广东省华南师大附中2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

惠州市2018-2019学年第一学期期末考试高一数学试题答案与评分标准一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

（1）【解析】}{1,3A =，}{3,4,5B =，所以}{3AB =故选A.（2）【解析】∵()4,2a =， ()1,b x =，且a b ⊥，∴420x +=，解得2x =-。

选B 。

（3）【解析】因为3cos(23)=cos 22y x x ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以向左移23个单位，选A 。

（4）【解析】()1 2.7230,(2)7.3940,(1)(2)0f f f f =-<=->⋅< 选B（5）【解析】由指数函数的性质可知：，，，且，，综上可得：，故选D ．（6）【解析】3112cos =⎪⎭⎫⎝⎛-θπ，3112cos 12-2sin 125sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθππθπ，故选C. （7）【解析】设2()ln f x x x =+，定义域为{|0}x x ≠，22()()ln ln ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称．且当0x >时，2()ln f x x x =+为单调递增函数．故选A （8）【解析】()()()1841,4)1(==-=-f f f f ，即21824=⇒=+αα,故选C.（9）【解析】由图象可知32=A ,πππ=--=)127(125T ，从而222===πππωT ，又当12π-=x 时，32)12-2sin(32=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=ϕπy ，所以()Z k k ∈+=+⎪⎭⎫⎝⎛⋅ππϕπ2212-2，又πϕ<，解得：32πϕ=，选D (10)【解析】如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， D 、E 是垂足.()OA OB OB OC OB OC OA ⋅⇔⋅⋅=-=0，0OB CA OB CA ⇒⇔⋅⊥=，()2310,12a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1310,13b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ln31c =>2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭1313b ⎛⎫== ⎪⎝⎭b a >c b a >>同理,OA BC OC AB ⊥⊥⇔O 为ABC ∆的垂心，故选D (11)【解析】如图，由题意可得：4,32==∠OA AOB π在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =3π，∠DAO =6π，OD =12AO =1422⨯=， 可得：矢=4-2=2，由322343sin=⨯=⋅=πAO AD ，可得：弦=2AD =34322=⨯， 所以：弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12（2+22）2平方米． 实际面积C ． （12）【解析】当[]3,2∈x 时，()()223218122--=-+-=x x x x f ，图象为开口向下，顶点为()0,3的抛物线， 函数()1log )(+-=x x f y a 在()∞+，0上至少有三个零点，令()()1log +=x x g a ，因为()0≤x f ，所以()0≤x g ，可得10<<a ，要使函数()1log )(+-=x x f y a 在()∞+，0上至少有三个零点，如图要求()()22f g >， ()()23log 2212log ->⇒-=>+a a f ，可得3333132<<-⇒<a a，0>a ，所以330<<a ，故选A ． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

广东省华南师大附中2018-2019学年高一上学期期末考试物理本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，全卷四大题21小题，满分100分．考试用时90分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共56分）一、单项选择题（本题只有一个选项正确，共12小题，每小题3分，共36分）1. 关于质点、位移和路程，下列说法中正确的是A．只有体积很小的物体才能看成质点 B．路程是标量，位移是矢量C．路程就是位移的大小 D. 当质点作曲线运动时，路程等于位移的大小2．下列说法正确的是（）A．在国际单位制中，质量的单位是g，也可以是kgB．kg，m/s，N是导出单位C．牛顿第一定律可以通过现实的实验得到验证D．牛顿第二定律的表达式F=kma只有在国际单位制中，比例系数k才为13．图中，静止在粗糙斜面上的物体受力分析图正确的是（）4．已知F 1=3 N ，F 2=5 N ，那么它们的合力大小不可能是A ．2 NB ．5 NC ．6 ND ．10 N 5．如图所示的四种运动或受力图象中，表示物体做匀加速直线运动的图象是6．如图所示，轻质弹簧的劲度系数k ＝500N/m ，弹簧的自然长度L =10cm ，用20N 的木块压在弹簧的上面，整个系统处于平衡状态，则弹簧现在的长度为 A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm7．如图所示，重量为G 的物体在水平恒力F 作用下，沿竖直墙壁下滑，物体的动摩擦因数为μ，力F 压在物体的上表面。

广东省华南师大附中2018-2019学年高一上学期数学必修一（A组）测试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集2，3，4，5，6，7，，集合2，3，，4，，则图中的阴影部分表示的集合为A. B. C. 3， D. 6，7，【答案】B【解析】解：全集2，3，4，5，6，7，，集合2，3，，4，，图中的阴影部分表示的集合为：4，，6，7，．故选：B．图中的阴影部分表示的集合为，由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查交集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.函数的定义域为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由题意得：，解得：或，故函数的定义域是，故选：A．根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道常规题．3.下列四个函数中，在上为增函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为指数函数，在R上为减函数，则，在R上为减函数，不符合题意；对于B，，在上为减函数，在上为增函数，不符合题意；对于C，，为反比例函数，则上为增函数，符合题意；对于D，，在上为减函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．4.下列四组函数中，表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】C【解析】解：对于A，函数，与的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，函数，与的定义域不同，不是同一函数．故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．5.函数的零点所在的大致区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数满足，，，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是，故选：B．由函数的解析式可得，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6.若函数是函数且的反函数，且的图象经过点，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数是函数且的反函数，图象经过点，，解得．故选：B．由于函数是函数且的反函数，可得把点代入即可得出a．本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的运算法则，属于基础题．7.若函数且的图象经过第二、三、四象限，则有A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：指数函数过定点，而且函数且的图象经过第二、三、四象限，所以此函数一定单调递减，且是由指数函数向下平移大于1个单位得到，如图所示：，．故选：A．函数是由指数函数变换而来的，所以可根据条件作出图象，即可判断．本题主要考查基本函数的变换，明确一些变换，能丰富知识及其应用，是学以致用，更重要的是一种学习方法．8.若，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由于，则，，，则，故选：D．运用幂函数、指数函数和对数函数的单调性，先与0比较，再与1比较，即可判断．本题考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．9.已知，，，且，在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：幂函数的图象一定经过，当时经过原点；指数函数的图象经过点，当时，图象递增，当时，图象递减；对数函数的图象经过点，当时，图象递增，当时，图象递减，对于A，其中指数底数应大于1，而幂函数的指数应小于0，故A不对；对于B，其中幂函数的指数大于1，对数函数的底数也应大于1，故B对；对于C，其中指数函数图象递增，其底数应大于1，而对数函数图象递减，其底数小于1，故C不对；对于D，其中幂函数的图象递增，递增的越来越快，指数函数的图象递减，故幂函数的指数应大于1，而指数函数的底数小于1，故D不对．故选：B．考查题设条件，此三个函数分别为幂函数，指数函数与对数函数，由于其中的参数是指数与对数函数的底数，故分与两类讨论验证即可．本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，幂函数的图象和性质，熟练掌握三个基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．10.若函数在上是奇函数，则的解析式为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数在上是奇函数，则有，即，解可得，又由为上是奇函数，则有，即，分析可得：，则；故选：A．根据题意，由奇函数的性质可得，即，解可得，结合奇函数的定义可得，分析可得b的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意掌握奇函数的定义，属于基础题．11.函数与的图象有4个交点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数与的图象有4个交点，由图可知：实数a的取值范围是：，故选：C．分别作函数与的图象，观察可得解本题考查了作图能力，考查了方程的根与函数的零点，属简单题．12.已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：作出函数的图象如图，不妨设，，，由图象可知，当a变大时，b变小，c也变大，当a变小时，b变大，c也变小，故的取值范围为故选：B．画出函数的图象，根据，不妨，结合图象求出的范围即可．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f的图象恒过定点______．【答案】【解析】解：令，解得，此时，故得此点与底数a的取值无关，故函数且的图象必经过定点故答案为由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数，即可求出本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标属于指数函数性质考查题．14.设则的值为______．【答案】3【解析】解：由分段函数知，，故答案为：3．利用分段函数直接带入进行求值即可．本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的取值范围直接带入进行求解即可比较基础．15.函数的单调递增区间是______．【答案】【解析】解：解得，；令，该函数的对称轴为，该函数的单调减区间为；又函数函数为减函数，原函数是由和函数复合而成；原函数的单调递增区间为．故答案为：．先求该函数的定义域，利用复合函数的单调性，求解原函数的单调递增区间．考查对数函数的单调性，二次函数的单调性，及复合函数的定义，二次函数以及复合函数单调区间的求法．16.若关于x的方程在上有两个不等实根，则m的取值范围为______．【答案】【解析】解：关于x的方程在上有两个不等实根，等价于，的图象与直线有两个交点，由图可知：，即，故答案为：．先由方程与函数的关系，将关于x的方程在上有两个不等实根转化为，的图象与直线有两个交点，再作图观察即可本题考查了方程与函数的关系及作图与观察能力，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集为实数集R，，，．Ⅰ求及；Ⅱ如果，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ集合，，故A，此时，或，故分Ⅱ若，由数轴可知a的范围为分【解析】解二次不等式，可求出A，进而由集合交，并，补运算法则，可求出求及；Ⅱ如果，则数轴表示两个集合的图象没有公共部分，进而得到a的取值范围．本题考查的知识点是集合的交并补运算，利用数据分析和解答是此类问题的常用方法，一定要熟练掌握．18.已知a，b为常数，且，，，方程有两个相等的实根．求函数的解析式；当时，求的值域；若，试判断的奇偶性，并证明你的结论．【答案】解：已知，由，得，即，方程，即，即有两个相等实根，且，，，代入得．．由知．显然函数在上是减函数，时，；时，．时，函数的值域是，定义域关于原点对称，是奇函数．证明：定义域关于原点对称，，是奇函数．【解析】把代入解析式，有两个相等实根，即判别式等于零，解方程可得a，b的值，进而得到函数的解析式；根据所求的解析式，判断上的单调性，然后求解值域即可；根据奇偶函数的定义进行判断和证明．本题主要考查函数的奇偶性和二次函数在闭区间上的值域问题，属于中档题．19.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数或b为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系，请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．【答案】解：将，分别代入模拟函数和，解得，和，当时，，，用函数b为常数，且来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系更合适．【解析】分别求出对应的a，b值，再去验证模拟效果即可．考察了函数模型的选择，可以用验证的方法求出答案．20.已知是定义在R上的偶函数，且时，．求，；求函数的表达式；若，求a的取值范围．【答案】解：由题意可得，．设，则，．再根据是定义在R上的偶函数，可得．综上可得，．由题意可得，函数在上是增函数，在上是减函数．，即，，平方后化简求得．【解析】直接根据函数的解析式求得的值，再根据函数的奇偶性，可得，再根据根据函数的解析式求得的值．设，则，可得，再根据是定义在R上的偶函数，求得的解析式综合可得结论．由题意可得，函数在上是增函数，在上是减函数故由所给的不等式可得，平方后化简求得a的范围．本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的奇偶性和单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．21.已知函数，且．Ⅰ求a，b的值；Ⅱ判断并证明函数在区间上的单调性．【答案】解：Ⅰ，，由，，又，，，；Ⅱ由得，函数在单调递增．证明：任取，且，，，，，，即，故函数在上单调递增．【解析】Ⅰ由，，，从而求出，；Ⅱ由得，得函数在单调递增从而求出的解析式，进而证明函数在上单调递增．本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，不等式的证明，是一道综合题．22.已知函数且．Ⅰ求a的值；Ⅱ若函数有零点，求实数k的取值范围．Ⅲ当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ对于函数，由，求得，故．Ⅱ若函数有零点，则函数的图象和直线有交点，，求得．Ⅲ当时，恒成立，即恒成立．令，则，且．由于在上单调递减，，．【解析】Ⅰ由函数的解析式以及，求得a的值．Ⅱ由题意可得，函数的图象和直线有交点，故有，求得k的范围．Ⅲ由题意可得当时，恒成立令，则，且利用单调性求得，从而可得m的范围．本题主要考查指数函数的性质综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷副标题1. 已知角α的终边经过点P(4,−3)，则tanα的值为( )A. 34B. 45C. −45D. −342. 下列命题中正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C. 0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 若sinα>0，且tanα<0，则角α的终边位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 函数y =3cos(25x −π6)的最小正周期是( )A.2 π5B.5 π2C. 2πD. 5π5. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为( )cm 2A. πB. 4πC. 2πD. √2π6. 已知tanα=12，则cosα+sinαcosα−sinα=( )A. 2B. −2C. 3D. −37. 已知向量a ⃗ =(1,1−cosθ)，b ⃗ =(1+cosθ,12)，且a ⃗ //b ⃗ ，则锐角θ= ______ ． 8. 已知cosα=45，cos(α+β)=35，且α，β均为锐角，那么cosβ=( )A. 2425B. 725或−1C. 1D. 7259. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是( )A. f(x)=3sin(x +π3) B. f(x)=3sin(2x +π3) C. f(x)=3sin(2x −π3)D. f(x)=3sin(2x +π6)10. 关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间(0,1)单调递减 ③f(x)在[−π,π]有2个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③11. 如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、AC 上的两点，且|BD|=|DC|，|AE||EC|=23，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1114 B. 87 C. 57 D. 13712. 定义在R 内的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x ,3<x <4g(x)=ax +1，对∀x 1∈[−2,0)，∃x 2∈[−2,1]，使得g(x 2)=f(x 1)，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−18]∪[18,+∞) B. [−14,0)∪(0,18] C. (0,8]D. (−∞,−14]∪[18,+∞)13. 求值：sin13π6= ______ ．14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB =3，BD =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 函数f(x)=sin2x ，若f(x +t)为偶函数，则最小的正数t 的值为______ ． 16. 若12(tanx +sinx)−12|tanx −sinx|−k ≥0在x ∈[3π4,54π]恒成立，则k 的取值范围是______ ．17. 已知tanα，tanβ是方程6x 2−5x +1=0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2.求：tan(α+β)及α+β的值．18. 已知平面向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(9,x)，c ⃗ =(4,y)，且a ⃗ //b ⃗ ，a⃗ ⊥c ⃗ (1)求b ⃗ 与c⃗ (2)若m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，n ⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，求向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角的大小．19. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x ，y 的值； (2)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°时，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20.如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC，直角边AB=40米，AC=40√3米，扇形花坛ADE是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM和ON，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边BC上，O在弧DE⏜上，OM//AB，ON//AC，．(1)设∠OAE=θ，记f(θ)=OM+ON，求f(θ)的表达式，并求出此函数的定义域；(2)经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计θ的大小使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．21.已知函数f(x)=2sin(3ωx+π3)，其中ω>0(1)若f(x+θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；(2)若f(x)在(0,π3]上是增函数，求ω的最大值；(3)当ω=23时，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．22.已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)=−√2(sinx+cosx)+b，g(x)=asinx⋅cosx+a 2+1a+2．(1)若x∈(0,π)，f(x)=−2√55+b，求sinx−cosx的值；(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵角α的终边经过点P(4,−3)，∴x =4，y =−3，则tanα=yx =−34， 故选：D ．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，满足向量的的加法运算法则，所以A 正确； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以B 不正确； 0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，不正确，所以C 不正确； OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不正确，所以D 不正确． 故选：A ．利用向量的和以及向量的数量积的运算法则判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，向量的加法以及向量的数量积的判断，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵sinα>0，则角α的终边位于一二象限， ∵由tanα<0，∴角α的终边位于二四象限， ∴角α的终边位于第二象限． 故选择B ．由sinα>0，则角α的终边位于一二象限，由tanα<0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．4.【答案】D【解析】解：由周期公式可得：函数y =3cos(25x −π6)的最小正周期T =2π25=5π．故选：D ．由三角函数的周期性及其求法即可求解．本题主要考查了余弦函数的周期性，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，是基础题．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴半径r=ππ4=4，∴这条弧所在的扇形面积为S=12×π×4=2πcm2．故选：C．6.【答案】C【解析】解：∵cosα+sinαcosα−sinα=1+tanα1−tanα=3故选C．对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，这种题型经常在考试中遇到．7.【答案】π4【解析】解：∵a⃗=(1,1−cosθ)，b⃗ =(1+cosθ,12)，且a⃗//b⃗ ，∴(1−cosθ)(1+cosθ)−12=0，即1−cos2θ−12=0，即cos2θ=12，∵θ为锐角，∴cosθ=√22，则θ=π4，故答案为：π4．根据向量平行的坐标公式进行化简求解即可．本题主要考查向量平行的坐标公式的应用以及三角函数函数求值，比较基础．8.【答案】A【解析】解：∵α，β均为锐角， ∴0<α+β<π，∵cosα=45，cos(α+β)=35， ∴sinα=35，sin(α+β)=45，则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos[(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=45×35+45×35=2425, 故选：A ．根据同角关系式，结合两角和差的余弦公式进行转化进行求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由图象知A =3，函数的周期T =5π6−(−π6)=π，即2πω=π，即ω=2， 则f(x)=3sin(2x +φ)，由五点对应法得2×(−π6)+φ=0， 即φ=π3，则f(x)=3sin(2x +π3)， 故选：B ．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键． 10.【答案】A【解析】解：关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：f(x +π)=f(x)，可得T =π．①∵f(−x)=f(x)，∴f(x)是偶函数，正确；②f(x)在区间(0,1)上，f(x)=2cosx ，∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，正确； ③考察在x ∈[0,π]上，当x ∈[0,π2]上时，f(x)=2cosx ，有一个零点π2；当x ∈(π2,π]上时，f(x)=cosx −cosx =0，有无数个零点． 因此f(x)在[−π,π]有无数个零点，因此③不正确． ④由③可得：f(x)的最大值为2，正确． 其中所有正确结论的编号是①②④． 故选：A ．由①可得：f(x)是偶函数，且周期T =π.只要考察在x ∈[0,π]上，当x ∈[0,π2]上时，f(x)=2cosx ；当x ∈(π2,π]上时，f(x)=0，即可得出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：因为|BD|=|DC|，|AE||EC|=23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE −+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =25(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−b)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−b2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{35a =b 25a =1−b 2，解得{a =57b =37， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =37BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +27BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以由平面向量基本定理可得λ=37，μ=27， 所以λ+μ=57． 故选：C ．由向量的线性运算可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−b)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可建立关于a ，b 的方程组，即可求得a 值，从而可得λ，μ，进而得解．本题主要考查平面向量的线性运算、平面向量的基本定理，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x,3<x <4，可得f(x)在[2,3]上单调递减，在(3,4)上单调递增， ∴f(x)在[2,3]上的值域为[3,4]， 在(3,4)上的值域为(113,92)， ∴f(x)在[2,4)上的值域为[3,92)， ∵f(x +2)=2f(x)，∴f(x)=12f(x +2)=14f(x +4)，∴f(x)在[−2,0)上的值域为[34,98)， 当a >0时，g(x)为增函数，g(x)=ax +1在[−2,1]上的值域为[−2a +1,a +1]，∴{34≥−2a +198≤a +1，解得a ≥18；当a <0时，g(x)为减函数，g(x)在[−2,1]上的值域为[−a +1,2a +1]，∴{34≥a +198≤−2a +1，解得a ≤−14； 当a =0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意； 综上，a 的范围是a ≥18或a ≤−14． 故选：D ．求出f(x)在[2,4]上的值域，利用f(x)的性质得出f(x)在[−2,0]上的值域，再求出g(x)在[−2,1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围 本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：sin 13π6=sin(2π+π6)=sin π6=12．故答案为：12．利用诱导公式即可求解．本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】152【解析】解：如图，∵AB =3，BD =1，∠B =60°，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ > =9+3×1×(−12)=152．故答案为：152．利用向量的加法法则化AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，展开后利用数量积运算得答案． 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法法则，是基础题．15.【答案】π4．【解析】解：因为f(x)=sin2x ， 所以f(x +t)=sin(2x +2t)， 若f(x +t)为偶函数，则函数图象关于x =0对称，即x =0时函数y =sin(2x +2t)取得最值， 所以2t =π2+kπ，即t =π4+kπ2，k ∈Z ，当k =0时，最小的正数t 的值为π4． 故答案为：π4．由已知结合正弦函数为偶函数，图象关于y 轴对称且在对称轴处取得最值，代入可求． 本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．16.【答案】(−∞,−1]【解析】解：∵tanx−sinx=sinx(1cosx −1)，x∈[3π4,5π4]，∴cosx<0，①当x∈[3π4,π)时，sinx>0，∴tanx−sinx=sinx(1cosx−1)<0，∴12(tanx+sinx)−12|tanx−sinx|−k=tanx−k≥0，∴k≤tanx，∵x∈[3π4,π),∴tanx的最小值为tan3π4=−1，∴k≤−1．②当x∈[π,5π4]时，sinx≤0，∴tanx−sinx=sinx(1cosx−1)>0，∴12(tanx+sinx)−12|tanx−sinx|−k=sinx−k≥0，∴k≤sinx，∵x∈[π,54π),∴sinx的最小值为sin5π4=−√22，∴k≤−√22．综上所述，k≤−1．∴k的取值范围是(−∞,−1]．故答案为：(−∞,−1]．由x∈[3π4,5π4]，得cosx<0.当x∈[3π4,π)时，sinx>0，推导出k≤tanx，从而得到k≤−1；当x∈[π,5π4]，时，推导出k≤sinx，从而得到k≤−√22.由此能求出k的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．17.【答案】解：∵tanα、tan β为方程6x2−5x+1=0的两根，∴tanα+tanβ=56，tanαtanβ=16，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=561−16=1．∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α+β<2π，∴α+β=5π4．【解析】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．由条件利用韦达定理，两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，再结合0<α<π2，π<β<3π2，求得α+β的值．18.【答案】解：(1)由a ⃗ //b ⃗ 得3x −4×9=0，解得x =12； 由a ⃗ ⊥c ⃗ 得9×4+xy =0， 解得y =−36x=−3612=−3；所以b ⃗ =(9,12)，c ⃗ =(4,−3)； (2)m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ =(−3,−4)， n ⃗ =a ⃗ +c ⃗ =(7,1)；所以m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−3×7−4×1=−25， |m ⃗⃗⃗ |=√(−3)2+(−4)2=5， |n ⃗ |=√72+12=5√2； 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=5×5√2=−√22， 所以向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为3π4．【解析】(1)由a ⃗ //b ⃗ 求出x 的值，由a ⃗ ⊥c ⃗ 求出y 的值，从而得出b ⃗ 、c⃗ ； (2)计算m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ ，利用平面向量夹角的公式求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >，即得夹角的大小． 本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．19.【答案】解：(1)由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =12，y =12；(2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×42+13×22+13×4×2×cos60°=−8．【解析】(1)由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可； (2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题．20.【答案】解：(1)过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，则：AF =20cosθ，OF =NG =20sinθ，CG =20√3sinθ， ∴ON =40√3−20(√3sinθ+cosθ)，OM =√33ON ， 则f(θ)=(1+√33)[40√3−20(√3sinθ+cosθ)]，θ∈(0,π2);(2)f(θ)=(1+√33)[40√3−40sin(θ+π6)]，∵θ∈(0,π2)，∴θ+π6∈(π6,2π3)，∴当θ+π6=π2，即θ=π3时， f(θ)min =80√33， 故总费用最少为320003√3元.【解析】本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力，属于中档题．(1)过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，求出OM ，ON ，即可求出f(θ)的表达式，并求出此函数的定义域；(2)利用辅助角公式化简，即可得出结论．21.【答案】解：(1)由函数解析式f(x)=2sin(3ωx +π3)，ω>0整理可得f(x+θ)=2sin[3ω(x+θ)+π3]=2sin(3ωx+3ωθ+π3)，由f(x+θ)的周期为2π，根据周期公式2π=2π3ω，且ω>0，得ω=13，∴f(x+θ)=2sin(x+θ+π3)，∵f(x+θ)为偶函数，定义域x∈R关于y轴对称，令g(x)=f(x+θ)=2sin(x+θ+π3)，∴g(−x)=g(x)，2sin(x+θ+π3)=2sin(−x+θ+π3)，∴x+θ+π3=π−(−x+θ+π3)+2kπ，k∈Z，∴θ=kπ+π6，k∈Z.∴ω=13，θ=kπ+π6，k∈Z．(2)∵ω>0，∴当x∈(0,π3]时，3ωx+π3∈(π3,ωπ+π3]，设u=3ωx+π3，由于y=sinu在(π3,π2]上是增函数，在[π2,3π2]上是减函数，∴ωπ+π3≤π2，∴ω≤16，∴ω的最大值为16．(3)当ω=23时，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，∴g(x)=2sin2x+1，令g(x)=0，得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12，k∈Z，∴在[0,π]上恰好有两个零点，若y=g(x)在[0,b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π12=59π12．【解析】本题考查的知识点是函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质，函数f(x)= Asin(ωx+φ)的解析式求法，难度中档．(1)根据周期公式2π=2π3ω，且ω>0，得ω值，根据f(x+θ)是偶函数，f(−x+θ)=f(x+θ)，可得θ的值；(2)根据正弦函数的单调性，可得ωπ+π3≤π2，解得答案；(3)若y=g(x)在[0,b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，进而得到答案．22.【答案】解：(1)依题意得sinx +cosx =√105， ∴sin 2x +cos 2x +2sinxcosx =25，即2sinxcosx =−35，…(1分) ∴1−2sinxcosx =85，即sin 2x +cos 2x −2sinxcosx =(sinx −cosx)2=85，…(2分) 由2sinxcosx =−35<0，x ∈(0,π)，得x ∈(π2,π)，…(3分) ∴sinx >0，cosx <0，∴sinx −cosx >0， ∴sinx −cosx =2√105.…(4分) (2)不等式f(x)≤g(x)对任意x ∈R 恒成立，即不等式b ≤asinx ⋅cosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2对任意x ∈R 恒成立， 即b ≤[asinxcosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2]min ，…(5分) 下求函数y =asinx ⋅cosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1a +2的最小值， 令t =sinx +cosx ，则t =√2sin(x +π4)∈[−√2,√2]，且sinxcosx =t2−12，…(6分)令m(t)=y =asinxcosx +√2(sinx +cosx)+a2+1a +2， =a(t 2−1)2+√2t +a 2+1a +2=a 2t 2+√2t +1a +2，=a2(t 2+2√2at)+1a +2=a2(t +√2a)2+2，(a ≠0)，…(7分)1°当−√2a <−√2，即0<a <1时，m(t)在区间[−√2,√2]上单调递增，∴m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(8分)2°当−√2≤−√2a <0，即a ≥1时，m(t)min =m(−√2a)=2.…(9分)3°当0<−√2a ≤√2，即a ≤−1时，m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(10分)4°当−√2a>√2，即−1<a <0时，m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(11分)∴y min ={2,a ≥1a +1a ,a <1,a ≠0， 所以当a ≥1时，b ≤2；当a <0或0<a <1时，b ≤a +1a .…(12分)【解析】(1)推导出sinx+cosx=√105，从而2sinxcosx=−35，进而sin2x+cos2x−2sinxcosx=(sinx−cosx)2=85，由此能求出sinx−cosx．(2)推导出b≤[asinxcosx+√2(sinx+cosx)+a2+1a+2]min，再求出函数y=asinx⋅cosx+√2(sinx+cosx)+a2+1a+2的最小值，令t=sinx+cosx，令m(t)=y=a2(t+√2a)2+2，(a≠0)，由此进行分类讨论经，能求出b的取值范围．本题考查三角函数求值，考查实数值的范围的求法，考查三角函数恒等式、构造法、配方法、换元法等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

2018-2019学年高一上学期必修一测试题（B组）第I卷一、选择题（本大题12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义求A∩B.【详解】已知,借助数轴,易知故选B【点睛】利用交集定义求集合的交集，可借助数轴或韦恩图直接解答.2.是一次函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可设f（x）=ax+b，可得关于a,b的方程组,即可求出f(x)的解析式.【详解】由题意,设f（x）=ax+b,则解得,故f(x)=x-,故选C【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式. 其步骤一般为：①根据函数类型设出函数的解析式,②根据题意构造关于系数的方程（组）,③解方程（组）,确定各系数的值,④将求出的系数值代入求得函数的解析式.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，求解分式不等式和一元二次不等式，最后将解得的x的范围取交集.【详解】要使二次根式有意义，则，由①得：（x+2）（1-x）≥0且x≠1，解得：-2≤x＜1，解②得：x≤-1或x≥2．故原函数的定义域为{x|-2≤x≤-1}．故选：A【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，注意原函数的定义域为两个不等式解集的交集 .4.下列函数中在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合初等基本函数的在区间上单调性判断.【详解】A中在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是增函数，B中，y=1-x2在（-∞，0）上是增函数，C中，y=x2+x=，在（-∞，-）上是减函数，在（-，+∞）上是增函数，D中，y=，定义域为（-∞，1],根据复合函数的单调性，函数在（-∞，1]是减函数，故选：D 【点睛】本题考查函数的单调性的判断，涉及基本初等函数的性质；判断复合函数的单调性，可依据“同增异减”判断，即两个函数单调性不一致，其复合函数为减函数.5.已知，则（）A. 3B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意得出f（x）+f（）=1，进而求解.【详解】已知则，易知f（x）+f（）=1，故=+3= .故选C【点睛】本题考查了已知解析式，求函数值，解答本题关键是，根据题中所给的解析式找出规律，再计算.6.设,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数y=0.6x在R上单调性，可得y2＜y3．再根据函数y=的单调性，可得y1＜y2，即可得解.【详解】根据函数y=0.6x在R上单调递减，可知,即y2＜y3，根据函数y=在（0，+∞）上是增函数，可知，即y1＜y2综上，，故选B【点睛】本题考查了幂的大小比较问题，若底数相同，指数不同，可通过指数函数的单调性比较；若指数相同，底数不同，可利用幂函数的单调性比较.7.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用函数零点存在性定理判断.【详解】易知函数f（x）=在定义域上连续，且f()=<0 , f（1）= -1<0 , f(2)=,,根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.8.设函数，若对任意的都满足成立，则函数可以是（）A. B.C. D. 不存在这样的函数【答案】B【解析】【分析】分情况讨论，得不等式，进而依次判断即可.【详解】当x为无理数时，f（x）=0，xf（x）≤g（x）⇔0≤g（x），当x为有理数时，f（x）=1，xf（x）≤g（x）⇔x≤g（x），若g（x）=x，当x= -，时g（x）<0，即A不正确若g（x）=，已知对任意实数，x≤，且故当x为有理数或无理数时，不等式恒成立，即B正确；若g（x）=x2，当x=，则g（）=，，即C不正确；故选B【点睛】本题考查了分段函数、函数恒成立问题，考查了分析问题解决问题的能力．难度一般．9.已知方程有两个正根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据实根分布列方程组，解得实数的取值范围.【详解】因为方程有两个正根，所以，选D.【点睛】研究二次方程实根分布，一般需从以下四个方面研究（1）开口方向，（2）判别式，（3）对称轴，（4）区间端点函数值.10.已知函数，若，则（）A. B.C. D. 与的大小关系无法确定【答案】A【解析】【分析】判断f（x1）-f（x2）的正负即可【详解】f（x1）-f（x2）=（ax12+2ax1+4）-（ax22+2ax2+4）=a（x1-x2）（x1+x2）+2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2+2）因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0所以x1-x2＜0，x1+x2+2＞0所以f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．故选A【点睛】本题考查了函数值作差法比较大小，作差，判断式子的正负，也是判断函数单调性的一种常用方法. 11.设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项.【详解】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D错误, 故选B【点睛】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性.12.设函数，则下列命题中正确的个数是（）①当时，函数在上是单调增函数；②当时，函数在上有最小值；③函数的图象关于点对称；④方程可能有三个实数根.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】将转化为分段函数，进而分别判断.【详解】=,当b>0时,结合一元二次方程根与系数的关系，可判断y=，在（-，0 ）上是增函数，y=，在[0,+)上是增函数，且x=0时，函数图象连续，故f（x）在R上是单调增函数.故①正确；当b＜0时，f（x）的值域是R，没有最小值，故②错误；若f（x）=|x|x+bx，f（-x）=-f（x），故函数f（x）是奇函数，即函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象向上（下）平移个单位，故图象一定是关于（0，c）对称的，故③正确；令b=-2，c=0，则f（x）=|x|x-2x=0，解得x=0，2，-2．所以④正确．故选C.【点睛】本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，若题目中含有绝对值，通常采取去绝对值的方法，进行分类讨论；函数的对称性问题一般转化为分析函数的奇偶性，再根据函数图象的平移进行判断；存在性的命题，一般可通过特殊值法来解决．第II卷二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案填在答卷相应位置。

2018-2019学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞2018}，a=2019，则下列关系中正确的是（）A. a∈AB. a?AC. a?AD. a=A＜0，则角θ是（）2.若cosθ＞0，sinθA. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3.已知幂函数f（x）=x n的图象经过点，则f（9）的值为（）A. 3B. ±3C.D.4.已知f（x）=log5x，则对于任意的a，b∈（0，+∞），下列关系中成立的是（）A. f（a+b）=f（a）+f（b）B. f（ab）=f（a）+f（b）C. f（a+b）=f（a）f（b）D. f（ab）=f（a）f（b）5.设a=log0.71.7，b=log0.71.8，c=0.71.8，则（）A. a＜b＜cB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. c＜b＜a6.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.7.函数y=（sinx+cosx）（sinx-cosx）的最小正周期是（）A. B. π C. 2π D. 4π8.已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，-1），且⊥，则的值是（）A. 3B. -3C.D.9.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度10.已知f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（）A. （-1，0）∪（0，1）B. （0，e）C. （-e，0）∪（0，e）D.11.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=x2-2x+1，值域为{0，4，16}的“孪生函数”共有（）A. 4个B. 5个C. 8个D. 9个12.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（）A. 1500元B. 1550元C. 1750元D. 1800元二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为2弧度，半径为3cm，则该扇形的面积是______cm2．14.已知f（x）=2x+2-x，则f（log23）的值是______．15.“无字证明”（proofwithoutwords）就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______．16.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，．若，，则与的夹角的余弦值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量=（1，2），=（-3，4），=（5，k）．（1）若（+）?（-）=-10，求实数k的值；（2）若向量满足∥，且，求向量．18.设全集U=R，集合A={x|x2-4x-12＜0}，B={x|（x-a）（x-2a）＜0}．（1）当a=1时，求集合A∩?U B；（2）若B?A，求实数a的取值范围．19.已知函数f （x ）=log a （10+x ）-log a （10-x ）（a ＞0，且a ≠１）．（1）求f （x ）的定义域；（2）判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（3）若f （x ）＞0，求x 的取值范围．20.已知函数f （x ）=Asin （ω+?）（A ＞0，ω＞0，0＜?＜π）在R 上的图象上一个最高点为，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）的单调递减区间；（3）求f （x ）在上的最小值．21.如图，现要在一块半径为r （r ＞0），圆心角为60°的扇形纸板POQ 上剪出一个平行四边形OABC ，使点B 在弧PQ上，点A 在半径OP 上，点C 在半径OQ 上．（1）求S 关于α的函数关系式；（2）求S 的最大值及相应的α值．22.阅读下面材料：sin3θ=sin （2θ+θ）=sin2θcos θ+cos2θsin θ=2sin θcos 2θ＋（1-2sin 2θ）sin θ=2sin θ（1-sin 2θ）+（sin θ-2sin 3θ）=3sin θ-4sin 3θ解答下列问题：（1）证明：cos3θ=4cos 3θ-3cos θ；（2）若函数在上有零点，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】 A【解析】解：∵集合A={x|x＞2018}，a=2019，∴a∈A．故选：A．根据集合A中元素满足的性质x＞2018，a=2019，我们可以判断出元素a与集合A的关系．本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2.【答案】 D【解析】解：由题意，根据三角函数的定义sinθ＝＜0，cosθ＝＞0∵r＞0，∴y＜0，x＞0．∴θ在第四象限，故选：D．利用三角函数的定义，可确定y＜0，x＞0，进而可知θ在第四象限．本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】 A【解析】解：∵幂函数f（x）=x n的图象经过点，∴f（3）=3n=，解得n=，∴f（x）=，∴f（9）=9=3．故选：A．推导出f（x）=，由此能求出f（9）．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】 B【解析】解：∵f（x）=log5x，a，b∈（0，+∞）；∴f（ab）=log5（ab）=log5a+log5b=f（a）+f（b）．故选：B．根据对数的运算即可得出f（ab）=f（a）+f（b），从而选B．考查对数的定义，对数的运算性质．5.【答案】 C【解析】解：log0.71.8＜log0.71.7＜log0.71=0，0.71.8＞0；∴b＜a＜c．故选：C．容易看出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数的单调性，减函数的定义，指数函数的值域．6.【答案】 C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7是连续增函数，∵f（1）=2+3-7＜0，f（）==2+4.5-7＞0，∴f（1）f（）＜0，故选：C．判断函数的单调性，由零点判定定理判断．本题考查了函数零点的判断，属于基础题．7.【答案】 B【解析】解：函数y=（sinx+cosx）（s inx-cosx）=sin2x-cos2x=-cos2x，故它的最小正周期是=π，故选：B．由题意利用二倍角公式，余弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题．8.【答案】 C【解析】解：由=（cosθ，sinθ），=（2，-1），且⊥，得2cosθ-sinθ=0，即tanθ=2．∴=．故选：C．由已知求得tanθ，然后展开两角差的正切求解．本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．9.【答案】 C【解析】解：为了得到函数=-2sin（+）=2sin（+）=2sin（x+）的图象，只要将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，故选：C．由题意利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】 D【解析】解：根据题意，若f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，则f（lnx）＞f（1）?|lnx|＜1?-1＜lnx＜1，解可得：＜x＜e，即x的取值范围为（，e）；故选：D．根据题意，结合函数的奇偶性与单调性可得f（lnx）＞f（1）?|lnx|＜1?-1＜lnx ＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11.【答案】 D【解析】解：由题意知y=x2-2x+1=0，则x=1，y=x2-2x+1=4，则x=-1或x=3，y=x2-2x+1=16，则x=-3或x=5，所以孪生函数的定义域分别为{1，-1，-3}，{1，-1，5}，{1，3，-3}，{1，3，5}，{1，-1，3，-3}，{1，-1，3，5}，{1，-3，5，-1}，{1，-3，5，3}，{1，-1，3，-3，5}共有9个，故选：D．由y=x2-2x+1分别等于0，4，16得x的取值，再选择确定定义域．本题考查函数的三要素，属于简单题．12.【答案】 A【解析】解：设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元由题可知：y=∵y=50＞25∴x＞1300∴0.1（x-1300）+25=50解得，x=1550，1550-50=1500，故此人购物实际所付金额为1500元．故选：A．设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，可得到获得的折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y=50＞25，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．13.【答案】9【解析】解：由题意可得圆心角大小为α=2，半径为r=3，则扇形的面积为S=r2α＝×32×2=9cm2．故答案为：9．利用扇形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵f（x）=2x+2-x，∴f（log23）=+=3+．故答案为：．推导出f（log23）=+，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算能力，是基础题．15.【答案】cos（α+β）=cosαcosβ，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ-sinαsinβ【解析】解：令AC=1，∠ACB=α，∠BCE=β，在直角三角形ABC中，∵AC=1，∠ACB=α，则BC=cosα，AB=sinα，在直角三角形BCE中，∵BC=cosα，，∠BCE=β，则CE=cosαcosβEB=cosαsinβ，在直角三角形AFB中，∵AB=sinα，，∠ABF=β，则BF=sinαcosβ，AF=sinαsinβ-sinαsin∴CD=CE-DE=CE-AF=cosαcosβ，β，AD=EF=BF+EB=sinαcosβ+cosαsinβ在直角三角形ADC中，CD=cos（α+β）?AC=cos（α+β），故cos（α+β）-sinαsinβ=cosαcosβ．AD=sin（α+β）?AC=sin（α+β），故sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．．，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ故答案为：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ令AC=1，∠ACB=α，∠BCE=β，然后分别在四个直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出边长，根据CD=CE-AF和AD=EB+BF可得结果．本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．16.【答案】【解析】解：分别以边AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，则：A（0，0），B（4，0），D（0，），设；∴；∵；∴4x=4；∴x=1；∴，且；∴E是BC的中点；∴；∴；∴，；∴=．故答案为：．可根据条件，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系，从而得出A，B，D的坐标，并设，根据即可求出x=1，从而得出，进而得出点E的坐标，从而可求出的坐标，这样即可求出与夹角的余弦值．考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式．17.【答案】解：（1）∵=（1，2），=（-3，4），=（5，k），∴+=（-2，6），-=（-4，2-k），∵（+）?（-）=-10，∴-2×（-4）+6（2-k）=0，解可得，k=（2）∵∥，∴==（λ，2λ），∵，∴λ2+4λ2=45，，∴λ=±３∴=（3，6）或（-3，-6）．【解析】（1）由（+）?（-）=-10，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；（2）由∥，结合向量共线定理可表示==（λ，2λ），然后结合，及向量数量积性质的坐标表示即可求．本题主要考查了向量平行及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．18.【答案】解：（1）A={x|x2-4x-12＜0}={x|-2＜x＜6}，若a=1，则B={x|（x-1）（x-2）＜0}={x|1＜x＜2}．则?U B={x|x≥２或x≤1}，则A∩?U B={x|2≤x＜6或-2＜x≤1}．（2）若a=0，则B=?，满足B?A，当a＞0时，A={x|a＜x＜2a}，若B?A，则，得0＜a≤３，当a＜0时，A={x|2a＜x＜a}，若B?A，则，得-1≤a＜0，综上-1≤a≤３，即实数a的取值范围是[-1，3]．【解析】（1）当a=1时，求出集合A，B的等价条件，解补集和交集的定义进行求解即可．（2）讨论a的范围，根据B?A，建立不等式关系进行求解即可本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据条件转化为不等式是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）要使函数有意义，则得，即-10＜x＜10，即函数的定义域为（-10，10）．（2）函数的定义域关于原点对称，则f（-x）=log a（10-x）-log a（10+x）=-[log a（10+x）-log a（10-x）]=-f（x），即函数f（x）是奇函数．（3）若f（x）＞0，则f（x）=log a（10+x）-log a（10-x）＞0，即log a（10+x）＞log a（10-x），若a＞1，则，得，得0＜x＜10，若0＜a＜1，则得，得-10＜x＜0，即当a＞1时，不等式的解集为（0，10），当0＜a＜1时，不等式的解集为（-10，0）．【解析】（1）根据对数函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可（3）讨论a＞1和0＜a＜1，利用函数单调性进行求解即可．本题主要考查对数的性质，结合对数函数成立的条件可以求出函数的定义域，结合函数单调性的性质可以求出不等式．20.【答案】解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，0＜?＜π）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．则：T=π＝，解得：ω=2．在R上的图象上一个最高点为，所以：A=4，，解得：?=．故f（x）=4sin（2x+）．（2）令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递减区间为：[]（k∈Z）．（3）由于，故：整理得：，故：所以当x=时，函数的最小值为-2．【解析】（1）直接利用函数的周期，最值，最高点，求出函数的解析式．（2）利用整体思想求出函数的单调区间．（3）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最小值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，利用含糊是的定义域求函数的值域，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）过点B作BM⊥OP于M，则BM=r sinα，OM=r cosα，OA=OM-AM=rcosα-rsinα设平行四边形OABC的面积为S，-sin2α）则S=OA?BM=（rcosα-r sinα）r sinα＝r2（cosαsinα=r2[sin2α-（1-cos2α）]=r2（sin2α＋cos2α-））-r2，=r2sin（2α+30°即S=r2sin（2α+30°）-r2，0＜α＜60°，（2）因为0＜α＜60°，所以30°＜2α+30°＜150°，，即α=30°时，S的值最大为r2．所以＜sin（2α+30°）≤１．所以当2α+30°=90°即S的最大值是r2，相应α的值是30°．【解析】（1）过点B作BM⊥OP于M，则BM=rsinα，OM=rcosα，OA=OM-AM=rcosα-rsinα，即可表示平行四边形的面积，（2）根据三角形的性质即可求求出面积的最值．本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22.【答案】解：（1）证明：cos3θ=cos（2cos2θ-1）cosθ-2sin2θcosθ-sin2θsinθ＝（2θ+θ）=cos2θcosθ=2cos3θ-cosθ+2（1-cos2θ）cosθ=4cos3θ-3cosθ，即cos3θ=4cos3θ-3cosθ．（2）∵f（x）=+m（sinxcos+cosxsin）-5=+m（sin x+cosx）-5=+m（sinx+cosx）-5=4（1-cosxsinx）-3+m（sinx+cosx）-5=m（sinx+cosx）-4sinxcosx-4，令t=sin x+cosx=sin（x+），∵x∈（0，），∴x+∈（，），∴sin（x+）∈（，1]，∴t∈（1，]，又（sinx+cosx）2=1+2sin xcosx，∴sinxcosx=，∴g（t）=mt-2（t2-1）-4=-2t2+mt-2，t∈（1，]，令g（t）=0得m=+2t，∵y=+2t在（1，]上单调递增（可用导数证明），∴+2t∈（4，3]，m∈（4，3]，∴m∈（4，6]．【解析】（1）仿照sin3θ的公式推导；（2）利用sin3x，cos3x的公式化简f（x）=m（sinx+cosx）-3sinxcosx-4，再换元，令t=sinx+cosx∈（1，]，得f（t）=-2t2+mt-2，令f（t）=0得m=+2t，转化为求函数值域可得．本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．。

广东省华南师大附中2018-2019学年高一上学期期末考试化学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，全卷三大题32小题，满分100分，考试用时90分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

相对原子质量：H:1 C:12 N:14 O:16 Na:23 Mg:24 Al:27 S:32第Ⅰ卷（选择题共56分）一、选择题(本大题共28小题，每题2分,共56分)1.实现下列变化，需要加入还原剂的是A. B.C. D.2.不能用组成元素的单质直接反应得到的物质是A. NOB.C.D.3.酸雨被称为“天堂的眼泪”，会造成水土酸性化、建筑物加速腐蚀等危害下列有关说法正确的是A. 酸雨是指pH值小于7的雨水B. 与的过度排放是形成酸雨的主要原因C. 使用新型能源不会对酸雨的防治产生效果D. 酸雨不会对动物的健康产生任何影响4.下列物质暴露在空气中不容易变质的是A. B. C. NaOH D.5.如图为农夫山泉矿泉水瓶上的部分说明文字，列出了饮用天然水理化指标，这里的钙、钾、钠是指A. 原子B. 分子C. 单质D. 元素6.等质量的下列气体中，所含的分子数最多的是A. B. C. CO D. NO7.某化学活动小组欲制备一定量的氢气，下列方法不能达到目的是A. Mg和稀硝酸反应B. Zn和稀盐酸反应C. Fe和稀硫酸反应D. A1和稀盐酸反应8.飘尘是物质燃烧时产生的粒状漂浮物，颗粒很小，不易沉降它与空气中的和接触时，会部分转化为，使空气的酸度增加，环境污染更为严重其中飘尘所起的作用可能是A. 氧化剂B. 还原剂C. 催化剂D. 载体9.用自来水养金鱼，在将水注入鱼缸之前，常需把水在阳光下晒一段时间，主要目的是A. 增加水中氧气的含量B. 起杀菌作用C. 使水中的次氯酸分解D. 使水的温度升高10.下列说法不正确的是A. 严格执行机动车尾气排放标准有利于防止大气污染B. 使用二氧化硫增白的食品对人体健康产生损害C. 使用氯气对自来水消毒时生成的有机氯化物可能对人体有害D. 食品厂产生的含丰富氮、磷营养素的废水可长期排向水库养鱼11.实验室配制氯化亚铁溶液时，为了防止其氧化，常加入的物质是A. FeB. ZnC. AlD. HCl12.某溶液仅含有一种溶质，若在该溶液中加入溶液出现白色沉淀，再加稀硝酸沉淀不溶解，则该溶液中不可能含有的溶质是( )A. B. C. D.13.关于铁及其化合物的叙述正确的是A. 铁是一种较活泼的金属B. 在常温下可以导电C. 溶于水生成D. 在常温下铁丝容易与水反应放出14.1L 的溶液中A. 的物质的量为 molB. 的物质的量为 molC. 的物质的量浓度为D. 的物质的量浓度为15.下列反应的离子方程式中，书写不正确的是A. 钠跟水反应：B. 铁粉跟稀硫酸反应：C. 氢氧化钡溶液跟稀硫酸反应：D. 碳酸钙跟盐酸反应：16.下列操作不能用于检验的是A. 气体使湿润的酚酞试液变红B. 气体能使湿润的红色石蕊试纸变蓝C. 气体与蘸有浓的玻璃棒靠近D. 气体与蘸有浓盐酸的玻璃棒靠近17.下列实验操作中正确的是( )A. 过滤操作时，用玻璃棒搅拌漏斗内的液体，以加速过滤B. 蒸发操作时，应使混合物中的水分完全蒸干后，才能停止加热C. 萃取操作时，可以选用或酒精作为萃取剂从碘水中萃取碘D. 分液操作时，先将分液漏斗中下层液体从下口放出，再将上层液体从上口放出18.胶体区别于其他分散系的本质特征是A. 胶体的分散质能通过滤纸空隙，而浊液的分散质不能B. 产生丁达尔现象C. 分散质粒子直径在之间D. 胶体在一定条件下能稳定存在19.在酸性溶液中，能大量共存的离子组是A. 、、、B. 、、、C. 、、、D. 、、、20.在中，被氧化与被还原的氯原子个数比为A. 5：1B. 1：5C. 6：1D. 1：621.下面关于硅的叙述中，正确的是A. 二氧化硅可用于光导纤维，利用了它的导电性B. 硅是构成矿物和岩石的主要元素，硅在地壳中的含量在所有的元素中居第一位C. 硅的化学性质不活泼，在自然界中可以以游离态形式存在D. 硅在电子工业中是重要的半导体材料22.下列关于浓硝酸和浓硫酸的叙述，正确的是A. 常温下都能用铁制或铜制容器贮存B. 露置在空气中，容器内酸液的质量都减轻C. 常温下都能和碳反应产生两种气体D. 浓硫酸有强氧化性，但可用来干燥23.“封管实验”具有简易、方便、节约、绿色等优点，下列关于四个“封管实验”夹持装置未画出、固体易升华的说法正确的是A. 加热时，中封管内固体消失B. 加热时，中溶液变红，冷却后又变为无色C. 加热时，中溶液变红，冷却后红色褪去，体现的漂白性D. 加热又冷却的过程中，属于物理变化，属于化学变化24.化学与工农业生产和日常生活有密切联系，下列叙述错误的是A. 铝制容器不能长期盛装酸性、碱性或咸性食品B. 运输保存浓硫酸的槽罐车泄漏后应立即用大量水冲洗C. 能与反应生成，可用浓氨水检验输送氯气的管道是否漏气D. 向混有少量泥沙的浑浊水中加少量硫酸铁，一会儿水可变得清澈透明25.下列有关与的说法中，正确的是A. 分别加热两种样品，没有残留物质是B. 分别配成溶液，再加入石灰水，无白色沉淀生成的是C. 分别配成溶液，向其中逐滴加入同浓度的盐酸反应，先产生的是D. 二者在一定条件下不能相互转化26.对实验Ⅰ～Ⅳ的实验操作现象判断正确的是A．实验Ⅰ：产生红褐色沉淀B．实验Ⅱ：溶液颜色变红C．实验Ⅲ：放出大量气体D．实验Ⅳ：先出现白色沉淀，后溶解27.下列说法不正确的是A. 金属钠着火时，用细沙覆盖灭火B. Na的化学性质比镁活泼，故用Na与溶液反应制取金属镁C. 金属钠与氧气反应，条件不同，产物不同D. 金属钠与足量水反应，反应过程中有电子转移28.关于合金的下列说法不正确的是A. 合金具备金属的特性B. 合金的硬度一般比其组成成分金属的硬度大C. 合金的熔点一般比其组成成分的熔点低D. 合金只能由两种或两种以上的金属组成第II卷（非选择题共44分）29.（11分）电子工业常用的溶液腐蚀敷在绝缘板上的铜箔，制造印刷电路板。

广东省华南师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题第一卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =Z ，{}2,1,1,2A =--，{}2|320B x x x =-+=，则()U A B =ð（ ）． A ．{}1,2B ．{}1,2--C ．{}1,2-D ．{}1,2-2．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--= A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.53．函数()lg(10)f x x +-的定义域为（ ）．A ．RB ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,10]D ．(1,10)4．设集合A =R ，集合{}|0B y y =>，下列对应关系中是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）．A ．||x y x →=B ．21(1)x y x →=-C ．12xx y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭D ．x y →=5．若2log 3a =，3log 2b =，1log 23c =，21log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）．A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<6．设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧>=⎨<⎩若()f x 是奇函数，则(2)f -的值是（ ）．A ．14B ．4C ．14-D ．4-7．设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x =（ ）．A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点8．已知函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则不等式210f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤的解集为（ ）．A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．(,1][0,)-∞-+∞D ．(2,0)-9．函数2()log |1|f x x =-的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D．10．已知函数22,1()log ,1ax ax x f x x x ⎧-+-⎪=⎨>⎪⎩≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．03a <≤B ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥11．设函数()f x 定义在实数集上，(1)(1)f x f x +=-，且当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）．A ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）． A ．0B ．1-C ．1D ．2第二卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为__________．14．已知幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．15．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间为__________． 16．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m +=__________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程） 17．（本小题满分10分）（1）计算0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭．（2）2log 33lg 2524++．18（本小题满分12分）设集合{}|2,12xA y y x ==≤≤，{}|0ln 1B x x =<<，{}|12,C x t x t t =+<<∈R ．（1）求A B ．（2）若A C C =，求t 的取值范围．19．（本小题满分12分） 已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式．（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明．20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单 单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式．（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．（本小题满分10分）函数()f x 对一切实数x 、y 均有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式． （Ⅱ）解不等式(|3|)4f x -<．（Ⅲ）对任意的110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，210,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有12()2log ()a f x x +<，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分10分）定义：对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a =+-∈R ，试判断()f x 是否为定义域R 上的“局部奇函数”?若是，求出所有满足()()f x f x -=-的x 的值；若不是，请说明事由．（Ⅱ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． （Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．广东省华南师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案第一卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =Z ，{}2,1,1,2A =--，{}2|320B x x x =-+=，则()U A B =ð（ ）． A ．{}1,2B ．{}1,2--C ．{}1,2-D ．{}1,2-【答案】B【解析】{}2|320B x x x =-+=，2320x x -+=， (1)(2)0x x --=， 11x =，22x =，∴{}1,2B =， 又{}2,1,1,2A =--， ∴{}()1,2U A B =--ð． 故选B ．2．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--= A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】由图中参考数据可得(1.43750)0f >，(1.40625)0f <， 又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4． 故选C ．3．函数()lg(10)f x x +-的定义域为（ ）．A ．RB ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．[1,10]D ．(1,10)【答案】D【解析】本题主要考查函数的定义域． 对于函数2()lg(10)f x x +-，0≠，10x ->且100x ->，故定义域为{}|110x x <<． 故选D ．4．设集合A =R ，集合{}|0B y y =>，下列对应关系中是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）．A ．||x y x →=B ．21(1)x y x →=-C ．12xx y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭D ．x y →=【答案】C【解析】∵|0|0=，而0+∉R ，集合A 中的元素0在集合B 中没有像，故选项A 不是映射． 对于选项B ，集合A 中的元素1在集合B 中没有像，故选项B 不是映射．对于选项C ，集合A 中的所有元素在集合B 中都有唯一的像和它对应，故选项C 是映射． 对于选项D ，由于函数的定义域不是R ，故选项D 不是映射． 故选C ．5．若2log 3a =，3log 2b =，1log 23c =，21log 3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）．A ．a b c d <<<B ．d b c a <<<C ．d c b a <<<D ．c d a b <<<【答案】A【解析】由于函数0.5log y x =在(0,)+∞上是减函数，故有0a b <<． 再由01c <<，0.30221d =>=，可得a b c d <<<． 故选A ．6．设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧>=⎨<⎩若()f x 是奇函数，则(2)f -的值是（ ）．A ．14B ．4C ．14-D ．4-【答案】C【解析】由()f x 是奇函数得()()f x f x =--，再由0x <时，()2x f x =，求出()g x 的解析式，再求出(2)g 的值． ∵()f x 为奇函数，0x <时，()2x f x =，∴0x >时，1()()22xxf x f x -=--=-=-， 即1()2x g x =-，1(2)4f =-． 故选C ．7．设函数1()ln (0)3f x x x x =->，则()y f x =（ ）．A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,e)内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间(1,e)内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间(1,e)内有零点【答案】D【解析】由题得3()3x f x x -'=，令()0f x '>得3x >，令()0f x '<得03x <<，()0f x '=得3x =，故知函数()f x 在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)+∞为增函数， 在点3x =处有极小值1ln30-<， 又1(1)03f =>，e(e)103f =-<，1110e 3ef ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭． 故选D ．8．已知函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则不等式210f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤的解集为（ ）．A ．(2,1]--B ．[2,1]--C ．(,1][0,)-∞-+∞D ．(2,0)-【答案】B【解析】∵函数2x y =与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称， ∴2()log f x x =，∴221010f x x ⎛⎫⎛⎫--⇔-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，∴2011x <--≤，∴221x -<-≤，解得21x -<-≤． 故选B ．9．函数2()log |1|f x x =-的大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D．【答案】A【解析】2()log |1|f x x =-中函数有定义， 则|1|0x ->，即{}|1x x x ∈≠， 则排除B ，C ，D ． 故选A ．10．已知函数22,1()log ,1ax ax x f x x x ⎧-+-⎪=⎨>⎪⎩≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．03a <≤B ．2a ≥C ．23a ≤≤D ．02a <≤或3a ≥【答案】C【解析】当1x ≤时，2()2f x x ax =-+-的对称轴为2ax =， 由递增可得，12a≤，解得2a ≥，当1x >时，()log a f x x =递增，可得1a >， 由x ∈R ，()f x 递增，即有12log 10a a -+-=≤， 解得3a ≤．综上可得，a 的范围是23a ≤≤． 故选C ．11．设函数()f x 定义在实数集上，(1)(1)f x f x +=-，且当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）．A ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11(2)23f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由(1)(1)f x f x +=-，得函数()f x 关于1x =对称， 当1x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数，则当1x ≤时，函数()f x 为增函数， ∵(2)(11)f f =+ (11)f =- (0)f =， ∴11(0)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即11(2)32f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D ．12．已知函数2|21|,1()log (),1x x f x x m x +<⎧=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等），且123x x x ++的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为（ ）． A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】作出()f x 的图象，如图所示， 可令123x x x <<，则有图知点1(0)x ，2(,0)x关于直线12x =-对称，所以121x x +=-，又12318x x x <++<，所以329x <<，由于123()()()f x f x f x ==（1x 、2x 、3x 互不相等）， 结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得23log (9)m =-，解得1m =． 故选C ．第二卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2()(1)1(0)x g x a a -=++>的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为__________． 【答案】(2,2)A【解析】解：令20x -=得2x =，则0(2)(1)12g a =++=， 所以函数()g x 的图象恒过定点(2,2)A ．14．已知幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．【答案】1【解析】因为幂函数223()()m m f x x m --=∈Z 的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数， ∴223m m --为偶数， ∴22m m -为奇数， 故1m =．15．函数212()log (23)f x x x =--的单调递增区间为__________．【答案】(,1)-∞-【解析】函数的定义域为{}|31x x x ><-或，令223t x x =--，则12log y t =， 因为12log y t=在(0,)+∞单调递减223t x x =--在(,1)-∞-单调递减，在(3,)+∞单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．16．已知函数2()|log |f x x =，正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则n m +=__________． 【答案】52【解析】由对数函数的性质知∵2()|log |f x x =正实数m ，n 满足m n <，且()()f m f n =，∴01m n <<<，以及1mn =，又函数在区间2[,]m n 上的最大值为2，由于()()f m f n =，2()2()f m f m =，故可得2()2f m =，即22|log |2m =，即22log 2m =-，即214m =， 可得12m =，2n =，则52m n +=． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程）17．（本小题满分10分）（1）计算0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭． （2）2log 33lg 2524++． 【答案】见解析．【解析】（1）0141333270.064[(2)]|0.01|8-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭ 4113323320.41(2)0.01⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭=-+-+41170.41(2)0.1121616-=-+-+=-+=-． 综上所述，结论是：716-．（2）2log 33lg 2524++ 原式3232lg53lg 24=⨯⨯++ 3(lg5lg2)32=++ 39322=+=． 18（本小题满分12分）设集合{}|2,12x A y y x ==≤≤，{}|0ln 1B x x =<<，{}|12,C x t x t t =+<<∈R ． （1）求A B ．（2）若A C C =，求t 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）{}|24A y y =≤≤，{}|1e B x x =<<， 所以{}|2e AB t t =<≤．（2）因为A C C =，所以C A ⊆，若C 是空集，则21t t +≤，得到1t ≤，若C 非空，则122412t t t t +⎧⎪⎨⎪+<⎩≥≤，得12t <≤， 综上所述，2t ≤，即t 的取值范围是(,2]-∞．19．（本小题满分12分） 已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式．（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可知()()f x f x -=-， ∴2211ax b ax b x x -++=-++， ∴0b =， ∴2()1ax f x x =+，又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴1a =， ∴2()1x f x x =+． （2）当(1,1)x ∈-时，函数()f x 是增函数，证明如下：对于任意1x 、2(1,1)x ∈-，且12x x <， 则22221221112211221222222211212()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-----=-==++++++， ∵1211x x -<<<，∴210x x ->，1210x x ->，又∵2110x +>，2210x +>， ∴21122212()(1)0(1)(1)x x x x x x -->++， ∴21()()0f x f x ->，所以在(1,1)-上单调递增．20．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单 单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式．（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x <≤时，设()v x ax b =+，再由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故函数()v x 的表达式60,020()1(200),202003x v x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩≤≤≤． （Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得60,020()1(200),202003x x f x x x x <⎧⎪=⎨-⎪⎩≤≤≤，当020x ≤≤时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=，当20200x ≤≤时，211(200)10000(20)33(0)32x x x f x x +-⎡⎤-=⎢⎥⎣=⎦≤， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立．所以，当100x =时，()f x 在区间(20,200]上取得最大值100003． 综上所述，当100x =时，()f x 在区间[0,200]上取得最大值为1000033333≈。

2018-2019学年广东省华南师大附中高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量(3,1)a =r ，(6,)b k =-r ，若//a b r r，则k =（ ）A ．18B ．18-C ．2-D ．6-【答案】C【解析】分析：根据向量的共线得到关于k 的方程，解方程可得所求．详解：∵()()3,1,6,a b k ==-v v ，且//a b v v ，∴36k =-， 解得2k =-． 故选C ．点睛：（1）根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，体现了方程思想在向量中的应用．（2）运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．2．已知平面向量a v ，b v 的夹角为23π，2a =v ，1b =v ，则a b ⋅=v v （ ）A ．1B ．1-CD．【答案】B【解析】分析：根据向量数量积的定义求解即可．详解：由题意得2121132a b a b cosπ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭v v v v ． 故选B ．点睛：本题考查用量数量积定义的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 3．已知扇形的圆心角为2rad ，半径为2cm ，则这个扇形的面积是（ ） A ．24cm B ．24cm πC ．22cm πD ．21cm【答案】A【解析】直接利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：Q 扇形的圆心角为2rad ，半径为2cm ，∴扇形的面积2221122422S r cm α==⨯⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力，属于基础题．4．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===u u u v u u u v u u u v u v v v 在一条直线上，且4AC CB =-u u u r u u u r则( )A ．1322c a b =+r r rB ．3122c a b =-r r rC ．2c a b =-+r r rD ．1433c a b =-+r r r【答案】D【解析】根据向量加法的三角形法则得到11()44c b BC b AC b c a =+=+=+-u u uv u u u v v v v v v v化简得到1433c a b =-+v vv ．故答案为D ．5．若sin 32αα-=，则()tan απ+=（ ） A ．3 B 3C 3D ．3【答案】D【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得26k παπ=-，k Z ∈，从而求得tan α的值．【详解】解：sin 32αα-=Q ，2sin 23πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，sin 13πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，，232k ππαπ∴-=-，k Z ∈，即26k παπ=-，k Z ∈，则()3tan tan tan 2tan 66k ππαπαπ⎛⎫⎛⎫+==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，求得26k παπ=-，是解题的关键，属于基础题．6．函数()()sin f x A x =+ωϕ0,02A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，则关于()f x 的说法正确的是（ ）A ．对称轴方程是()23x k k Z ππ=+∈B ．6πϕ=-C ．对称中心是()2,06k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．6π=ϕ 【答案】D【解析】根据函数图象求出函数解析式，再一一验证. 【详解】解：由图可得1A =，5266T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，且2T πω=，解得1ω= ()()sin f x x ϕ∴=+，又函数过,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即sin 066f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则26k πϕπ-+=，k Z ∈解得26k πϕπ=+，k Z ∈2πϕ<Q6πϕ∴=()sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭令62x k πππ+=+，k Z ∈得3x k ππ=+，k Z ∈故函数的对称轴为3x k ππ=+，k Z ∈令6x k ππ+=，k Z ∈得6x k ππ=-+，k Z ∈则函数的对称中心是(),06k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭故正确的为D 故选：D 【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．7．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】试题分析：22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=cos 2cos 2sin 222x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22T ππ==，又()()sin 2sin 2f x x x -=-=-，函数为奇函数． 【考点】二倍角公式，诱导公式．8．已知向量()2cos ,2sin a θθ=r ，()0,2b =-r ，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则向量a r 、b r 的夹角为（ ） A ．32πθ- B ．2πθ-C ．2πθ+ D ．θ【答案】A【解析】根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出||a r ，||b r ，a b r rg ，代入cos a b a bα⋅=r rr r 我们易求出向量a r 与b r的夹角．【详解】解：()2cos ,2sin a θθ=r Q ，()0,2b =-r ，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2a ∴==r ，2b =r设向量a r 、b r 的夹角为α，则4sin cos 22a b a b θα⋅==-⨯r r r r 3sin cos 2πθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 又,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，得3,22ππθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 32απθ\=- 故选：A . 【点睛】本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中利用cos a ba bα⋅=r r r r 计算两个向量的夹角是解答本题的关键，属于中档题． 9．已知α，β为锐角，且cos 10α=，()cos 5αβ+=，则cos 2β=（ ） A ．35B ．23 C ．45D ．10【答案】C【解析】首先根据同角三角函数的基本关系求出sin α，()sin αβ+再利用两角差的余弦公式求出cos β，最后利用二倍角公式解得.【详解】解：依题意，α为锐角，cos 10α=，22sin cos 1αα+=，sin 10α∴=， 又α，β为锐角，得0αβ<+<π，()cos αβ+=()sin αβ∴+=； ()cos cos βαβα∴=+-⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin αβααβα=+++，得：cos β=1010+==因此，294cos 22cos 121105ββ=-=⨯-=， 故选：C 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换的应用，属于中档题.10．若锐角α满足3sin5α=，则tan2α=（）A．13B．43C．34D．3【答案】A【解析】由已知求得cosα，然后利用倍角公式化切为弦求解．【详解】解：由锐角α满足3 sin5α=，得4cos5α==，则241sin21cos1522tan32sin3cos2sin cos2225sinαααααααα--=====．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是中档题．11．70tan70)sin80︒-︒︒=A．12BCD．1【答案】A【解析】分析：由题意结合切化弦公式和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：()707080tan sin︒-︒︒cos10=o40cos20cos10sin20-=⋅o ooo()()3010cos3010cos10sin20+--=⋅o o o ooo3331cos10sin10cos10sin1022cos10sin20⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅o o o ooosin10cos1012sin10cos102==o o o o. 点睛：本题主要考查两角和差正余弦公式，二倍角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．在直角ABC V 中，90BCA ∠=︒，1CA CB ==，P 为AB 边上的点AP AB λ=uu u r uu u r，若CP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则λ的取值范围是（ ） A ．220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1C ．22,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2222,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件解不等式求出λ的最小值．【详解】解：由题，以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.则()0,0C ，()1,0A ，()0,1B ，()1,1AB =-uu u r， ∵AP AB λ=uu u r uu u r，∴[]0,1λ∈，又()()1,1,AP λλλ=-=-u u u r ，(),PA AP λλ=-=-u u u r u u u r， ()1,CP OA AP λλ=+=-u u u r u u u r u u u r ，()1,1PB PA AB λλ=+=--u u u r u u u r u u u r若CP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则221λλλλλλ-+≥-++，得：22410λλ-+≤，解得2222λ+≤≤.又[]0,1λ∈，因此，212λ-≤≤.即2,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，向量的数量积以及向量的坐标运算问题，属于中档题．二、填空题13．已知向量()()1,2,,1,a b x ==r r 若,a b ⊥v v 则x =________ 【答案】-2.【解析】分析：利用向量垂直的条件，结合题中所给的向量坐标，列出方程求解即可. 详解：根据题意，由a b ⊥r r，可得20x +=，解得2x =-，故答案是2-.点睛：该题考查的是有关利用向量垂直，求其坐标所满足的条件，对应的知识点是向量垂直，向量的数量积等于零，应用向量数量积坐标公式求得结果. 14．已知tan α＝cosα，那么sinα＝ ______.【解析】由于sin tan cos cos αααα＝＝，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2α，解得sin α又sin α＝cos 2α≥0，所以sin α.15．已知向量a r 、b r，其中12a =r ，1b =r ，且()a b a +⊥r r r ，则2a b -=r r __________.【答案】2【解析】首先求出b a ⋅r r，再根据2a b -==r r 即可得解.【详解】解：()a b a +⊥r r r Q ，12a =r ，1b =r()0a b a ∴+⋅=r r r 即20a b a +⋅=r r r ，14b a ∴⋅=-r r22a b ∴-====r r故答案为：2【点睛】本题考查平面向量的数量积，及向量的模的计算，属于基础题.16．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】； 【解析】f(x)＝sin x－2cos xsin 55x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭sin(x －φ)，其中s in φ，cos φ，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ.三、解答题17．已知平面上四点，()21A -，，()12B ，，()11C -，，()34D ，. （1）求面2AB CD -u u u r u u u r 及CD u u ur ；（2）求AB u u u r 在CD uuur 的方向上的投影.【答案】（1）()25,5AB CD -=--u u u r u u u r，5CD =u u u r ；（2）3【解析】（1）直接根据向量的坐标表示及运算计算可得. （2）根据向量数量积的几何意义计算可得. 【详解】解：由题，()()()1,22,13,1AB =--=u u u r ，()()()3,41,14,3CD =--=u u u r； ()()()23,124,35,5AB CD -=-=--u u u r u u u r；()4,35CD ===u u u r ；（2）AB u u u r 在CD uuu r的方向上的投影为1535AB CD CD ⋅===u u u r u u u ru u u r . 【点睛】本题考查平面向量的数量积及几何意义，属于基础题.18．已知()f α=()()()3sin cos 2sin 2sin sin 2ππαπααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.（1）化简()fα；（2）若α是第三象限角，且3cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α的值.【答案】（1）cos α-；（2【解析】（1）利用诱导公式计算可得;（2）首先利用同角三角函数的基本关系求出sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】解：（1）()f α=()()()3sin cos 2sin 2sin sin 2ππαπααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭()sin cos cos cos sin ααααα-=cos α=-；（2）解：若α是第三象限角，因此，3πα+为第三或第四象限角，∴sin 03πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭∴sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭45=-. ()cos f αα=-=cos 33ππα⎡⎤⎛⎫-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1cos sin 3232ππαα⎛⎫⎛⎫-+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭310= 【点睛】本题考查诱导公式的应用，两角差的余弦公式，属于基础题.19．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 图象的对称中心和单调递减区间；（2）由()f x 图象经过怎样的先平移后再伸缩变换，变成sin y x =的图象.【答案】（1）,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈；263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈；（2）见解析 【解析】（1）利用三角恒等变换化简()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质解答.（2）根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】解：（1）()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭11sin cos sin 224x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭；11cos 2124224x x -=-⋅+112cos 2sin 24426x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 令26x k ππ+=，k Z ∈，得122k x ππ=-+，k Z ∈， 因此，()f x 的对称中心是,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈. 令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 因此，()f x 的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由题，()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin 2212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 先将()f x 的图象向右平移12π个单位，得到1sin 22y x =，接着把1sin 22y x =图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到1sin 2y x =， 最后把1sin 2y x =图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，变成sin y x =的图象.【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题. 20．如图，在OAB ∆中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=uu u r uu u r（1）若13λ=，用向量,OA OB u u u r u u u r 表示OP uuu r ； （2）若4,3OA OB u u u v u u u v ==，且060AOB ∠=，请问λ取何值时使得OP AB ⊥u u u r u u u r ？【答案】（1）2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r （2）1013 【解析】分析：（1）由13AP AB =u u u v u u u v 和向量减法的运算法则可得结果．（2）将,OP AB u u u v u u u v 和都表示为,OA OB u u u v u u u v 组合的形式，根据0OP AB ⋅=u u u v u u u v 可求得λ的值．详解：（1）由题意得13AP AB =u u u v u u u v ， ∴()13OP OA OB OA -=-u u u v u u u v u u u v u u u v ， ∴2133OP OA OB =+u u u v u u u v u u u v ． (2)由题意知43606OA OB cos ⋅=⨯⨯︒=u u u v u u u v . ∵AP AB λ=u u u v u u u v， ∴()OP OA OB OA λ-=-u u u v u u u v u u u v u u u v ， ∴()1λOP OA OB λ=-+u u u v u u u v u u u v ．∵OP AB ⊥u u u v u u u v ，∴()()1λ0OP AB OA OB OB OA λ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， ∴()()()()2212161216190OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v λλλλλλ-⋅+--=-+--=， 解得10λ13= 点睛：本题考查向量的分解和数量积的运算，解题时要把握住为了使得解题简单、方便，可使用同一组基底将所有向量表示出来．另外，解题时还要注意向量共线的表示及其运用．21．如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧¼MN上，C 、D 分别在线段OM 、ON 上，且线段AB 平行于线段MN .（1）若点A 为弧¼MN的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）设AOB θ∠=，当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？【答案】（1）2312R -；（2）4πθ=，()2max 21S R =- 【解析】（1）作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，求出AB ，EH ，可得矩形ABCD 的面积S ；（2）设02AOB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，求出AB ，EH ，可得矩形ABCD 的面积S ，再求最大值．【详解】解：（1）如图，作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，∴6AOB π∠=， ∴sin 12AH R π=，cos 12OH R π=，2sin 12AB R π= 又1sin 212OE DE AB R π===， ∴cos sin 1212EH OH OE R ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此，S AB EH =⋅=222sin cos sin 121212R πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2=. （2）设02AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭， 则2sin 2AB R θ=，cos 2OH R θ=，1sin 22DE AB R θ==，sin 2OE R θ=， ∴EH OH OE =-=cossin 22R θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此， S AB EH =⋅=222sin cos sin 222R θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭()2sin cos 1R θθ=+-214R πθ⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦， ∵02πθ<<，∴3444πππθ<+<，∴42ππθ+=即4πθ=时，)2max 1S R =所以，当4πθ=，)2max 1S R =. 【点睛】 本题考查扇形的面积公式，考查三角函数的性质，属于中档题．22．已知a ∈R ，函数f （x ）=log 31a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （1）当a=1时，解不等式f （x ）＞1；（2）若关于x 的方程g （x ）=f （x ）﹣log 3（ax+1）有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设0＜a ＜1，若对任意t 113⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【答案】（1）（0，12）（2）(1,)-+∞（3）3[,1)8 【解析】（1）利用对数函数的单调性解不等式；（2）函数的零点转化为方程的根；（3）利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，再作差变成不等式恒成立，最后构造函数求最值．【详解】（1）a=1时，由f （x ）＞1得3111log x ⎛⎫+⎪⎝⎭＞，∴1x +1＞3， ∴0＜x ＜12， ∴不等式的解集（0，12） （2）g （x ）=0时，log 3（1x +a ）=log 3（ax+1）， ∴1x +a=ax+1＞0，∴()11010x a x a x⎧⎛⎫-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩＞， ∴x=1，a ＞﹣1，故a 的取值范围是（﹣1，+∞）（3）f （x ）=log 3（1x+a ）在定义域内为减函数， ∴在区间[t ，t+1]内[f （x ）]max =f （t ），[f （x ）]min =f （t+1）∴log 3（（1t +a ）﹣log 3（11t ++a ）≤1， ∴31t +﹣1t+2a≥0，即2at 2+（2a++2）t ﹣1≥0， ∵0＜a ＜1，∴﹣12a a +＜0， ∴y=2at 2+（2a+2）t ﹣1在[t ，t+1]上为增函数，∴2a （13）2+（2a+2）13﹣1≥0即可， ∴a 38≥，又0＜a ＜1， ∴38≤a ＜1，∴a的取值范围为[38，1）【点睛】本题考查了对数函数单调性、函数与方程的综合运用．属中档题．。

2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）=（）A．{5} B．{2，4} C．{2，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，7}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是（）A．y=sin x B．y=cos x C．y=ln x D．y=x33．（5分）已知平面向量=（1，﹣2），=（2，m），且∥，则m=（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣44．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A． B． C． D．5．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．，C．，D．，6．（5分）已知a=sin80°，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a7．（5分）已知cosα+cosβ=，则cos（α﹣β）=（）A．B．﹣C．D．18．（5分）已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是（）A．（0，﹣2] B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2] D．[2，+∞）10．（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）和g（x）均为奇函数，h（x）=af（x）+bg（x）+2在区间（0，+∞）上有最大值5，那么h（x）在（﹣∞，0）上的最小值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣3 D．512．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2017）B．（1，2018）C．[2，2018] D．（2，2018）二、填空题13．（5分）已知tanα=3，则的值．14．（5分）已知，则的值为．15．（5分）已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在上的值域为．16．（5分）下列命题中，正确的是．①已知，，是平面内三个非零向量，则（）=（）；②已知=（sin），=（1，），其中，则；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2；④O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．三、解答题17．（10分）已知=（4，3），=（5，﹣12）．（Ⅰ）求||的值；（Ⅱ）求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知α，β都是锐角，，．（Ⅰ）求sinβ的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知函数f（x）=cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．20．（12分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0．当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣3，﹣1]时，求f（x）的最大值和最小值．21．（12分）已知向量=（），=（cos），记f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值；（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，若函数y=g（x）﹣k在上有零点，求实数k的取值范围．22．（12分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；（3）是否存在m，使f（2（）2﹣4）+f（4m﹣2（））＞0对任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，3，5，7}，∴C U B={2，4，6}，又A={2，4，5}，则A∩（C U B）={2，4}．故选B.2．A【解析】y=sin x为奇函数，且以2π为最小正周期的函数；y=cos x为偶函数，且以2π为最小正周期的函数；y=ln x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3为奇函数，不为周期函数．故选A．3．D【解析】∵∥，∴m+4=0，解得m=﹣4．故选：D．4．A【解析】∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ），又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z），∵，∴取k=0，得φ=﹣，故选：A．5．B【解析】对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．6．B【解析】a=sin80°∈（0，1），=2，＜0，则b＞a＞c．故选：B．7．B【解析】已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=，（sinα+sinβ）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=，∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．故选B.8．C【解析】由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有2+||•4||•cosθ=0，即cosθ=﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．9．B【解析】；∴有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．10．A【解析】图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．11．B【解析】令F（x）=h（x）﹣2=af（x）+bg（x），则F（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，h（x）≤5，∴x∈（0，+∞）时，F（x）=h（x）﹣2≤3．又x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），∴F（﹣x）≤3⇔﹣F（x）≤3⇔F（x）≥﹣3．∴h（x）≥﹣3+2=﹣1，故选B．12．D【解析】作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．二、填空题13．【解析】===，故答案为：.14．﹣1【解析】∵，∴f（）==，f（）=f（）﹣1=cos﹣1=﹣=﹣，∴==﹣1．故答案为：﹣1．15．[﹣1，]【解析】将函数=sin2x+﹣=sin（2x+）的图象，向左平移个单位长度后得到y=g（x）=sin（2x++）=﹣sin2x的图象，在上，2x∈[﹣]，sin2x∈[﹣，1]，∴﹣sin（2x）∈[﹣1，]，故g（x）在上的值域为[﹣1，]，故答案为：[﹣1，]．16．②③④【解析】①已知，，是平面内三个非零向量，则（）•=•（）不正确，由于（）•与共线，•（）与共线，而，不一定共线，故①不正确；②已知=（sin），=（1，），其中，则•=sinθ+=sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，则，故②正确；③若，则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=1﹣tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=1﹣（﹣1）（1﹣tanαtanβ）+tanαtanβ=2，故③正确；④∵，λ∈（0，+∞），设=，=，=+λ（+），﹣=λ（+），∴=λ（+），由向量加法的平行四边形法则可知，以，为邻边的平行四边形为菱形，而菱形的对角线平分对角∴直线AP即为A的平分线所在的直线，即一定通过△ABC的内心，故④正确．故答案为：②③④.三、解答题17．解：（Ⅰ）根据题意，=（4，3），=（5，﹣12）．则+=（9，﹣9），则|+|==9，（Ⅱ）=（4，3），=（5，﹣12）．则•=4×5+3×（﹣12）=﹣16，||=5，||=13，则cosθ==﹣．18．解：（Ⅰ）∵α，β都是锐角，且，．∴cos，sin（α+β）=，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=；（Ⅱ）=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×．19．解：f（x）=cos2x﹣2sin x cos x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）（1）T=π（2）∵∴20．解：由f（x）+f（﹣x）=0．当，则函数f（x）是奇函数，且f（0）=0，当x＞0时，f（x）=﹣4x+8×2x+1．当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=﹣4﹣x+8×2﹣x+1．由f（x）=﹣f（﹣x）所以：f（x）=4﹣x﹣8×2﹣x﹣1．故得f（x）的解析式；f（x）=（Ⅱ）x∈[﹣3，﹣1]时，令，t∈[2，8]，则y=t2﹣8t﹣1，其对称轴t=4∈[2，8]，当t=4，即x=﹣2时，f（x）min=﹣17．当t=8，即x=﹣3时，f（x）max=﹣1．21．解：（Ⅰ）f（x）==sin cos+=sin+=sin（+）+，由2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，所以f（x）的单调递减区间是[4kπ+，4kπ+]．（Ⅱ）由已知f（a）=得sin（+）=，则a=4kπ+，k∈Z．∴cos（﹣a）=cos（﹣4kπ﹣）=1．（Ⅲ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到g（x）=sin（﹣）+的图象，则函数y=g（x）﹣k=sin（﹣）+﹣k．∵﹣≤﹣≤π，所以﹣sin（﹣）≤1，∴0≤﹣sin（﹣）+≤．若函数y=g（x）﹣k在上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，所以实数k的取值范围为[0，]．22．（1）证明：令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，∴f（x2﹣x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）为增函数，∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；（3）解：∵函数f（x）为奇函数，∴不等式可化为，又∵f（x）为增函数，∴，令t=log2x，则0≤t≤1，问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞y max，而（0≤t≤1），∴当时，，则．∴m的取值范围就为．。

2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）1. 已知向量a →=(3,1)，b →=(−6,k)，若a →∥b →，则k ＝（ ） A.18 B.−18 C.−2 D.−62. 已知平面向量a →，b →的夹角为2π3，|a →|=2，|b →|=1，则a →⋅b →=( ) A.1 B.−1 C.√3 D.−√33. 已知扇形的圆心角为2rad ，半径为2cm ，则这个扇形的面积是（ ） A.4 cm 2 B.4πcm 2 C.2 cm 2 D.1 cm 24. 已知向量OA →=a →,OB →=b →,OC →=c →，且AC →=−4CB →，则（ ）A.c →=12a →+32b →B.c →=32a →−12b →C.c →=12a →−32b →D.c →=−13a →+43b →5. 若−sin α+√3cos α＝2，则tan (α+π)＝（ ） A.−√3 B.√3C.√33D.−√336. 函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则关于f(x)的说法正确的是（ ）A.对称轴方程是x =π3+2kπ(k ∈Z)B.φ=−π6C.对称中心是(−π6+2kπ,0)(k ∈Z) D.φ=π67. 函数y ＝2cos 2(x −π4)−1是（ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数8. 已知向量a →=(2cos θ, sin θ)，b →=(0, −2)，θ∈(π2, π)，则向量a →、b →的夹角为（ ）A.3π2−θ B.θ−π2C.π2+θD.θ9. 已知α，β为锐角，且cos α=7√210，cos (α+β)=2√55，则cos 2β＝（ ） A.35B.45C.23 D.7√21010. 若锐角α满足sin α=35，则tan α2=( )A.13B.43C.35D.311. (2√3sin 70−tan 70)sin 80=( )A.12B.√32C.√3D.112. 在直角△ABC 中，∠BCA ＝90∘，CA ＝CB ＝1，P 为AB 边上的点且AP →=λAB →，若CP →⋅AB →≥PA →⋅PB →，则λ的取值范围是（ ） A.[12, 1]B.[2−√22, 1]C.[12, 1+√22] D.[1−√22, 1+√22]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）已知平面向量a →=(1,2)，b →=(x,1)，若a →⊥b →，则x 的值为________．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________．已知向量a →、b →，其中|a →|=12，|b →|=1，且(a →+b →)⊥a →，则|a →−2b →|=________．设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x −2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 三、解答题（共6题，满分0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知平面上四点，A(−2, 1)，B(1, 2)，C(−1, 1)，D(3, 4)． （1）求AB →−2CD →及|CD →|；（2）求AB →在CD →的方向上的投影．已知f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)sin (−α+3π2)sin (π2+α)sin (−π−α)．(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且cos (α+π3)=35，求f(α)的值．已知函数f(x)=sin x ⋅sin (π3−x)+14． （1）求f(x)图象的对称中心和单调递减区间；（2）由f(x)图象经过怎样的先平移后再伸缩变换，变成y ＝sin x 的图象．如图，在△OAB 中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP →=λAB →（1）若λ=13，用向量OA →,OB →表示OP →；（2）若|OA →|=4,|OB →|=3，且∠AOB ＝60∘，请问λ取何值时使得OP →⊥AB →？如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，∠MON=π2，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN̂上，且线段AB 平行于线段MN ．（1）若点A 为弧MN ̂的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ；（2）设∠AOB ＝θ，求A 在MN ̂上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？已知a ∈R ，函数f(x)=log 3(1x +a)．（1）当a ＝1时，解不等式f(x)>1；（2）若关于x 的方程g(x)＝f(x)−log 3(ax +1)有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设0<a <1，若对任意t ∈[13,1]，函数f(x)在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求） 1.【答案】 C【考点】平行向量（共线） 【解析】根据a →∥b →即可得出3k +6＝0，解出k 的值即可． 【解答】 ∵ a →∥b →； ∴ 3k +6＝0； ∴ k ＝−2． 2.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】直接代入数量积即可 【解答】因为向量a →，b →的夹角为2π3，|a →|=2，|b →|=1， 则a →⋅b →=2×1×cos 2π3=2×1×(−12)=−1；3.【答案】 A【考点】 扇形面积公式 【解析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可． 【解答】∵ 扇形的圆心角为2rad ，半径为2cm ， ∴ 扇形的面积S =12r 2α=12×22×2＝4cm 2． 4. 【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量数乘的运算及其几何意义【解析】运用向量的加减运算法则，整理即可得到所求结论． 【解答】向量OA →=a →,OB →=b →,OC →=c →，且AC →=−4CB →， 可得OC →−OA →=4(OC →−OB →)， 即为3OC →=−OA →+4OB →， 即c →=−13a →+43b →．5. 【答案】 D【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】由已知结合辅助角公式可求α，然后结合诱导公式进行化简即可求解． 【解答】因为−sin α+√3cos α＝2cos (α+16π)＝2， 所以cos (α+16π)＝1， 故α+16π=2kπ，k ∈Z ， 则tan (α+π)＝tan α=−√33． 6.【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】根据函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象， 可得 A ＝1，12⋅2πω=5π6+π6，∴ ω＝1．再根据五点法作图可得1×(−π6)+φ＝0，求得φ=π6，∴ 函数f(x)＝sin (x +π6)．令x +π6=kπ+π2，求得x ＝kπ+π3，故它的对称轴方程是x ＝kπ+π3，k ∈Z ，故A 不正确； 显然，D 正确，而B 不正确；令x +π6=kπ，求得x ＝kπ−π6，故它的对称中心为( kπ−π6, 0)，k ∈Z ，故C 不正确， 7. 【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 【解析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出周期，判定奇偶性． 【解答】由y ＝2cos 2(x −π4)−1＝cos (2x −π2)＝sin 2x ，∴ T ＝π，且y ＝sin 2x 奇函数，即函数y ＝2cos 2(x −π4)−1是奇函数． 8.【答案】 A【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据向量夹角的定义，结合三角函数的诱导公式进行化简即可． 【解答】 cos <a →，b →>=−4sin θ2×2=−sin θ＝cos (π2+θ)＝cos (−π2−θ)＝cos (2π−π2−θ)＝cos (3π2−θ) ∵ θ∈(π2, π)，∴3π2−θ∈(π2, π)，∴ 向量夹角为3π2−θ， 9. 【答案】 B【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式求得cos β＝cos [(α+β)−α]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos 2β 的值． 【解答】∵ α，β为锐角，且cos α=7√210，∴ sin α=√1−cos 2α=√210， ∵ cos (α+β)=2√55>0，∴ α+β还是锐角，∴ sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=√55， 则cos β＝cos [(α+β)−α]＝cos (α+β)cos α+sincos (α+β)sin α=2√55⋅7√210+√55⋅√210=3√1010， ∴ cos 2β＝2cos 2β−1=45，10.【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知求得cos α，然后利用倍角公式化切为弦求解． 【解答】由锐角α满足sin α=35，得cos α=√1−sin 2α=√1−(35)2=45，则tan α2=sinα2cos α2=2sin 2α22sin α2cosα2=1−cos αsin α=1−4535=13．11.【答案】 A【考点】两角和与差的三角函数 【解析】化切为弦，通分后利用两角和与差的三角函数化简求值． 【解答】(2√3sin 70−tan 70)sin 80=(2√3sin 70−sin 70cos 70)sin 80=2√3sin 70cos 70−sin 70cos 70⋅sin 80=√3sin 40−sin (40+30)cos 70sin 80=√32sin 40−12cos 40cos 70⋅cos 10 =sin 10cos 70⋅cos 10 =sin 202cos 70=12． 12. 【答案】B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围． 【解答】∵ 直角△ABC 中，∠BCA ＝90∘，CA ＝CB ＝1，∴ 以C 为坐标原点CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，如图： C(0, 0)，A(1, 0)，B(0, 1)，AB →=(−1,1)， ∵ AP →=λAB →， ∴ λ∈[0, 1]AP →=λ(−1,1)，CP →=(1−λ,λ)，PB →=(λ−1,1−λ)． CP →⋅AB →≥PA →⋅PB →，∴ λ−1+λ≥λ2−λ+λ2−λ． 2λ2−4λ+1≤0， 解得：2−√22≤λ≤2+√22，∵ λ∈[0, 1] ∴ λ∈[2−√22, 1]二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 【答案】−2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用向量垂直的性质直接求解． 【解答】∵ 平面向量a →=(1,2)，b →=(x,1)，a →⊥b →， ∴ a →⋅b →=x +2＝0， 解得x ＝−2． 【答案】−1+√52【考点】同角三角函数间的基本关系 三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用同角公式，将条件化成关于正余弦函数的式子，最终化成仅关于sin α的方程，问题就得到解决．【解答】∵ tan α＝cos α， ∴ sin αcos α=cos α， ∴ sin α＝cos 2α， ∴ sin α＝1−sin 2α， 那么sin α=−1+√52或−1−√52（舍去）．【答案】√212【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由已知结合向量垂直的性质可求a →⋅b →，然后结合向量数量积的性质的模长性质即可求解． 【解答】因为|a →|=12，|b →|=1，且(a →+b →)⊥a →， 所以a →⋅(a →+b →)=a →2+a →⋅b →=0， 故a →⋅b →=−14，则|a →−2b →|2=a →2−4a →⋅b →+4b →2=14+1+4=214．则|a →−2b →|=√212． 【答案】−2√55【考点】正弦函数的定义域和值域 两角和与差的三角函数 【解析】f(x)解析式提取√5，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x ＝θ时，函数f(x)取得最大值，得到sin θ−2cos θ=√5，与sin 2θ+cos 2θ＝1联立即可求出cos θ的值． 【解答】方法一：f(x)＝sin x −2cos x =√5(√55sin x −2√55cos x)=√5sin (x −α)（其中cos α=√55，sin α=2√55）， ∵ x ＝θ时，函数f(x)取得最大值， ∴ sin (θ−α)＝1，即sin θ−2cos θ=√5， 又sin 2θ+cos 2θ＝1，联立得(2cos θ+√5)2+cos 2θ＝1，解得cos θ=−2√55． 方法二：f(x)＝sin x −2cos x =√5sin (x +φ)（其中tan φ＝−2，φ∈(−π2,π2)），因为当x ＝θ时，f(x)取得最大值，所以θ+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，所以θ=π2+2kπ−φ(k ∈Z)， 所以cos θ＝cos (π2+2kπ−φ)＝sin φ=−2√55． 三、解答题（共6题，满分0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】由题，AB →=(1,2)−(−2,1)=(3,1)，CD →=(3,4)−(−1,1)=(4,3)； AB →−2CD →=(3,1)−2(4,3)=(−5,−5)； |CD →|=|(4,3)|=√42+32=5；AB →在CD →的方向上的投影为AB →⋅CD →|CD →|=√42+32=155=3．【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】（1）直接代入向量的坐标运算即可求解； （2）直接根据投影的定义代入即可 【解答】由题，AB →=(1,2)−(−2,1)=(3,1)，CD →=(3,4)−(−1,1)=(4,3)； AB →−2CD →=(3,1)−2(4,3)=(−5,−5)； |CD →|=|(4,3)|=√42+32=5； AB →在CD →的方向上的投影为AB →⋅CD →|CD →|=√42+32=155=3．【答案】 解：(1)∵ f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)sin (−α+3π2)sin (π2+α)sin (−π−α)=sin α⋅cos α⋅(−cos α)cos α⋅sin α=−cos α．(2)若α是第三象限角，且cos (α+π3)=35>0， ∴ α+π3为第四象限角，∴ sin (α+π3)=−√1−cos 2(α+π3)=−45， ∴ f(α)=−cos α=−cos [(α+π3)−π3] =−cos (α+π3)cos π3−sin (α+π3)sin π3=4√3−310. 【考点】两角和与差的余弦公式 运用诱导公式化简求值【解析】（1）利用诱导公式化简所给的式子，可得结果．（2）利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得f(α)的值． 【解答】解：(1)∵ f(α)=sin (π−α)cos (2π−α)sin (−α+3π2)sin (π2+α)sin (−π−α)=sin α⋅cos α⋅(−cos α)cos α⋅sin α=−cos α．(2)若α是第三象限角，且cos (α+π3)=35>0，∴ α+π3为第四象限角，∴ sin (α+π3)=−√1−cos 2(α+π3)=−45， ∴ f(α)=−cos α=−cos [(α+π3)−π3] =−cos (α+π3)cos π3−sin (α+π3)sin π3=4√3−310. 【答案】f(x)=sin x ⋅sin (π3−x)+14=sin x(√32cos x −12sin x)+14=√34sin 2x −12⋅1−cos 2x2+14=√34sin 2x +14cos 2x =12sin (2x +π6)． 令2x +π6=kπ，k ∈Z ，得x =−π12+kπ2，k ∈Z ，因此，f(x)的对称中心是(−π12+kπ2,0)，k ∈Z ．令π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，得π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ，因此，f(x)的单调递减区间是π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ．由（1）可得f(x)=12sin 2(x +π12)，先将f(x)的图象向右平移π12个单位，得到y =12sin 2x ，接着图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y =12sin x ， 最后图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，变成y ＝sin x 的图象． 【考点】正弦函数的奇偶性和对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=12sin (2x +π6)，令2x +π6=kπ，k ∈Z ，得x =−π12+kπ2，k ∈Z ，可得f(x)的对称中心，令π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，得π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ，可得f(x)的单调递减区间．（2）由题意根据函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换即可求解． 【解答】f(x)=sin x ⋅sin (π3−x)+14=sin x(√32cos x −12sin x)+14=√34sin 2x −12⋅1−cos 2x2+14=√34sin 2x +14cos 2x =12sin (2x +π6)．令2x +π6=kπ，k ∈Z ，得x =−π12+kπ2，k ∈Z ， 因此，f(x)的对称中心是(−π12+kπ2,0)，k ∈Z ．令π2+2kπ≤2x +π6≤3π2+2kπ，k ∈Z ，得π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ，因此，f(x)的单调递减区间是π6+kπ≤x ≤2π3+kπ，k ∈Z ．由（1）可得f(x)=12sin 2(x +π12)，先将f(x)的图象向右平移π12个单位，得到y =12sin 2x ，接着图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y =12sin x ， 最后图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，变成y ＝sin x 的图象． 【答案】∵ λ=13，∴ AP →=13AB →，∴ OP →−OA →=13(OB →−OA →)，化为：OP →=23OA →+13OB →．由题意知：OA →⋅OB →=4×3×cos 60∘＝6， ∵ AP →=λAB →，∴ OP →=(1−λ)OA →+λOB →，∵ OP →⊥AB →，∴ OP →⋅AB →=[(1−λ)OA →+λOB →]•(OB →−OA →)=0， ∴ (1−2λ)×6−(1−λ)×42+λ×32＝0， 解得λ=1013．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】（1）由λ=13，可得AP →=13AB →，OP →−OA →=13(OB →−OA →)，化简即可得出．（2）由题意知：OA →⋅OB →=4×3×cos 60∘＝6，由AP →=λAB →，可得OP →=(1−λ)OA →+λOB →，根据OP →⊥AB →，可得OP →⋅AB →=[(1−λ)OA →+λOB →]•(OB →−OA →)=0，即可得出． 【解答】∵ λ=13，∴ AP →=13AB →，∴ OP →−OA →=13(OB →−OA →)，化为：OP →=23OA →+13OB →．由题意知：OA →⋅OB →=4×3×cos 60∘＝6， ∵ AP →=λAB →，∴ OP →=(1−λ)OA →+λOB →，∵ OP →⊥AB →，∴ OP →⋅AB →=[(1−λ)OA →+λOB →]•(OB →−OA →)=0， ∴ (1−2λ)×6−(1−λ)×42+λ×32＝0，解得λ=1013．【答案】如图，作OH ⊥AB 于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ， ∴ ∠AOB =π6，∴ AB ＝2R sin π12，OH ＝R cos π12，OE ＝DE =12AB ＝R sin π12，∴ EH ＝OH −OE ＝R(cos π12−sin π12)， S ＝AB ⋅EH ＝2R 2(sin π12cos π12−sin 2π12)=√3−12R 2， 设∠AOB ＝θ(0<θ<π2)，则AB ＝2R sin θ2，OH ＝R cos θ2，oe =12AB ＝R cos θ2，OE =12AB ＝R sin θ2，∴ EH ＝OH −OE ＝R(cos θ2−sin θ2)，S ＝AB ⋅EH ＝R 2(2sin θ2cos θ2−2sin 2θ2)＝R 2(sin θ+cos θ−1)＝R 2[√2sin (θ+π4)−1]， ∵ 0<θ<π2，∴ π4<θ+π4<3π4，∴ θ+π4=π2即θ=π4时，S max ＝(√2−1)R 2，此时A 在弧MN 的四等分点处． 答：当A 在弧MN 的四等分点处时，S max ＝(√2−1)R 2．【考点】 扇形面积公式 【解析】（1）作OH ⊥AB 于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，求出AB ，EH ，可得矩形ABCD 的面积S ； （2）设∠AOB ＝θ(0<θ<π2)，求出AB ，EH ，可得矩形ABCD 的面积S ，再求最大值．【解答】如图，作OH ⊥AB 于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ， ∴ ∠AOB =π6，∴ AB ＝2R sin π12，OH ＝R cos π12， OE ＝DE =12AB ＝R sin π12，∴ EH ＝OH −OE ＝R(cos π12−sin π12)， S ＝AB ⋅EH ＝2R 2(sin π12cos π12−sin 2π12)=√3−12R 2， 设∠AOB ＝θ(0<θ<π2)，则AB ＝2R sin θ2，OH ＝R cos θ2，oe =12AB ＝R cos θ2，OE =12AB ＝R sin θ2， ∴ EH ＝OH −OE ＝R(cos θ2−sin θ2)，S ＝AB ⋅EH ＝R 2(2sin θ2cos θ2−2sin 2θ2)＝R 2(sin θ+cos θ−1)＝R 2[√2sin (θ+π4)−1]， ∵ 0<θ<π2， ∴ π4<θ+π4<3π4，∴ θ+π4=π2即θ=π4时，S max ＝(√2−1)R 2，此时A 在弧MN 的四等分点处． 答：当A 在弧MN 的四等分点处时，S max ＝(√2−1)R 2．【答案】a ＝1时，由f(x)>1得log 3(1x +1)>1，∴ 1x +1>3，∴ 0<x <12， ∴ 不等式的解集(0, 12)g(x)＝0时，log 3(1x +a)＝log 3(ax +1)，∴ 1x +a ＝ax +1>0，∴ {(1−x)(1x +a)=0(1x +a)>0， ∴ x ＝1，a >−1，故a 的取值范围是(−1, +∞)f(x)＝log 3(1x +a)在定义域内为减函数，∴ 在区间[t, t +1]内[f(x)]max ＝f(t)，[f(x)]min ＝f(t +1)∴ log 3（(1t +a)−log 3(1t+1+a)≤1，∴ 3t+1−1t +2a ≥0，即2at 2+(2a ++2)t −1≥0， ∵ 0<a <1，∴ −a+12a<0，∴ y ＝2at 2+(2a +2)t −1在[t, t +1]上为增函数， ∴ 2a(13)2+(2a +2)13−1≥0即可，∴ a ≥38，又0<a <1，∴ 38≤a <1， ∴ a 的取值范围为[38, 1)【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）利用对数函数的单调性解不等式； （2）函数的零点转化为方程的根；（3）利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，再作差变成不等式恒成立，最后构造函数求最值． 【解答】a ＝1时，由f(x)>1得log 3(1x+1)>1，∴ 1x+1>3，∴ 0<x <12， ∴ 不等式的解集(0, 12)g(x)＝0时，log 3(1x +a)＝log 3(ax +1)，∴ 1x+a ＝ax +1>0，∴ {(1−x)(1x +a)=0(1x+a)>0， ∴ x ＝1，a >−1，故a 的取值范围是(−1, +∞)f(x)＝log 3(1x +a)在定义域内为减函数，∴ 在区间[t, t +1]内[f(x)]max ＝f(t)，[f(x)]min ＝f(t +1) ∴ log 3（(1t +a)−log 3(1t+1+a)≤1， ∴3t+1−1t+2a ≥0，即2at 2+(2a ++2)t −1≥0，∵ 0<a <1，∴ −a+12a<0，∴ y ＝2at 2+(2a +2)t −1在[t, t +1]上为增函数， ∴ 2a(13)2+(2a +2)13−1≥0即可， ∴ a ≥38，又0<a <1， ∴ 38≤a <1，∴ a 的取值范围为[38, 1)。