则复合函数()][x f y ϕ=在点x 0可导，且导数为()()000x u f dx dyx x ϕ'⋅'==。

复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。

复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。

二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。

链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。

三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。

解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。

根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。

【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。

解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。

2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。

【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。

解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。

根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。

关于反函数及复合函数求导法则的证明函数求导是高等数学中极重要和基础的概念，反函数及复合函数求导法则更是其中比较重要的一环。

本文主要以几何证明的方式，讨论反函数及复合函数求导法则的证明。

第一部分函数的求导反函数，它是一个函数的反函数，即将原函数的自变量和因变量互换后得到的函数，这个新函数是反函数。

反函数解释起来可能有点抽象，我们来看一个具体的例子：假设有函数f(x) = 5x+1我们确定，f（x）的反函数为f^-1（x），根据反函数的定义我们有f（f^-1（x)）= x（反函数定义）由于f（x）的解析式是5x+1，所以f（f^-1（x））= 5f^-1（x）+1 = x因此，f^-1（x）= (x - 1)/5反函数的求导法则简而言之就是：假设f（x）的反函数为f^-1（x），那么，f^-1（x）的导数等于1/f（x）的导数。

这个定理可以用几何证明如下：假设f（x）、f^-1（x）为两条曲线，坐标轴上的每个点（x_0，y_0）都是它们的一个交点，因此我们可以把y_0分别表示为f（x_0）和f^-1（x_0），此外，根据反函数的定义，我们有f（f^-1（x））= x，即f^-1（x_0）是f（x_0）的反函数点。

因此，当x_0大小发生变化时，f（x_0）和f^-1（x_0）曲线上对应的点（x_0，y_0）也会发生变化，换句话说，曲线上的点（x_0，y_0）也会发生变化，这说明曲线上的点（x_0，y_0）满足微分方程，即：dy_0/dx_0 = dy/dx = 1/f（x_0）的导数因此，我们可以证明反函数的求导法则：假设f（x）的反函数为f^-1（x），那么，f^-1（x）的导数等于1/f（x）的导数。

第二部分合函数的求导复合函数是将两个或两个以上的函数合并在一起的函数，一般写作f(g(x))，其中f为内函数，g为外函数。

复合函数求导的法则是：假设f（x）和g（x）是复合函数，那么，复合函数f（g（x））的导数等于f（g（x））的导数乘以g（x）的导数。