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微积分-反函数和复合函数的求导法则ppt

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高等数学 微积分 复合函数与反函数17页PPT

高等数学 微积分 复合函数与反函数17页PPT
高等数学 微积分 复合函数 与反函数
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要Biblioteka 为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。

微积分复合函数求导法则课件

微积分复合函数求导法则课件

VS
链式法则引入思路
通过实例和图形展示，引入复合函数的概 念，并让学生思考如何求复合函数的导数 ，进而引出链式法则的概念。
链式法则证明过程
链式法则证明方法
采用极限的定义和四则运算法则进行证明， 让学生理解链式法则的本质和推导过程。
链式法则证明步骤
首先通过极限的定义求出复合函数的导数， 然后利用四则运算法则进行化简，得到链式 法则的公式。
隐函数求导法则
若y是x的函数，且由方程F(x,y)=0确 定，则将方程两边同时对x求导，得到 y'的表达式。
03
复合函数求导法则推导
链式法则引入
链式法则定义
若函数$y=f(u)$在点$u$可导，函数 $u=g(x)$在点$x$可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$在点$x$也可导，且其导数为 $f'[g(x)] \cdot g'(x)$。
高阶导数性质
高阶导数具有线性性、叠加性和乘积法则等基本性质， 同时高阶导数与函数的凹凸性和拐点等性质密切相关。
隐函数求导方法简述
隐函数概念
当函数y以隐式形式给出，即F(x,y)=0时，称y为x的隐 函数。
隐函数求导方法
通过对隐函数F(x,y)两边同时对x求导，并利用链式法 则和复合函数求导法则，求得y'和y''等导数。
微积分复合函数求导法则课 件
目录
• 复合函数概述 • 求导基础知识回顾 • 复合函数求导法则推导 • 复合函数求导法则应用实例分析 • 高阶导数及隐函数求导方法介绍 • 总结回顾与拓展延伸
01
复合函数概述
复合函数定义
• 定义：设函数y=f(u)的定义域为Df，值域为Rf，函数u=g(x)的定义域为Dg，值域为Rg，且Rf∩Dg≠∅，则称函 数y=f[g(x)]为f(u)与g(x)的复合函数，记作y=f·g(x)，其中x∈Dg，u∈Rf∩Dg，y∈Ry。这里Rf∩Dg表示f(u)与 g(x)的定义域的交集。

第三节反函数的导数复合函数的求导法则

第三节反函数的导数复合函数的求导法则

第三节反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数：
反函数的导数定义是：如果y=f(x)是一个单调函数，且f-1(x)是
y=f(x)的反函数，那么f-1(x)的导数就被定义为[f-1′(x)=1/f′(f-
1(x))]。

即反函数的导数等于其原函数的导数的倒数。

反函数的导数是研究函数及其变化规律的重要工具，在微积分中应用很广泛。

比如，探究定积分的导数，由定积分定义可知，定积分的导数是原函数反函数的导数，计算定积分的导数，就可以利用反函数的导数的公式来解决。

复合函数的求导法则：
复合函数的求导法则是指利用复合函数的性质计算复合函数（含有两个或以上的单函数）的导数的技术，它可以把多函数的求导问题化简为只有单个函数的求导问题。

这里把它简单概括成三条：（1）链式法则（即欧拉公式）：如果函数Z=f(g(x))，那么Z的导数是
dZ/dx=dZ/dg(x)*dg(x)/dx。

（2）链式法则2：如果函数Z=f(g(h(x)))，那么Z的导数为dZ/dx=dZ/dg(h(x))*dg(h(x))/dh(x)*dh(x)/dx。

（3）分部积分法则：如果函数Z=f(x,y)，其中y=g(x)，那么Z的导数是
dZ/dx=dZ/dx，y=g(x)+dZ/dy，x=g(x)*dg(x)/dx。

复合函数的求导法则是利用复合函数的性质，将复合函数的求导问题转化为只有单个函数的求导问题。

高等数学课件完整

高等数学课件完整

要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。

复 合 函 数 的 求 导 法 则

复 合 函 数 的 求 导 法 则

复合函数的表示方法
记号表示
复合函数通常用记号F(u)来表示，其 中F表示外部函数，u表示内部函数的 输出。
具体表示
如果y=f(x)且u=g(y)，则复合函数可 以表示为z=f(g(y))或z=F(u)，其中 z=F(u)表示z是u的函数。
03
链式法则
链式法则的原理
链式法则是复合函数求导的重要法则之一，其原理是将复合 函数分解为多个基本函数，然后对每个基本函数分别求导， 再根据复合函数的复合关系，将各个基本函数的导数相乘， 得到复合函数的导数。
商的求导法则的原理
商的求导法则指出，对于两个函数的商，其 导数等于被除函数的导数除以除函数的导数 。即 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。
这个法则的原理基于函数的商的性质，即当 两个函数同时变化时，其商的变化率满足特
定的关系。
商的求导法则的应用示例
假设有两个函数 f(x) = x^2 和 g(x) = sin(x)，我们需要 求它们的商函数 f(g(x)) = x^2 / sin(x) 的导数。
进一步学习高阶导数、隐 函数求导等更深入的数学 知识，为后续学习打下基 础。
THANKS
感谢观看
乘积法则
在求导过程中，将复合函数的中间变 量与常数相乘，并使用乘积法则进行 求导。
反函数求导法则
对于反函数，使用反函数求导法则进 行求导。
学习建议与展望
熟练掌握复合函数的求导 法则，能够快速准确地求 出复合函数的导数。
了解复合函数在实际问题 中的应用，如经济学、物 理学等领域。
ABCD
在学习过程中，多做练习 题，加深对复合函数求导 法则的理解和掌握。
表示

【高数-微积分课件】3.3 复合函数求导法则

【高数-微积分课件】3.3 复合函数求导法则

(7)
y

arctan 1
2x x2
y 1 sin x cos x
y 2 1 x2
(8) y ln cos(ex ) 2x5 y tan(ex ) ex 2x5 ln 25x4
(9) y x 1 e2x arcsinex
y 1 e2x x e2x
二、隐函数的求导
由方程 F (x, y) 0 所确定的函数 y y(x) 称 为隐函数.
求隐函数导数的要领是：将方程 F (x, y) 0 看成恒 等式 F (x, y(x)) 0, 则 F 最终为关于 x的复合函数. 然后对等式两端关于 x 求导, 并将 y 通过 x 和 y 表达. 例如： 求由 2x 3y 1 0 确定的隐函数 y y(x) 的导数.
1
1
(5) y (1 2x)x[ln(1 2x)x ]

(1

2
x)
1 x
ln(1
x
2
x
)

(1

1
2x)x
1
2
x 2x
ln(1 x2

2
x)



(1

2
x
)
1 x

2
x

(1 x2
2x) (1
ln(1 2x)
y

1
1
1 x2
(
1 x2
)

1 1 x2
4）y e2x tan 3x
y 2e2x tan 3x 3e2x sec2 3x
5）y x2 a2 arccos a x

微积分基本公式ppt课件

热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。

《微积分》PPT课件


x x0
f (x)
f
(x0 )
何时函数f(x)在 点 处间断？
(1)f(x)在点 x0 处无定义；
(2)f(x)在点
x0 处有定义，但
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
定 义 2 . 5 ： 若 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ， 总 存
在一个正数M，使得当x＞M（x＜-M）时，
恒 有 f (x) A＜ 成 立 ， 则 称 当 x （x )
时，函数f（x)以常数A为极限，记作
y=arcsinx x [1,1], y [ , ]
22
y=arccos x [-1,1], y [0, ]
y=arctanx X R, y ( , ) 22
y=arccotx X R，y （0，）
1.4 初等函数（三角函数）
正弦函数和余弦函数
正切函数和余切函数
正割函数与余割函数
三角函数的基本关系式：
xx0
ua
2.4
被迫性定理 若在某个变化过程中，
恒有y≤x≤z，且 limy=limz=A,则limx=A
两个重要极限（必考）
单调有界定理
单调有界的数列
必有极限
} 单 调 增 + 有 上 界
单调减+有下界
数列收敛
定理 2.12
定义 2.9
定理 2.13
若数列 {an}满足 an an1(或an an1）（n N） 则称数列 {an}为单调增 加(或单调减少)数列。
当x 0时，等价无穷小量：
sinx~x tanx~x
arcsinx~x 1-cosx~x2

高等数学微积分教学ppt(2)

2、自变量趋于无穷大时函数的极限
本节内容 :
二、函数的极限
1、自变量趋于有限值时函数的极限
1).
时函数极限的定义
引例. 测量正方形面积.
面积为A )
边长为
(真值:
边长
面积
直接观测值
间接观测值
任给精度 ,
要求
确定直接观测值精度 :
定义1 . 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
当
时, 有
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4.三角函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
5.反三角函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.
四. 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
例如 ,
并可用一个式子表示的函数 ,
例6. 求
解:
利用定理 4 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
内容小结
1). 无穷小与无穷大的定义
2). 无穷小与函数极限的关系
Th1
3). 无穷小与无穷大的关系
Th3
4). 无穷小的运算法则
Th4
Th5
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数、极限与连续
第一章
二、函数
一、集合
第一节
函数
元素 a 属于集合 M , 记作

微积分(第三章)


（1） y f (sin2 x) g (cos2 x)
（2） y f n [ g n (sin x n )]
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
§3 高阶导数
一般地，设 f ' ( x) 在点 x 的某个领域内有定义，若极
限
f ' ( x x ) f ' ( x ) lim x 0 x
f ' ( x0 ) 都存在，就说函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上可导。
第三章 导数、微分、边际与弹性
§1 导数的概念
三 、 导数的几何意义
函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义是曲 线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率。
定理2 如果函数 x f ( y ) 在区间 I y 内单调、可导
I x x x f ( y ), y I y
且 f ' ( y) 0 ，则它的反函数 y f 1 ( x) 在区间


内也可导，且
[f
1
1 dy 1 ( x)]' f ' ( y) 或 d x dx dy
（4）y cos x
1 （ 6） y x 1 （ 8） y 2 x 5x 6
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
高阶导数有以下运算法则：
1、[u( x) v( x)]( n) u ( n) ( x) v( n) ( x)
1 ' ( n 1) 2、[u ( x) v( x)]( n ) u ( 0) v ( n ) Cn uv k ( k ) ( nk ) k ( k ) ( nk ) Cn u v u ( n ) v ( 0 ) Cn u v n
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4
二.复合函数的求导法则
定理5. 如果函数u = φ(x)在点x处可导, y=ƒ(u)在对 应的点u 处可导,则复合函数 y=ƒ[φ(x)] 在点 x 处也可 导, 且其导数为 { f [ ( x )]}' f (u) ( x )
dy dy du 或 y 即 x yu ux (函数对中,中对自) dx du dx
2cos x sin x sin 2 x 解 y ' (etan x )' etan x (tan x )'
sec2 x e tan x 1 2 2 ( x 2 )' (3) y arc sin x 解 y ' (arc sin x )' 1 x4 2x 1 x4
cos sin x x (
(sin x )' sin x
1 2 x cot x
9
x )'
(11) y ln( x 1 x ).
2
解
y ' [ln( x 1 x 2 )]'
1 ( 1 x 2 )' x 1 x2
1
( x 1 x 2 )'
2 5
解 y (2 x 2 5)5 可看成由 y u5 , u 2 x 2 5复合而成的.
则 dy dy du 4 5u4 4 x 20u x u 回代20 x(2 x 2 5)4 dx du dx 求下列函数的导数
(1) y cos2 x 解 y ' (cos2 x)' 2cos x (cos x)' (2) y e tan x
e
ln x
( x ) (e ln x ) e ln x ( ln x)
1 x x 1 x

1 (6) y tan x 1 1 1 1 1 解 y ' (tan )' sec ( )' 2 sec x x x x x
8
结论: 有了这些公式和求导法则, 可证明所有的初等函 数在其定义域内皆可导.
11
(x

1 2
)
1 2x x
(loga x )
1 1 (a x ) a x ln a (ln x ) x ln a x
(e x ) e x
1 1 x2 1
(sin x ) cos x (cos x ) sin x (tan x ) sec x
(1) 解 y arcsin x( 1 x 1) 的反函数是 x sin y(

2
y

2
)
1 1 1 1 (arc sin x ) (1 x 1) 2 2 (sin y ) cos y 1 sin y 1 x
即 (arc sin x )
2
例8. 求函数 y = ax (a>0, a≠1) 的导数.
1 1 解 (a ) 1 y ln a a x ln a . (log a y ) y ln a
x
特别地 (e x ) e x .
例9. 求下列函数的导数. (1) y = arc sin x (3) y = arc tan x (2) y = arc cos x (4) y = arc cot x
(1 x 2 )'

x
x ' 1 x 2 x( 1 x 2 )' 解 y' ( )' 2 2 1 x 1 x x
1 x
2
x2 1 x2 2 1 (1 x 2 )
3 2

1 x
(10) y lnsin x 解
y ' (lnsin x )'
x 1 , y y x
当 y 0 时，必有 x 0
再由 y = ƒ(x) 的可导性, 则
x 1 1 ( y ) lim lim y 0 y x 0 y f ( x ) x
1 而 f ( x ) 0, 则 ( y ) 0 f ( x ) . ( y )
2
(arcsin x ) (arccos x )
1 x2 1 (cot x ) csc 2 x (arctan x ) 2 1 x (sec x ) sec x tan x 1 (csc x ) csc x cot x ( arc cot x ) 1 x2
1 1 x
2
( 1 x 1).
3
同理: (arc cos x )
(3)( arc tan x )
1 1 x2
( 1 x 1)
1 1 1 1 (tan y ) sec 2 y 1 tan 2 y 1 x 2
1 同理 (arc cot x) . 2 1 x
(2) y a
f 2 ( x)
ln a [ f ( x)] 2 f ( x) f ( x)a
2
f 2 ( x)
ln a
10
三.基本初等函数的导数公式
C 0 ( x ) x
1
1 1 1 ( x ) 1 ( ) 2 ( x ) 2 x x x
证明 设x = φ(y) 在点 y 的改变量是 Δy ≠ 0. 则 Δx = φ( y + Δ y ) – φ(y) , Δy = ƒ( x + Δ x ) – ƒ(x)
1Leabharlann 由 y = ƒ(x) 的连续性和单调性及第二章定理14知: 反 函数φ(y)也连续和单调.则当Δ y ≠ 0 时,有 Δx ≠ 0
x
x 1 x2
1 1 x2
f 2 ( x)
2 1 x 2 x 1 x
例11. 设ƒ可导, 求 (1) y f (e x ), (2) y a 的导数
x e
dy 解 (1) f (e x xe ) (e x xe ) (e x exe 1 ) f (e x xe ) dx
7
(4) y ln x ( x 0)
1 1 解 当 x 0 时, y [ln( x )]' x x 1 1 当 x 0 时, y (ln x ) ; 即(ln x ) . x x
(5) y x ( R)
解 x e

ln x
§3.3 反函数和复合函数的求导法则
一.反函数的求导法则
定理4. 设函数y =ƒ(x)在 x 的某领域内连续且严格单 调, y =ƒ(x) 在 x 处可导, 且 f′(x)≠0. 则 y=ƒ(x)的反 函数 x=φ(y) 在 y 处可导,且
( y )
1 1 或 f ( x ) f ( x ) ( y )
(7) y 1 x 解
2
(8) y x e x
(9) y x 1 x2
1 x2 2 1 x2 1 e x ( x e x )' x 解 y ' ( x e )' x 2 x e x 2 xe
y ' ( 1 x 2 )'
证明 设 x 取得改变量 x, 中间变量 u 有相应 u
函数 y 有相应 y. y y u 则当 u 0 时, 有 . x u x
由 u ( x ) 可导则必连续 当 x 0 时 u 0
5
y y u lim lim lim f (u) ( x) x 0 x u0 u x 0 x 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导且 {f [ ( x )]}' f ( u) ( x ). 而当 u 0 时，u ( x )
为常数 ( x ) 0 f ( u) ( x ) 0. 而 f [ ( x )] f (c ) 为常数, 从而 {f [ ( x )]}' 0.
注1:
y x 与 yu 是不同的.
注2: 复合函数求导的关键在于要正确地设出“中 间变量”(会分解).
6
dy 例10.设 y (2 x 5) ，求 . dx