- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由上式可知hmin 的值与P的大小有关.
W b c b 2P 2 c 则 P W b
c P W b
综合分析， 可得如下的结果
10
c
当
W P W
c P W b
V ( ) PhD P(l cos a cot )
系统平衡时，势能满足：
y D
B
dV 1 Pl sin Pa 2 0 d sin
3
A a
C P
x
a sin 0 arcsin 3 a l l 注意：势能的零 2 2 cos 0 点应取在固定点 又： d V Pl cos 0 Pa 处,若取在A点,则 2 3 d sin 0
P
A
解：临界平衡时，B 处的反力为零。 各摩擦面处力的方向与法向所夹角
m m
等于摩擦角. ( 如图示)
W2
D
W1
B
f tg m
r R
FS
m
DB 2 Rr AB 2R
r R
FN
由题意 f
可满足条件.
12
P
A
m m
W2
D
W1
B
m
P
A
m
FR
K
W2
m
K
m
W1
R
O
m
即是
tg
Rr
C
arc tg
r
D
注: 系统的平衡时, W 与P的大小与角有关, 而角的大小取决于.
C
W
W
FS
P
FR
P
m
FN
8
例24. 均质矩形块置于粗糙的地板上, 摩擦系数为 , 初始静止. 为使矩形块 在水平力P的作用下沿地板滑动而不倾倒, 作用点不能太高, 即h 应比较小. 试问hmin = ? ( 第三届题)
B
C
系统或系统中的质点若被微小干扰 后只是在平衡位置附近运动而不会 产生很大的偏离, 且最终可恢复原 状,此种平衡状态是稳定平衡, 否则 便是不稳定平衡. 此题应是不稳定平衡. 判断平衡是 否稳定的标准式是 势能函数对其 坐标的二阶导数
P
A
O
O C
B
A
P
5
杆AB重P，长为2l ，下端靠在铅直的墙上， 同时又被支承在光滑的点C，求杆平衡时的角 度，并讨论平衡的稳定性。
2 h y A x B h2 2h
yA
yA 2vt v
vt 2 h2 h
v 2t
2 vt h 2
2
vt 2 h 2
2vt v 2
h
A
YA
vt 2 h2 t
B
XB
v
A v 2 y
x
vt 2 h2
解： 光滑面接触——理想约束
y D C x P
B
A a
系统中仅有重力作功——保守系统，可用 系统的势能决定其平衡位置及平衡的稳定 性。 系统的势能： 单自由度，取
为广义坐标
重力势能的零点取为点C
V ( ) PhD P(l cos a cot )
系统平衡时，势能满足：
dV 1 Pl sin Pa 2 0 d sin
FR
D
m
13
运动学篇
引言
运动学主要是确定或求解点和刚体运动时的位置、速度、角速度、加速 度、角加速度. 有两种基本方法: 点的运动形式: 直线、曲线 刚体的运动形式: 平动、定轴转动、平面运动、一般运动. 处理方法: 解析法 (函数法): (1) 通常只选定参考系, 直接描述点或刚体的绝对运动. 若有 必要描述相对运动, 则必须选择相应的动参考系. (2) 分析点或刚体在坐标空间中的任意时刻的几何位置,并将 其位置的坐标( 线坐标或角坐标)表示成时间的函数. (3) 求某瞬时的运动量, 应求得相应的运动解析式, 在将此时 刻的时间t或坐标值(角度或线度)代入之.
c b
hmin 0
b
C
Q
当
hmin
a
hmin
A
b W b c 0 2 2P
W
FS
B
P
FN
注:
c 在 hmin 0 及 W P W 条件下, b 物块在滑动中向左倒的趋向逐渐加大.
11
例25 小球重W2 半径为r, 大球重W1 半径为R. 设球与地面间、大球与小球间 的摩擦系数均为f , 现加一水平力P . 试问摩擦系数至少为多少,才能在足够大 的P力作用下保证大球从小球上翻过。（不计滚动摩阻）
3
FN
例21 . 轴AB与铅垂线成 角, 悬臂CD 固定于轴上并与之垂直. 悬臂CD长为a, 并与铅垂面ZAB成 角. 如图在D 点上作用一铅垂向下的力P, 求
m AB P ?
Z B
解: 将P 力正交分解, 其中, P1// AB, P2//EK . 显然, mAB P1 0 沿BA方向看下去如下图所示.
取长方块B 分析
Y
i
0:
FN W cos300 F2 si n350 0
FN 107 20 N .
F1
W
F2
F
B
30º
X
P
W
x
i
0:
F2 cos350 F W si n300 P 0 F FN tg350 75.06 N
P 4.34 N
vx C cos α v v
2
a x a τ cos α a n sinα 0 v a τ tgα a n tgα ρ
1 v 2 v3 a aτ2 a 2 n cosα ρ Cρ
19
例3. 设动点在一平面内运动. 求证:此点的运动轨迹的曲率半径有下式确定:
由此可得知: 只要
h
c 2
则不会倾倒.
因而有 hmax
c 2
至于hmin 可允许为零.
即hmin = 0 .
9
若P > W, 则在其作用下物块有一加速度a .
c
在图示的运动及受力状态下, 有hmin .
由图中可知,
W a P W g
P a g W
0
势能零点不定。
l P(l cos 0 2a cos 0 ) 3Pl cos 0 0 a 0为不稳定平衡！
例23. 半径为r, 重为W的均质圆柱体置于半径为R的圆槽底部, 接触面间的摩擦 系数为. 在圆柱体边缘缠绕一不计重量的柔索, 其端部悬挂重为P的物块, 则平 衡时圆柱体的中心可以升高, OC连线的最大偏角 可达 ( ) . ( 第三届题) 解: 当接触面处的静滑动摩擦力达到临界 值时, 角可达最大. 取圆柱体为研究对象, 由临界平衡可得
而
aA vA
vt
2
h
3 2 2
17
例2. 某一点的运动轨迹为平面曲线, 其速度在铅垂方向的投影始终是常量C. 求证: 任意时刻点的加速度大小 为:
v3 a C 其中, 为点所在曲线处的曲率 半径
证明: 不妨设铅垂轴为 轴 x 则 Vx C ax 0
18
又
v2 an ρ
Q W a P W g
b
C
Q
a
hmin
A
W
FS
B
P
b c mB 0 : Q W P hmin 0 2 2
hmin 1 Q b W c b W b c 2P 2 2P
FN
令上式中hmin = 0 若hmin > 0
1
Q
也可以将F1 , F2 正交分解为切向力和法向力, 基本 思路一样, 但计算过程要麻烦得多. 2
例19. 圆柱体A 与长方块B 均重100N , 置于倾角为30º的斜面上. 若所有接触处的摩擦角 都是35º. 求: 保持系统平衡所需的最小力P = ? 解: 设B 块向下滑动, 圆柱体A沿斜面滚动
例17. 小虫从半径为r 的半球形的碗底往上爬. 设虫与碗间的滑动摩擦系数为
f 3 3
求: 小虫爬到的最大的高度h = ?
解: 由滑动摩擦系数可知摩擦角为 O
30º 60º
h
tg
3 3
300
小虫爬到的最大高度h 时, 恰能自锁.
3 h r r sin60 r 1 2
14
合成法( 瞬时法):(1) 已知运动的点与未知的点在同一刚体上 刚体平面运动
基点法, VB VA VBA ( 包括速度投影及速度瞬心法)
n t a B a A a BA a BA
(2) 已知运动 的刚体(或点)和未知的刚体(或点)之间的相对运动— 点的合成运动.
Va Ve Vr
B
O
x
它有这样一重要的含义: 沿柔性体长度方向上的任 意两点的距离是保持不变的. – 这 正是刚体的性质. 这种性质的运动学表现是: 任意两点的速度沿长度 方向上的投影相等.
如图中
vC v B cos
vh
v A vC
v A v cos
vt 2 h 2
v 2 h2
aa ae ar aC
(3)刚体平面运动的基点法(合成法)之点的合成运动的动系是固
结在基点的平动坐标系. 而一般的点的合成运动的动系是固结在某运动刚体上的动系. 此动系可以是平动、定轴转动、刚体平面运动等任意形式的 刚体运动.
