116高斯公式与斯托克斯公式
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第六节高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的两个重要定理,是对向量场的积分定理,用于求解曲面和曲线上向量场的积分。
本文将介绍高斯公式和斯托克斯公式的定义、推导过程和应用。
一、高斯公式(Gauss's theorem)高斯公式又称为高斯散度定理,它是从向量微积分中的散度定理演变而来。
1.定义设Ω是空间中的一块有界闭区域,S是Ω的边界曲面,而n为S上的单位外法向量,则对于向量场F=(P,Q,R),高斯公式的数学表达式为:∬S(F·n)dS=∭ΩdivFdV其中,“S”表示对曲面S的积分,“∬”表示对曲面上的每个点都进行积分,“∭”表示对空间Ω中的每个点都进行积分,“div”表示F 的散度。
2.推导过程为了推导高斯公式,我们先考虑最简单的情况,即立方体的情况。
假设Ω是一个立方体,S是它的六个面,而n为各个面的单位外法向量。
我们将立方体按照坐标轴方向切割成一个个小的立方体,每个小立方体的体积为ΔV。
在每个小立方体上应用散度定理,可以得到:∬S(F·n)dS=Σi∆Si(F·ni)其中,Σi表示对立方体的所有小立方体求和,Si表示第i个小立方体的表面积,ni为第i个小立方体的单位外法向量。
我们知道,在Ω中每个小立方体的边长趋于零的极限过程中,散度div F趋于ΔV的比例的极限值就是div F在相应点处的函数值,即div FdV。
因此,当小立方体的数量趋于无穷大时,上式等于∭ΩdivFdV,从而得到了高斯公式的表达式。
3.应用高斯公式在物理学中有广泛的应用,特别是在电磁学和流体力学中。
例如,根据高斯公式,我们可以计算电荷的总电量和电场的密度分布等。
二、斯托克斯公式(Stokes's theorem)斯托克斯公式是从向量微积分中的环量定理演变而来。
1.定义设Ω是空间中的一块有界曲面,C是Ω的边界曲线,而n为曲面Ω上的单位法向量,t为曲线C上的单位切向量,则对于向量场F=(P,Q,R),斯托克斯公式的数学表达式为:∫C(F·t)ds=∬Ω(rotF·n)dS其中,“C”表示对曲线C的积分,“∫”表示对曲线上的每个点都进行积分,“∬”表示对曲面Ω的每个点都进行积分,“rot”表示F的旋度。
高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式:解读电磁场与物质相互作用的数学工具引言:电磁场与物质之间的相互作用是自然界中一种重要的现象。
为了描述和理解这种相互作用,科学家们发展了一系列的数学工具和公式。
本文将介绍两个重要的公式:高斯公式和斯托克斯公式。
这两个公式在电磁场与物质相互作用的研究中起着至关重要的作用。
一、高斯公式高斯公式是描述电场与电荷之间相互作用的数学工具。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪初提出。
高斯公式的核心思想是电场线通过闭合曲面的总通量等于包围在曲面内的电荷量的比例。
具体而言,高斯公式可以用以下形式表示:∮E·dA=Q/ε₀其中,∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量,Q表示曲面内的电荷量,ε₀是真空中的电介质常数。
高斯公式的应用非常广泛。
例如,在计算电场分布时,可以通过计算闭合曲面上的电场通量来确定曲面内的电荷分布情况。
同时,高斯公式也能够帮助我们理解电场与电荷之间的相互作用规律,揭示自然界中电磁现象的本质。
二、斯托克斯公式斯托克斯公式是描述磁场与电流之间相互作用的数学工具。
它由英国物理学家乔治·斯托克斯于19世纪中期提出。
斯托克斯公式的核心思想是磁场线沿闭合曲线的环绕的总磁通等于通过曲线所围成的面积的比例。
具体而言,斯托克斯公式可以用以下形式表示:∮B·ds=μ₀I其中,∮B·ds表示磁场B沿闭合曲线的环绕磁通,I表示通过曲线所围成的电流,μ₀是真空中的磁导率。
斯托克斯公式在磁场与电流相互作用的研究中起着重要的作用。
例如,在计算磁场分布时,可以通过计算闭合曲线上的磁场环绕磁通来确定曲线内的电流分布情况。
同时,斯托克斯公式也能够帮助我们理解磁场与电流之间的相互作用规律,深化对电磁现象的认识。
结论:高斯公式和斯托克斯公式是描述电磁场与物质相互作用的重要数学工具。
高斯公式用于描述电场与电荷的相互作用,斯托克斯公式用于描述磁场与电流的相互作用。
Gauss 公式:⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=⋅∇s d A dv A物理意义:向量场→A 对某闭合曲面∑的通量等于该场的散度对该闭合曲面所围成体积Ω的积分。
Ⅰ解释左边:设→→→→⋅+⋅+⋅==k R j Q i P R Q P A ),,(dv zR y Q x P dv A A div z R y Q x P k R j Q i P k z j y i x A ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ→→→→→→→→→∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇∴=∂∂+∂∂+∂∂=⋅+⋅+⋅⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=⋅∇))((Ⅱ解释右边⎰⎰⎰⎰∑→→∑→→→→⋅=∴=dsn A s d A dsn s d⎰⎰⎰⎰∑∑→→→→++=⋅∴++=⋅dsR Q P ds n A R Q P n A γβαγβαcos cos cos cos cos cos同样⎰⎰⎰⎰∑∑→→→++=⋅∴=RdxdyQdzdx Pdydz ds n A dxdy dzdx dydz s d ),,(这么两种化开方法,都可以把向量积分转化为标量积分Stocks 公式:⎰⎰⎰Γ∑=⨯∆l d s d A A物理意义:向量场→A 对某闭合曲线Γ的环流量等于该场的旋度对闭合曲线围成的曲面∑的积分。
Ⅰ解释左边设→→→→⋅+⋅+⋅==k R j Q i P R Q P A ),,(→→→→→=∂∂∂∂∂∂=⨯∇A rot RQPz y x kj i A (cos ,cos ,cos )(,,)d s n ds ds dydz dzdx dxdy αβγ→→===(n →为曲面∑单位法向量,它的方向依闭合曲线的走向右旋决定)ds R Q P z y x s d ⎰⎰⎰⎰∑→∑→∂∂∂∂∂∂=⨯∆∴γβαcos cos cos A 或 ⎰⎰⎰⎰∑→∑→∂∂∂∂∂∂=⨯∆∴RQ P z y x dxdy dzdx dydz s d AⅡ解释右边dl l )cos ,cos ,(cos γβατ==(τ是l 的单位切向量,其方向由曲线l 的走向决定)⎰⎰⎰ΓΓ→Γ→→++=⋅=∴dlR Q P dl l d )cos cos cos (A A γβατ又知:k dz j dy i dx l d⋅+⋅+⋅= ⎰⎰ΓΓ→→++=∴Rdz Qdy Pdx l d AΔ在二维的退化可设),(Q P A =则公式退化为:⎰⎰⎰∑Γ+=∂∂-∂∂Qdy Pdx dxdy y Px Q )(Δ积分与路径无关 若yP x Q ∂∂=∂∂(二维) yRz Q z P x R x Q y P ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂,,(三维) 即:0cos cos cos =∂∂∂∂∂∂RQ Pz y x γβα 则场→A 对某闭合曲线Γ的积分为0,*假如曲线Γ不闭合,则意味着→A 从起点到终点的积分与路径无关,(物理解释是→A 是无旋场)。