下载文档原格式
第十章 积分变换法1．试求有限波列0cos 2()0t f t πγ⎧=⎨⎩ t T t T <≥当当的傅立叶变换()c ω. 解：1()()2i t f t c e d ωωωπ+∞−∞=∫00000000()()cos 2(cos sin )2[cos(2)cos(2)]sin(2)sin(2)22i t T TTc f t e dtt t i t dt t t dt T Tωωπγωωπγωπγωπγωπγωπγωπγω+∞−−∞+−==−=++−+−=++−∫∫∫2.试求阻尼正弦波0sin 2()0t e t f t απγ−⎧=⎨⎩ 00t t ><的傅立叶变换()c ω。
解：1()()2i t f t c e d ωωωπ+∞−∞=∫00000[(2)][(2)]0[(2)][(2)]00000020()()sin 21{}21{}2(2)(2)111[]2(2)(2)2(2)(i t T t i t Ti t i t i ti tc f t e dte te dt e e dte e i i i i i ωαωπγωαπγωαπγωαπγωαωπγπππγωαπγωαππγωαπγωαπγπγα+∞−−∞+−−−+∞−−+++∞−−++===−=−−−++−=−−−++=++∫∫∫2)ω 3．求函数221()f x a x=+（a>0）的傅立叶变换。
解：22()()ikxikxe c kf x edx dx a x −∞∞−−∞−∞==+∫∫为应用留数定理，要分别讨论k<0及k>0情形。
2222x 222222(1)0()2Re ()222(2)0()()()i k xi k zi k iak a z iaikx ikxx ikx k aka k ec k dx i sF ia a xeeii ea z ia ak e e c k dx d x a x a x e d x e e a x a aππππππ∞−∞−=−−∞∞−∞−∞∞−−−∞<==+===+>==−++===+∫∫∫∫用代替综合：()k ac k eaπ−=4.求函数sin ()axf x x =的傅立叶变换，a 为正实数。
非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程偏微分方程数值方法非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性微分方程(一)主要研究内容非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。
利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。
本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。
1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;非线性方程的数值解。
2.H-半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值(S)型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。
3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用:主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。
首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。
引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的许多最优控制问题(如:电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等)。
(二)研究方向的特色1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。
第五章 积分变换法分离变量主要是解决有界区域问题，对于大多数无界区域问题或半无界区域问题，如何求解，需引出另一种求解办法——积分变换法。
（一）积分变换法1．积分变换：就是将某些函数类A 中的函数)(x f ,经过某种可逆的分积手续⎰=dx x f p x k p F )(),()(变成另一函数类B 中的函数F(p)。
其中F(p 称为f(x)的像函数,f(x)称为原函数,而),(p x K 是p 和x 的己知函数,称为积分变换核。
2．积分变换法：对偏微分方程(常微分方程,积分方程)的定解问题中的各项实施积分变换,从而将偏微分方程(常微分方程和积分方程)的求解转换为常微分方程(代数方程)的求解办法叫积分变换法。
(二)Fourier 变换1．定义：设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续,分段光滑且可积,则称函数⎰+∞∞--=dx e x f G x i ωω)()(为函数)(x f 的Fourier 变换,记为)()]([x G x f F = 而称函数⎰∞+∞-=ωωπωd e G x f x i )(21)(为)(ωG 的Fourier 逆变换,记为)]([)(1ωG F x f -=显然)())](([1x f x f F F =-类似的,称函数⎰⎰⎰+∞∞-++-=dxdydz e z y x f G z y x i )(321321),,(),,(ωωωωωω为),,(z y x f 的Fourier 变换,而称函数⎰⎰⎰+∞∞-++=321)(3213321),,()2(1),,(ωωωωωωπωωωd d d e G z y x f z y x i 为函数),,(321ωωωG 的逆变换2．性质若记)())((ωG x f F =，则有1° 线性性:][][][21112111f F f F f f F βαβα+=+2° 延迟性:)()]([00ωωω-=G x f eF xi3° 位移性质:)]([)]([00x f F e x x f F iwx -=-4° 相似性质:)(1)]([aG a ax f F ω=5° 微分性质:若当∞→x 时,0)()1(→-x f n 3,2,1=n ,则)]([)()]([x f F i x f F n n ω=6° 积分性质:)]([1])([x f F iwd f F xx =⎰ξξ 7° 卷积性质:)]([)]([)](*)([2121x f F x f F x f x f F ⋅= 其中：⎰+∞∞--=ξξξd x f f x f x f )()()(*)(2121定义为)(1x f 和)(2x f 的卷积(三)Laplace 变换:1．定义：设函数)(x f 满足以下条件： (1)当0<t 时,0)(=t f(2)0≥t 时,)(t f 及)(t f '除去有限个第一类间断点外,处处连续 (3)当+∞→t 时存在常数M 及0≥β使得∞<<≤t Me t f t 0,)(0β则称函数⎰+∞-=0)()(dt e t f p F pt为函数)(t f 的Laplace 变换,并记作)()]([p F t f L =,称函数⎰∞+∞-=i i pt dp e p F i t f ββπ)(21)( 为函数)(p F 的Laplace 逆变换,并记作)()]([1t f p F L =-显然)())](([1t f t f L L =- 2．性质若记则有),()]([p F t f L =(1)线性性质：][][][2121f L f L f xf L βαβ+=+(2)延迟性质：000Re(),()]([0β>--=p p p p F t f eL tp(3)位移性质：)()]([p F e t f L p ττ-=-(4)相似性质)(1)]([ap F a at f L =(5)微分性质：)0()0()]([)]([)1(21)(-------=n n n n n f p f p t f L p t f L(6)积分性质：)]([1])([t F L pd f L t=⎰ττ (7)卷积性质：)]([)]([)](*)([2121x f L t f L t f t f L ⋅= 3．利用积分变换法求解数己定方程时常用到的积分公式①⎰∞+-->=04)0(21cos 22a ae bxdx e a b axπ②⎰∞+-=22πdx e x③0 2>=⎰∞+∞--a adx e ax π④⎰∞+=02sin πdx x x ⑤0 x )(01>Γ=⎰+∞--x dt t e x t(四) 积分变换法解题步骤用积分变换法解题分三步 step1：对方程和定解条件的各项取变换,得到像函数的常微分方程的定解问题或代数方程。
第十五章 积分变换法求解定解问题
１5.１ 傅里叶变换法解数学物理定解问题
用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式．下面的讨论我们假设待求解的函数u 及其一阶导数是有限的．
15.1.1 弦振动问题
例15.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题
（假定：函数u 及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解法和傅氏解法）
2000,()|() |()t t x x t t t u a u x u x u x ϕψ==⎧-=-∞<<∞⎪=⎨⎪=⎩ 【解】
应用傅里叶变换，即用i x
e ω-遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x 积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对： i i (,)(,)d 1(,)(,)d 2πx x U t u x t e x u x t U t e ωωωωω∞
--∞∞-∞==⎰⎰
简化表示为 [(,)](,)u x t U t ω=F
对其它函数也作傅氏变换，即为 ()()
[][(])()x x ϕωψω==ΦψF F 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题
222200((,)0(,)|(,))(|)t t t U a U t t U t U t ωωωωωω==Φψ⎧∂+=⎪∂⎪⎨=⎪⎪=⎩ 上述常微分方程的通解为
i i (,)()()at at U t A e B e ωωωωω-=+
代入初始条件可以定出 111()()()22i 111()()()22i A a B a ωωωω
ωωωω=Φ+ψ=Φ-ψ 这样
i i i i 1111(,)()()()()22i 22i
() ()cos()sin()at at at at U t e e e e a a at at a ωωωωωωωωωωωωωωωω--=Φ+ψ+Φ-ψ=Φ+ψ 最后，上式乘以1
2π并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到
11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰
这正是前面学过的的达朗贝尔公式.
15.1.2 热传导问题
例15.1. 3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
200, (,0)|()
t x x t u a u x t u x ϕ=⎧-=-∞<<∞>⎨=⎩ 【解】 作傅氏变换，[(,)](,)u x t U t ω=F [()]()x ϕω=
ΦF 定解问题变换为
22(,)0(,0)()U a U t U ωωωω'⎧+=⎨
=Φ⎩ 常微分方程的初值问题的解是
22
(,)()a t U t e ωωω-=Φ 再进行逆傅里叶变换，
22221i i i 1(,)[(,)]()d 2π1 [()d ]d 2πa t x a t x u x t U t e e e e e ωωωξωωωωωϕξξω∞---∞
∞---∞∞-∞==Φ=⎰⎰⎰F 交换积分次序得
22i ()1(,)()[d ]d 2πa t x u x t e e ωωξϕξωξ∞∞---∞-∞=⎰⎰ 引用积分公式
2
222
4
d e e e βσωβωσω∞--∞=⎰
且令 i()x βσξ==- 以便利用积分公式，即得到
2
2()4(,)(]d x a t u x t ξϕξξ
--∞-∞=⎰
15.1.3 稳定场问题 我们先给出求半平面内(0)y >拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进行比较）
例 15.1.5 定解问题
x 0 (,0)(,0)() lim (,)0 xx yy u u x y u x f x u x y →±∞+=-∞<<∞>⎧⎪=⎨⎪=⎩ 【解】 对于变量x 作傅氏变换，有
1[(,)](,), [()]
()
u x y U y f x F ωω-==F F 定解问题变换为常微分方程 222(,)0,(,0)()
lim (,)0U U y y
U F U y ωωωωωω→±∞∂-=∂== 因为ω可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为
||||(,)()()y y U x y C e D e ωωωω-=+
因为lim (,)0U y ωω→±∞=，故得到
()0, ()()C D F ωωω==
常微分方程的解为 ||(,)()y U y F e ωωω-=
设 ||(,)y G y e ωω-=
根据傅氏变换定义，||y e ω-的傅氏逆变换为 0||i i i 22011111d [d d ] [] 2π2π2πi i π()y x y x y x y e e e e y x y x x y ωωωωωωωωω∞∞--++-∞-∞=+=+=-++⎰⎰⎰再利用卷
积公式
1[()()]()()d F G f g x ωωξξξ
∞--∞=-⎰F 最后得到原定解问题的解为 22()(,)d π()y f u x y x y ξξξ∞-∞=-+⎰ 容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式．
15.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题
由于要作傅氏变换的函数必须定义在),(+∞-∞上，故当我们讨论半无界问题时，就不能对变量x 作傅氏变换了．由此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题．
15.2.1 无界区域的问题
例15.2.1 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
20(,), (,0)|() t xx t u a u f x t x t u x ϕ=⎧-=-∞<<∞>⎨=⎩ (15.2.1)
【解】 先对时间t 作拉氏变换
[(,)](,), [(,)](,)u x t U x p f x t F x p ==L L [(,)](,)(,0) (15.2.2)L =-t
u x t pU x p u x 由此原定解问题中的泛定方程变为 22222d 11()(,)0 (15.2.3)d ϕ-++=U p U x F x p x a a a
对方程(15.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式
1222πb x b e b ω--⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦F
以及卷积定理
[]-1()()()()d F G f x g ωωξξξ∞-∞=-⎰F
得方程(15.2.3)的解为
(,)(d (,d U x p F p ξξϕξξξξ
--∞∞-∞-∞=+⎰⎰ (15.2.4)
对(15.2.4)式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，得原定解问题(15.2.1)的解为
22220()(,)(d 4() (,d d (15.2.5)4()ξϕξξξξττξτ∞-∞∞-∞⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰⎰t x u x t a t x f a t。
