中国大学生理论力学竞赛(含试题及答案)

第七届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：西北工业大学 满分：120分 时间：3小时一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm ，其质量m 1=0.3 kg ，杯底座半径R =5 cm ，厚度不计，杯脚高度h =10 cm 。

如果有一个质量1.02=m kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。

已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数f s = 0.5。

试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。

二、杂耍圆环(40分)1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。

设圆环与地面接触瞬时圆环中心O 点的速度大小为0v ，圆环的角速度为0ω，圆环半径为r ，质量为m ，圆环与地面间的静摩擦因数为s f ，不计滚动摩阻，试问：（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？（3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v 1，圆环平面保持在铅垂平面内。

试分析圆环碰到高为h (h 2r<)的无弹性台阶后， 能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。

3.演员又用细铁棍推动题2中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。

又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 f t ，圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。

试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。

三、趣味单杠(30分)单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。

单杠是体操比赛中最具观赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在学校和健身场所拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：清华大学满分：120 分时间：3小时一、声东击西的射击手（30 分）射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。

欢迎来到这个与众不同的射击场。

在这里，共有 10 个小球 P i（号码从0 到9），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。

假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。

圆弧 AB的半径为R，B点与地面的高度为H 。

均质细杆CD的质量为M ，长为 L=0.5H ，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S 。

小球 P i 质量均为m，不计半径，小球 iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为 e i，且满足。

（1）为使小球 1 P击中杆上D点，试确定静止释放时的θ ，距离S 有何限制？（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的θ ，此时CE的距离是多少？（3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的θ ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？二、骄傲自满的大力士（35 分）有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。

正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为 H =2.4m ，横梁 AB平行于地面，沿z 轴负方向，长为L=H 。

立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为 D = 0.06m 。

夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。

比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。

绳索的重量不计，长度不限。

球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力σS =57MPa 。

大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是μ =0.5 ，自己重量为 G1 = 700N ，夫人重量为 G2 = 700N。

大学生力学竞赛模拟题 ------江苏技术师范学院一、连日大雨，河水猛涨，一渡船被河水冲到河中央，摆渡人眼疾手快，立刻从岸上拉住船上的缆绳以便拖住渡船，可惜水流太急，渡船仍然向下游冲去。

这时，摆渡人看到一木桩，并立刻将缆绳在木桩上绕了几圈，就拉住了冲向下游的渡船。

（1） 本问题与力学中的什么内容有关系 （2） 利用木桩拉住渡船，则摆渡人少使多少力？（3） 如果水对渡船的推力为20kN ，而摆渡人的最大拉力为500N ，木桩与缆绳之间的摩擦系数3.0=f ，则为了能使渡船停止运动至少将缆绳在木桩上绕几圈？若缆绳横截面面积为3002mm ，木桩直径为20cm ，木桩至渡船的缆绳长10m ，弹性模量E=100GPa ，忽略木桩至手拉端绳的变形，试计算缆绳的总伸长量。

题1图一、解：（1）、关键词：摩擦，轴向拉伸（2）、设手拉端的拉力为人F ，船的拉力为船F ，缆绳和木桩接触的各处有径向压力和切向摩擦力作用，如图（1-a ）所示。

任取一微段（图（1-b ）），由微段的平衡条件（1-a ） （1-b ）0=∑r F 02sin 2sin )(=-+-θθd F d dF F dF r （1） 0=∑θF ()02cos 2cos=--+r fdF d F d dF F θθ （2） 对于微小角度θd ，可令 22sinθθd d ≈，12cos ≈θd ，并略去高阶微量2θd dF ⨯，即得fF d dF=θ（3） 分离变量，积分得θf Ae F = （4）其中积分常数由缆绳两端的边界条件确定，有0=θ， 船F F =； 船F A =所以，绕在木桩上缆绳任一截面的拉力为θf e F F 船= （5）所以θf e F F =船人，其中θ为缆绳绕过木桩的角度。

（3）、将N F 500=人，kN F 20=船，f = 0.3代入式（5），得θ3.031020500e ⨯=解得 3.12≈θ rad 所以至少将缆绳绕两圈。

第一届大学生力学竞赛试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 牛顿第二定律表达式为：A. F = maB. F = mvC. F = m * v^2D. F = m / a2. 以下哪个选项是描述力的三要素：A. 大小、方向、作用点B. 大小、质量、作用点C. 质量、方向、速度D. 大小、速度、作用点3. 静摩擦力的大小与以下哪个因素有关：A. 物体的质量B. 物体的重力C. 物体的加速度D. 外力的大小4. 以下哪个是描述物体运动状态的物理量：A. 速度B. 质量C. 力D. 能量5. 质点做匀速直线运动时，其加速度为：A. 零B. 正数C. 负数D. 无法确定6. 以下哪个选项是描述物体转动的物理量：A. 角速度B. 线速度C. 加速度D. 动量7. 根据能量守恒定律，以下哪个说法是正确的：A. 能量可以被创造或消失B. 能量在转化和转移过程中总量保持不变C. 能量总是从高能级向低能级转移D. 能量守恒定律只适用于封闭系统8. 弹性势能与以下哪个因素有关：A. 物体的质量B. 物体的弹性系数C. 物体的位移D. 所有以上因素9. 以下哪个是描述物体受力平衡状态的条件：A. 合力为零B. 合力不为零C. 合力方向与物体运动方向相反D. 合力大小与物体质量成正比10. 以下哪个选项是描述流体力学中的伯努利定律：A. P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数B. P + ρv^2 = 常数C. P + ρgh = 常数D. P + 1/2ρv^2 = 常数二、填空题（每空2分，共20分）11. 牛顿第三定律表述为：作用力与_______总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上。

12. 物体在斜面上受到的摩擦力大小可以用公式_______来计算。

13. 根据牛顿第一定律，物体在没有外力作用时，将保持_______状态或_______状态。

14. 物体的转动惯量与物体的质量分布和_______有关。

力学竞赛大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 一个物体在水平面上以恒定速度直线运动，其运动状态是：A. 静止B. 匀速直线运动C. 匀速圆周运动D. 变速直线运动答案：B2. 牛顿第二定律的数学表达式是：A. F = maB. F = mvC. F = m(v^2)D. F = m(v^2)/r答案：A3. 根据能量守恒定律，下列说法正确的是：A. 能量可以在不同形式之间转换B. 能量可以在不同物体之间转移C. 能量的总量可以增加D. 能量的总量可以减少答案：A4. 一个物体从静止开始做自由落体运动，其下落高度与时间的关系为：A. h = 1/2gt^2B. h = gtC. h = 2gtD. h = gt^2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小________，方向________，作用在________的物体上。

答案：相等；相反；不同2. 一个物体的动能与其质量成正比，与其速度的平方成正比，其公式为：Ek = ________。

答案：1/2mv^23. 一个物体在斜面上下滑时，其受到的摩擦力大小与斜面的倾角成________关系。

答案：正比4. 根据胡克定律，弹簧的弹力与其形变成正比，其公式为：F =________。

答案：kx三、计算题（每题10分，共20分）1. 一辆汽车以20m/s的速度在水平公路上匀速行驶，求汽车受到的摩擦力大小，已知汽车质量为1500kg，摩擦系数为0.05。

答案：汽车受到的摩擦力大小为750N。

2. 一个质量为2kg的物体从10m高处自由落下，忽略空气阻力，求物体落地时的速度。

答案：物体落地时的速度为20m/s。

四、简答题（每题10分，共20分）1. 简述牛顿第一定律的内容及其物理意义。

答案：牛顿第一定律，也称为惯性定律，指出一切物体在没有受到外力作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。

其物理意义是，物体具有惯性，即物体倾向于保持其当前的运动状态，除非有外力作用。

第十三届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题参考答案及详细解答出题学校：南京航空航天大学（本试卷分为基础题和提高题两部分，满分120分，时间3小时30分）评分总体原则采用扣分制或加分制。

采用扣分制时，建议最终所扣分数总和不超过题目（或问题）总分的一半。

采用加分制时，建议最终所给分数总和不超过题目（或问题）总分的一半。

如果学生的解题方法和参考答案不同，则按以下几种情况分别处理：（1）如果学生给出的最终结果和参考答案相同，建议采用扣分制：侧重检查学生的解题过程有无不严谨的地方或小的概念错误（未影响结果），如果有的话，建议每一处错误可酌情扣1~2分。

（2）如果学生给出的最终结果和参考答案不同：（A）如果学生解答的总体思路合理、清晰，建议采用扣分制：在检查学生的解题过程时侧重区分某错误是概念错误还是计算错误。

建议对于每一处概念错误扣5分或以上，对每一处计算错误酌情扣1~2分。

对于由一处计算错误所引起的后续计算结果错误，只按一次错误扣分，计算错误不累计扣分。

（B）如果学生解答的总体思路不清晰，建议采用加分制：在检查学生的解题过程时侧重寻找其局部正确、合理的部分，酌情给分。

一、参考答案第一部分基础题部分参考答案（共60分）第1题(18分)1）CDE ωω=-，11C DE ωω=（5分）2）2=41)2F ka a+（5分）3）223[+4(28ABC M ka maα=-（8分）第2题(12分)1）1058B B ωω=（3分）2）1min A ω（4分）3）25sin 39[1cos30)]0θθ---≥（（5分）第3题(15分)1）AC BC 7.338kNF F ==（拉）CD CE 10.377kNF F ==（拉）（7分）2）AC BC =33.125kN F F =（拉）CD CE 43.155kN F F ==（压）（8分）第4题(15分)1）31232(1)cos e E D M πβμβ=∆+（5分）2）222(1)sin 2E D F πβμβ=∆+（5分）3）22.5β=︒（5分）第二部分提高题部分参考答案（共60分）第5题(15分)1）当θ=0°或θ=180°时，解不唯一。

本科生力学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在经典力学中，牛顿第一定律又称为：A. 惯性定律B. 作用力与反作用力定律C. 力与加速度定律D. 万有引力定律答案：A2. 一个物体的质量为2kg，受到10N的力作用，产生的加速度为：A. 5 m/s²B. 10 m/s²C. 20 m/s²D. 4 m/s²答案：A3. 根据胡克定律，弹簧的弹力F与弹簧的形变量x成正比，比例系数k为弹簧的劲度系数。

当弹簧伸长2m时，弹力为100N，则弹簧的劲度系数k为：A. 50 N/mB. 100 N/mC. 200 N/mD. 25 N/m答案：A4. 一个物体从静止开始自由下落，忽略空气阻力，其下落过程中的加速度为：A. 9.8 m/s²B. 0 m/s²C. 2 m/s²D. 19.6 m/s²答案：A5. 在国际单位制中，力的单位是以哪位科学家的名字命名的？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 伽利略D. 阿基米德答案：A6. 一个物体在水平面上做匀速直线运动，其受到的摩擦力为10N，那么推力的大小为：A. 0 NB. 10 NC. 20 ND. 不能确定答案：B7. 根据能量守恒定律，一个物体从高处自由下落到地面，其势能转化为：A. 动能B. 内能C. 电能D. 化学能答案：A8. 在斜面上下滑的物体，其受到的重力分量可以分解为：A. 垂直于斜面的压力B. 沿斜面向下的力C. 垂直于斜面的力D. 沿斜面向下的力和垂直于斜面的力答案：D9. 一个物体在水平面上以恒定的加速度加速运动，其受到的合外力与速度的方向：A. 相反B. 相同C. 不确定D. 垂直答案：B10. 两个物体之间的万有引力与它们的质量乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

这个定律是由哪位科学家提出的？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 伽利略D. 阿基米德答案：A二、简答题（每题10分，共40分）11. 什么是动量守恒定律？请举例说明。

理论力学竞赛练习题一、基础概念题1. 列出牛顿运动定律的三个基本内容。

2. 简述质点与刚体的区别。

4. 解释力的合成与分解。

5. 简述功和能量的概念及其关系。

二、单选题A. 速度B. 力C. 加速度D. 质量2. 在自由落体运动中，物体的加速度为：A. 0B. 9.8 m/s²C. 5 m/s²D. 10 m/s²A. 惯性与物体的速度有关B. 惯性与物体的质量无关C. 惯性是物体保持静止状态的性质D. 惯性是物体保持匀速直线运动状态的性质三、计算题1. 一物体从静止开始沿直线加速运动，经过10秒后速度达到20 m/s，求物体的加速度。

2. 一质量为2 kg的物体在水平面上受到10 N的力作用，求物体的加速度。

3. 一物体从高度h自由落下，不计空气阻力，求物体落地时的速度。

4. 一物体沿半径为5 m的圆周运动，速度为10 m/s，求物体的向心加速度。

5. 一物体在水平面上受到两个力的作用，其中一个力为30 N，方向向东，另一个力为40 N，方向向北，求物体的合力。

四、应用题1. 一辆汽车以20 m/s的速度行驶，紧急刹车后，加速度为5m/s²，求汽车停止前行驶的距离。

2. 一物体在斜面上受到重力和摩擦力的作用，已知重力为30 N，摩擦力为10 N，求物体的合力。

3. 一质量为1 kg的物体在水平面上受到一个变力的作用，力随时间的变化关系为F=3t²（N），求物体在05秒内的位移。

4. 一物体在半径为10 m的圆形轨道上做匀速圆周运动，速度为5 m/s，求物体在1分钟内转过的角度。

5. 一质量为5 kg的物体在水平面上受到一个恒力的作用，力的大小为20 N，方向与初速度方向成30°角，求物体在5秒内的位移。

五、判断题1. 动能定理表明，物体的动能变化等于所受外力做的功。

（）2. 在圆周运动中，物体的速度方向始终沿着半径方向。

（）3. 作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一直线上。

理论力学竞赛练习题答案理论力学竞赛练习题答案理论力学是物理学的重要分支，它研究物体在力的作用下的运动规律。

在理论力学的学习过程中，练习题是不可或缺的一部分。

通过解答练习题，可以帮助我们巩固理论知识，提高解题能力。

下面是一些理论力学竞赛练习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 弹簧振子的周期公式是什么？答：弹簧振子的周期公式为T=2π√(m/k)，其中T表示周期，m表示弹簧振子的质量，k表示弹簧的劲度系数。

2. 什么是动量？答：动量是物体运动的重要物理量，它是物体质量和速度的乘积，用p表示。

动量的单位是千克·米/秒。

3. 什么是力矩？答：力矩是描述力对物体产生转动效果的物理量，它是力的作用点到物体某一点的距离与力的大小的乘积。

力矩的单位是牛顿·米。

4. 什么是牛顿第二定律？答：牛顿第二定律是描述物体运动的重要定律，它的数学表达式是F=ma，其中F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

5. 什么是静摩擦力和动摩擦力？答：静摩擦力是指物体在静止状态下受到的摩擦力，它的大小等于物体受到的外力的最大值。

动摩擦力是指物体在运动状态下受到的摩擦力，它的大小等于物体受到的外力的实际值。

6. 什么是机械能守恒定律？答：机械能守恒定律是指在没有外力做功的情况下，物体的机械能保持不变。

机械能包括动能和势能两部分，它们的和是一个常量。

7. 什么是弹性碰撞和非弹性碰撞？答：弹性碰撞是指碰撞过程中物体之间没有能量损失的碰撞。

非弹性碰撞是指碰撞过程中物体之间有能量损失的碰撞。

8. 什么是万有引力定律？答：万有引力定律是描述物体之间引力作用的定律，它的数学表达式是F=G(m1m2/r^2)，其中F表示物体之间的引力，m1和m2表示物体的质量，r 表示物体之间的距离，G为引力常量。

通过解答以上的练习题，我们可以更好地理解理论力学的基本概念和定律。

同时，这些题目也帮助我们培养逻辑思维和解决实际问题的能力。

大学力学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪项描述了牛顿第二定律？A. 力是物体运动状态改变的原因B. 物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比C. 力是物体间相互作用的结果D. 力的大小等于物体质量与速度的乘积答案：B2. 根据能量守恒定律，以下哪个说法是正确的？A. 能量可以被创造或消灭B. 能量可以在不同形式之间转换，但总量保持不变C. 能量只能从高能级向低能级转换D. 能量转换过程中会有部分能量损失答案：B3. 以下哪个选项是描述动量守恒定律的？A. 系统内所有物体的总动量在没有外力作用下保持不变B. 系统内所有物体的总动能在没有外力作用下保持不变C. 系统内所有物体的总质量在没有外力作用下保持不变D. 系统内所有物体的总能量在没有外力作用下保持不变答案：A4. 根据胡克定律，弹簧的形变与什么成正比？A. 弹簧的质量和形变速度B. 弹簧的形变和作用力C. 弹簧的形变和弹簧常数D. 弹簧的形变和物体的质量答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小______，方向______，作用在______物体上。

答案：相等；相反；不同2. 一个质量为2kg的物体，受到10N的力作用，其加速度大小为______ m/s²。

答案：53. 一个物体从静止开始自由下落，忽略空气阻力，其下落速度与时间的关系为v = ______。

答案：gt4. 动量守恒定律适用于______外力作用下的系统。

答案：没有三、计算题（每题10分，共40分）1. 一个质量为5kg的物体在水平面上以2m/s²的加速度加速运动，求作用在物体上的力的大小。

答案：根据牛顿第二定律，F = ma，所以 F = 5kg × 2m/s² = 10N。

2. 一辆质量为1000kg的汽车以60km/h的速度行驶，求其动能。

答案：首先将速度转换为m/s，60km/h = 16.67m/s。

湖南省第六届大学生力学竞赛试题——理论力学（竞赛时间：180分钟）请将答案写在相应横线上，答案正确给全分，答案不正确给零分。

一、综合题（16分）1．长度为l ，重P 为1kN 的匀质板搁在倾角为600的V 型水渠上，如图所示。

板与斜面间的摩擦角为15º。

试求可以通过该桥人的最大体重Q=（4分）。

题1.1图 题1.2图2．连杆滑块机构中，OA =2l,AB =l,杆OA 在图示平面内绕O 轴以匀角速度0ω转动。

试求当角0=ϕ时，AB 杆的角速度为 （4分）。

3．一匀质圆盘半径为R ，质量为m ，放在光滑的水平平面上。

初始时以匀角速度0ω绕盘边缘一点A 转动。

当转动到图示位置时，突然释放A 点，固定盘边缘上的B 点，再释放B 点。

试求此后圆盘运动的角速度为=ω （4分）。

4．图示机构，曲柄OA 可绕O 轴定轴转动，AB 杆穿过套筒C ，OC 连线水平，其中OA =r ，AB =4r ，OA 曲柄作用大小为M 的顺时针力偶，初始时刻曲柄OA 处于铅垂位置，C 为AB 中点，在AB 杆的B 端施加一力P 可使系统在该位置平衡，为了使力P 最小，可以改变其方向，若不计各处摩擦，试求平衡时力P 的最小值为密 封 线ω（4分）。

题1.3图题1.4图二、正方体边长为a ，力12, F F 大小均为F ，该力系对轴CA '之矩为（4分）；该力系简化可能得到的最小主矩为 （6分）。

题3图题二图题三图三、（4分+4分+7分=15分）图示均质轮轴重量为G ，半径为R ，轮轴上鼓轮半径为r ，在鼓轮上缠绕轻质绳经过定滑轮系以重物，各处摩擦因数均为f ，θ角已知，试求平衡时重物的最大重量0G 。

CA'AA四、图示平面机构中，滑块C 与滚轮A 用杆和铰链连接，A 为轮心，套筒绕O 轴转动，图示瞬时O 在AB 中点，α =60º，BC ⊥AB 。

已知O 、C 在同一水平线上，AB =20cm ，V A 为常数，且V A =16cm/s ,试求该瞬时AB 杆的角速度为 （4分），滑块C 的速度大小为 （4分），AB 杆的角加速度为 （4分），绞B 的加速度大小为 （4分）。

第六届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间 3 小时，满分 120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。

他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。

他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。

等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。

根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图 1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。

独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m 。

为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。

请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图 1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35 分）有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。

该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有 6 条等长的桌腿（图 2）。

每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。

该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。

如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。

图 2 模特儿的新舞台三、魔术师的表演（25分）魔术师要表演一个节目。

其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；另一个道具是长为L的均质刚性板 AB，质量为 M2 ，可绕光滑的 A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。

第一部分 基础题部分（共60 分）第1 题 (18分)铅垂面内的机构如图所示，由直角杆ABC 、A 1BC 1、CDE 、C 1DE 1铰接而成，销钉A 1可沿固定水平滑槽运动，AB=BC=A 1B= BC 1=CD= C 1D=a ，DE= DE 1=2a 。

1） 已知图示瞬时AB 与水平线AA 1的夹角为φ，ABC 的角速度为ω，求CDE 和C 1DE 1的角速度CDE ω、11C DE ω；（5分）2） 已知ABC 上作用力偶M ，E 和E 1点通过刚度为k 、原长为2a 的弹簧连接，均质杆DE 和DE 1的质量均为m ，忽略其它杆的质量和各处摩擦。

为使系统在45ϕ=的位置平衡，求销钉A 1上的水平力F ；（5分）3） 若在上述平衡位置突然撤去力F ，求该瞬时ABC 的角加速度ABC α。

（8分）第1题图ABCDC 1A 1E ω kφFM图(a)为可在火星上滚动的无轮缘车轮，由n 根直杆在中点固结而成。

假设n =3，各杆质量均为2m 、长度均为2R ，相邻杆间的夹角均为600，如图(b)所示。

车轮在铅垂面内向右滚动，杆件各端点依次与路面发生完全塑性碰撞，且不发生相对滑动。

端点A 与路面碰撞前、后瞬时车轮的角速度分别记为0A ω、1A ω，端点B 与路面碰撞前、后瞬时车轮的角速度分别记为0B ω、1B ω。

已知重力加速度为g 。

1）求1B ω与0B ω的比值；（3分）2）如图(b)所示，假设路面上与端点A 、B 、C 碰撞的三个点位于同一高度，求车轮能够由图中实线位置滚动到虚线位置的1A ω的最小值；（4分）3）车轮沿倾角为θ（30θ<）的斜面向下滚动，如图(c)所示，为使11=B A ωω，求θ应满足的关系式。

（5分）（a ） （b ）（c ） 第2题图BFOAB ＇＇A ＇C ＇O ＇ωA 1ABCDEFOθωA 1平面杆系结构由四根材料相同的圆截面直杆组成，其中杆AC与杆BC长度相同、直径均为d1=20mm，杆CD与杆CE长度相同、直径均为d2=40mm，设计尺寸如图（a）所示。