编程实现拉格朗日(lagrange)插值法(C语言)

c++拉格朗日插值法
C++程序实现Lagrange插值公式
Lagrange插值公式，是属于数值分析方面的内容。

此处我想用C++语言程序来实现n各插值节点插值公式的求解，并求出在某一个插值节点对应的函数值。

对于Lagrange插值算法的基本思想，在这里我只想略提两点，一个是拉格朗日插值公式，一个是拉格朗日插值基函数的求解。

因为这两者才是算法需要解决的最根本的问题。

（1）采用插值多项式来近似的逼近拉格朗日差值多项式。

（2）上面的插值多项式中的L(x)即为拉格朗日插值多项式的插值基函数的通项。

该版本可根据输入的插值点自动选取其周围的8个点进行7次插值运算。

/* 拉格朗日插值*/# include <stdio.h>void main ( ){float li (float z,float x[100],int n,int i); /* 函数声明*/ void input (float a[100],int n);int n; /* 插值多项式的次数n */printf ("请输入插值多项式的次数n：\n");scanf ("%d",&n);float x[100]; /* 存储x */printf ("请输入数据x（插值节点）：\n");input (x,n+1); /* 调用一维数组输入函数*/float y[100]; /* 存储y */printf ("请输入数据y（插值节点对应的函数值）：\n");input (y,n+1); /* 调用一维数组输入函数*/float z; /* 存储插值点*/printf ("请输入插值点：\n");scanf ("%f",&z);float s=0,t; /* 计算插值点对应的函数值*/int i;for (i=0;i<=n;i++){t=y[i]*li(z,x,n,i);s=s+t;}printf ("L%d(%f)=%f\n",n,z,s); /* 输出结果*/}float li (float z,float x[100],int n,int i) /* 定义基函数*/ {float a=1,b=1,c=1,d=1,t;int j;for (j=0;j<i;j++){t=z-x[j];a=a*t;}for (j=i+1;j<=n;j++){t=z-x[j];b=b*t;}a=a*b;for (j=0;j<i;j++){t=x[i]-x[j];c=c*t;}for (j=i+1;j<=n;j++){t=x[i]-x[j];d=d*t;}c=c*d;return (a/c);}void input (float a[100],int n) /* 定义数组输入函数*/ {int i;for (i=0;i<n;i++)scanf ("%f",&a[i]);}。

拉格朗⽇（Lagrange）插值算法拉格朗⽇插值（Lagrange interpolation）是⼀种多项式插值⽅法，指插值条件中不出现被插函数导数值，过n+1个样点，满⾜如下图的插值条件的多项式。

也叫做拉格朗⽇公式。

这⾥以拉格朗⽇3次插值为例，利⽤C++进⾏实现：1//利⽤lagrange插值公式2 #include<iostream>3using namespace std;45double Lx(int i,double x,double* Arr)6 {7double fenzi=1,fenmu=1;8for (int k=0;k<4;k++)9 {10if (k==i)11continue;12 fenzi*=x-Arr[k];13 fenmu*=Arr[i]-Arr[k];14 }15return fenzi/fenmu;16 }1718int main()19 {20double xArr[4]={};21double yArr[4]={};22//输⼊4个节点坐标23 cout<<"请依次输⼊4个节点的坐标:"<<endl;24for (int i=0;i<4;i++)25 cin>>xArr[i]>>yArr[i];2627//输⼊要求解的节点的横坐标28 cout<<"请输⼊要求解的节点的横坐标:";29double x;30 cin>>x;31double y=0;32for (int i=0;i<4;i++)33 y+=Lx(i,x,xArr)*yArr[i];34 printf("x=%lf时，y=%lf\n",x,y);3536//分界，下⾯为已知y求x37 cout<<"请输⼊要求解的节点的纵坐标:";38 cin>>y;39 x=0;40for (int i=0;i<4;i++)41 x+=Lx(i,y,yArr)*xArr[i];42 printf("y=%lf时，x=%lf\n",y,x);4344 system("pause");45return0;46 }作者：耑新新，发布于转载请注明出处，欢迎邮件交流：zhuanxinxin@。

数值分析上机实验实验一一．上机题目：已知： 4 =2,9 =3,16 =4分别用二次Lagrange和Newton插值法求7 的近似值。

二．解题方法：1．lagrange方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4代入方程:(x1-X)(x2-X)/(x1-x0)(x2-x0)*y0+(x0-X)(x2-X)/(x0-x1)(x2-x1)*y1+(x1-X)(x0-X)/(x1-x2)(x0-x2)*y2令X=7代入方程得 Y=2.628572．Newton方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4建表4 29 3 0.216 4 0.14286 -0.00476f(x)=f(x0)+f[x0,x1](X-x0)+f[x0,x1,x2](X-x0)(X-x1)(X-x2)令X=7代入方程得Y=2.62857三．算法公式步骤：grange方法：通过公式写出算法并得出最后的值Y：for(b=0;b<m;b++)//完成公式f(Xn)外层嵌套循环f[b]=i//{double l=1;//保证每次跳出内层循环将L置1 不会将第一项的值带入下一项//for(a=0;a<m;a++)//完成公式f(Xn)内层嵌套循环f[a]=j//{if(a!=b)//完成定义i=1,i!=j//l=(f[a]-F)/(f[a]-f[b])*l;//完成(j-m)/(j-i)//la=l*g[b];//完成公式的F(X0)=f(X0)*Y0并累乘输出结果// }Y=la+Y;//累加x0y0+x1y1+...得最后结果//}2．Newton方法：先建表，通过二维数组的思想建表for(l=2;l<m+2;l++)//外层循环控制y阶数//{for(k=1;k<m+1;k++)//内层循环控制x个数//{a[k][l]=(a[k][l-1]-a[k-1][l-1])/(a[k][0]-a[k-l+1][0]);//完成f(x0,x1,...,xn)并存表//}}填表。

实验报告实验课程名称数值计算方法实验项目名称 Lagrange插值公式年级专业学生姓名学号理学院实验时间：201 年月日学生实验室守则一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。

二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。

三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。

四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。

五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。

六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。

七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。

仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。

八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。

九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。

十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。

十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。

学生所在学院：专业：班级：韩非子名言名句大全，韩非子寓言故事,不需要的朋友可以下载后编辑删除！！1、千里之堤，毁于蚁穴。

——《韩非子·喻老》2、华而不实，虚而无用。

——《韩非子·难言》3、欲速则不达。

拉格郎日插值实验报告姓名姬生苓学号 1080500122____一实验目的给出拉格郎日插值多项式的C语言的标准程序，并利用该程序和已知数据计算函数在x=0.54处的近似值。

二实验原理利用拉格郎日插值多项式求函数在某一点x的取值。

先用已知结点算出拉格郎日插值基函数,再利用插值基函数和结点处的函数值计算出拉格郎日插值多项式，最后将x带入插值多项式即得到函数在点x处的取值的近似值。

存储方式：用数组x,y,l分别存放函数结点、相应结点处的函数取值和拉格郎日插值基函数的取值，用n存放结点个数，用z表示自变量的取值，用L表示函数在z处的取值的近似值。

三实验算法1、确定变量：用n表示结点个数，用z表示自变量，用数组x,y,l分别表示结点、相应结点处的函数取值和拉格郎日插值基函数的取值，用L表示函数在z处的取值的近似值；2、变量赋初值：输入变量n,z的初值，及数组元素x[i],y[i],l[i],i=0,1,…,n-1的初值；3、计算拉格郎日插值基函数：利用二次循环计算拉格郎日插值基函数，第一层循环是分别计算插值基函数l0(x)，l1(x)，,…,l n-1(x)；第二层循环是具体计算插值基函数l i(x),i=0,1,…,n-1；4、计算拉格郎日插值多项式的取值：根据拉格郎日插值多项式的表达式计算出其在自变量z处的取值即函数在z处的取值的近似值。

四实验数据书上题目所给标准数据:x1=0.4, x2=0.5, x3=0.6, x4=0.7, x5=0.8, x6=0.9;y1=-0.916291, y2=-0.693147, y3=-0.510826, y4=-0.357765, y5= -0.223144, y6=-0.105361;z=0.54.五实验结果及分析1、根据对数函数lnx的单调性可知lnx在x=0.54处的近似值应大于ln0.5=-0.693147,且小于ln0.6=-0.510826.2、自己上机的实验结果为：lnx在x=0.54处的近似值为-0.615885.实验结果在ln0.5与ln0.6之间，与自己上机前的预测相一致，且与ln0.54实际的取值-0.616186相差不大.3、所得数据说明自己的算法适用于求给定n个结点的函数在某一点的取值的近似值.六实验小结实验过程：明确实验目的、构思程序、预测结果、上机实验、对比实验结果和预测结果修改程序、完成实验报告完成所用时间：3小时难点：拉格郎日插值基函数的计算程序的特色：设计了两个for循环计算拉格郎日插值基函数l i(x)（i=0,1,2,…,n-1），第二个for 循环要用到第一个for循环的结果。

实验一：拉格朗日插值算法的实现实验目的：1.验证拉格朗日插值算法对于不同函数的插值效果；2.验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况。

实验内容:根据课本P18的一般情形的过程编写拉格朗日插值方法的程序，实现拉格朗日插值。

源程序如下：#include<iostream>using namespace std;int main(){double x_[10],y_[10],t,y=0,x;int i,n,j,k;cout<<"多少个插值点？"<<endl;cin>>n;for(i=0;i<n;i++) //输入已知条件，即已知点{cout<<"输入插值节点x和y--(x,y):";cin>>x_[i]>>y_[i];}cout<<"输入x:"<<endl; //确定插值的位置cin>>x;for(k=0;k<n;k++) //实现插值的关键程序{t=1;for(j=0;j<n;j++){if(j!=k)t=((x-x_[j])/(x_[k]-x_[j]))*t; //插值基函数的计算}y=y+t*y_[k]; //求插值的结果}cout<<"近似的y值是: "<<y<<endl; //输出插值结果return 0;}实验结果：1）对y=x进行插值，已知（1,1）（2,2,）（3,3,），求当x=5时的插值结果2）对y=x^2进行插值3）（验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况）对y等于根号x插值用计算器计算根号8的值：可以知道：随着插值点的增多，插值结果越精确。

Lagrange 插值一、实验目的及要求实验目的：体会使用Lagrange 插值基函数构造插值多项式的特点，熟悉使用一次或二次Lagrange 插值多项式近似函数y=f(x)的算法。

掌握Lagrange 插值多项式近似函数f(x)的误差表达式，并会熟练应用。

实验要求：1. 给出一次、二次Lagrange 插值算法2. 用C 语言实现算法3. 给出误差分析。

二、实验准备：1.一次、二次Lagrange 插值算法：一次插值算法：插值节点用一维数组x[2],y[2]存放，基函数用一维数组l[2]存放，输入x,计算y=f(x)；2. C 语言源程序：一次插值:#include"stdio.h"#include"math.h"#define N 5int main(void){int n,k,i,j;float x[N+1],y[N+1],u,v;printf("input n: ");scanf("%d",&n);printf("\nplease input the nodes:\n");for(i=0;i<=n;i++){scanf("%f %f",&x[i],&y[i]);}for(i=0;i<=n;i++){printf("x[%d]=%f y[%d]=%f\n",i,x[i],i,y[i]);111.,;,,k k k k step x x y y x ++输入数据所求的插值点12.:,k k step l l +计算基函数111113.()()k k k k k k k k x x x x step y f x L x y y x x x x ++++--=≈=⨯+⨯--计算}printf("input thr interplolation's node: ");scanf("%f",&u);printf("u=%f",u);for(i=0;i<=n;i++){if(u!=x[i]){if(u<x[0]){k=0;}else if(u>x[n])；{k=n-1;}else if((i<n)&&(u>x[i]&&u<x[i+1])){k=i;}}v=y[k]*(u-x[k+1])/(x[k]-x[k+1])+y[k+1]*(u-x[k])/(x[k+1]-x[k]);printf("\nv=%f\n",v);return 0;}三、实验结果分析与评价：此次实验结果的不同主要是由于运用的插值次数不同，通过实验结果，我们可以看出，（1）结果分析：本函数的原始函数为f(x)=sinx，对于题目所求函数自变量11.5，12.5，当自变量X取11.5时，f(11.5)=0.1993679；当自变量X取12.5时，f(12.5)=0.2164396.运用一次插值是所得结果分别为0.199360，0.216431，而运用二次插值时，所得结果为0.199369、0.216440。

机械CAD/CAM技术读书报告姓名：***学号：*********班级：机械1401专业：机械设计制造及其自动化学院：机械工程学院指导老师：***日期：2017年6月3日摘要插值法是函数逼近的一种重要方法,.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.Lagrange插值是n次多项式插值,其成功地用构造插值基函数的方法,解决了求n次多项式插值函数问题.Lagrange插值的基本思想是将待求的n次多项式插值函数改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数,从而求出插值多项式.拉格朗日插值法是一种很实用的插值方法，可以应用在渔业资源评估中、化学中、工程中、工业中、机械设计与制造领域,以及计算机方面.通过C语言的编写，将拉格朗日算法在计算机中实现，求得相应的解.进一步体现拉格朗日插值法在解决问题时的实际意义关键词插值基函数插值多项式 Lagrange插值；算法一、读书报告的目的进一步熟悉拉格朗日插值法。

掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。

二、拉格朗日插值多项式：三、.程序流程（1）输入已知点的个数；（2）分别输入每个点的X、Y的值（3）通过程序自动显示插值点的拉格朗日函数（4）输入具体所要插入点的值（5）求得所需插值点的函数值拉格朗日插值流程图四、程序设计思路为了实现拉格朗日插值函数的运算和函数方程的显示，我设立了一个main主函数和getpoints和insert两个辅助函数。

在main主函数中我首先建立了两个数组X[]和Y[]，分别用来记录所输入的点的X和Y坐标值，通过getpoints函数来从窗口读入参数并传递给main函数。

接下来为了显示拉格朗日函数我设立了两个for循环，第一个for循环是为了显示拉格朗日函数多项式的其中某一项，也就是通过连乘的方式实现，第二个for循环是把上一个循环得出的每一个多项式进行连加。

其中的if语句是由于拉格朗日插值函数中i≠j 所规定的。