插值法(拉格朗日插值)

拉格朗日插值计算
拉格朗日插值法是一种用于给定一些点的函数值的方法，通过该
方法可以构建出一个多项式，从而得到一个对于任意自变量值都有良
好表现的函数。

下面是拉格朗日插值计算的步骤：
1. 确定给定数据点中的n个点，其中n为奇数。

2. 根据给定数据点中的自变量x值，构造拉格朗日基函数，并
定义L_i(x)为第i个点在x处的基函数。

3. 定义拉格朗日插值多项式为L(x)，它是n个基函数的线性组合，并通过将每个基函数的因子乘以相应的函数值来计算每个基函数。

4. 计算插值多项式L(x)。

具体来说，L(x)的表达式如下：
L(x)=∑(i=0~n-1){y_i×L_i(x)}/∑(i=0~n-
1){L_i(x)×∏(j=0~n-1, j≠i){(x-x_j)/(x_i-x_j)}}
其中x_i为给定数据点中自变量的第i个值，y_i为给定数据点
中因变量的第i个值。

通过以上步骤，可以得到任意自变量值处的插值函数的值，从而
可以用拉格朗日插值法求解各种问题。

数值分析实验报告（拉格朗日插值牛顿插值最小二乘法）(2010-06-02 18:33:33)分类：学习资料分享标签：拉格朗日插值法牛顿插值法最小二乘法求拟合曲线c实验1 拉格朗日插值法一、方法原理n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+ y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x 2-x1)二、主要思路使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。

对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n 次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)上式表明：n 个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。

可求得lk三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n2.输入各个节点的横纵坐标3.输入插值点4.调用函数，返回z函数语句与形参说明程序源代码如下：#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;#define N 100double fun(double *x,double *y, int n,double p);void main(){int i,n;cout<<"输入节点的个数n：";cin>>n;double x[N], y[N],p;cout<<"please input xiangliang x= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];cout<<"please input xiangliang y= "<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];cout<<"please input LagelangrichazhiJieDian p= "<<endl;cin>>p;cout<<"The Answer= "<<fun(x,y,n,p)<<endl;system("pause") ;}double fun(double x[],double y[], int n,double p){double z=0,s=1.0;int k=0,i=0;double L[N];while(k<n){ if(k==0){ for(i=1;i<n;i++)s=s*(p-x[i])/(x[0]-x[i]);L[0]=s*y[0];k=k+1;}else{s=1.0;for(i=0;i<=k-1;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));for(i=k+1;i<n;i++) s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));L[k]=s*y[k];k++;}}for(i=0;i<n;i++)z=z+L[i];return z;}四．运行结果测试：五．实验分析n=2时，为一次插值，即线性插值n=3时，为二次插值，即抛物线插值n=1，此时只有一个节点，插值点的值就是该节点的函数值n<1时，结果都是返回0的；这里做了n=0和n=-7两种情况3<n<100时，也都有相应的答案常用的是线性插值和抛物线插值，显然，抛物线精度相对高些n次插值多项式Ln（x）通常是次数为n的多项式，特殊情况可能次数小于n.例如：通过三点的二次插值多项式L2(x),如果三点共线，则y=L2(x)就是一条直线，而不是抛物线，这时L2(x)是一次式。

插值法的简便计算插值法是一种常见的数值分析方法，用于在给定的数据点之间估计未知函数的值。

在实际应用中，插值法的计算可能会比较复杂，但是有一些简便的计算方法可以帮助我们更快地完成插值计算。

一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它可以通过已知的数据点来估计未知函数的值。

其基本思想是：假设已知n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并且这些点两两不同，那么可以构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。

然后，通过这个多项式来估计未知函数在某个点x0处的值f(x0)。

拉格朗日插值法的计算比较繁琐，但是可以通过一些简便的计算来减少计算量。

具体来说，可以使用以下公式来计算多项式P(x)：P(x)=Σ(yi*li(x))其中，li(x)是拉格朗日基函数，定义为：li(x)=Π((x-xj)/(xi-xj))(i≠j)这个公式中，Π表示连乘积，xi和xj是已知的数据点，i≠j。

通过这个公式，我们可以快速计算出多项式P(x)的值。

二、牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它也可以通过已知的数据点来估计未知函数的值。

其基本思想是：假设已知n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并且这些点两两不同，那么可以构造一个n次插值多项式N(x)，使得N(xi)=yi(i=1,2,...,n)。

然后，通过这个多项式来估计未知函数在某个点x0处的值f(x0)。

牛顿插值法的计算也比较繁琐，但是可以通过一些简便的计算来减少计算量。

具体来说，可以使用以下公式来计算插值多项式N(x)：N(x)=b0+b1(x-x1)+b2(x-x1)(x-x2)+...+bn(x-x1)(x-x2)...(x-xn)其中，bi是牛顿插值系数，可以通过以下公式来计算：bi=Δyi/Δxi(i=1,2,...,n)其中，Δyi和Δxi分别表示相邻数据点的函数值和自变量之差。

数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。

插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。

接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。

一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。

具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。

然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

最终得到的多项式函数就是插值函数。

优点：简单易懂，使用较为广泛。

缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。

二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。

具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。

牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。

三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。

分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。

1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。

拉格朗日插值法估测拉格朗日插值法是一种用于估测或插值未知数据点的数值分析技术，通常用于构建多项式函数，以逼近已知数据点之间的未知数据点。

这种方法以法国数学家约瑟夫·拉格朗日的名字命名，用于创建插值多项式。

拉格朗日插值法可以用于估测中间数据点，以便在缺少实际数据时预测或近似函数值。

以下是拉格朗日插值法的基本步骤：1. 收集已知数据点：首先，收集已知数据点（x1, y1），（x2, y2），…，（xn, yn），其中xi是自变量，yi是因变量。

2. 创建拉格朗日多项式：为了估测在两个已知数据点之间的值，使用拉格朗日插值多项式，该多项式的形式如下：L(x) = L1(x) * y1 + L2(x) * y2 + ... + Ln(x) * yn其中L1(x)、L2(x)、…、Ln(x)是拉格朗日基函数，它们的表达式为：L1(x) = (x - x2)(x - x3) * … * (x - xn) / (x1 - x2)(x1 - x3) * … * (x1 - xn)L2(x) = (x - x1)(x - x3) * … * (x - xn) / (x2 - x1)(x2 - x3) * … * (x2 - xn)以此类推，Ln(x)的表达式与前面的类似。

3. 计算估测值：将待估测的x值代入拉格朗日多项式L(x)中，计算对应的y值。

这个y值就是估测的结果。

4. 确定插值误差：插值误差是估测值与实际值之间的差异，可以通过比较估测值和已知数据点的实际值来确定插值的准确性。

拉格朗日插值法在实际应用中有广泛的用途，特别是在数据插值、数据平滑和函数逼近方面。

然而，需要注意的是，当数据点数量较大时，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，导致振荡和过拟合问题。

因此，在实际应用中，需要谨慎选择插值方法，并考虑使用更高级的插值技术或拟合方法来处理数据。

拉格朗日插值法是一种在多个点上逼近某函数的方法，它能够找到一个多项式，使其在给定的点上与原函数相等。

以下是使用拉格朗日插值法的步骤：
1. 定义插值节点：选择一组已知的点（x0, y0），（x1, y1），…，（xn, yn）作为插值节点。

2. 构造拉格朗日插值多项式：对于每个点（xi, yi），构造一个拉格朗日基本多项式Gi（x）。

每个Gi（x）可以表示为：
Gi(x) = (yi - y0) / (xi - x0) * Gi-1(x) + (x - xi) / (xi - x0) * Gj(x)
其中，Gi-1(x)是Gi(x)的差分，Gj(x)是与Gi(x)相邻的另一个拉格朗日基本多项式。

3. 计算拉格朗日插值多项式：将所有Gi（x）相加，得到拉格朗日插值多项式L(x)：
L(x) = Gi(x) + Gi-1(x) + … + G0(x)
其中，G0(x)是第一个拉格朗日基本多项式。

4. 使用拉格朗日插值多项式进行计算：在给定的插值节点上，L(x)应该与原函数相等。

因此，可以使用L(x)来估计原函数在任意点的值。

以上是使用拉格朗日插值法的一般步骤，它可以在数值分析、计算机图形学、物理模拟等领域得到广泛应用。

拉格朗日插值法5.2 拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。

5.2.1 线性插值问题5.1给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。

如图5.1所示。

图5.1 线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。

下面先用待定系数法构造插值直线。

设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。

这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。

用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。

当时，若用两点式表示这条直线，则有：（5.1）这种形式称为拉格朗日插值多项式。

，，称为插值基函数，计算，的值，易见（5.2）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。

拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。

线性插值误差定理5.1记为以为插值点的插值函数，。

这里，设一阶连续可导，在上存在，则对任意给定的，至少存在一点，使（5.3）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进辅助函数：则。

由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨记为和，即和，对在上应用洛尔定理，得到在上至少有一个零点，。

现在对求二次导数，其中的线性函数)，故有代入，得所以即5.2.2 二次插值问题5.2给定三个插值点，,其中互不相等，怎样构造函数的二次的（抛物线）插值多项式？平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。

用拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种常用的数值分析方法，适用于解决函数近似问题。

它通过已知数据点来构造一个多项式函数，从而在给定区间内近似表示原函数。

该方法是基于拉格朗日插值多项式的构造，该多项式是一种满足经过给定数据点的函数。

具体而言，拉格朗日插值法的步骤如下：
1. 用给定数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)来构造拉格朗日插值多项式L(x)。

L(x) = y1* l1(x) + y2* l2(x) + ... + yn* ln(x) 其中，l1(x), l2(x), ... , ln(x)是拉格朗日插值基函数，其定义如下：
li(x) = ∏(j ≠ i) (x - xj) / (xi - xj) (i = 1,2,...,n) 2. 对于给定的x值，代入L(x)中得到相应的近似函数值。

由于拉格朗日插值法的多项式形式简单，易于计算，因此被广泛用于数据分析、图像处理、信号处理等领域。

但是需要注意的是，当数据点较多时，拉格朗日插值法的计算量会变得很大，因此需要考虑使用其他更高效的插值方法。

- 1 -。

拉格朗日插值法和牛顿插值法的区别
拉格朗日插值法和牛顿插值法都是多项式插值。

多项式插值是通
过在已知点求多项式表达来获得未知点的值的一种插值法。

其原理是
将插值点的函数插入已经确定的多项式中，以求得函数的值。

这两种
方法都能够利用已知的数据来预测未知数据，但它们的原理是不同的。

拉格朗日插值法是一种基于有限多项式的插值方法，旨在根据已
知的离散数据拟合出有限多项式函数。

它假设函数中的任何零点都可
以表示为有限多项式函数，从而得到点集中离散点的函数值。

拉格朗
日插值法可以给出比较精确的结果，但是其在插值程度上存在一定的
缺陷，比如畸变度大，计算量也相对较大。

牛顿插值法是基于牛顿插值多项式的插值方法，是一种基于差分
的插值方法，它旨在插入一组已知的点，并拟合出一个牛顿插值多项式。

此方法通过计算差商来逼近给定的数据点，这样每两个点之间的
函数值的变化率就可以给出，从而得出其中的未知函数值。

牛顿插值
法可以生成比较平滑的结果，但是计算量相对较大。

这种方法在处理
多点数据时很有效，而且对运算量要求比较小，同时插值精度也比较高。

总体而言，拉格朗日插值法与牛顿插值法都是多项式插值的一种。

从运算量、精度和拟合度三点来说，牛顿插值法更优于拉格朗日插值法；而拉格朗日插值法更能准确拟合离散点点集。

拉格朗日多项式插值法拉格朗日多项式插值法是一种数值计算方法，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

它的基本思想是通过一些已知点的函数值来逼近未知函数值，这些已知点可以是离散的或连续的函数值。

在本文中，将详细阐述拉格朗日多项式插值法的步骤和实现过程。

Step 1：确定插值点和插值函数拉格朗日多项式插值法的第一步是选择插值点。

插值点是已知函数值的一组点，通常为离散的。

在选择插值点时，需要根据实际问题进行选择。

选择的插值点应尽可能分布均匀，以提高插值的精度。

然后，在这些插值点上构建插值函数，也就是通过这些点拟合出一条曲线。

Step 2：计算拉格朗日插值多项式的每一项然后，我们需要计算拉格朗日插值多项式的每一项。

拉格朗日插值多项式是一个多项式函数，用来拟合已知函数值的曲线。

在计算多项式的每一项时，需要用到插值点的坐标和函数值。

Step 3：将每一项相加得到拉格朗日插值多项式将每一项相加得到拉格朗日插值多项式，从而得到一个函数与原函数的误差最小。

Step 4：用拉格朗日插值多项式拟合未知函数值用拉格朗日插值多项式拟合未知函数值，将插值函数代入拉格朗日插值公式中计算即可得到未知函数值的近似值。

以上就是拉格朗日多项式插值法的基本步骤，下面将具体介绍如何利用这些步骤实现拉格朗日插值多项式的算法。

实现过程：1.定义插值点的坐标和函数值；2.计算拉格朗日多项式的每一项系数，每一项系数由插值点的函数值和坐标决定；3.将每一项系数相加，得到拉格朗日插值多项式；4.用拉格朗日插值多项式拟合未知函数值，即将未知函数的自变量带入拉格朗日插值多项式中计算。

在实现过程中，需要注意以下几点：1. 插值点的数量要足够多，以保证插值的精度；2. 插值点要均匀分布，尽可能覆盖整个函数区间；3. 对于高次多项式，容易产生龙格现象，需要进行截断。

拉格朗日多项式插值法的优点是计算简单，容易理解，可以应用于一些简单的数学问题的解决；缺点是插值点的选取与插值函数相关，且插值点的数量和位置对插值精度影响较大。

第二章 插值法知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，误差，龙格现象，分段插值。

1.背景实践活动中，表现事务变化的信息往往只是一些离散点值，例如 每个6小时记录一次温度，以此反映一天的气温变化状况，如下表图能从已知这些离散点值信息知道10时的气温是多少吗？如果能通过这些离散点值找到气温变化的规律，也就是说能找到一个反映气温变化规律的“原”函数，就可以知道10时的气温是多少。

但我们能采集到的信息只有这些离散点值，时常给不出反映气温变化规律“原”函数的解析表达式，怎么办？通常可以用近似的办法解决这个问题，办法是构造一个通过所有离散点值的“近似”函数，用这个“近似”函数逼近“原”函数。

如图构造这个“近似”函数的方法称为插值方法。

34 32 30 28 26 24 22 20时间（时）温度（。

C ）34 32 30 28 26 24 22 20温度（。

C ）2.概念实际问题中，能采集到的信息只是一些离散点值{x i,f(x i)}(i=0,1,2,…n)，时常给不出一个函数f（x）的解析表达式，因之，转而考虑选择一个简单的函数ϕ（x）近似替代（原来）f（x）。

定义：设f（x）为定义在区间[a，b]上的函数，x0,x1,…,x n为[a，b]上的互异点，y i=f（x i）。

若存在一个简单函数ϕ（x），满足（插值条件）ϕ（x i）=f（x i），i=0，1，…，n。

则称 ϕ（x）为f（x）插值函数，f（x）为被插函数,点x0,x1,…,x n为插值节点,点{x i,f(x i)},i=0,1,2,…n为插值点。

若用ϕ（x）≈f（x），则计算f（x）就转换为计算 ϕ（x）。

插值需要解决：插值函数是否存在唯一；插值函数如何构造；插值函数与被插函数的误差估计和收敛性。

对插值函数的类型有多种不同的选择，代数多项式p n(x)常被选作插值函数 ϕ（x）。

P23(2.18)和(2.19)指出，存在唯一的满足插值条件的n次插值多项式p n(x)。

浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。

插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。

在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。

插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。

现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。

插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。

二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。

xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。

找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。

插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。

拉格朗日插值法原理拉格朗日插值法是一种常用的数值分析方法，用于估计一组给定数据点之间的未知函数值。

它基于拉格朗日多项式的思想，通过构造一个多项式函数来逼近给定的数据点，从而实现对未知函数值的估计。

在实际应用中，拉格朗日插值法被广泛用于数据拟合、信号处理、图像处理等领域。

首先，我们来了解一下拉格朗日多项式的基本原理。

拉格朗日多项式是一种插值多项式，它可以通过给定的数据点来唯一确定。

假设我们有n+1个不同的数据点{(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)}，其中xi和yi分别表示自变量和因变量的取值。

那么拉格朗日多项式可以表示为：L(x) = Σ(yi li(x))。

其中li(x)是拉格朗日基函数，它的表达式为：li(x) = Π((x xj) / (xi xj)), j ≠ i。

这里Π表示连乘运算。

通过这种方式，我们可以构造出一个n次的拉格朗日插值多项式，用来逼近给定的数据点。

接下来，我们来看一下拉格朗日插值法的具体原理。

给定n+1个不同的数据点，我们首先构造出对应的n次拉格朗日插值多项式。

然后，通过这个多项式来估计给定数据点之间的未知函数值。

具体步骤如下：1. 构造拉格朗日插值多项式，根据给定的数据点，利用拉格朗日基函数构造出对应的n次拉格朗日插值多项式。

2. 估计未知函数值，利用构造出的插值多项式，对于任意的自变量x，通过插值多项式计算出对应的因变量值y，从而实现对未知函数值的估计。

拉格朗日插值法的优点之一是它的简单性和灵活性。

通过构造拉格朗日插值多项式，我们可以很方便地对给定的数据点进行插值估计，而不需要对具体的函数形式做出假设。

这使得拉格朗日插值法在实际应用中具有很大的便利性。

然而，拉格朗日插值法也存在一些缺点。

首先，随着数据点数量的增加，插值多项式的计算复杂度会急剧增加，从而导致计算效率下降。

其次，插值多项式的阶数越高，对数据点的拟合越精确，但也容易出现过拟合的问题。