《高等代数》试题解答
1． 解 由12A =， *
1
*1196327A
A A A ???==????
，而2*A A =，故
1
***110464163A A A A ????=?=?=???
??
．■ 2． 解 将加边得，
n D 1100
n
n n
a a D D =
，
将第行分别减去第一行，得(2i i ≥)11
1
111n n n n
a a a a D a a ??=
?? ，
再加边，得11
110000
111
n
n n
n
a a D a a a a a =????
1n
a )， 将第列减去第一列，得(3j j ≥11
110000
11201
2n n n
n
a a D a a a a =????
， 将列各乘以
3,4,,2n + 1
2
加到第一列，将分别乘以3,4,,2n + 12111
,,,222n
a a a ?
??
后加到第二列，得 武汉大学2004年硕士研究生入学考试
()()
()111
1
11
1
2
2
1,1111112
21111
12
2222
10020122
00
222n i i n n
n
i i
n
i i n n
n
i i n
n n i n i j j n a n n a a a a D a n
a a a a a a n a ====?=?????==??????=?????
????
∑∑∑∑∑
a ．■ 3． 证 由，故存在可逆矩阵，使得
()r A r =,P Q 00
0r
E
A P Q ??=????
令，则 ()11,,L P H H Q L ??
==?
???()()111000
0r L L E A H
H H HL L L ??
??
??==?????
?????
??
=． 问题得证．■ 4． 证 令0B A D E ??
=?
???
， 将其初等变换
22222220E
A E A E A
A A E
A D 0A E E A E A A E A E ????+?????=→→→?
??
????
?+??????????
????
， 而显然由，3
2A E =0A ≠，知
()()2A E A A E E ?++=,()()22246A E A A E E ?++=?
两边取行列式，即0E A ?≠，20A E ?≠，()r E A n ?=，()2r A E n ?= 而()()()()()22r D r B r A r E A r A E n =+=?+?=，从而，()r B n =，即B 可逆．
另一方面，由B 表达式，知B 的逆可由表出，令2
,,E A A 12B aA bA cE ?=++，则
()()12222BB A A E aA bA cE E ??+++=
利用多项式恒等知识得13,,10105a b c =
==2，而21
3210
105A A E B ??E ++=????，
故，B 的逆即为
2132
10105
A A ++E ．■ 5． 证 因为*
*
AA A A A E ==，故*
n
A A A =，
若0A ≠，则1
*
n A A
?=．
若0A =，则当()0r A =,0A =，*0A =，故1
*
n A A
?=，
当()0r A ≠， ()*
1r A
=，即*
0A
=，故1
*n A A
?=．■
6． 证 ⑴由AB 与()T
AB 得特征值相同，任取一个特征值λ，及对应的一个非零特征向量
()1T
n X x x = ，记
21
0n
T
i i m X X x ===>∑则有
()()()()()2T
T
T
T T T T T T mXABX XAmBX X BX X AX mX AB X mX X m λλ=====，
由,A B 是正定矩阵，则，，则，即，故0T X AX >0T X BX >0T mX ABX >0T X ABX >0λ>，即AB 的特征值大于零．
⑵由AB BA =，知()T
T T AB B A BA A ===B ，即AB 为对称矩阵，而由⑴知AB 的特征值大于零，从而AB 为正定矩阵．■ 7． 解 由A 的特征多项式
()1n E A n λλλ??=?，故A 的最小多项式为()1n n λλ??的因
式，显然，而0,0A A n ≠?≠()0A nE A ?=，故最小多项式为2x nx ?．■
8． 证 ⑴由λ是f 的特征值，则有,f V λαλαα=∈，又对V λα?∈，fg gf g ααλα==，
即g V λα∈，即V λ也是的不变子空间．
g ⑵因为V 是复线性空间，故f 一定有特征值，不妨设0λ是其中的一个特征值，则0V λ也是的不变子空间，考虑g 0V λ上的线性变换0
V g
λ，同样，在0V λ有0
V g
λ的特征值，一定有
特征向量β，β也是f 的特征向量，即f 是,f g 的一个公共向量，结论成立．■ 9． 证 不妨设，则，
()r A r =当时，0r =()r A E n ?=，A 可对角化显然成立．
当时，r n =()0r A E ?=，即A E =，A 可对角化显然成立．
当时，则0是r n ≠A 的一个特征值，其对应的线性无关的特征向量个数为的解空间的维数，显然为．
0AX =n r ?另一方面，()0A E X ?=存在非零解，即1λ=也为A 的一个特征值，而其对应的线性无关的特征向量个数为()0A E X ?=的解空间的维数，显然为()n n r r ??=． 又由对应不同的特征值的特征向量线性无关，故A 至少有n r r n ?+=个，即A 有n 个线性无关的向量，故A 可对角化． 10．
证 由解空间的维数分别为0,0AX BX ==()(,n r A n r B ??)，由
，故()()r A r B r ==()()n r A n r B ?=?，即两者维数相同。从而二者同构．现在证
明存在K 上的阶可逆矩阵T ，使得n ()()f y Ty y U =?∈是U 到V 的同构映射． 取的解空间的一组基0,0AX BX ==1,n r αα? 与1,n r ββ? ，并将它们扩充为上的一组基n
K 11,,,,,n r n r n αααα??+ 及11,,,,n r n r n ββββ??+ ，
构造从基11,,,,,n r n r n αααα??+ 到11,,,,n r n r n ββββ??+ 的一个映射，
()()11:,,,,n n f L L ααβ β ()f y Ty x ==，
其中， ，00n r n r
r r A T B ?×?×??
=?
???1n i i i y k α==∑，1
n i i i x l β==∑，,n r n r r r A B ?×?×均为可逆矩阵，且， 111,n r n r n r n r n n A B βαβαβαβα?+?+????????????????==????????????????
????? 1?
????
容易验证f 为到()1,,n r L αα? ()1,,n r L ββ? 的同构映射．即满足
()()()11221122f k y k y k f y k f y +=+
综上，存在K 上的n 阶可逆矩阵T ，使得()()f y Ty y U =?∈是U 到V 的同构映射．■
《高等数学》视频教程蔡高厅教授主讲 中文名称：蔡高厅高等数学上下册RM压缩清晰版本 地区：大陆 语言：普通话 简介： 高等数学辅导讲座（蔡高厅） 分189讲上册95讲下册94讲！赠送与之配套的电子书课文！ 本教程讲解之细致，容量之庞大令人叹为观止！适合任何程度的朋友学习。即使只有高中数学水平，凭此讲座可在一月内快速成为高数高手，也可作为复习后期查缺补漏之用。本教程是目前国内水平最高的高等数学长期教程，影音俱佳，强烈推荐！！ 第一章函数第二章极限第三章导数与微分第四章导数的应用第五章不定积分 第六章定积分第七章空间解析几何与矢量代数第八章多元函数微积分第九章重积分 第十章曲线积分及曲面积分第十一章级数第十二章微分方程
适合人群： 1、在校大学生 2、自考人 3、考研人士（高数一，二） 4、其它想学习数学的人士 [点评][天津大学][高数](蔡高厅) 我来谈谈对天津大学蔡高厅高数的一些看法。这部高等数学教程应该是现在名气最大的，也是好评最高的。原因我认为有这么些，首先，整部教程体积很小（全部一起不到3G），而北航柳重堪高等数学加起来超过10G，对硬盘空间不是很大的用户是个不小的负担，这点使的很多人选择了它（包括我本人），在着，一共189讲的超大 容量，整个高等数学的全部知识，无论巨细，无一遗漏，是其他教程所不能及的（北航柳重堪高等数学），其次，本科学校的正规教程也是个很诱人的地方。以上说的是它的优点，下面说说我自己的体会。我是在看完北航柳重堪高等数学第一章时再看的，对比而言，蔡高厅高数给我感受就是蔡高厅本人一直在黑板上不停的版书，对知识本身的讲解很机械，这点我很不喜欢。既然是本科学校的教程，就应该讲究对知识本身和思维的沟通，重点应该是放上创造性上，而不只是知识的简单堆砌，蔡高厅的讲课完全是教科书的移植，加上一点做题的技巧，对基本概念的理解讲解很生硬，缺少沟通性。跟真正的数学教学相差很远“蔡高厅的讲课完全是教科书的移植”，这点我很同意。他的例题基本上都是他与别人合写的那本高数上的。[点评][天津大学][数学]【蔡教授讲】 提起蔡教授的数学，想想我干瘪的荷包真是感慨呀！那时想考试，看到网上无数的同志推荐这门课程，在购回后，白天在办公室偷偷看，晚上回家接着看，整整花了偶2月光阴才大功告成。因此，昨天看了网友对蔡教授的批评，本人对此是不同意的，数学是一门逻辑性很强的课程，讲究环环紧密相扣，因此，学习的风 格也以稳重为主，正是基于这一点，本人是十分推崇蔡教授的课的，别的不说，光是他老人家，诺高的身材弯腰板书，这种敬业精神与师德，就强过了许多年轻后辈。就以课程的本身而言，蔡教授讲得条理清晰，对每个定理都进行了详细的证明，辅以充足的示例，让你想不学好这门课都难。个人认为，蔡教授的这门课，无论下 载还是购买都值得！
高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 ()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的 解. 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01， 且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所 得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]∈01q ，1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且 )(0 =?π x d x f ， cos )(0 =? π dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个 不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设 ?= x dx x f x F 0 )()(）
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
天津大学机械工程学院各专业考研参考书目 一般力学与力学基础专业考研参考书初试指定书部分 《工程动力学》贾启芬天津大学出版社 《自动控制原理》夏超英科学出版社 《工程力学》贾启芬天津大学出版社 《材料力学》赵志岗天津大学出版社 《材料力学（第四版）》（下）孙训方高等教育出版社 《材料力学（第四版）》（上）孙训方高等教育出版社 《材料力学》苏翼林天津大学出版社 《材料力学（第四版）》（下）刘鸿文高等教育出版社 《材料力学（第四版）》（上）刘鸿文高等教育出版社 《机械原理教程》申永胜清华大学出版社 《机械原理与机械设计》(下) 张策机械工业出版社 《机械原理与机械设计》(上) 张策机械工业出版社 《高等代数（第三版）》王鄂芳北京大学出版社 《自动控制原理》（下）吴麒清华大学出版社 《自动控制原理》（上）吴麒清华大学出版社 《现代控制理论》刘豹机械工业出版社 《自动控制原理》胡寿松科学出版社 《机械设计（第三版）》董刚机械工业出版社 《机械原理（第六版）》孙恒高等教育出版社 《理论力学》贾启芬天津大学出版社 《理论力学》贾启芬机械工业出版社 《结构力学（下册）》龙驭球高等教育出版社 《结构力学（上册）》龙驭球高等教育出版社
《结构力学（下册）》刘昭培天津大学出版社 《结构力学（上册）》刘昭培天津大学出版社 《误差理论与数据处理（第5版）》费业泰机械工业出版社 《测控电路(第四版)》张国雄机械工业出版社 《传感器（第3版）》强锡富机械工业出版社缺货 《检测技术（第3版）》施文康机械工业出版社 《机械设计（第八版）》濮良贵高等教育出版社 固体力学专业考研参考书初试指定书部分 《工程动力学》贾启芬天津大学出版社缺货 《量子力学教程（第二版）》周世勋高等教育出版社 《量子力学导论（第二版）》曾谨言北京大学出版社 《工程力学》贾启芬天津大学出版社初试指定书 《材料力学》赵志岗天津大学出版社初试指定书 《材料力学（第四版）》（下）孙训方高等教育出版社 《材料力学（第四版）》（上）孙训方高等教育出版社 《材料力学》苏翼林天津大学出版社 《材料力学（第四版）》（下）刘鸿文高等教育出版社 《材料力学（第四版）》（上）刘鸿文高等教育出版社 《机械原理教程》申永胜清华大学出版社 《机械原理与机械设计》(下) 张策机械工业出版社 《机械原理与机械设计》(上) 张策机械工业出版社 《高等代数（第三版）》王鄂芳北京大学出版社 《自动控制原理》（下）吴麒清华大学出版社 《自动控制原理》（上）吴麒清华大学出版社
2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名 一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。 （8分） 二、 设幂级数∑∞=?0 )1(n n n x a 在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。（8分） 三、 求曲面323 =+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分） 四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。 （10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤= r ，其中θ=6π 对应起点A ，3 π θ=对应终点B ，试计算∫+?L xdy ydx 。（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z ??=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的 表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算： ∫∫Σ=+?.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。（10分） 七、 函数),(y x z z =由0),(=z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。 （12分） 八、 计算∫∫∫Ω +,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。（12分） 九、 已知级数 ∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU 的敛散性。（12分） 十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫??=?A A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。D ：2||,2||A y A x ≤≤ 。（8分）
湖南师大 高等代数考研试题 一.简答题:(每小题6分,共30分) 1.若|(),k ax b f x k +为正整数,是否一定有|()?ax b f x +为什么? 2.若把可逆矩阵A 的第j 行的k 倍加到第i 行得B,则由A 的逆矩阵1A -经过同样的变换是否得到B 的逆矩阵1B -?为什么? 3.正定矩阵相乘还是正定矩阵吗?为什么? 4.如果欧氏空间的对称变换A 的任意两个特征向量之和仍是特征向量,那么A 是数乘变换吗?为什么? 5.若123,,V V V 是向量空间V 的子空间,且123V V V V =,是否有某个k V 等于V?为什么? 二.(10分)已知1i +是65432()7224044288f x x x x x x x =-+-+-+的二重根,求()f x 的其余四个根. 三.(10分)证明多项式0()!p k k k a f x x k ==∑在有理数域上是不可约的,其中(0,1,,)k a k p =是 整数,p 是素数,且0,p a a 与p 互素. 四.(10分)计算行列式1 2 132112 1a a a a a D a n n n =--. 五(10分)设A 是n 阶行等和矩阵(即A 中各行元素之和相等)证明 (1) 对于正整数k,k A 也是行等和矩阵: (2) 若A 可逆,则A 的逆矩阵也是行等和矩阵. 六(15分)设m n ?矩阵A 的秩为r ,n p ?矩阵B 的秩为,n r AB o -=,若n 维向量b 满足0Ab =,证明: (1) Bx b =有解;(2)当p n r =-时,BX b =的解是唯一的. 七.(15分)在向量空间3R 中,试给出三个子空间123,,V V V ,使得 (1)1231213123dim(())dim()dim()dim()V V V V V V V V V V +≠+-; (2) 3123123113dim()dim()dim()dim )i i j i i j V V V V V V V V V =≤<≤++-≠- ∑∑.
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等代数论文 矩阵在生产生活方面的应用 指导老师李思泽 运输1512 崔粲 15251169 知行1501 徐鹏宇 15291200
目录 【摘要】 (2) 【关键词】 (2) 【Abstract】 (2) 【Key words】..................................... 错误!未定义书签。【实际应用举例】 (3) 1. 计算网络中的流 (3) 1.1 交通流分析 (3) 1.2 程序运行代码 (5) 1.3 程序运行截图 (8) 1.4 程序运行代码（2） (9) 1.5程序运行截图（2） (13) 2.电路分析 (13) 2.2程序运行代码 (15) 2.3 程序运行截图 (18) 【论文总结】...................................... 错误!未定义书签。【参考文献】...................................... 错误!未定义书签。
摘要 近二十年来，随着计算机技术的蓬勃发展，利用计算机的符号计算系统对代数中可计算问题形成了计算代数这个新的方向，本文主要通过对于矩阵的应用实例来说明代数在实际生活中的应用。随着科学技术的发展，数学也越来越贴近我们的生活，可以说是息息相关。我们在学习数学知识的同时，也不能忘记将数学知识应用于生活。在学习高等代数的过程中，我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置。本篇论文中，我们就对代数中的矩阵在交通流量分析，电路分析的应用进行了探究并编写了相关程序。 【关键词】高等代数，矩阵，实际，应用，电路分析，交通流 Abstract In recent twenty years, with the rapid development of computer technology, using computer symbol computing system of algebra computational problems form the computational algebra in this new direction. This paper mainly through the matrix of the application examples to illustrate the application of algebra in real life. With the development of science and technology, mathematics is more and more close to our life, it can be said that it is closely related to the development of science and technology. At the same time, we can not forget to apply mathematical knowledge to life. In the course of learning advanced algebra, we found that the algebra has an indispensable position in life and practice. In this thesis, we study the application of the matrix in the
华东师范大学 2004年功读硕士研究生入学考试试题 考试科目：高等代数 一填空，选择，是非题（共15小题，满分60分，每小题4分） 1. 设k 是实数，T 正交矩阵，若kT 也是正交矩阵，则k=______ 2. 实对称矩阵A 正定的充分必 要条件是 （A ）1 -A 正定 （B ）A 的特征值都非负 （C ）A 的秩为n （D ）A 的所有k 级子式都大于零 3. 设A 为n 阶可逆阵，λ是A 的特征值，则必为A 的伴随矩阵* A 的特征值。 （A ）n A 1 -λ （B ）A 1 -λ （C ）n A λ （D ）A λ 4. 设()(){} 02=∈=A Tr R M A V 是关于矩阵的加法和数乘构成的实线性空间，则线性 空间V 的为维数等于______ 5. 设8元非齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩等于3，S ααα,...,,21是该方程组线性无关的解向量组，则S 的最大值 （A ）小于5（B ）等于5（C ）等于6（D ）大于6 6. 五阶实对称矩阵的集合关于相合这一等价关系可分成_________个不同的等价类。 7. 设A 为3阶矩阵，且2 1- =A ，则=--* 12A A ______ 8. 若向量β可由向量组S ααα,...,,21线性表出，则 （A ）存在一组不全为零的数S k k k ,...,,21，使s s k k k αααβ+++=...2211 （B ）存在一组全为零的数S k k k ,...,,21，使s s k k k αααβ+++=...2211 （C ）每个i α都可由βααααα,,...,,,...,,1121S i i +-线性表出 （D ）向量组线性相关。 9. 设A 是阶矩阵，则存在非零m n ?矩阵B ，使AB=0的充分必要条件为A 的秩_________
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
1.在空间直角坐标系中指出下列各点所在的卦限: A(3,-1,1),B(-3,2,-1),C(-3,-2,-1) D(3,-2,-1),E(-3,-2,1),F(-3,2,1) 解：A.IV B.VI C.VII D.VIII E.III F.II 查看全部文档，请关注微信公众号：高校课后习题 2.指出下列各点在空间直角坐标系中所处的特殊位置: A(0,1,-2),B(-3,2,-1),C(-3,-2,-1) D(3,0,-2),E(-3,-2,1),F(0,-2,0) 解：A.yoz 面 B.z 轴上 C.xoy 面上 D.zox 面上 E.x 轴上 F.y 轴 上3.指出点P(3,-1,2)关于原点、各坐标轴、各坐标面的对称点的坐标.解：关于原点对称(-3,1,-2)；关于x 轴对称(3,1,-2)；关于y 轴对称(-3,-1,-2)；关于z 轴对称(-3,1,2)；关于xoy 面对称(3,-1,-2)；关于zox 面对称(3,1,2)；关于yoz 面对称(-3,-1,2). 4.求点P(4，-3,5)到坐标原点、各坐标轴、各坐标面的距离. 解：到原点 255)3(4222=+-+，到x 轴345)3(22=+-，到y 轴415422=+，到z 轴54)3(22=+-，到xoy ，yoz ，zox 面的距离分别为5,4,3. 5.在二轴上求一点P ，使它到点A(1,3,-4)的距离为5.
解：设)0,0,(x ，25)4(3)1(222=-++-x ，1=x ，故为(1,0,0). 6.在坐标面yOz 上求与三点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距的点. 解：设),,0(z y ，则 222222)1()5()2()2(16)2()1(9-+-=++++=-+-+z y z y z y 得y=1，z=-2，故为(0,1,-2). 7.证明以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 解：)326(--=，，AB ，)632(，，-=CA ，||||CA AB =，)358(--=，，BC ，222||||||BC CA AB =+，故为等腰三角形.
武汉大学2019-2020学年 第二学期期末《高等数学A2》考试试卷（A 卷） 一、试解下列各题(每小题5分，共50分)1.讨论二重极限00 11lim()sin x y x y x y →→+的存在性。2.设级数11()n n n a a ∞-=-∑收敛，1(0)n n n b b ∞=≥∑收敛，证明：1n n n a b ∞ =∑绝对收敛。 3.设(,,)u f x y z =有连续偏导数，函数(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，函数()y y x =由0sin x y x t e dt t -=?确定，求du dx .4.设2[,()]z f x y xy ?=-,其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数,)(u ?二阶可导,求y x z ???2.5.已知全微分()()y y xy x x y xy x y x f d 2d 2),(d 2222--+-+=，求),(y x f 的表达式。 6.设曲面方程为0),(=--by z ax z F （b a ,为正常数）,(,)F u v 具有一阶连续的偏导数，且02 2≠+v u F F ，试证明此曲面上任一点处法线恒垂直于一常向量。7.求22(,)f x y x y y =++在区域222 22:4,12x D x y y +≤+≥上的平均值。8.求2(,,)F x y z yzi z k =+ 穿出曲面∑的通量，∑为柱面：221,0y z z +=≥被平面 0,1x x ==截下部分。9.计算积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑ ++?? ，其中∑为球面：2222x y z R ++=的外侧。10.设∑ 为半球面z =(23)x y z dS ∑++??. 二、(10分)已知空间曲线Γ：22223620 x y z x y z ?+-=?--=?，且空间曲线Γ在xoy 坐标面的投影曲线为L ,若取L 为顺时针方向，求曲线积分22 223L ydx xdy x y -+?．三、(8分)考察两直线111: 213 x y z l +-==-和2:42,3,24l x t y t z t =+=-+=-，是否相交？如相交，求出其交点，如不相交，求出两直线之间的距离d . 四、(本题24分，其中（1）8分，（2）8分，（3）4分，（4）4分，)已知某座小山的表面形状曲面方程为2275z x y xy =--+，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面。(1)设点00(,)M x y 为这座小山底部所占的区域D 内的一点，问高函数(,)h x y ，在该点沿平面
1。解：由题意可知 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++= 故()323p x x x x =--+ 2。证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解：由于()111n n k j k k k j n D x x x =≤<≤=-∏∏，又可知 从而知()() () ()1 11 1 111n n i n i i i i i j k k j n D y x x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n i i j k k j n D x x δ≤<≤=-∏，从 而知 4。解；由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而 ()1当1α≠时，A 可逆 ()2由于当1α=时()()() 1 11n T T E E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特 征 多 项 式 为 () 1 1n λλ--故 ()1 rank A n =-， 又 ()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -=== 从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化 5。证明：若1n =时，11A a =显然满足。若2n =时，由于2 112212A a a a =-，由于A 为正定矩阵，从而0A >，即2112212a a a >，从而1122A a a ≤等号成立时， 12210a a ==，即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件 若小于n 时成立，且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。令 11 nn A b A b a ??=???? ，则11A 为1n -阶正定矩阵，从而1 11A -存在且也为正定矩阵。又
2015武汉大学数学分析 一、（40分） 1、.) 1()1)(1()1()1)(1(lim 2111------+--→k k n n n x x x x x x x 2、.sin cos cos lim 20x bx ax m n x -→ 3、).11(lim 132 n -+∑=∞→n k n k 4、已知 2 110n a a n n +≤<+，证明数列{}n a 极限存在。 二、已知曲面0)))((,))(((11=------c z y b c z x a F ，且),(t s F 二阶偏导连续，梯度处处不为零，（1）证明，曲面的切平面必过一定点；（2）()y x z z ,=，证明 .02 22222=??? ? ?????-?????y x z y z x z 三、0>n a ，01lim 1n >=??? ? ??-+∞→λa a n n n ，证明，()∑∞=--111n n n a 收敛. 四、求?????????????? ??--??-∞→t t y x t dxdy y x e e e 00t lim 的极限，或证明它不存在。 五、（1）、求积分()??+ππ 00cos dxdy y x 的值，（2）、10<<α，求积分()d t t f ?1 α的上确界，其中)t (f 是连续函数， ().110 ≤?dt t f 六、已知()dt x tx f ?∞+=0 21cos t ，证明， （1）、()x f 在()∞+∞， -上一致收敛； （2）()0lim =∞→t f t （3）()x f 在()∞+∞， -上一致连续； （4）()0dt sin 0 ≤?∞ t t f ；
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2010-2011第一学期《高等数学B1》期末考试试题解 一、计算题（7?8分） 1、求由方程ln()x y xy e +=确定的隐函数()y y x =的导数dy dx 。 2 、求x →3、求3002 0sin lim cos x x x t dt t dt →??。 4、求1242lim n n x x x n n n n →∞????????++++++ ? ? ???? ??????? 。 5 、求不定积分 。 6、求定积分2 0(1sin )x x dx π-?。 7、求方程22x y xy xe -'+=的通解。 8、设2(),lim ()0x x f x e f x -→+∞'==求20()x f x dx +∞?。 解、1、(1),x y x y x y y xy dy y xye e y xy dx xye x +++'+-'=+=-。 2 、 0000222184lim lim lim 111222 x x x x x x x →→→→??==== 3、330200 20sin sin lim lim 0cos cos x x x x t dt x x t dt →→==??。 4、101242lim (2)1n n x x x x t dt x n n n n →∞????????++++++=+=+ ? ? ???? ???????? 。 5 、) 2212(1)11ln ln 121x e t t u v v dt dv v v v C x C v ====--=+=-++?。
6、2222 00 (1sin )cos sin 128x x x dx x x x π ππ??-=+-=- ????。 7、222 2,,,,2Pdx x x P x Q xe Pdx x Qe dx -?====??通解：222x x y e C -??=+ ???。 8、2 344()()lim lim lim 0939x x x x x f x f x x e x -→+∞→+∞→+∞'==-=-，()22 3233000000()11()()333111(1)666 x x t t t x f x x f x dx x f x dx x e dx te dt t e +∞+∞ +∞+∞-=+∞+∞--'=-=-=-=---=-????。 二、（7分）证明当02x π<<时2sin x x π >。 证、记sin ()12x f x x π=-。2(cos sin )()2x x x f x x π-'=。记()c o s s i n g x x x x =-。()sin 0(0)2g x x x x π'=-<<<，()g x 在02 x π≤≤严格单调下降。()(0)0,()0(0)2g x g f x x π'<=<<<。()f x 在02x π≤≤严格单调下降。()0(0)22f x f x ππ??>=<< ???。故当02x π<<时2sin x x π>。 三、（10分）设抛物线2y ax bx c =++过原点，当01x ≤≤时0y ≥，又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围成图形的面积为 13 。试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。 解、由抛物线2 y ax bx c =++过原点得0c =。 120 ()32a b A ax bx dx =+=+?。令13A =得223a b -=。 2222120224(1)4()()352712a a a a a V a ax x dx ππ??---??=+=++ ? ????? ?。 28(1)12()5 273a a a V a π--??'=-+ ???。()V a 有唯一聚点54a =-。根据问题的实际，54a =-时旋转体的体积V 最小。 53,,042 a b c =-==。