知识点19 反函数的求导

反函数求导公式范文首先，让我们来定义反函数的概念。

如果函数f是一个一一对应函数，即对于每个x值，都有唯一的y值与之对应，那么它的逆函数记作f^(-1)。

如果f在一些区间上是可导的，那么它的逆函数在对应的区间上也是可导的。

接下来，我们将推导求反函数的导数的公式。

假设函数f在一个区间上可导，并且存在反函数f^(-1)。

对于一个点x=f^(-1)(y)，我们希望求出它的导数(dy/dx)。

根据导数的定义，我们可以得到以下等式：f'(f^(-1)(y))*f^(-1)'(y)=1(1)我们将上式改写为：f^(-1)'(y)=1/f'(f^(-1)(y))这个公式表明，如果我们已知函数f在一些点上的导数，那么反函数在对应的点上的导数可以通过该点的函数值和导数值来求得。

下面，让我们通过几个例子来说明如何使用反函数求导公式。

例子1：设函数f(x)=2x+1，求其反函数在点x=3处的导数。

首先，我们求出函数f在点x=3处的导数。

由于f(x)=2x+1，所以f'(x)=2、因此，f在点x=3处的导数为2然后，我们通过反函数求导公式求出反函数在对应的点上的导数。

根据公式，反函数在点y=f(3)=7处的导数为：f^(-1)'(7)=1/f'(f^(-1)(7))=1/f'(3)=1/2因此，反函数在点x=7处的导数为1/2例子2：设函数f(x) = sin(x)，求其反函数在点x=π/2处的导数。

首先，我们求出函数f在点x=π/2处的导数。

由于f(x) = sin(x)，所以f'(x) = cos(x)。

因此，f在点x=π/2处的导数为cos(π/2) = 0。

然后，我们通过反函数求导公式求出反函数在对应的点上的导数。

根据公式，反函数在点y=f(π/2)=1处的导数为：f^(-1)'(1)=1/f'(f^(-1)(1))=1/f'(π/2)=1/0由于0的倒数不存在，所以反函数在点x=1处的导数无定义。

反函数导数
反函数导数是一个数学概念，它描述的是函数反转后的导数。

反函数指的是将函数的输入和输出交换后得到的新函数，即将函数的自变量和因变量互换。

对于给定的函数f(x)，如果它在某个区间上是可导的、单调且严格增加或严格减少的，那么它的反函数f-1(x)在相应区间上也是可导的。

此时，f-1(x)在该区间内的导数可以通过以下公式计算： (f-1)'(x) = 1 / f'( f-1(x) )
其中，f-1'(x)表示f-1(x)在x处的导数，f'(x)表示f(x)在x 处的导数。

需要注意的是，上述公式只在满足特定条件的情况下成立。

具体地，如果f(x)在某个区间上不单调，或者它的导数在某些点上为零，则f-1(x)在对应区间上可能不存在导数。

反函数导数在计算机科学、物理学、统计学等领域中有广泛的应用，例如在优化算法、数据分析、模型拟合等方面。

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反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。

例题：求y=arcsinx的导函数。

首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2
所以y‘=1/√1-x2。

同理可以求其他几个反三角函数的导数。

所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。

最后将y想法设法换成x即可。

扩展资料：
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C反函数中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的
值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数x= g(y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

反函数的导数复合函数的求导法则当函数f(x)在一些区间上连续、单调且可导时，它在该区间上必存在反函数g(x)。

反函数的导数可以通过以下方法求得。

设函数f(x)的反函数为g(x)，则有f(g(x))=x和g(f(x))=x。

根据反函数的定义，可以得到以下关系：f(g(x))=x (1)g(f(x))=x (2)对方程(1)两边求导，可得：f'(g(x))*g'(x)=1所以g'(x)=1/f'(g(x))同理，对方程(2)两边求导，可得：g'(f(x))*f'(x)=1所以g'(x)=1/f'(f(x))综上所述，反函数的导数可由上述公式求得。

其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，f'(f(x))表示f(x)在x处的导数。

复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的，求复合函数的导数需要使用链式法则或其他求导法则。

以下是复合函数求导的常见法则。

1.链式法则设函数y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)均可导。

则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = dy/du * du/dx其中 dy/du 表示函数 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示函数 g(x) 对x 的导数。

2.乘积法则设函数y=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)均可导。

则复合函数y的导数可以通过以下公式求得：dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。

3.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)均可导且v(x)≠0。

dy/dx = (v(x) * du/dx - u(x) * dv/dx) / v(x)^2其中 du/dx 表示函数 u(x) 对 x 的导数，dv/dx 表示函数 v(x) 对x 的导数。

反函数求导法则刘云（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。

关键词：反函数；基本初等函数；求导引 言除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。

1. 反函数求导定理若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有[])(1)(1x f y f'='-. 证明：因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-∆+=∆x f x x f y 等价于0)()(11≠-∆+=∆--y f y y f x ，并且当0→∆y 时有0→∆x 。

因此[]y y f y y f y f y ∆-∆+='--→∆-)()(lim )(1101)()(lim 0x f x x f x x -∆+∆=→∆ )(1)()(lim 10x f xx f x x f x '=∆-∆+=→∆. 2.基本初等函数的导数和微分公式：0)(='C0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax xdx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin ='xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -='xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan ='xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -='xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec ='xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -='xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广(1)多个函数线性组合的导函数∑∑=='='⎥⎦⎤⎢⎣⎡n i i i n i i i x f c x f c 11)()(，其中),,3,2,1(n i c i =为常数。

昨天的文章中提到过反函数的求导法则。

反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。

这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊：y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。

所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。

因此：y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)，=1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。

我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。

例题：求y=arcsinx的导函数。

首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。

同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。

所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。

最后将y想法设法换成x即可。

相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。

反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。

证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。

则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。

二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。

三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。

证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。

2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。

证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。

因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。

3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。

二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且)(1)(00y x f ϕ'='。

证明：00000)()(1lim)()(lim )()(lim000y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→ϕϕ )(1)()(l i m 10000y y y y y y y ϕϕϕ'=--=→所以 )(1)(00y x f ϕ'='。

注1：00y y x x →⇔→，因为)(y ϕ在0y 点附近连续，严格单调；2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ϕ'='或)(1dydx dx dy =，其中dydx dx dy ,均为整体记号，各代表不同的意义；3：)(x f '和)(y ϕ'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。

【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2,2[,sin ππ-∈=y y x 的反函数，由定理1得：2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin xy y y x -=-=='='。

注1：同理可证：22211)tan (,11)(arctan ,11)(arccos xx arcc x x x x +-='+='--='；2：2tan arctan arccos arcsin π=+=+x arcc x x x 。

【例2】求x y a log =的导数)1,0(≠>a a 。

反函数的求导法则
反函数的求导法则：
1. 定义：反函数的求导，是指在已知一个函数的原函数的情况下，求
该函数的导数。

2. 前提条件：反函数法求极限前提要求是，正在求的函数必须具有可
逆的性质。

在求反函数的极限的前提下，它的可逆性也是必要的条件。

3. 原函数的求导：原函数的求导就是求取函数的导数。

通常来说，对
于一元函数f(x)来说，其导数为f'(x)，在积分学中被称为微分。

4. 反函数的求导：反函数的求导就是求取原函数的导数。

对于一元函
数来说，反函数的求导其实就是在求原函数f(x)的导数f'(x)，只不过要
先求出其反函数，即y=f^{-1}(x)，然后再求反函数的导数，即y'=f^{-
1'}(x)。

5. 具体求导过程：a）先将原函数求得变形，使其具有形如y=f(x)的表
达形式；b)求反函数y=f^{-1}(x)；c)求出原函数的导数f'(x)；d)求反函
数的导数f^{-1'}(x)，其实就是在求解f'(x)所得结果的倒数，即
\frac{1}{f'(x)}。

6. 应用：反函数法求极限具有广泛的应用，尤其是对于不能用常规的变量的函数的求极限操作时，反函数的求导法则就能发挥其巨大的优势，能够更快捷、更直观及有效地求得极限值。

反函数求导有什么法则？
反函数求导过程中应该遵循什么法则呢？想知道的考生看过来，下面由小编为你精心准备了“反函数求导有什么法则？”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
反函数求导有什么法则？
反三角函数的求导过程:利用dy/dx=1/(dx/dy)，然后进行相应的换元。

一、反函数求导方法
若F(X),G(X)互为反函数，
则:F'(X)*G'(X)=1
E.G.:y=arcsinx x=siny
y'*x'=1 (arcsinx)'*(siny)'=1
y'=1/(siny)'=1/(cosy)=1/根号(1-sin^2y)=1/根号(1-x^2)
其余依此类推。

二、反三角函数
反三角函数是一种基本初等函数。

它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。

三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

反三角函数的图像与性质。

反函数的导数怎么求
y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）
反函数的导数：
yarcsinx,
那么，siny=x,
求导得到，cosy *y'=1
即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)^2]=1/√(1-x^2)
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。

例题：求y=arcsinx 的导函数。

首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy，因为x=siny，所以cosy=√1-x2，所以y‘=1/√1-x2。

1、反函数的导数就是原函数导数的倒数。

2、设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作
y=f^(-1)(x)。

反函数y=f^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

3、若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。

4、求导是数学计算中的一个计算方法。

5、导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商
的极限。

在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。

可导的函数一定连续。

不连续的函数一定不可导。

6、除了在某几个原函数的导数为0的点以外，利用原函数的可导性就可以说明反函数可导了。

反函数求导例题
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。

例题：求y=arcsinx的导函数。

首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2
所以y‘=1/√1-x2。

同理可以求其他几个反三角函数的导数。

所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。

最后将y想法设法换成x即可。

扩展资料：
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C反函数中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数
y=f(x)的值域、定义域。

反函数求导公式大全1.幂函数的反函数求导公式设y=x^n(n≠0,1)，则x=y^(1/n)，对其求导可得：dy/dx = (1/n) * y^((1/n)-1) = (1/n) * x^((1/n)-1)2.指数函数的反函数求导公式设y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，则 x = log_a(y)，对其求导可得：dy/dx = (1/ln(a)) * (1/y) = (1/ln(a)) * (1/x)3.对数函数的反函数求导公式设 y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)，则 x = a^y，对其求导可得：dy/dx = (1/ln(a)) * (1/x)4.三角函数的反函数求导公式(1)正弦函数的反函数求导公式设 y = sin(x)，则 x = arcsin(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(1 - y^2) = 1 / sqrt(1 - sin^2(x))(2)余弦函数的反函数求导公式设 y = cos(x)，则 x = arccos(y)，对其求导可得：dy/dx = -1 / sqrt(1 - y^2) = -1 / sqrt(1 - cos^2(x))(3)正切函数的反函数求导公式设 y = tan(x)，则 x = arctan(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 + y^2) = 1 / (1 + tan^2(x))5.双曲函数的反函数求导公式(1)双曲正弦函数的反函数求导公式设 y = sinh(x)，则 x = arcsinh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(y^2 + 1) = 1 / sqrt(sinh^2(x) + 1) (2)双曲余弦函数的反函数求导公式设 y = cosh(x)，则 x = arccosh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(y^2 - 1) = 1 / sqrt(cosh^2(x) - 1) (3)双曲正切函数的反函数求导公式设 y = tanh(x)，则 x = arctanh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 - y^2) = 1 / (1 - tanh^2(x))6.反三角函数的反函数求导公式(1)反正弦函数的反函数求导公式设 y = asin(x)，则 x = sin(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(1 - x^2)(2)反余弦函数的反函数求导公式设 y = acos(x)，则 x = cos(y)，对其求导可得：dy/dx = -1 / sqrt(1 - x^2)(3)反正切函数的反函数求导公式设 y = atan(x)，则 x = tan(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 + x^2)。

反函数求导公式范文设函数f(x)在区间I上具有反函数g(y)，则g(y)的导函数g'(y)可以通过以下公式求得：g'(y)=1/f'(x)其中，x是满足y=f(x)的数值。

下面我们将详细介绍反函数求导的公式推导过程，并给出一些例子。

假设函数y=f(x)在I上单调递增，且在x=a处可导。

设反函数为x=g(y)，则有：f(g(y))=y将x=g(y)代入f(x)中，得到：f(g(y))=f(x)=y对两边同时求导，根据链式法则，我们有：f'(g(y))*g'(y)=1整理得到：g'(y)=1/f'(g(y))也可以用简洁的形式表示为：g'(y)=1/f'(x)其中，x是满足y=f(x)的数值。

现在我们来看几个例子，以帮助理解反函数求导的公式。

例子1：设函数y=f(x)=2x+1，在区间(-∞,∞)上具有反函数g(y)，求g'(y)。

首先，我们需要求出f'(x)。

对f(x)=2x+1求导，得到f'(x)=2根据反函数求导公式，我们有g'(y)=1/f'(x)=1/2所以，对于函数y=2x+1的反函数，其导函数为g'(y)=1/2例子 2：设函数 y = f(x) = sin(x)，在区间 [-π/2, π/2] 上具有反函数 g(y)，求 g'(y)。

对 f(x) = sin(x) 求导，得到 f'(x) = cos(x)。

根据反函数求导公式，我们有 g'(y) = 1 / f'(x) = 1 / cos(x)。

但是我们还需要确定 x 的取值范围，在[-π/2, π/2] 上，cos(x) > 0。

所以，在该范围内，g'(y) = 1 / cos(x)。

例子3：设函数y=f(x)=x^2+3x，在区间(-∞,∞)上具有反函数g(y)，求g'(y)。

反函数求导公式大全
反函数求导公式大全：
1．反函数定义：反函数是一种函数，用它可以将原函数的输出
值变换成输入值，换句话说，就是将函数y=f（x）的变量x和y进行
交换的函数。

2．反函数求导的基本思想：反函数求导的基本思想是，首先令
函数z=f（y），其中z为一项常数，然后令y=g（x），其中g（x）就
是原函数y=f（x），此时z=f（g（x）），故可以用链式法则得到公式：dz/dx=f’（g（x））*g’（x）。

3. 例子：设y=sinx，求z=arcsinx的导数，令z=arcsinx，
y=sinx，即z=arcsin（sin x），则有：dz/dx=arcsin’（sin x）
*sin x’=cosx/sinx。

4．公式总结：反函数求导的公式总结如下：在函数y=f（x）中，如果存在反函数，即z=f（g（x）），则dz/dx=f’（g（x））*g’（x）。

5．特殊情况：当f（x）为单调递减函数时，可以用反函数求导
公式来进行求导，即dz/dx=-f’（g（x））*g’（x），也有另外一种
反函数求导公式。

6．其它注意事项：在使用反函数求导公式时，需要加以留意，
它仅适用于那些满足唯一性的函数，也就是说，该函数的每一个输出
值(y)只能对应一个输入值(x)，反之亦然。