定解问题

§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。

2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。

方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。

方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。

例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。

质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。

§1.3 定解条件。

一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。

例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。

第2章定解问题第2章定解问题1、何谓数理⽅程？按其描绘的物理过程，它可分为哪⼏类？2、何谓定解问题？它分为哪⼏类？试写出⼀维波动⽅程的Cauchy问题的数学表⽰。

3、何谓定解条件？它包括哪些内容？4、何谓边界条件？它分为哪⼏类？⼀个边界需⽤⼏个边界条件来描述？5、⽤数理⽅程来研究物理问题需要经历哪⼏个步骤？6、在静电场问题中，由介电常数分别为和的两种介质组成的系统的交界⾯S 处的衔接条件有⼏个？应如何表⽰？7、如何导出物理模型的数理⽅程？在推导弦的横振动⽅程时采⽤了哪些近似？由⼩⾓度近似我们得到什么结论？8、热传导⽅程的扩散⽅程有何共同和不同之处？9、在杆的纵振动问题中，若端⾃由，这个边界条件如何写？你能从Hooke定律出发证明吗？10、在杆的导热问题中，若端绝热，这个边界条件该如何写？你能从⼀物理定律出发证明吗？11、在热传导问题中，若热源密度不随时间⽽变化，则热传导⽅程会发⽣怎样的变化？12、在弦的横振动问题中，若弦受到了⼀与速度成正⽐的阻⼒，该阻⼒对于弦的振动问题是否起到了源的作⽤？若受到了⼀与位移成正⽐的回复⼒呢？第3章⾏波法1、⾏波法的解题要领是什么？它适合⽤来求解哪⼀类定解问题？为什么？2、⼀维波动⽅程的通解为什么含有两个任意函数？他们各个有怎样的形式和怎样的物理意义？靠什么确定他们的具体函数形式？3、公式是⽤⾏波法求解弦的横振动问题时推得的，能否⽤公式求解如下定解问题？请说明原因？4、能否⽤公式求解如下定解问题？5、能否⽤⾏波法求解如下定解问题？6、你能否根据直⾓坐标系中的导出球坐标中球对称情况下的的表达式请记住这个结论：7、何谓平均值法？你能通过引⼊球⾯的平均值，将三维的波动⽅程化为关于平均值的⼀维⽅程吗？8、在Poisson 公式中，?若已知9、对于定解问题除了可⽤Poisson 公式求解外？你能否有其他的求解法？10、在弦的横振动⽅程单位质量的弦所受的外⼒，若将则怎样的物理含意？它的量纲是什么？11、冲量原理的精神是什么？12、你能否⽤纯强迫振动的解来求解定解问题13、试述推迟势的物理意义，在推迟势中，若，且局限于⼀单位球内，则其中的体积分该如何计算？14、对于定解问题按下述⽅法进⾏求解是否正确？为什么？令使由公式可求得⽽显然，所满⾜的定解问题的解为所以，原定理问题的解为第4章分离变量法1、分离变量法的物理背景是什么？为什么能将未知函数表⽰为单元函数的乘积？2、分离变量法适于求解哪些定解问题？能⽤分离变量法求解⽆界问题吗？4、分离变量法有哪⼏个求解步骤？其中最关键的是哪⼀步？5、何谓本征值问题？以下两个定解问题是否构成本征值问题？(1)(2)6、仿照上章⽤冲量原理求解⽆界弦的纯迫振动的思想和⽅法，你能否写出⽤冲量原理求有界弦的纯强迫振动的公式？7、在将边界条件齐次化时，为什么通常可选辅助函数为X的⼀次式，⽽当问题的两个端点均有第⼆类边界条件时，必须选辅助数为X的⼆次式？8、在⽤分离变量法求解圆的Dirichlet问题时，需要将边界条件齐次化吗？为什么？9、在⽤分离变量法求解下述问题时，是否需将边界条件齐次化？如何齐次化？10、在柱坐标和极坐标中对分离变量，所得到的的⽅程为…其后为什么要注明…？它是怎样得来的？11、在扇形区域中，⽤分离变量法求Dirichlet问题应选择什么坐标系？所得到的的⽅程仍是…吗？为什么？12、在⽤分离变量法求解定解问题时，应如何选择坐标系？能在直⾓坐标系中求解吗？5章特殊函数>> 1）勒让德多项式1、⽅程是什么⽅程？你能写出它在中的⼀有限解吗？2、试述Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值、本征函数是什么？3、你能证明吗？你能由和之值算出吗？4、Legendre多项式的母函数是什么？何谓母函数法？它有哪些⽤途？5、Legendre多项式的归⼀化因⼦是什么？模是什么？你能得到⼀正交归⼀的Legendre多项式吗？6、积分和之值分别是多少？和7、你能将⽤Legendre多项式表⽰吗？8、你能否⽤关系式导出递推公式9、在球坐标系中，在轴对称的情况下，△u=0的变量分离形式的解是什么？在球内的解是什么？在球外的解呢？10、什么是缔合Legendre函数？它是否⼀定是多项式？为什么？11、试述缔合Legendre⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？12、缔合Legendre函数的模和归⼀化因⼦是什么？13、是否等同于？与有何关系？你能否由的正交归⼀性导出的正交归⼀性？15、何谓球函数⽅程？它满⾜下列条件的特解是什么?16、独⽴的l阶球函数共有多少个？17、你能⽤两种不同的形式，写出在球坐标系中，在⾮轴对称的情况下△u=0的解吗？它们对于球内和球外的具体情况，⼜分别是怎样的呢？2）贝塞⽿函数1、⽅程叫什么⽅程？你能写出它的⼀有限解吗？2、何谓Bessel函数的零点？它与Bessel⽅程的何种本征值问题有关？有什么样的关系？3、Bessel函数的母函数是什么？当v不为整数时有⽆母函数？为什么？4、你能利⽤Bessel函数的母函数关系式推导出Bessel函数的递推公式吗？5、Bessel函数有⽆微分表达式？若有，试写出；若⽆，说明为什么？6、什么是三类柱函数？它们是否均满⾜Bessel⽅程？它们互相的关系是怎样的？7、第⼆、三类柱函数是否也满⾜Bessel函数递推公式？为什么？8、9、10、Bessel⽅程的通解是什么？其有限解是什么？11、什么是虚宗量的Bessel⽅程？它经过什么样的代换可变成Bessel⽅程？由此你能推得虚宗量的Bessel ⽅程的⼀个特解吗？12、什么是虚宗量的Bessel函数和虚宗量的Neumann函数？虚宗量Bessel⽅程的通解是什么？13、你能完整地写出在柱坐标中对分离变量后所得到的在柱体内的分离变量形式的解吗？14、⽅程在柱坐标系下分离变量，在什么样的边界条件下会出现虚宗量Bessel⽅程？虚宗量的Bessel⽅程是否会构成本征值问题？15、球Bessel⽅程是什么样的情况下出现的？它与半整数的Bessel⽅程有什么关系？你能理解式给出的⼏个函数是球Bessel ⽅程的特解吗？16、试述球Bessel⽅程本征值问题的提法，其本征值和本征函数是什么？17、你能写出在球坐标系中对所得到的分离变量形式的解吗？第6章积分变换法1、何谓积分变换法？他的解题步骤是怎样的？2、Fourier变换的定义是什么？它的存在条件是什么？你能由周期函数的Fourier级数⽽导出⾮周期函数的Fourier积分从⽽引⼊Fourier变换吗？3、试求函数的Fourier变换（a>0），你能利⽤Fourier变换的某些性质求出和吗？其中，a为常数，t为参变量。

常见问题第九章 数学建模--数学物理定解问题 问题一； 设一长为l 的杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，写出此定解问题.【解】 (1)泛定方程：因杆作自由纵振动，自由即无外力作用，所以泛定方程为20tt xx u a u -= (2)边界条件：原来杆受压，放手后作自由振动，即这时两端无外力作用，这意味着杆的两端自由.“自由”表示在两端点处张应力为零．如果杆的材料的杨氏模量是Y ，根据胡克定律，而张应力等于杨氏模量Y 与相对伸长x u 的乘积，故 0|0, |0x x x x l Yu Yu ====即 0|0, |0x x x x l u u ====(3)初始条件：杆由长l 压缩为(12)l ε-，共缩短了2l ε，压缩率为22l l εε=，又杆的中点2l 压缩前后不变，即位移2|0l x u ==，以中点2l 为标准，左边位移为正，右边位移为负.根据上述分析，初始时刻0t =时的位移为2(,0)()2l l u x x l ε=-，初始速度为零，即(,0)0t u x =.综上所述：定解问题为20 (0,0) (0,)0,0 (0)(,0)2(),(,0)0 ( 2,)tt xx x x t u a u x l t u t u t l u x t x u x l ε-=<<>==≥=-= (0)x l ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≤≤⎩问题二； 设有一长为l 的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0v ，近端短路，试写出其定解问题.【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型.20xx a -=tt v v（2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x l =端电流为零，即|0x l i ==，根据(9.1.13)公式得到 0i L Ri x t ∂∂++=∂∂v且注意到理想传输线0G R ≈≈，故i L xt ∂∂=-∂∂v ，代入条件|0x l i ==有 (,)||0x x l x l i i l t L L t t ==∂∂=-=-=∂∂v而近端短路，即意味着0x =端电压为零，即0|(0,)0x t ===v v （3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0v ，故有初始条件0(,0)x =v v ，且此时的电流0|0t i ==，根据(9.1.14)公式， 0i C G x t ∂∂++=∂∂v v且注意到理想传输线0G R ≈≈，故 1i tC x ∂∂=-⋅∂∂v ，因而有 0011(,0)||0t t i i x t C x C x ==∂∂∂=-⋅=-⋅=∂∂∂v 综上所述，故其定解问题为200000 (0,0)|0,0 (0) |,0 (0) xx x x x l t t t a x l t t x l ====⎧-=<<>⎪=≥⎨⎪=≤≤⎩tt v v v v |=v v v |=。

2本征（特征）值问题在求解方程过程中，我们遇到如下问题：()()''000, 0X X X X l λ−=⎧⎪⎨==⎪⎩通过讨论我们知道，仅当λ＞0，且为某些特定值时该方程有非平庸解。

这些值称为方程在相应边界条件下的本征值；方程相应于不同λ值的非零解称为本征函函数。

求解本征值和本征函数的问题称为本征值问题。

量子力学中的本征值问题经典力学中的物理量在量子力学中都对应于一个Hermitian operator。

任意一个Hermitian operator的本征函数都可以构成Hilbert空间的一个完备函数基。

而其他任意Hermitian operator的本征函数都可以用这个完备基展开，而且展开式是唯一的。

每个Hermitian operator的本征值对应于该物理量可能的观测值；每次测量该物理量总会以一定概率得到某个本征值，这个概率由测量时体系的波函数决定。

3分离变量法可以推广应用到各种定解问题，但它的应用也有一定的限制：1、常系数偏微分方程总能进行变量分离，而变系数偏微分方程则不一定。

2、二阶线性偏微分方程并不总是存在变量分离的解。

6分离变量法实际上是通过某种办法得到了问题的某一种完备基函数，然后将问题的解用该完备基展开，再利用定解条件确定展开系数，从而确定问题的解。

这一做法在量子力学中被广泛使用，尤其是在利用数值方法求解薛定谔方程的时候。

713非齐次方程—有界弦的受迫振动考虑有界弦的受迫振动，即研究定解问题：容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。

()()()()()()()()()()()[]()2,,0,,0,0,0,,0, 0,0,,0. 0,tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=+∈∈∞⎪⎪==≥⎨⎪==∈⎪⎩分离变量法处理问题的程序1、对方程和边界条件分离变量，如果边界条件是非齐次的，还要对边界条件进行处理。

求定解问题数学物理方法例题1. 一辆汽车从A点出发，经过2小时行驶到B点，然后再经过3小时回到A点。

假设这两段行驶均在同一条直线上，求这辆车的平均速度。

答：假设AB之间的距离为d，时间 t1=2 小时，时间 t2=3 小时。

根据平均速度的定义，平均速度 = 总路程 / 总时间。

总路程 = 2d （从A到B）+ 2d （从B到A）。

总时间 = t1 + t2 = 5小时。

所以平均速度 = 总路程 / 总时间 = (2d + 2d) / 5 = 4d / 5。

2. 一个投掷物从地面上以速度 v0 垂直向上抛出，忽略空气阻力。

求物体到达最高点的时间和最大高度。

答：假设加速度 g = 9.8 m/s²是重力加速度，v0 是初始速度。

根据运动学公式，物体到达最高点时，垂直速度为 0，所以 v = v0 - gt = 0。

解出时间 t = v0 / g。

最大高度为 h = v0 * t - 1/2 * g * t² = v0² / (2g)。

3. 一个弹簧常数为 k 的弹簧，两端有各自质量为 m1 和 m2 的物体。

当这两个物体振动时，求两个物体的共同频率。

答：假设物体1的振动频率为 f1，物体2的振动频率为 f2。

根据振动的基本原理，弹簧的劲度系数k = m1 * (2πf1)² = m2 * (2πf2)²。

解方程组可以得到f1 = sqrt(k / (4π²m1))，f2 = sqrt(k /(4π²m2))。

所以两个物体的共同频率为sqrt(k / (4π²m1)) = sqrt(k / (4π²m2))。

希望以上例题能对您有帮助！请注意，这些例题仅供参考，并不代表所有数学和物理的定解问题。