高等代数试题及答案

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其中
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多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
n
m
4.
� � 设 多 项 式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次 项 系 数
二 证明题
1. 证明 x f k (x) 的充分必要条件是 x f (x) .
2. 证明 . x 8 � x 7 � x 5 � x 4 � x 3 � x � 1 x 12 � x 9 � x 6 � x 3 � 1
3. 证明 x d �1 整除 x n �1 的充要条件是 d n .
4. 证明, 若 x 3 � x 2 � x � 1 f ( x 4 ) � xg (x 4 ) � x 2 h(x 4 ) ,则 x � 1 同时整除 f ( x), g ( x), h( x) . 与例 2 联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.
(C)若 g (x) Q f (x) ,则 g ( x) R f ( x) ;(D)若 g (x)� R f (x) ,则 g ( x)� q f ( x) .
3. 设 p(x) f (x), p(x) g (x) ,则 p( x) 整除于
.
① f ( x) � g ( x) ;② f 2 ( x) � g 2 ( x) ;③ f ( x) g ( x) ;④ f 3 (x) � g 3 (x) .
a2 � b2 n

科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。

2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩） 是线其中7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。

（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。

（ ）9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。

（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。

（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分）1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。

（10）2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻，2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。

（11）3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。

（10） 四、计算题（每小题8分，共24分）⎫⎛-331AP 为对考试形式：闭卷 4、特征根是1，1，2，特征向量分别为()(),1,1,2,1,1,121-==αα 5、秩为 3二、是非题（每小题2分，共20分）1、（是 ）2、（是 ）3、（是 ）4、（否 ）5、（否 ）6、（否 ）7、（是 ） 8、（是 ） 9、（是 ） 10、（是 ）三、明证题（每小题××分，共31分）1、证明 设A 可逆，则1-A 存在，且1-A 也是V 的线性变换，（1） 若n A A A εεε,,,21 线性相关，则)(,),(),(12111n A A A A A A εεε--- ，(2)即n εεε,,,21 也线性相关，这与假设n εεε,,,21 是基矛盾，故n A A A εεε,,,21 线性无的一组存在即n A ε,是（10） 则() ⊥⊥⊥=+2121W W W W 。

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数一考试试卷一、单选题每一小题备选答案中,只有一个答案是正确的,请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中.错选、多选、不选均不给分,6小题,每小题4分,共24分 1. 以下乘积中 是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是 .A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵,若AB O =,则正确的是 . A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中,线性无关的是 .A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα,其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα,其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合. 5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<,则A 中 .A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题正确的打√,错误的打×,5小题,每小题2分,共10分.1．若A 为n 阶矩阵,k 为非零常数,则kA k A =. 2．若两个向量组等价,则它们包含的向量个数相同. 3．对任一排列施行偶数次对换后,排列的奇偶性不变. 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. 5．任何数域都包含有理数域. 三、填空题每空4分,共24分.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-,则α= ,(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦,则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解,其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ,则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,则1A B -= . 四、计算题4小题,共42分1．计算行列式1111111111111a a a a；2111116541362516121612564.每小题6分,共12分2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.10分3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.10分4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.10分 一、单选题每题4分,共24分二、判断题每题2分,共10分三、填空题每空4分,共24分1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2． 20；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题共42分1．12分,每小题各6分 1解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............3分31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................3分注：中间步骤形式多样,可酌情加分 2解：222233331111111116541654136251616541216125641654=,此行列式为范德蒙行列式 ......3分 进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......3分2．10分解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ ..................3分 得同解方程组取45,x x 为自由未知量,得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩其中45,x x 为自由未知量 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................3分用同样初等变换,得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量,得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩,将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............3分所以,原方程组的全部解为01122k k γηη++,12,k k 为数域P 中任意数. ............1分注：答案不唯一,但同一齐次方程组的基础解系必等价. 3．10分解：因123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-是线性无关向量组,现将 123,,ααα正交化,令11βα=,αβαββαββββββ-=--=-----=-313233121122(,)(,)814(3,5,1,1)(1,1,1,1)(0,2,1,3)(,)(,)414(1,1,2,0)............................6分再将向量组123,,βββ单位化,得βγβ==1111111(,,,)2222,βγβ==--2222,1,3)14,βγβ==-3332,0)6. 即123,,γγγ就是与123,,ααα等价的正交单位向量组. ....................4分 注：答案不唯一. 4．10分解：A 的特征多项式为所以A 的特征值为1,2-2重. ....................4分1λ=-对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1101η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11k η10k ≠为A 的属于特征值1-的特征向量； .................3分2λ=对应的齐次线性方程组为它的基础解系是1144231,001ηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2233k k ηη+23,k k 不同时为零为A 的属于特征值2的特征向量. ...............3分注：答案不唯一.。

高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。

求解该线性方程组的解。

1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。

令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。

选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。

高等代数专升本试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 2; 2 4]D. [1 0; 0 1]答案：D2. 设A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1, 2, 3，则A的平方的特征值为？A. 1, 4, 9B. 0, 4, 9C. 1, 2, 3D. 0, 1, 4答案：A3. 线性空间V的维数是指：A. 基的大小B. 线性无关向量组中向量的最大个数C. 线性相关向量组中向量的最大个数D. 向量空间中向量的最大个数答案：A4. 以下哪个是线性变换？A. f(x) = x^2B. f(x) = x + 1C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)答案：B5. 线性方程组的解集是：A. 向量B. 矩阵C. 线性空间D. 集合答案：C6. 矩阵A的迹（trace）是：A. A的行列式B. A的逆矩阵的行列式C. A的主对角线元素之和D. A的转置矩阵答案：C7. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大个数B. 矩阵中非零列的最大个数C. 矩阵中线性无关行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关列向量的最大个数答案：D8. 以下哪个不是向量空间？A. 所有实数向量B. 所有复数向量C. 所有实数矩阵D. 所有实数多项式答案：C9. 矩阵的行列式可以用来判断：A. 矩阵是否可逆B. 矩阵的特征值C. 矩阵的秩D. 矩阵的转置答案：A10. 以下哪个是线性无关的向量组？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 0]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 0], [0, 0]答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 矩阵的转置是将矩阵的行和列________。

答案：互换12. 线性方程组的增广矩阵中，________是增广项。

答案：最后列13. 如果向量组线性相关，则存在不全为零的标量使得它们的线性组合为零向量。

复习提纲一、填空题1. 设B A ,是两个n 级对角矩阵，则乘积AB 是2. 实二次型()()31212322213212212,,x x x kx x k x x x x x f ++-++=为正定二次型，则k 的取值范围为3. 如果把复数域看作实数域上的线性空间，那么这个空间的维数是4．设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是5．设βα,是欧氏空间V 中两个线性无关的向量，则|),(|βα ||||βα∙ . 6．在2R 中，对于向量()()2121,,,b b a a ==βα规定内积为()221153,b a b a +=βα ，则基()()1,0,0,121==e e 的度量矩阵为7．设A 是实对称矩阵，且E A =2，则A 是 矩阵.已知二次型31212322212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .8．设有3R 的子空间(){}R b a b a b a W ∈=+=,,20,,，则W 的维数= .9. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为 ，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为 ，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 .10. 在欧式空间4R 中，已知向量()()3,2,2,1,1,5,1,3==βα，则内积()βα,= ，两向量的夹角β,= .11. 设3R 的子空间(){}R x x x x x W ∈+=21221,,0,2，维()=W ，W 的一组基为 .12. 已知二次型3231212322214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .13. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,εε到基21,ηη的过渡矩阵为 ，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为 ，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 . 14. 在欧式空间4R 中，已知向量()()2,1,1,1,1,1,0,1-=-=βα，则两向量的夹角βα,= .15. 在2P 中，已知两组基：()()1,1,2,121-==εε与()(),1,0,3,121=-=ηη则基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为 ，向量()0,1=α在基21,εε下的坐标. .16. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A -A 32121,,a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a .17. 设B A ,是两个n n ⨯矩阵，若B A ~，则A B ，2A 2B .18. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A +A 32121,,a a a ，()()=A -3211,,2a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a线性变换()21A ∙A 在基()0,0,11=e ，()0,1,02=e ，()1,0,03=e 下的矩阵 为 .19. 设矩阵A 满足O A A =-42，则A 的特征值是 .20. 设3,1,1-是33⨯矩阵A 的特征值，则3254E A A --= .21. 设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是 ，找出2R 的一组标准正交基 .二、判断题：1. 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.2. 设A 为n 阶实对称矩阵，0>A ，则存在实的n 维向量O X ≠0，使000>'AX X .3. 正定二次型()321,,x x x f 的规范形是232221x x x ++.4. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，则(L ),,,4321αααα),(),(4321ααααL L ⊕=.5. 设A 是线性空间V 的线性变换，V ∈βα,，若βαA =A ，则βα=.6. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的两个特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.7. 设A 是复数域C 上的n 维线性空间V 的线性变换，则总可以找到V 的一组基，使A 在这组基下的矩阵是对角矩阵.8. 对任意实对称矩阵A ，总能找到正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.9. 设V 是n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，则V A AV =+-)(1θ.10. 任意两组标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵.11. 设4321,,,αααα是空间V 的向量，θαααα=-+-43212345，则),(),(4321ααααL L =.12. 设两个n 级矩阵A 与B 有相同的特征多项式，则A 与B 合同. 13. 在复数域上三元二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=.14. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.15. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.16. 次数等于n 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间. 17. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的向量，则A 是线性空间V的线性变换.18. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的属于两个不同特征值的特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.19. 设A 是一个n 级正定矩阵，而(),,,,21n x x x =α(),,,,21n y y y =β在n R 中定义内积()βα,为()T A βαβα=,，则nR 是一欧式空间.20. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,-=A ，则A 是正交变换. 21. 任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级对角形矩阵T ，使T 与A 既合同又相似.22. 三元正定二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=. 23. 全体复数可看成复数域上的一维向量空间.24. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.25. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的非零向量，则A 是线性空间V 的线性变换.26. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,3-=A ，则A 是正交变换.. 27. 实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 合同于单位矩阵. 28. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.29. 设n ααα,,,21 是欧式空间V 中的一组基，如果V ∈β且满足()0,=i αβ()n i ,,2,1 =，则O=β.30. 在[]x R 3中定义内积为()()()()()dx x g x f x g x f ⎰-=11,，则31,,12-x x 是 []x R 3的一组标准正交基.31. 设(){}F b a b a V ∈=,,，现取加法为通常的加法，而数量乘积重新定义为：()()kb a b a k ,,= ，则V 关于加法与新定义的数量乘积是F 上的线性空间. 32. 数域F 上的n 元线性方程组的解集合是nF 上的子空间.33. 设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间. 34. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，且满足=-+-43212345αααα，则()()432321,,,,ααααααL L =.35. 设(){}F b a b a V ∈=,,，对V 定义两种运算：()()()k d b c a d c b a ,,,,++=⊕⊙()()kb a b a ,,=，则V 关于加法和数量乘积是F 上的向量空间. 36. (){}F b a b a b a ∈+,,,是3F 的子空间.37. (){}F a a a ∈3,,1是3F 的子空间.38. nF 中，设n εεε,,,21 是n 维单位向量组，则=nF（n εεε,,,21 ）.39. 设(),,F T F Mat S n n ==⨯令()S A A A ∈=,σ，则σ是从S 到T 的一个线性变换.三、解答题1. 已知实二次型313221321),,(x x x x x x x x x f ++=（1）试用矩阵乘积的形式表示f ；（2）试求非退化线性替换化f 为标准型.2. 设22,,1x x x x ++是线性空间3][x R 的一组基，求2231x x +-在这组基的 坐标.3. 设3P 中定义线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101110211A ，计算（1）V A 与A 的秩；（2）()O 1-A 与A 的零度4. 在线性空间3P 中，给出两个向量组⎩⎨⎧=-=)1,1,1()0,1,1(21αα； ⎩⎨⎧--=-=)1,1,1()0,3,1(21ββ求),(),(2121ββααL L +与),(),(2121ββααL L 的基与维数5. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.6. 在欧氏空间4R 中，求与)0,4,1,1(--=α，)2,2,1,1(=β，)4,5,2,3(=γ都正交的单位向量.7. 已知实二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. 8. 设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.9. 已知齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x ，求（1）一个基础解系；（2）解空间的一组标准正交基. 10. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}R y y V ∈=,0,02 证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=.11. 已知实二次型32312123222132148455),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ； （2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形.12.设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.13. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}32132122,,x x x x x x V ===， 证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=. 14. 已知实二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. （3）()321,,x x x f 的正、负惯性指数及符号差. 15. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵；（3）写出V 的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵. 16.设（1）证明21,v v 是3R 子空间；（2）证明213v v R ⊕=。

延安大学继续教育学院二零二二年高等代数期末考试试题及答案注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2A x x x B=--<=-，则{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高等代数模拟试题及答案高等代数模拟试题及答案(一)26.如果矩阵rankAr,则 ( )A. 至多有一个r阶子式不为零;B.所有r阶子式都不为零C. 所有r1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零;D.所有低于r阶子式都不为零27. 设A为方阵，满足AA1A1AI，则A的行列式|A|应该有 ( )。

A. |A|0B. |A|0C. |A|k,k1D. |A|k,k128. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA ( )。

A. kA;B. kA;C. knAD. |k|nA29. 设A、B为n阶方阵，则有( ).A.A，B可逆，则AB可逆B.A，B不可逆，则AB不可逆C.A可逆，B不可逆，则AB不可逆D.A可逆，B不可逆，则AB不可逆30. 设A为数域F上的n阶方阵，满足A2A0，则下列矩阵哪个可逆( )。

2A.AB.AIC.AI DA2I31. A,B为n阶方阵，AO，且R(AB)0，则( )。

A.BO;B.R(B)0;C.BAO;D.R(A)R(B)n32. A，B，C是同阶方阵，且ABCI，则必有( )。

A. ACBI;B. BACI;C.CABID. CBAI33. 设A为3阶方阵，且R(A)1，则( )。

A.R(A__)3;B.R(A__)2;C.R(A__)1;D.R(A__)034. 设A,B为n阶方阵，AO，且ABO，则( ).A.BOB.B0或A0C.BAOD.ABA2B2 20040000035. 设矩阵A1000，则秩A=( )。

00000200A.1B.2C.3D.436. 设A是mn矩阵，若( )，则AXO有非零解。

A.mn;B.R(A)n;C.mnD.R(A)m37. A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是( )。

A.ABOAO且BO;B. A0AO;C.AB0AO或BO;D. AI|A|1高等代数模拟试题及答案(二)38. 设A为n阶方阵，且RAr<n，则a中( p="">A.必有r个行向量线性无关B.任意r个行向量线性无关C.任意r个行向量构成一个极大无关组D.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示39. 设A为34矩阵，B为23矩阵，C为43矩阵，则下列乘法运算不能进行的是( )。

高代一期末考试试题及答案高等代数一期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量空间B. 线性变换C. 矩阵D. 微积分2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中线性无关行的最大数量D. 矩阵中线性无关列的最大数量3. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的行列式不为零B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩等于未知数的个数D. 所有选项都是4. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 行阶梯形矩阵D. 非方阵5. 特征值和特征向量的计算与下列哪个矩阵运算相关？A. 矩阵的加法B. 矩阵的乘法C. 矩阵的转置D. 矩阵的行列式二、填空题（每空1分，共10分）6. 一个向量空间 \( V \) 的基 \( B \) 包含 \( n \) 个线性无关向量，则 \( V \) 的维数为 _______。

7. 若 \( A \) 是 \( m \times n \) 矩阵，\( B \) 是 \( n\times p \) 矩阵，则 \( AB \) 是 _______ 矩阵。

8. 线性变换 \( T: V \rightarrow W \) 的核是所有满足 \( T(v) = 0 \) 的向量 \( v \) 的集合，记为 _______。

9. 矩阵 \( A \) 与 \( B \) 相等，当且仅当它们具有相同的_______。

10. 一个 \( n \) 阶方阵的迹是其对角线上元素的 _______。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个线性无关向量组的例子。

12. 描述矩阵的行列式计算的几何意义。

13. 说明如何使用高斯消元法求解线性方程组。

14. 什么是特征值分解？它在哪些领域有应用？四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明如果矩阵 \( A \) 可逆，则 \( A \) 的行列式不为零。

一、单选题（32 分. 共8 题, 每题4 分）1) 设b 为3 维行向量，V ={(x1 , x2 , x3 ) | ( x1 , x2 , x3 ) =b}，则。

CA) 对任意的b ，V 均是线性空间；B) 对任意的b ，V 均不是线性空间；C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。

2)已知向量组I：α1 ,α2 ,...,αs 可以由向量组II：⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。

AA)若向量组I 线性无关，则s t ；B) 若向量组I 线性相关，则s >t ；C) 若向量组II 线性无关，则s t ；D) 若向量组II 线性相关，则s >t 。

3)设非齐次线性方程组AX =⎭中未定元个数为n，方程个数为m，系数矩阵A 的秩为r，则。

DA)当r <n 时，方程组AX =⎭有无穷多解；B) 当r =n 时，方程组AX =⎭有唯一解；C) 当r <m 时，方程组AX =⎭有解；D) 当r =m 时，方程组AX =⎭有解。

4)设A 是m ⨯n 阶矩阵，B 是n ⨯m 阶矩阵，且AB =I ，则。

AA) r( A) =m, r(B) =m ；B) r( A) =m, r(B) =n ；C) r( A) =n, r(B) =m；D) r( A) =n, r(B) =n 。

5)设K 上3 维线性空间V 上的线性变换ϕ在基⋂,⋂{1 1 1,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1| ，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。

C1 2 3|||1 1 1|{1 2 1112222{ 1 11| | |2||  || 2 |A) |2 0 2 |；B) | 11 10 1 |；C) |10 1 ；D)|2 0 2 |。

|1 2 1 || 1 | 2|1 2 1 || 1 |26)设ϕ是V 到U 的线性映射，dim V =n, dim U =m 。

第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。

1. (1) 用第一行减去下面的各行, 然后在最后一列展开, 答案为 1. (2) 注意到
cos(n + k) = cos n cos k − sin n sin k, cos(2n + k) = cos(2n) cos k − sin(2n) sin k,
用第一行的 cos n, cos(2n) 倍分别减去第二行,第三行; 这时第三行是第二行的 2 cos n 倍, 从而行列式为 0.
其中
z
=
e 2πi n
.
由
AU
= UD,
U¯
= U −1
得到
U¯ AU
= D,
U¯ ATU
= D¯ ,
因此
U¯ BU
=
1 2
(D
+
D¯ ),
B
的特征值为
1,
cos
2π n
,
.
.
.
,
cos
2π(n−1) n
,
除去
1
外,
这些特征值中的最大值为
cos
2π n
,
从而结论
得证. 如果能事先注意到 AT = An−1 = A−1 的话, 更容易推出 B 的特征值.
把题目改成 A = T B 是不对的, 比如取 B = 0, A = 0. 把题目改成 T A = T B 没有意义, 因为可 以取 T = 0.
2
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南开大学 2019 年高等代数考研试题参考解答
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7. 充分性. 只需要注意到
E −X 0E
A0 0A
EX
A AX − XA
AB
=
=
.
5. (15 分) 若 A, B 都是 n 阶正定矩阵. 求证 tr(AB) > 0.

1山东师范大学成人高等教育期末考试试题（时间：120分钟 共100分）年级： 专业： 考试科目： 高等代数试题类别： A (A/B/C) 考试形式___(开、闭卷)一、选择题 （每题4分共20分） 1、 以下行列式中（ ）的值必为零（A ）n 阶行列式中有一行的元素全是0 （B ）行列式中有两行含有相同的公因子 （C ）行列式中有一行与另一列对应元素成比例 （D ）行列式D 的转置行列式D D T -= 2、n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是：（ ）（A ）n A R =)( （B ）n A R <)( （C ）n A R >)( （D ）)(A R 与n 无关 3、 设有矩阵23⨯A ，33⨯B ，32⨯C ，则下面（ ）运算可行 （A ）BC （B ）ABC （C ）AC （D ）BC AB -4、 一个n 维向量组)1(,,,21>s s αααΛ线性相关的充要条件是其中（ ）（A ）含有零向量 （B ）有两个向量的对应分量成比例（C ）至少有一个向量是其余向量的线性组合 （D ）每一个向量是其余向量的线性组合5、 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110A ，则矩阵A 的特征值为（ ） （A ）1,1- （B ）1,0 （C ）1,0- （D ）2,0二、填空题（每题2分共12分）1、5000054000543005432054321的值为______________ 2、已知行列式543432321---=D ，其转置行列式_____________________=T D 3、若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=625972413A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6297213y x B ，已知B A =，则_____________________==y x4、设A 为4阶方阵，且A =2，则_________________2=A5、1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性____________________的6、线性方程组B AX =有解的充分必要条件是__________________________ 三、判断题 （每题4分共20分）1、任何两个矩阵都可以相加减 ( )2、333231232221131211333231232221131211a a a a a a a a a k ka ka ka ka ka ka ka ka ka = ( ) 3、若齐次线性方程组0=AX 有非零解，则系数矩阵的行列式为0 ( )4、在一个向量组s ααα,,,21Λ中，如果有部分向量组线性相关，则向量组s ααα,,,21Λ 必线性相关 ( )5、对于矩阵B A ,，有TTTB A AB =)( ( ) 四、计算下列各题（每题6分共18分）1、求行列式122305403--中元素2的余子式和2-的代数余子式。

高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。

如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。

B. 矩阵的乘积总是可交换的。

C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。

D. 行列式的值总是正数或零。

6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。

大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。

A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。

A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。

A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。

7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。

8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。

9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。

10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

数学系《高等代数》期末考试试卷年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。

题号一二三四五总分签 名得分一得 分阅卷教师一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间的维数,则没有真子空间. ( )3.维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个阶实对称矩阵均正定,则它们的和也正定. ( )二得分阅卷教师二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分） 1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组线性无关，且每一可由向量线性表示，则； D. 维向量空间的任意两个基彼此等价. 2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A．向量空间的可逆线性变换是到的同构映射；B．数域上的维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域上的所有阶矩阵所成向量空间同构； C．若是数域上向量空间到的同构映射，则是到的同构映射；D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．阶矩阵有个不同的特征根是与对角矩阵相似的 ( ).A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件； C．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．装 订线4．二次型的矩阵是( ).A．； B．；C．； D．5.实二次型正定的充分且必要条件是 ( ).A．； B．秩为3； C．合同于三阶单位矩阵； D．对某一有.三．填空题（每小题分，共101. 复数域作为实数域上的向量空间，它的一个基是________.2. 设是数域上任意，定义，则是一个线性变换，且的核的维数等于______.3. 若是一个正交矩阵，则的行列式=________.4. 在欧氏空间中向量与的夹角=______.元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.四得分阅卷教师四．计算题（每小题14分，共42分）1．求齐次线性方程组的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设,求的特征根及对应的特征向量.问是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵，使为对角形.3． 写出3元二次型的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.得 分阅卷教师五五．证明题（每小题10分，共20分）1．设为阶矩阵的属于不同特征根，分别是的属于的特征向量，证明不是的特征向量.2．设是维欧氏空间的正交变换，且为单位变换，是关于的某一规范正交基的矩阵，证明为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。

2012 级高等代数Ⅰ试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． 下列说法正确的是（）A ． 任何多项式都不整除零多项式B ． 零多项式与任何多项式都互素C ． 零次多项式与任何多项式都互素D ． 零次多项式与零多项式不互素2． 设 (),(),()[] f x g x p x P x Î , 且 () p x 在数域P 上不可约，如果 ) ( ) ( ) ( x g x f x p ，则 一定成立的是 ( )A ． ) ( ) ( x f x p 且 ) ( ) ( x g x pB ． ) ( ) ( x f x p 但 ) ( | ) ( x g x p /C ． ) ( | ) ( x f x p / 且 ) ( | ) ( xg x p / D ． ) ( ) ( x f x p 或 )( ) ( x g x p 3． 设A 和B 都是n 阶方阵，O 表示零矩阵，若AB O = ，则一定成立的是（ ）A ． A 和B 都是可逆矩阵 B ．A O = 或B O =C ． ||0AB = D ．A 可逆，B 不可逆4．已知齐次线性方程组 O X A n m = ´ 只有零解,下列结论一定成立的是（ ）A ． A 的秩为mB ． A 的行秩为nC ． A 的列向量组线性相关D ． A 的行向量组线性无关5． 设A 是n 阶方阵，k 是一个非零常数，若 0 kA = ，则一定成立的是（ ）A ． 0A =B ． A 可逆C ． A 是零矩阵D ． A 的秩等于n二、判断题（每小题2分，共10分）6． 任意多项式都定义有次数．（）7． 任意两个不全为零的多项式都有首项系数是1 的最大公因式．（ ）8． 任意矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵．（ ）9． 任意齐次线性方程组不一定总有解．（）10． 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价．（）三、填空题（每小题2分，共10分）11． 含有n 个未知量，系数矩阵的秩为r 的齐次线性方程组有非零解，则基础解系所 含解的个数等于____________．12．以纯虚数i 为根的非零实系数多项式中次数最低的首1多项式为_______________． 13． 如果一个 4 阶矩阵的秩为1，那么此矩阵的任意两行．14． 方程个数和未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列 式_____ _____．15． 多项式 () f x 被x c - 所除得到的余式为．四、计算题（每小题10分，共50分）16． 如果 1 ) 1 ( 2 4 2 ＋ ＋ － Bx Ax x ，求 A ，B ．17． 计算n 阶行列式：n aa a a na a a a na a a a n aaa a D + + + + = 1 3 2 1 3 1 2 1 32 1 13 2 1 1 L M O M M M L LL ．18． 设 1(2,1,2,2,4) a =- ， 2 (1,1,1,0,2) a =- ， 3 (0,1,2,1,1) a =- ， , 1 , 1 , 1 ( 4 - - - = a ), 1 , 1 - 5 (1,2,1,1,1) a = ．试确定向量组 ,,,, 12345 a a a a a 的一个极大线性无关组与秩．19． 用导出组的基础解系表出下列非齐次线性方程组的全部解：31 22461 x y z w x y z w x y z w --+= ì ï-+-= í ï --+=- î． 20． 已知矩阵 100 011 111 A æö ç÷= ç÷ ç÷ - èø， 22 37 22 B æöç÷ =- ç÷ ç÷ èø，若( )A E XB += ，求矩阵X ． 五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证明： ) ( | ) ( 2 2 x f x g 当且仅当 ()|() g x f x ．22． 设向量组 ,, 123 a a a 线性无关，向量组 ,, 234 a a a 线性相关，试证： 1 a 不能 由 ,, 234 a a a 线性表示．高等代数Ⅰ参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． C2． D 3． C 4． B5． A二、判断题（每小题2分，共10分）6． × 7． √ 8． √ 9． × 10． √三、填空题（每小题2分，共10分）11． rn - 12． 12+ x 13． 线性相关 14． 为零15． )(c f 四、计算题（每小题10分，共50分）16． 解 设 1 ) ( 24＋ ＋Bx Ax x f = ，则 Bx Ax x f 2 4 ) ( 3＋ = ¢ ． （2分）由一次因式和根的关系及重因式知îíì = + = ¢ = + + = 0 2 4 ) 1 ( 0 1 ) 1( B A f B A f ， （8 分） 解得 1 = A ， 2 - = B ．（10 分）17． 解n aaa n a a a naa a n a a a na aa n a a a n aaa n a a a D ncc c c c c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + 1 32 2 1 1 31 2 2 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 131 21 L L M O MM M L L LL L L M （2分）n aaa naa a na aa n a aa na a a na a a c + + + + + + + = + + + + ¸ 1 32 13 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 ) 2 1 1 ( )1 ( 211L M O M M M L LL L L （8 分）na a a na a a c a c c a c c a c n n+ + + + = + + + + = - - - L L M O M M M L L L L M2 1 1 10 0 10 1 0 10 1 10 0 1) 2 1 1 ( 113 3 12 2 ．（10 分） 18． 解 按列拼成矩阵÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç çç ç ç èæ - - - - - - - = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1 11 2 4 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 11 1 0 12 ) , , , , ( 5 43 2 1 a a a a a ． （2 分）用行初等变换化简得÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöç ç çç ç ç è æ - - - - ® ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 3 0 0 0 0 1 1 02 1 1 1 1) , , , , ( 5 4 3 2 1 a a a a a ． （8 分）由初等变换不改变列向量组的线性关系得原向量组的一个极大线性无关组为 3 2 1 , , a a a ，向 量组 ,,,, 12345 a a a a a 的秩为 3．（10 分）19． 解 构造增广矩阵并作行初等变换得÷ ÷÷ ÷ øö ç ç ç ç è æ - - - ® ÷ ÷ ÷ø ö ç ç ç è æ - - - - - - - = 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 6 4 2 2 1 3 1 1 1 0 1 1 1 1 A ．（2分）得到原线性方程组的一般解为ï î ï í ì + = + + = w z wy x 2 212 1． 令 0 , 0 = = w y ，得原方程组的一个特解 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 0 2 1 0 2 1 0 g ．（5 分）对应齐次线性方程组的一般解为î íì = + = w z wy x 2． 令 0 , 1 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = 0 0 1 1 1 h ，令 1 , 0 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 1 2 0 1 2 h ．（9 分）原方程组的全部解为{} R k k k k Î + + = 2 1 2 21 1 0 ,h h g g ． （10分）20． 解 构造分块矩阵÷ ÷ ÷øöç ç ç è æ - - = + 2 2 2 1 1 7 3 1 2 0 2 2 0 0 2 ) , ( B E A ．（2 分）作初等行变换得÷ ÷ ÷øö ç ç ç è æ - - ® + 1 1 1 0 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ) , ( B E A ．（6 分）由初等变换与初等矩阵的联系知÷ ÷ ÷ øö ç ç ç è æ - - = 1 1 3 1 1 1 X ．（10 分）五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证 充分性 若 ()|() g x f x ，则存在多项式 ) (x h ，使得 ) ( ) ( ) ( x h x g x f = ．两端 平方得 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x h x g x f = ，即 ) ( | ) ( 22 x f x g ．（4 分）必要性 若 0 g = ，则 0 f = ，结论成立． 若g 为非零常数，易知结论也成立．若 1 ) ( ³ ¶ g ，由多项式的因式分解定理，设 f g , 标准分解式为12 12 s r r r s g ap p p = L ， 12 12 , sm m m s f bp p p = L i p 是不可约多项式。