【精品】全国初中数学竞赛辅导(初三分册全套

【九年级】九年级数学竞赛避免漏解的奥秘辅导教案“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．分类讨论是将研究对象按照一定的标准划分为若干部分或情况，然后逐一解决，最后总结得出结论。

它的本质是一种将整体分解为部分、将每个部分分解的转换策略解题时何时需要进行分类?一般说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行．[示例解决方案]【例1】四条线段的长分别为9，5，，1(其中为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且ab与cd是其中的两条线段(如图)，则可取值的个数为．（新力杯比赛题）注：初中数学常见的分类方法有：（1）按定义、性质、规则和公式分类；(2)对参数分类；（3）按图形位置分类；(4)按图形特征分类；（5）按余数排序注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用．[例2]方程的所有整数解的数量为（）a．2b．3c．4d．5（东部省试验问题）思路点拨这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3)的偶次幂等于1．试着确定所有的有理数，使方程有根，只有整数根(全国初中数学联赛试题)根据方程的定义，它是否为零会影响方程的次数，这在性质上是不同的，解也是不同的。

因此，在R=0和≠ 0【例4】已知一三角形纸片abc，面积为25，bc边的长为10，∠b和∠c都为锐角，为ab边上的一动点(与点a、b不重合)．过点作n∥bc，交ac于点n．设n=．（1）该地区△ 一个由△ 一(2)用△an沿n折叠，使△a n紧贴四边形bcn(边a、an落在四边形bcn所在的平面内)，设点a落在平面bcn内的点为a′，△a′n与四边形bcn重叠部分的面积为．①试求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②当为何值时重叠部分的面积最大，最大为多少?（苏州高中入学考试试题）思路点拨折叠△an，a点位置不确定，可能在△abc内或在bc边上或在△abc外，故需按以上三种情况分别求出关于的函数关系式，进而求出的最大值．注：平面几何问题通常根据图形的位置进行分类。

以下是一些被广泛认为较好的初中数学辅导资料：
1. 学而思《69模型公式秒解初中几何》：这本书专注于初中几何，提供模型公式，以解决各种几何问题。

2. 《初中数学一课一练》：这是大名鼎鼎的教辅，分为蓝色普通版和粉色增强版，适合在学校考试要求的基础之上拓展一下思路。

3. 《蝶变中考-考点必刷题》：蝶变中考系列教辅资料中蝶变笔记和考点必刷题内容上是相对应的，这两本搭配起来一起用，效果更好，可以更好地帮助初中生巩固数学知识点，理清初中识架构体系。

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初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式甲内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根丙练习461. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)。

第二讲 一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺．一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝——“Δ”，出去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识．”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x 2＋2xy ＋7y 2－10x －18y ＋19＝0，并且问道：“你能说出实数x 、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y 看成已知数，把它整理成关于x 的一元二次方程2x 2＋(2y －10)x ＋(7y 2－18y ＋19)＝0．好哇！因为x 是实数，上面的方程必有实数根，所以Δ≥0，即(2y －10)2－4×2(7y 2－18y ＋19)≥0，可得(y －1)2≤0，一下子便得到了y ＝1，再将y ＝1代人原方程就可得x ＝2． 小精灵这里用的法宝“Δ”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，反过来也成立．知识延伸】例1 已知关于x 的二次方程x ²＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0，求证：当p 1p 2＝2(q 1＋q 2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根．证明 设这两个方程的判别式为Δ1，Δ2，则Δ1＋Δ2＝2212p p +－4(q 1＋q 2)．∵p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，∴Δ1＋Δ2＝2212p p +－2p 1p 2＝(p 1－p 2)2≥0．∴Δ1≥0与Δ2≥0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根．点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明Δ1＋Δ2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设Δ1＜0且Δ2＜0，则Δ1＋Δ2＜0，但Δ1＋Δ2＝(p 1－p 2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论成立．例2 求函数y ＝(4－x )＋解析 设u ＝x ，则u ＞0且y ＝4＋u ． ∴(u ＋x )2＝4(x 2＋9)，即3x 2－2ux ＋36－u 2＝0． ∵x ∈R ，故以上方程有解．∴Δ＝(2u )2－4×3×(36－u 2)≥0，即u ≥27． 又u ＞0，∴u4y x =-+ 的最小值为4+x .好题妙解】佳题新题品味例 已知实数1234,,,a a a a 满足22222124213423()2()0a a a a a a a a a +-+++= ，求证：2213=a a a ⋅ 解析 把已知等式看成关于a 4的方程。

关于初中数学竞赛的书籍
初中数学竞赛是许多学生热衷的学科，以下是一些相关的书籍推荐：
1.《初中数学竞赛全解析》——这本书提供了各种数学竞赛题目的详细解析和解题思路，适合准备竞赛的学生查阅。

2. 《初中数学竞赛习题集》——该书汇集了大量经典数学竞赛题目，按照题型和难易程度进行分类，帮助学生巩固知识并提高解题能力。

3. 《初中数学竞赛冲刺指南》——这本书介绍了常见竞赛的出题规律和解题技巧，通过精选的例题和训练题，帮助学生提高应试能力。

4. 《初中数学竞赛辅导教材》——该教材系统地介绍了数学竞赛中常见的知识点和题型，并提供了大量的例题和习题供学生练习。

5. 《初中数学竞赛秘籍》——这本书总结了数学竞赛中常见的解题技巧和方法，通过实例讲解帮助学生理解和掌握。

这些书籍都可以在学校教材供应店或者在线书店购买到。

希望这些书籍能够帮助到对数学竞赛感兴趣的同学们。

初中数学教辅书难度排行
初中数学教辅书的难度排行因个人学习情况和需求而异，但一般来说，以下几本初中数学教辅书的难度较高，可供参考：
1. 《初中数学竞赛全解》
2. 《初中数学解题技巧与实战范例》
3. 《初中数学考前冲刺试卷》
4. 《初中数学奥赛教程》
这些教辅书难度较高，适合数学基础较好、想要进一步提高数学水平的学生。

当然，也有一些难度适中或较容易的教辅书，如《初中数学同步辅导》、《初中数学基础训练》等，适合基础较弱的学生进行练习和巩固。

需要注意的是，教辅书的难度并不代表其质量的高低，学生需要根据自己的学习情况选择适合自己的教辅书进行练习和巩固。

同时，也需要合理安排学习时间，不要过度依赖教辅书，而应该注重数学基础知识的掌握和思维能力的提高。

全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（5）1、求函数值和函数表达式：例1：已知()44551912-+=-x x x f ，求()x f 。

例2：若函数()21x x g -= ，()[]221x x x g f -=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛43f 。

例3：已知函数()535++-=x bx ax x f ，其中a 、b 为常数，若()75=f ，求()5-f 。

例4：函数()x f 的定义域是全体实数，并且对任意实数x 、y ，有()()xy f y x f =+，若()9919=f ，求()1999f 。

2、建立函数关系式：例5：直线l 1过点A （0，2），B （2，0），直线l 2：b mx y +=过点C （1，0），且把ΔAOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图象。

例6：已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于0.5，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式。

3、含绝对值的函数：例7：作函数|1||3|-+-=x x y 的图象。

例8：作函数|65|2+-=x x y 的图象。

例9：点（x ，y ）满足方程2|2||1|=++-y x ，求它的图象所围成区域的面积。

例10：m 是什么实数时，方程05||42=+-x x 有四个互不相等的实数根？解答：（1）()3093192++=x x x f ；（2）3；（3）3；（4）99；（5）()0221<≤--=m m S ；（6）()604329222<<++-=x x x S CD AE （7）略。

（8）略。

（9）8。

（10）51<<m 。

练习：1、填空：（1）已知()44551912-+=-x x x f ，则()x f 。

第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。

问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。

4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。

初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料(70)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数⼀. n 位数的个数：⼀位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. ⼀本书共1989页，⽤0到9的数码，给每⼀页编号，总共要⽤数码＿＿＿个. 2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是⼀个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.⼆. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推⼴到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6. 1+3+5+……+99=____________.7. 5+10+15+……+100=_________.8. 1+4+7+……+100=____________.9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为⽌：位198011121234567891这个数⽤9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：①它是⼀个________位数；②它的各位上的数字和等于________；③从这⼀数中划去100个数字，使剩下的数尽可能⼤，那么剩下的数的前⼗位是___________________________.四.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n !整除.如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n ! 中含有质因数m 的个数是m n +2m n +…+??i m n . [x]表⽰不⼤于x 的最⼤正整数，i=1,2,3… m i ?n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：+????2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积5的个数是：____16.⼀串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都⼩于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.⼄. 正整数⼗进制的表⽰法⼀. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0?a i ?9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最⾼位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除⼆. 常见的⼀些特例 99999个n =10 n －1, 33333个n =31(10 n －1), 9111111= 个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何⼀个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91 -n (10 n +2) =331103110+-?-n n=)13110(3110+-?-n n = 33333个n ×433333)1(个-n . 证毕. 练习：21. 化简 99999个n × 99999个n +199999个n =_______________________________. 22. 化简2122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证119901111个是合数. 24. 已知：存在正整数 n,能使数11111个n 被1987整除. 求证：数p= 11111个n 99999个n 88888个n77777个n 和数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n717777个+n 都能被1987整除. (1987年全国初中数学联赛题)25. 证明：把⼀个⼤于1000的正整数分为末三位⼀组，其余部分⼀组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证： 11111个n ×110000个-n 5+1是完全平⽅数. 丙. 末位数的性质.⼀.⽤N (a)表⽰⾃然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r ) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的：个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本⾝.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本⾝.2. N (a)=N (b)?N (a －b)=0?10 |(a －b).3. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ；和②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28. 求证：10 | (19871989－19931991).29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.⼆. ⾃然数平⽅的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平⽅的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. ⽤这⼀性质计算连续整数平⽅的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题)解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平⽅的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2. 为判断不是完全平⽅数提供了⼀种⽅法例题2. 求证：任何五个连续整数的平⽅和不能是完全平⽅数.证明：(⽤反证法)设五个连续整数的平⽅和是完全平⽅数，那么可记作：(n －2)2+(n －1)2+n 2+(n+1)2+(n+2)2=k 2 (n, k 都是整数)5(n 2+2)=k 2 .∵ k 2是5的倍数，k 也是5的倍数.设k=5m, 则5(n 2+2)=25m 2.n 2+2=5m 2.n 2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n 2的倍数是8或3.但任何⾃然数平⽅的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成⽴∴任何五个连续整数的平⽅和不能是完全平⽅数.3.判断不是完全平⽅数的其他⽅法例题3. 已知：a 是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平⽅数证明：∵a(a+1)+1=a 2+a+1，且a 是正整数∴ a 2< a(a+1)+1=a 2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平⽅之间∴a(a+1)+1不是完全平⽅数例题4. 求证：11111个n (n>1的正整数) 不是完全平⽅数证明：根据奇数的平⽅数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 11111个n =1100111112-个n =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 即11111个n 除以4余数为3，⽽不是1，∴它不是完全平⽅数.例题5. 求证：任意两个奇数的平⽅和，都不是完全平⽅数.证明：设2a+1,2b+1(a,b 是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平⽅和，都不可能是完全平⽅数.三. 魔术数：将⾃然数N 接写在每⼀个⾃然数的右⾯，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的⾃然数，其末位数是1，2，5 (即10的⼀位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的⾃然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的⾃然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在⼩于130的⾃然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续⾃然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n 是⾃然数，且9n2+5n+26的值是两个相邻⾃然数的积，那么n 的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的⼀种分类：??).1(.)1( 1然数整除和本⾝外还能被其他⾃除合数；然数整除和本⾝外不能被其他⾃除质数； 2. 质数中，偶数只有⼀个是2，它也是最⼩的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续⾃然数，个个都是合数.解：答案不是唯⼀的，其中的⼀种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.⼀般地，要写出n 个连续⾃然数，个个是合数，可⽤令m=n+1, 那么m !+2, m !+3, m !+4, +……+ m !+n+1 就是所求的合数.∵m !+i (2?i ?n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ，与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最⼩公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m !=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续⾃然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这⾥11=10+1，即N 是不⼤于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的⼀种分类：)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被2. 运算性质：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：①两个连续整数必⼀奇⼀偶，其和是奇数，其积是偶数.②奇数的平⽅被4除余1；偶数的平⽅能被4整除；除以4余2或3的整数不是平⽅数.a) 2n (n 为正整数)不含⼤于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必⼀奇⼀偶.c) 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必⼀奇⼀偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有⼀个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从⽽m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求⽅程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴⽅程左、右两边不能相等.若x, y 为⼀奇⼀偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴⽅程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，⽅程两边都不能相等.所以原⽅程没有整数解本题是根据整数的⼀种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了⽅程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的⽴⽅和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：⽅程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： =?=++++.0321321n x x x x x x x x n n ；求证：n 是4的倍数. 42. 若n 是⼤于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘⽅的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989，∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期⼀，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, ⾄少有两个是同余数，这是为什么？ 45. a 是整数，最简分数7a 化为⼩数时，若为循环⼩数，那么⼀个循环节最多有⼏位？4. 运⽤余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进⾏检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ；② 2473×429=1060927.解：①⽤各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7，∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.⽽7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有⽆差错：①372854－83275=289679 ；②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应⽤例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，⾄少有⼀个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有⼀个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，⾄少有⼀个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复⼜不违漏)例4. 已知： p ?5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1；只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数，符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平⽅和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：⾃然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果有⼀个是质数，则另⼀个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，⾄少有⼀个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. ⼆元⼀次⽅程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有⼀个整数的特解?==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ?-=+= 2. 运⽤整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数，整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)⾃然数=整数3. ⼀元⼆次⽅程，⽤求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. ⼩军和⼩红的⽣⽇.都在10⽉份，且星期⼏也相同，他们⽣⽇的⽇期的和等于34，⼩军⽐⼩红早出⽣，求⼩军的⽣⽇.解：设⼩军和⼩红的⽣⽇分别为x, y ，根据题意，得=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ==.2410y x ，当k=4时，?==.313y y x ， (10⽉份没有31⽇，舍去) ∴⼩军的⽣⽇在10⽉10⽇例2. 如果⼀个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平⽅和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初⼆数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ，且－8( 1)当a －b+c=0时，得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代⼊，并整理为关于a 的⼆次⽅程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0根据韦达定理??-=-=+.2522121c c a a c a a ，这是必要⽽⾮充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐⼀讨论a 的解.当 c=2, 4时，⽆实数根；当c=1, 3时，⽆整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时，得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代⼊，并整理为关于a 的⼆次⽅程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐⼀以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满⾜等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5那么 x 5的最⼤值是________. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值. （1988年全国初中数学联赛题） 54.能否找到这样的两个正整数m 和n ，使得等式m 2+1986=n 2成⽴. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初⼆数学双基赛题） 55.当m 取何整数时，关于x 的⼆次⽅程m 2x 2－18mx+72=x 2－6x 的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初⼆数学双基赛题） 56.若关于x 的⼆次⽅程（1+a ）x 2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a 的取值是________________. （1989年泉州市初⼆数学双基赛题） 57.不等边三⾓形的三条边都是整数，周长的值是28，最⼤边与次⼤边的差⽐次⼤边与最⼩边的差⼤1，适合条件的三⾓形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 58.直⾓三⾓形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于⾯积的数值，求各边长. 59.鸡翁⼀，值钱；，鸡母⼀，值钱三；鸡雏三，值钱⼀.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各⼏何？ 60. 甲买铅笔4⽀，笔记本10本，⽂具盒1个共付1.69元，⼄买铅笔3⽀，笔记本7本，⽂具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、⽂具盒各1，应付⼏元？若1×2×3×4×……×99×100=12 n ×M ，其中M 为⾃然数，n 为使得等式成⽴的最⼤⾃然数，则M 是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)练习701. 9+90×2+900×3+990×4=68492. 2893 79563. 30，300，3×10n －14. 50, 33, 476, 317 .5.25506.2500.7. 10501. 1717. 9.奇数 (1+1989)×21989 . 10有两组：18，19，20，21，22； 9，10，11，12，13，14，15，16.11.有四组：除上题中的两组外，尚有－8到16；－17到2212. 13501. 13. 余数是6(由1到102刚好是198位).14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15.516. 60个. 计算积中含质因数5的个数是：从10，25，40，55，……700这组数中含质因数5⽽25，100，175，……700含有52因数，应各加且250，625，含有53因数，应再各加1个5625 含有54因数，再加1个5. ∴总共是17. ??+++625198912519892519895198918. 把a(a 2－1)(3a+2)化为a(a+1)(a －1)[(2a+4)+(a －2)]=2(a －1)a(a+1)(a+2)+(a －2)(a －1)a(a+1).19.因为它们都⼩于2n,n 组中的⼀个互质.20. 易证能被21. 原数=(10n22. 原数=91=(3110-n )2=( 个n 2)3333( (109－1) =91×(10995+1) (10－1)×N (N 为整数) 24. p= n×(103n +9×102n +8×10n +7) q=11111+n ×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7) ∵10n =9×个n 1111+1， 103n+3，102n+2，10n+1除以个n 1111的余数分别为103，102，10.∴q 的第⼆因式除以个n 1111的余数分别为1×103+9×102+8×10+7…… 25.设A=103 M+N ， 7|(M －N).A=103 M+N=103 M+M －M+N=1001M －(M －N).26. 原数=1)510(9110++?-n n =…… 27. 1. 28. 71与33的个位数相同. 29 . 0.30. 9个(1，25，10，20，25，50，100，125).31. 2，6. 可设9n 2+5n+26=m(m+1), 配⽅，分解因式32. 2，9. 33. 8，9.34. 22!+3，22!+5，22!+7，………22!+19，22!+2135. 可设2×3×5×7×11×13×17，那么 N+2，N+3，……N+16即所求.36. (22n+1)2+(x 2n )2+2×22n+1×x 2n －4×22n ×x 2n =(22n+1+x 2n )2－(2 ×2m ×x n )2……37. 奇数. 38 奇数 .39. 4个正整数的和为奇数，则这4个数中有1个或3个是奇数.40. 若有奇数根，则奇+奇+奇≠0；若有偶数根，则偶+偶+奇≠0.41. 若n 为奇数，则与(1)⽭盾；若n 为偶数，由(1)可知，偶数必成双，再由(2)知n 是4的倍数.42. 奇数 43. 星期⼆，∵9 9除以7余数是1.44. 除以整数n －1的余数，最多只有n －1种45. 六位. ∵除以7，余数除0以外，只有6种.46. ①不对，∵⽤9除的余数 11－7≠5，②错.8×2=32，除以9余数不是6.47. a=6k ±1， a 2+23=12k(3k ±1)+2448. 把整数按模4分类为4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3.其平⽅后除以8余数分别为0，1，4，1任何两个余数的和都不等于6.49. a 8+3a 4－4=(a 4+4)(a 2+1)(a 2－1), a ≠5k ,则a=5k ±1,5k ±2, a 2 除以5的余数分别为1和4， a 4 除以5余数均为1.50. 2 n 不是3的倍数，可分别设为3k+1，3k －1.51. (同练习69第10题). 52. 5 53. 854. 不可能.(n+m)(n －m)=1986 按n+m, n －m 同奇，同偶讨论.m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0, [(m+1)x-12][(m-1)x-6]=0.； x 2=16-m . ∵⽅程的根是⾃然数，∴ 11,2,3,4,11,2,3,6.m m +=??-=? 0,1,2,3,5,11;2,3,4,7.m m =??=? ∴m=2,；或m=3.∴当m=2时，x 1=4；或 x 2=6. 当 m=3时, x 1=x 2=3. 56. a=－3,－2, 0, 1 (x 1+x 2=－a +12, x 1x 2=－1+a+12)57. 有三个，其边长分别是：11，9，8； 12，9，7； 13，9，6.58. 6，8，10或5，12，13.59. 设鸡翁，鸡母，鸡雏⼀只分别值 x,y,z 钱，则1001531003x y z x y z ++=++=??消去⼀元，得⼆元⼀次⽅程： 7x+4y=200. 求⾃然数解，得有四组答案：12,8,4,0,4,11,18,25,84;81;78;75.x x x x y y y y z z z z ============???? 60.=++=++12673169104 z y x z y x x+y+z=40 .61. 选(A). 根据连续整数的积的性质，100!含因数2共97个，含因数3有48个……。

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第十九讲＊平面几何中的几个著名定理几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理,以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美,使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．1．梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年,他和斯巴达的Menelaus是两个人）曾著《球面论》,着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理"现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．定理一直线与△ABC的三边AB，BC,CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q,P，S,见图3－98．由△AXQ∽△BXP得同理将这三式相乘，得说明（1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点,且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立．(2）梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y,如果那么X,Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．证如图3－99有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得F,D，E共线．例2（戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′,BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′,BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D,E共线．证如图3－100,直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC,得将这三式相乘得所以D，E，F共线．2．塞瓦定理意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．定理在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA,AB相交于D，E，F,则证如图3－101，过B,C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则由于△BHD∽△CKD,所以同理可证将这三式相乘得说明 (1）如果P点在△ABC外,同样可证得上述结论,但P点不能在直线AB,BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BD×CE×AF=DC×EA×FB，仍然成立．（2)塞瓦定理的逆定理也成立,即“在△ABC的边BC,CA，AB上分别取点D,E，F，如果那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”证如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得所以 F′B=FB,即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．证（1）如果D，E,F分别是△ABC的边BC,CA，AB的中点，则由塞瓦定理的逆定理得中线AD,BE,CF共点．(2)如果D，E,F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC,CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE,CF共点．（3)设D，E,F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．(i）当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E,F分别在BC,CA,AB上，有BD=ccosB,DC=bcosC，CE=acosc，EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．（ii)当△ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos（180°-A)=-ccosA，AF=bcos(180°-A）=—bcosA,FB=acosB，所以由塞瓦定理的逆定理，得高AD,BE,CF共点．（iii）当△ABC是直角三角形时,高AD,BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．例4 在三角形ABC的边上向外作正方形,A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明:直线AA1,BB1,CC1相交于一点．证如图3－104．设直线AA1,BB1，CC1与边BC，CA,AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得AA1,BB1，CC1共点．3．斯台沃特定理定理△ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则证过A作AE⊥BC，E为垂足（如图3－105)，设DE=x，则有AE2=b2-（v-x）2=c2-(u+x）2=t2—x2，(若E在BC的延长线上，则v-x换成x—v．)于是得消去x得（u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，这就是中线长公式．(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质设a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式．（3)当AD是△ABC的高时，AD2=b2—u2=c2-v2．再由u+v=a,解得所以若设AD=h a，则这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用—v代替v，同样可得高线长线公式．这就是三角形的面积公式．伦公式例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线,E在BC上，BE=CD．求证:AE2-AD2=(c-b)2．证为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得所以因为AD是角平分线，所以于是4．托勒密定理托勒密(Ptolemy，约公元85~165年）是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”（圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus）之手，托勒密只是从他的书中摘出。

初三数学最好的教辅资料数学作为一门重要的学科，对于初中生来说至关重要。

初三数学的学习内容相对较难，需要有一些好的教辅资料来辅助学习。

下面我将介绍一些我认为是初三数学最好的教辅资料。

我推荐的是《初中数学辅导书》。

这本书是专门为初中生编写的，内容覆盖了初三数学的各个知识点。

书中的讲解通俗易懂，示例丰富，让学生能够更好地掌握数学知识。

同时，书中还提供了大量的习题和练习题，帮助学生巩固所学知识并提高解题能力。

另外一个好的教辅资料是《初中数学考点精讲》。

这本书主要针对初三数学考点进行深入讲解，帮助学生理解和掌握重点知识。

书中通过清晰的解题步骤和详细的解题思路，帮助学生解决数学难题。

同时，书中还提供了大量的例题和练习题，帮助学生熟悉考点并提高解题能力。

除了以上两本书，还有一本值得推荐的是《初中数学习题解析》。

这本书是专门解析初中数学试题的，对于复习和备考非常有帮助。

书中通过详细的解题过程和思路，帮助学生理解解题思路和方法。

同时，书中还提供了大量的习题和试题，供学生进行练习和巩固所学知识。

对于初三数学考试准备，我推荐使用一些模拟试卷。

模拟试卷能够帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题速度和准确性。

同时，模拟试卷也可以帮助学生评估自己的学习情况，及时发现和纠正问题。

除了以上的教辅资料，还有一些在线学习资源也是初三数学学习的好帮手。

例如，一些在线学习平台提供了大量的数学视频教程和习题，供学生进行学习和练习。

这些资源可以帮助学生随时随地进行学习，并且可以根据自己的学习进度进行复习和巩固。

总的来说，初三数学最好的教辅资料应该具备以下特点：全面覆盖知识点、讲解通俗易懂、有大量的习题和练习题、提供解题思路和方法、适合考试准备和复习、可以随时随地进行学习。

希望同学们能够根据自己的实际情况选择适合自己的教辅资料，提高数学学习效果。

在初中阶段，参加各类竞赛对于提高学生的数学素养和应试能力具有重要意义。

为了帮助同学们在竞赛中取得优异成绩，本文为您推荐几本优秀的初中数学竞赛书籍，并附上相应的试卷，供同学们参考和练习。

一、书籍推荐1.《初中数学竞赛一本通》本书由我国著名数学家、竞赛教练编写，内容涵盖了初中数学竞赛的各个知识点，包括数论、组合、几何、概率与统计等。

书中不仅有详细的解题方法，还配有大量的例题和习题，帮助同学们巩固所学知识。

2.《数学奥林匹克竞赛试题精选》本书收集了全国各地数学竞赛的真题，内容丰富，难度适中。

书中不仅提供了详细的解答过程，还附有答案解析，帮助同学们掌握解题技巧。

3.《初中数学竞赛必备》本书是专为初中数学竞赛设计的辅导书，涵盖了竞赛中的所有知识点，并配有大量的例题和习题。

书中还介绍了各种解题方法和技巧，帮助同学们在竞赛中脱颖而出。

二、试卷推荐1.数论试卷（1）已知正整数a、b、c满足a^2+b^2=c^2，且a+b+c=100，求a、b、c的值。

（2）设正整数m、n、p、q满足m^2+n^2=p^2+q^2，且m+n+p+q=100，求m、n、p、q的值。

2.组合试卷（1）从1到9这9个数字中，任取3个不同的数字，组成一个三位数，求这个三位数的个数。

（2）从1到10这10个数字中，任取4个不同的数字，组成一个四位数，求这个四位数的个数。

3.几何试卷（1）已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，求BC的长度。

（2）在平面直角坐标系中，点A（2，3）、B（5，1），求线段AB的长度。

4.概率与统计试卷（1）一个袋子里有5个红球、3个蓝球和2个绿球，随机取出一个球，求取到红球的概率。

（2）某班有40名学生，其中男生20名，女生20名。

随机选取3名学生，求这3名学生中至少有2名男生的概率。

通过以上书籍和试卷的推荐，相信同学们在初中数学竞赛中能够取得优异的成绩。

在备考过程中，同学们要注重基础知识的学习，掌握各种解题方法，多做题、多总结，不断提高自己的数学素养。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

初中数学竞赛辅导资料（47-48）配方法 非负数 【附详细解答】配方法【甲】难点点拨1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式（a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2. 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：① 用完全平方式来因式分解例如：把x 4+4 因式分解.原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝…… 这是由a 2+b 2配上2ab.② 二次根式化简常用公式：a a =2，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简625-.我们把5－26写成 2－232＋3＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2.这是由2 ab 配上a 2+b 2.③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2的值为0是最小值. 例如：求代数式a 2+2a －2 的最值. ∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3. 这是由a 2±2ab 配上b 2④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0. 要使等式成立，必须且只需⎩⎨⎧=-=+0201y x .解得 ⎩⎨⎧=-=21y x此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.【乙】典型例题例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）＝（ab+1）2－(a －b)2（配方）＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想. 例2. 化简下列二次根式：①347+； ②32-； ③223410+-. 解：化简的关键是把被开方数配方①347+＝33224+⨯+＝2)32(+＝32+＝2＋3.②32-＝2322-＝2324-＝2)13(2-＝2)13(2-＝226-.③223410+-＝2)12(410+-＝）＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-=2－2.例3. 求下列代数式的最大或最小值：① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 .解：①x 2+5x+1＝x 2+2×2`5x+225⎪⎭⎫ ⎝⎛－425+1＝（x+25）2－421. ∵（x+25）2≥0，其中0是最小值. 即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－421.②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-21）=－2(x 2+2×23x+4949-－21)＝－2（x+23）2+211 ∵－2（x+23）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值211.例4. 解下列方程：①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0. 解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组） (x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-012y x x∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或⎩⎨⎧=-=11y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组) (x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方） ∴⎩⎨⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x例5.已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2, 则mn 也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题） 解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2 +b 2 c 2+ b 2 d 2= a 2c 2+ b 2 d 2+2abcd+ a 2d 2 +b 2 c 2－2abcd (分组，添项) =(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解 解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项) （x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩⎨⎧==04y x同理，共有12个解⎩⎨⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……【丙】模拟考场 1. 因式分解：①x 4+x 2y 2+y 4 ；②x 2-2xy+y 2-6x+6y+9 ； ③x 4+x 2-2ax-a 2+1. 2. 化简下列二次根式：①25204912422+-+++x x x x （－23＜x<25）； ②2234432++-+-+x x x x x (1<x<2)； ③21217-； ④53+；⑤324411-+； ⑥5353-++； ⑦（14＋65）÷（3＋5）； ⑧（x -3）2＋1682+-x x . 3求下列代数式的最大或最小值： ①2x 2+10x+1 ； ②－21x 2+x-1. 4.已知：a 2+b 2－4a －2b+5 . 求：223-+b a 的值.5.已知：a 2+b 2+c 2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式cb a 111++值的正负. （全国初中数学联赛题） 7.已知：x=3819- .求：1582316262234+-++--x x x x x x . （全国初中数学联赛题） 8.已知：a 2+c 2+2(b 2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c. 9. 解方程：①x 2-4xy+5y 2-6y+9 ； ②x 2y 2+x 2+4xy+y 2+1=0 ； ③5x 2+6xy+2y 2-14x-8y+10=0. 10.求下列方程的整数解：①（2x-y －2）2＋(x+y+2)2=5； ②x 2-6xy+y 2+10y+25=0. 【丁】答案精析1. ②（x －y －3）22. ①8， ②0.5x ， ③3－22， ④2210+， ⑤2＋3， ⑥10 ⑦3＋5， ⑧7－2x （x ≤3） 3. ①当x=－25时，有最小值－223 ②x=1时，有最大值－214. a=2, b=1 代数式值是3＋225. ±136.负数。

初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2． 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。

解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。

解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

第三讲充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，往常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16 世纪法国最优秀的数学家韦达发现的。

韦达定理简单的形式中包括了丰富的数学内容，应用宽泛，主要表此刻： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并联合根的鉴别式，议论根的符号特点； 利用韦达定理逆定理，结构一元二次方程协助解题等。

韦达定理拥有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中很多知识可有机联合，生成丰富多彩的数学识题，而解这 类问题常用到对称剖析、结构等数学思想方法。

【例题求解】【例 1】 已知 、 是方程 x 2x 1 0的两个实数根，则代数式 2( 2 2) 的值为 。

思路点拨： 所求代数式为 、 的非对称式，经过根的定义、一元二次方程的变形转变为 ( 例 【例 2】假如 a 、 b 都是质数，且 a213a m 0 ， b213b m0 ，那么b a的值为 ()a bA 、 123B 、125或 2C 、 125D 、123或 222222222思路点拨 ：可将两个等式相减，获取 a 、 b 的关系，因为两个等式结构同样，可视a 、b 为方程x 2 13x m 0 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创建了条件。

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是对于 x 1 、 x 2 的对称式， 这种问题可经过变形用 x 1 + x 2 、 x 1 x 2 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1) 适合组合； (2) 依据根的定义降次； (3)结构对称式。

【例 3】 已知对于 x 的方程： x 2(m 2) x m 24 (1)求证：不论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。

(2)若这个方程的两个实根 x 1 、 x 2 知足 x 2 x 1 2，求 m 的值及相应的 x 1 、 x 2 。

思路点拨 ：对于 (2) ，先判断 x 1 、 x 2 的符号特点，并从分类议论下手。