全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十九讲生活中的数学(一)——储蓄、保险与纳税
储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．
1．储蓄
银行对存款人付给利息，这叫储蓄．存入的钱叫本金．一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．
利息=本金×利率×存期，
本利和=本金×(1+利率经×存期)．
如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有
i=prn，s=p(1+rn)．
例1设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和为多少元？
解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．
s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．
答某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元．
以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金．相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息．目前我国银行存款多数实行的是单利法．不过规定存款的年限越长利率也越高．例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22．1所示．
用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,…，s n，则
s1=p(1+r)，
s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，
s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，
……，
s n=p(1+r)n．
例2小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？
解按表22．1的利率计算．
(1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为
20000(1+0.0522)5≈25794(元)．
(2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为
20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．
(3)先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为
20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．
(4)先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为
20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．
(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为
20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．
(6)存一个5年期，则到期后本利和为
20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．
显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．
例3小华是独生子女，他的父母为了给他支付将来上大学的学费，从小华5岁上小学前一年，就开始到银行存了一笔钱，设上大学学费每年为4000元，四年大学共需16000元，设银行在此期间存款利率不变，为了使小华到18岁时上大学本利和能有16000元，他们开始到银行存入了多少钱？(设1年、3年、5年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22％，6.21％和6.66％)
解从5岁到18岁共存13年，储蓄13年得到利息最多的方案是：连续存两个5年期后，再存一个3年期．
设开始时，存入银行x元，那么第一个5年到期时的本利和为
x+x·0.0666×5＝x(1+0.0666×5)．
利用上述本利和为本金，再存一个5年期，等到第二个5年期满时，则本利和为
x(1+0.0666×5)+x(1+0.0666×5)·0.0666×5
=x(1+0.0666×5)2．
利用这个本利和，存一个3年定期，到期时本利和为x(1+0.0666×5)2(1+0.0621×3)．这个数应等于16000元，即
x(1+0.0666×5)2·(1+0.0621×3)=16000，
所以 1.777×1.186x=16000，
所以 x≈7594(元)．
答开始时存入7594元.
2．保险
保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．
例4 假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22．2所示．
试问：(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家？
(2)如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？
解 (1)因为
1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，
365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．
11÷4096≈0.0026．
(2)300000×0.0026=780(元)．
答(1)每年在1000家中，大约烧掉2.6家．
(2)投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费．
例5财产保险是常见的保险．假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费．B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年．期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费．今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元B
种保险一年．试问兄弟二人谁投的保险更合算些？(假定定期存款1年期利率为5.22％)
解哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费
80000÷1000×3=80×3=240(元)．
弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交
80000÷1000×25=2000(元)，
而2000元一年的利息为
2000×0.0522=104.4(元)．
兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约
240-104.4=135.60(元)．
因此，弟弟投的保险更合算些．
3．纳税
纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：
(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元)，预扣率为3％，全额计税．
(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．
(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．
每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略)．
由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y 为相应的纳税金额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：
例6小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？
解根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①)，从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：
由①得y=10000-x，将之代入②得
x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，
化简、整理得
0.16x-0.2x+1840=1560，
所以
0.04x=280，x=7000(元)．
则 y=10000-7000=3000(元)．
所以
答小王收入7000元，小张收入3000元．
例7如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是
其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额．
那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？
解设这笔稿费为x元，由于x＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程
x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，
化简、整理得
0.112x=x-6216，
所以 0.888x=6216，
所以 x=7000(元)．
答这笔稿费是7000元．
练习二十二
1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22％，6.21％，6.66％保持不变)
(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；
(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；
(3)连续存二个5年期．
2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？
3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？
4．把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元(单利法)？
初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法
第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b ③对任意实数a则a≥a a≥－a ④a·b＝ab b≠0 ⑤a－b≤a±b≤a＋b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 ＝ 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数
2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则
第三单元生活中的数 第一课时数花生 教学目标： 1.结合多种数数活动，会数100以内的数，初步认识100以内的数，感知100的意义。 2.在多样化的数数活动中，培养发散思维能力，感受数数的乐趣。 3.通过数数培养数感，感受位值 教学重点：会数100以内的数，初步认识100以内的数，感知100的意义。 教学难点：培养发散思维能力，感受数数的乐趣。 教学准备：学生准备花生多媒体课件 教学流程： 一. 谈话导入 1.你家里有几口人？每天上几节课？一天吃几顿饭？咱们班有多少名同学？你今年几岁了？ 2.老师还想知道咱们班的同学是否都来了？现在咱们就按顺序说出你的学号。 3.看来生活中处处都有数，从今天开始我们就来认识生活中的数。 4..课件出示花生图：你们认识他吗？能说说你对他的了解吗？ 5.老师让同学们准备了一些剥好的花生，可老师想知道你们谁带的花生多，谁的花生少？谁能为老师想出一个好办法？ 6.板书课题：数花生注意数字的读法。 二.学习新知 (一) 1.出示课件：像老师这样一个一个地数。现在就动手数一数，你桌面上的花生，数出100粒花生。看谁数的又快又准。 2.老师考考你在数到29时，他的后面是多少？58的后面呢？98的后面呢？ 3.怎样知道你数的对不对？有什么好办法？学生各抒己见。 4.老师建议;同桌互换数并且换一种方法两个两个地数，看看同桌数的和你数的是否一样?有信心吗？出示课件：像老师这样两个两个地数。（指导学生说出8后面是谁？18呢？28呢？）
5.师小结：一个一个，两个两个地数都可以数出花生的个数，你更喜欢哪种方法？为什么？ 6..开火车数。 （二）1.我们刚才是用了两种不同的方法数的，除了用这两种方法，你还有什么方法会数得更快吗？ 2.出示课件：五个五个地数，十个十个地数。 3.学生亲自动手继续数花生，可以数出声音来，边数边分出堆来。 4.学生一起大声数。 5.开火车数。 （三）小结现在回忆一下，刚才数花生都是怎样数的？在实际生活中怎样选择数数的方法呢？你有什么好的建议吗？ 三.巩固练习书中23页练一练 四.总结：通过数花生这一课，你学会了哪些数数方法？ 板书设计：生活中的数 数花生一个一个 1.2.3.4…… 两个两个 2.4.6.8…… 五个五个 5.10.15.20…… 十个十个 10.20.30.40…… 第二课时数一数 教学目标： 通过数数活动，使学生初步对学会数数的方法；指导学生正确地数出10以内的数，初步了解和培养学生数数能力；帮助学生了解学校生活，激发学生学习数学的兴趣，渗透思想品德教育。
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题 对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法． 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0 有两个不相等的正整数根． 解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得 由于x1，x2是正整数，所以 m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2．这时x1=6，x2=4． 解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知 所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即 m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73， 只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5． 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根． 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是
这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法． 例2 已知关于x的方程 a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值． 分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来． 解因为a≠0，所以 所以 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5． 例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程 mx2-(m-1)x＋1＝0 有有理根，求m的值． 解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令 Δ=(m-1)2-4m＝n2， 其中n是非负整数，于是 m2-6m+1=n2，
八年级数学竞赛讲座 三角形的有关概念 一、知识结构： 1、三角形的定义； 2、三角形的角平分线、中线、高； 3、三角形的三边之间的关系； 4、三角形的内角和定理及其推论； 5、同一个三角形中边与角之间的关系； 6、三角形的分类； 二、典型例题： 1、△ABC 三边长分别为a,b,c,且)(2 c b a bc a -=-,则这个三角形一定是( ) A.三边不相等的三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 2、△ABC 三边长分别为a,b,c,且,2 2 2 ca bc ab c b a ++=++则这个三角形一定是( ) A.不等边三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.任意三角形 3、已知等腰三角形的一边等于4，一边等于9，则它的周长是（ ） A 、17 B 、22 C 、12或22 D 、20 4、下面四个命题中不正确的是（ ） A ．在△ABC 中，设三个内角中最小的角为α，则0°＜α≤60° B ．在△AB C 中，三个内角α：β：γ=1：2：3，则这个三角形是直角三角形； C ．在△ABC 中，β为三个内角中最大的角，则60°＜β＜180° D ．在△ABC 的内角中，锐角的个数最多； 5、等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长； 6、如图：AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线， 且∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 的度数； 7、△ABC 中，AB=5，AC=3，则BC 边上的中线AD 的长l 的取值范围是多少？ 8、已知斜三角形ABC 中，∠A=55°，三条高所在直线交点为H ，求∠BHC 的度数； A B D F C
初二数学竞赛辅导资料勾股定理 内容提要 1．勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c2 2．勾股定理及逆定理的应用 1 作已知线段a的，，……倍 2 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 3 证明线段的平方关系等． 3．勾股数的定义：如果三个正整数a，b，c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a，b，c 叫做一组勾股数. 4．勾股数的推算公式 4 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m和n(m>n，那么m2-n2，2mn，m2+n2是一组勾股数． 5 如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数． 6 如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数． 7 如果a，b，c是勾股数，那么na，nb，nc (n是正整数也是勾股数． 5．熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形．简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41． 例题
例1.已知线段a a a 2a 3a a 求作线段 a a 分析一：a＝＝2a ∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边． 分析二：a＝ ∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边．作图（略） 例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长 解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30 ∴CE＝2CD＝4， 在Rt△ABE中 设AB为x，则AE＝2x 根据勾股定理x2+52=(2x2， x2=
在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B的平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， ∠BDC＝2∠A＝∠C ∴AD＝BD＝BC 作BM⊥AC于M，则CM＝DM AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2） ＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM） ＝AC×AD＝AB×BC 例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC 证明：设AB，AC，BD，CD分别为b，c，m，n 则c+n=b+m， c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AD2＝c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2， (c+b(c-b=(m+n(m-n
一年级下册《数花生》教学设计 学情分析： 一年级的学生在入学前经过了学前教育，很多学生在为学习这一课前已经都能熟练数出100以内的数，而且在他们的生活体验中，常常会接触到100以内的数，但孩子们的头脑中还没有100以内数的概念。这一课教学就是要帮助学生建立100以内数的概念，为以后学习数学其他知识奠定十分重要的基础，虽然学生能数很多个数，但是仅仅限于用嘴数，一旦要对应事物，数出事物的个数，体现这种一一对应的关系就感觉正确率不高，学生手口对应方面还是有欠缺的。 学习目标： 1、能运用不同的方法正确数出数量在100以内的物体个数，能正确数出100以内的数。 2、结合游戏活动，学会合作交流学习。 3、通过数数，初步感受一列数蕴含的规律。 教学重点： 能运用不同的方法正确数出数量在100以内的物体个数。 教学难点： 手口对应，掌握数数的方法。 教学准备： 多媒体课件、花生、玉米粒各100。 教学过程： 一、谜语导入 1、老师给小朋友们猜一个谜语，请举手告诉老师你的答案，好吗？谜 面是：（生答：花生） 2、出示一袋花生（塑料袋）。袋子里装了很多花生，哪个小朋友来猜一 猜，大概有多少个？ 3、怎样才能知道小朋友们猜的准不准？（数一数） 4、板书课题：数花生 二、探究新知
1、数花生。 师：小朋友们，现在把准备好的玉米粒拿出来，和同桌比一比，你们俩人的一样多吗？（学生比较）。 师：谁多谁少啊？认为自己多的举手，认为一样多的举手。看来小朋友们的结果都不太一样，怎样判断出谁多谁少啊？（数数）我们可以数一数，现在听老师的要求，把你的玉米粒用你的小手保护好，不要掉在地上。请你仔细的数一数自己有多少个花生？（学生开始数）师：哪个小朋友来说一说，你数了多少个？ 学生甲；53个。 学生已：54个。 …… 师：看来小朋友们的结果都不太一样，老师特别想知道你是怎么数的？谁愿意拿着自己的玉米粒到前面数给大家看呢？其他小朋友现在有一个特别重要的任务:请你们来当小监督员。看一看这个小朋友是怎么数的，仔细用眼睛看，跟着他一起数一数好吗？自己的玉米粒还动吗？（不动了）看看哪个小朋友最安静。好，请你大点声数一数。（可能出现学生数的快，但是拿的慢，要及时纠正，再数一次。注意：数的速度要和拿的速度一样快，把数的和没数的分开，分的远一些）师：老师发现刚才那名小同学到前面来是怎么数的啊？ 生：一个一个数的。 师：我们一起数的玉米粒，他是一个一个数的（板书：一个一个数）。都谁跟他的数法一样？ 2、还有别的方法吗。 师：其他小朋友怎么数的呀？ 学生甲；两个两个数的。 师：可以吗？（可以）是这样吗？（老师示范并且板书：两个两个数）还有不一样的数法吗？还能怎么数？ 学生已：五个五个地数。 师：行吗？（行）有和他一样的吗？（板书：五个五个数）有十个
初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？
八年级数学竞赛讲座四 边形 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-
八年级数学竞赛讲座 四边形（2） 一、 知识要点： 1、梯形的定义、判定； 2、等腰梯形的定义、性质、判定； 3、三角形、梯形的中位线定理； 二、 例题： 1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和； 2、已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＞CD ，两对角线AC 、BD 相互垂直，若BC=213，AB+CD=34，求AB ，CD 的长； 3、如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC=90°，AB=AC ，BD=BC ，AC 与BD 相交于点E ，求∠DCE 的度数； 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别 是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线分别与EF 的延长线交于点M 、N 求证：∠AMF=∠CNE 5、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是 两底AD 、BC 的中点，且EF=2 1（BC －AD ）， 求证：∠B+∠C=90°；
6、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点， G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于 点F ，求证：BE=2CF ； 7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ， 求证：E 是AC 的中点； 8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ， ∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ， 求证：四边形EFGH 为等腰梯形； 9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ； 10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点， EF ⊥AB 于F ， 求证：AB EF S ABCD ?=梯形 11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。 ①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=?ABE S 平方厘米； A D F E B C
全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第二十一讲分类与讨论 分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始． 有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8．从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？ 因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论． 任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数．综上所述，质数共有2＋3=5个． 上面的解题方法称为分类讨论法．当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论． 分类讨论法是一种很重要的数学方法．在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中．分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类．第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类．最后对讨论的结果进行综合，得出结论． 例1求方程 x2-│2x-1│-4=0 的实根． x2+2x-1-4=0，
x 2-2x ＋1-4=0， x 1＝3，x 2=-1． 说明 在去绝对值时，常常要分类讨论． 例2 解方程x 2-[x]=2，其中[x]是不超过x 的最大整数． 解 由[x]的定义，可得 x ≥[x]=x 2-2， 所以 x 2-x -2≤0， 解此不等式得 -1≤x ≤2． 现把x 的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解． (1)当-1≤x ≤0时，原方程为 x 2-(-1)=2， 所以x=-1(因x=1不满足-1≤x ＜0)． (2)当0≤x ＜1时，原方程为 x 2=2． (3)当1≤x ＜2时，原方程为 x 2-1=2， 所以 (4)当x=2时，满足原方程．
第七讲 二次根式的运算 式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (≥0)； (2)ab b a =? (0,0≥≥b a )； (3) b a b a = (0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)． 同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念． 二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542 4 52 22+-----= x x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手． 注： 二次根式有如下重要性质： (1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数； (2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性． 著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题． 【例2】 化简2 2 ) 1(111++ + n n ，所得的结果为（ ） A ．1111++ + n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1 1 11+--n n (武汉市选拔赛试题) 思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式． 注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．
第一单元生活中的数教学设计 中海康城小学龙笑波 一、单元教学目标： 1、经历从实际情景中抽象出数的过程，体验数与生活实际的密切联系。 2、能运用数进行表达和交流，逐步发展数感。 3、结合生活实际，会数、会读、会写100以内的数，会比较数的大小，并能结合实际进行统计，在此基础上，初步体会基数、序数和位置制等。 教学重点： 1、从实际情景中抽象出数的过程。 2、能熟练地数出100以内的数，能认、读、写100以内的数。 3、能比较100以内数的大小，能在具体情景中把握数的相对大小。 教学难点： 用2个2个的方法准确地数百以内的数。 学生情况分析： 通过上学期的学习，学生已经能熟练地认、读、写20以内的数，能比较出20以内数的大小。对于100以内数的读写，大部分学生学前已经掌握，特别是1个1个、5个5个、10个10个地数100以内的数，学生非常熟悉。但对于用2个2个的方法准确地数百以内的数，以及倒数100以内的数学生觉得比较难。所以在教学中我加强了这方面的教学。 单元教学时数安排：6课时 第一课时：数铅笔 第二课时：数豆子 第三课时：动物餐厅 第四课时：小小养殖场 第五课时：练习一 第六课时：查缺补漏
数铅笔（数数、读数） 教学目标： 1、从数铅笔的具体情境中认识百以内的数，体验数量与物体的对应关系。 2、会数、会读百以内的数，还能根据一定的规律数数。 3、体会数位、基数、序数的意义。 教学重点：数数、读数 教学难点：有规律的数数 教学具准备：小棒、计数器 教学方法：探究法、练习法 教学过程： 一、情境创设，激发兴趣 今天，老师想请大家帮老师一个忙，看……（出示铅笔）一共有多少支铅笔呢？你有什么办法知道呢？ 二、数数、读数 1、我们来数一数，说说你是怎样数的？ 2、学生活动： ⑴一支一支地数、两支两支地数、五支五支地数。 ⑵把10支捆成一捆，一捆一捆地数。明确10个十是100。 （活动时让学生自己动手，分不同的形式数） 小结：数数的方法有很多种，可以1个1数，2个2个、5个5个、10个10个的数。 试一试：分别用上面的方法试着数一数。 3、圈一圈，数一数。（第2页）并说说是怎么数的。 4、在下面各数的后面连续数出5个数来。 二十三、五十六、七十七、八十五、九十五 5、读数、拨数。 师写出一个数，生读，并在计数器上拨出来，说说是怎么拨的，表示什么。如43，十位上拨4，表示4个十；各位上拨3，表示3个一。 三、练一练
全国初中数学竞赛辅导（初三分册）全套
第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程 解令y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所以 y=9x或y=-5x．
由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程 y2-18y+72=0， 所以 y1=6或y2=12． x2-2x＋6=0．此方程无实数根． x2-8x+12=0，
所以 x1=2或x2=6． 经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 例3 解方程 分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 经检验知，x=-9是原方程的根． 例4 解方程
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 例5 解方程 分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
第十八讲由中点想到什么 线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么?常见的联想路径是： 1．中线倍长； 2．作直角三角形斜边中线； 3．构造中位线； 4．构造中心对称全等三角形等． 熟悉以下基本图形，基本结论： 例题求解 【例1】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点， AB=10cm，则MD的长为．(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨取AB中点N，为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件． 注证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型，利用中点是一个有效途径，基本方法有： (1)利用直角三角斜边中线定理； (2)运用中位线定理； (3)倍长(或折半)法． 【例2】如图，在四边形ABCD中，一组对边AB=CD，另一组对边AD≠BC，分别取AD、BC的中点M、N，连结MN．则AB与MN的关系是( ) A．AB=MN B．AB>MN C．AB 思路点拨 中点M 、N 不能直接运用，需增设中点，常见的方法是作对角线的中点． 【例3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 中点，连结CE 、CD ，求证：C D=2EC ． (浙江省宁波市中考题) 思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，解题的关键是恰当添辅助线． 【例4】 已知：如图l ，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥ CE ，垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，易证FG= 21(AB+BC+AC)． 若(1)BD 、CF 分别是△ABC 的内角平分线(如图2)； (2)BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线(如图3)，则在图2、图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． (2003年黑龙江省中考题) 思路点拨 图1中FG 与△ABC 三边的数量关系的求法(关键是作辅助线)，对寻求后两个图形中线段FG 与△ABC 三边的数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这是解题的基础． 注 三角形与梯形的中位线．在位置上涉及到平行，在数量上是上下底和的一半，它起着传递角的位置关系和线段长度的功能，在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用． 复习整理生活中的数 教学内容:复习整理生活中的数 教材分析：整理与复习这单元100以内数的认识。帮助学生对所学过的知识进行系统回顾，培养主动学习和认真反思的意识，提高解决问题的能力。 教学目标: 1经历整理前面所学的知识和方法的过程，进一步理解所学内容，初步养成整理所学知识和自我反思的意识。 2、巩固所学知识，掌握必要的基本技能，掌握一些学习方法。 教学重点：整理所学知识，掌握必要的基本技能。 教学难点：结合所学内容尝试想出自己感兴趣的多种方法，提高整理复习的能力。 教学方法：讨论交流法；练习法。 教学准备：课件。 教学过程： 一、猜数游戏 提问：老师心中想着一个100以内的数，猜一猜可能是什么数? 1、汇报交流 (1)学生任意猜。 (2)提供信息1:比10大得多，比60小一些。学生有范围的猜。（3）提供信息2：和50相邻。想一想，然后和小组的同学说一说。（板书51） 二、数的表示 提问：想一想51这个数可以用哪些方法表示出来？ 1、思考，汇报交流 (1)计数器。解决关于数位、数的组成、拨发问题。 (2)小棒。同桌相互说一说怎么摆。 (3)积木。动手操作对出51块积木。 (4)图形。在纸上用图形画一画表示出51。 （5）尺子的长度。课件出示尺子，指导学生看懂51左边的数和右边 的数。并找出隐藏的数48和57. 三、数的比较 （1）比较 （2）说一说你是怎样想？ 四、数的规律 （1）观察百数表,横着看、数着看各有什么规律？ （2）51与周围各数的关系 （3）学生选一个数，同桌说出它在百数表中的相邻数。 （4）抽出百数表的部分填写。 五、课堂检测（出示作业纸） 学生独立完成，反馈矫正。 六、找朋友游戏 （1）出示卡片数字2、5、8. (2)全班齐唱儿歌《找朋友》，有卡片的学生出来找任意一个组成一个或两个两位数。 （3）找出最大数和最小数。 七、总结复习方法 本单元的知识的学习我们可以用六个字概括：认、读、写、比、找、猜。 板书 百位十位个位 猜 5 1 认 5个十和1个一组成 写 5 1 读五十一 比 48 ＜ 51 57 ＞ 51 找 全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（3） 例1：解方程084223=+--x x x 。 例2：解方程()()()()197412=+++-x x x x 。 例3：解方程()()()6143762=+++x x x 。 例4：解方程01256895612234=+-+-x x x x 。 例5：解方程52222=??? ??++x x x 。 例6：解方程()()821344=-++y x 。 例7：解方程()()02652112102234=++++---a a x a x a x x ，其中a 是常数，且6-≥a 。 解答：（1）221==x x ，23-=x （2）28552,1±-=x 2554,3±-=x （3）32 1-=x 35 2-=x （4）23 ,32 ,21 ,24321====x x x x （5）2,121=-=x x （6）4,021-==x x （7）622,1+± =a x ，934,3+±=a x 。 练习： 1、填空： （1）方程()()()()24321=++++x x x x 的根为__________。 （2）方程0233=+-x x 的根为__________。 （3）方程025********=+--+x x x x 的根为__________。 （4）方程()()()2 222222367243+-=+-+-+x x x x x x 的根为__________。 （5）方程()()()29 134782=+++x x x 的根为__________。 2、解方程()()()()431121314x x x x x =++++。 3、解方程403322 =??? ??-+x x x 。 第三十讲 数形互助 数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系． 以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题． 用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等． 例题求解 【例1】 若a 、b 均为正数，且22b a +，242b a +，224b a +是一个三角形的三 条边的长，那么这个三角形的面积等于 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ，n 的直角三角形斜边长)，构造图形求面积． 注 古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系． 17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为18、19世纪数学的空前发展作了准备． 【例2】 如图，在△ABD 中，C 为AD 上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=( ) A ．1 B ．32 C ．2 D ．3 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ，设AC=x ，BE=y ，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC 的值． 【例3】 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=3 4，直线FC 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M ，N ，设HM=x ，矩形AMHN 的面 积为y ． (1)用x 的代数式表示y ； 《生活中的数》单元复习教学设计 一、教学内容： 北师大版教科书一年级上册第一单元《生活中的数》。 二、教学目标： 1.经历从实际情境中抽象出数的过程，能用10以内的数表示物体的个数或事物的顺序，并能认、读、写0—10各数。 2.在一一对应的活动中比较物体数量的多少，认识“＝”“＜”“＞”，能比较10以内数的大小。 3.能用数表示日常生活中的一些事物，能用一一对应等方法解决简单的实际问题。 三、教学重点、难点： 重点：10以内数的认识，含义，读写等；10以内数的大小比较。 难点：体会同一个数的不同含义（几和第几）；理解多与少的相对性。 四、配套资源： 《生活中的数》ppt课件 《生活中的数》专项突破 五、学习设计 （一）课堂设计 1.知识整理，加强对10以内数的概念的理解 师：同学们，我们已经认识了哪些数？你会按照一定的顺序把这些数排列一下吗？ 出示课件图： 三朵花，三只蝴蝶，并动画把3朵花、3只蝴蝶圈起来，渗透“3是物体个数为3的集合的标记”。 师：圈里面有3朵花，用哪个数来表示？ 出示课件图： 八朵向日葵，八只小鸡，并动画把8朵向日葵、8只小鸡圈起来，渗透“8是物体个数为8的集合的标记”。 师：谁能像老师这样说一句话？什么都没有用哪个数来表示？ 师：4的前面一个数是几？1和3的中间是几？4添上1是几？谁能像老师这样提一个问题来问问大家？ 师：从前往后数，请第1小组第4位同学站一站；请前4位同学站一站。第4位同学和前4位同学，这两句话中都有数4，为什么站起来的同学不一样呢？ 典型题目： 小结：注意两点，第一要正确区分左右；第二要分清几和第几，涂3个爱心是指第1个、第2个、第3个，这3个爱心都涂色，涂第3个爱心指只涂第3个那一个爱心。 2.数一数，比一比-----10以内数的大小比较。 师：屏幕上有哪些小动物？分别有多少只？ 师：大家说的都很棒，你知道谁是大象和熊猫谁多谁少吗？如何用数学符号表示出来？ 师：还可以谁和谁进行比较呢？同桌之间互相说一说。 出示课件图： 第十一讲勾股定理与应用 在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理． 勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即 a2+b2=c2． 勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系： a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形． 早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法． 关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法． 证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和． 过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为 AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG， 所以△ACE≌△AGB(SAS)．而 所以 S AEML=b2．① 同理可证 S BLMD=a2．② ①+②得 S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2， 即 c2=a2+b2． 证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 所以 AG=GH=HB=AB=c， ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即 化简得 a2+b2=c2． 第二十五讲 整体的方法 我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题． 解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理． 整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用． 例题求解 【例1】 若x 、y 、z 满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式 y x z y x 3200020002000+++的值为 ．(安庆市竞赛题) 思路点拨 原式=y x z y x 3)(2000+++，视x+3 y 与x+y+z 为两个整体，对方程组进行整体改造． 【例2】 若△ABC 的三边长是a 、b 、c 且满足22444c b c b a -+=，22444c a a c b -+=，22444b a b a c -+=，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a 、b 、c 的关系，不妨从整体叠加入手． 【例3】 已知2 19941+=x ，求多项式20023)199419974(--x x 的值． 思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得199412=-x ，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值． 【例4】如图，凸八边形A l A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8中，∠A l =∠A 5，∠A 2 =∠A 6 ，∠A 3 =∠A 7 ，∠A 4=∠A 8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值． (山东省竞赛题) 全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集1 第二讲因式分解(二) 2 1．双十字相乘法 3 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六4 项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式． 5 例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排6 列，并把y当作常数，于是上式可变形为 7 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 8 可以看作是关于x的二次三项式． 9 对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘10 法，分解为 11 12 即 13 -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 14 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 15 16 所以 17 原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ 18 =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 19 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步20 骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 21 22 它表示的是下面三个关系式： 23 (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； 24 (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； 25 (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 26 这就是所谓的双十字相乘法． 27 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步28 骤是： 29 (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两 30 列)； 31 (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列32 构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交33 叉之积的和等于原式中的dx． 34北师大一年级数学下册整理复习(生活中的数)教学设计
全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(3)
八年级数学竞赛讲座数形互助附答案
北师大版小学数学一年级上册《生活中的数》复习教案
全国初中数学竞赛辅导(初2)第11讲 勾股定理与应用
八年级数学竞赛讲座整体的方法附答案
最新全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第02讲_因式分解(二)
相关主题
文本预览