拉格朗日插值公式--计算方法

拉格朗日插值公式变形
拉格朗日插值公式的变形可以通过改变变量和系数来实现，下面是一个例子：
拉格朗日插值公式可以表示为$f(k)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j\neq i}(k-x_j)(x_i-x_j)$。

如果我们将$x_i$代入公式，那么只要第$i$项存在（不为$0$），其他项都是$0$（因为其他项的分子一定会存在$x_j-x_j$或$x_i-x_j$，导致分子是$0$），且$\prod_{j\neq i}(k-x_j)(x_i-x_j)$项一定是$1$。

这样我们就得到了一个$n$次多项式。

为了减少计算复杂度，可以采用连续取值的方法，假设$x=1,2,3,\ldots,n$，将这些数代入公式，得到化简版：
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j\neq i}(k-j)(i-j)$
分子可以通过预处理前缀积$\prod_{j=1}^{n}(k-j)\prod_{j=1}^{n}(k-j)$得到；分母可以通过预处理阶乘得到。

这样得到了$O(n)$的算法，公式如下：
$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\pre{i-1}×suf{i+1}(fac(i)×fac(n-i))$
其中，$\pre{i-1}$和$suf{i+1}$分别表示前缀和后缀运算，$fac(n-i)$表示阶乘运算。

二次拉格朗日插值公式二次拉格朗日插值公式是一种常用的插值方法，用于通过已知数据点来估计未知数据点的值。

它在数学和工程领域具有广泛的应用，如信号处理、图像处理、数据拟合等。

本文将对二次拉格朗日插值公式进行详细介绍，并探讨其原理和应用。

我们来了解一下二次拉格朗日插值公式的基本概念。

在一维插值问题中，假设我们已知三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，其中x0 < x1 < x2，我们希望通过这三个数据点来估计给定的未知数据点x的值y。

二次拉格朗日插值公式可以通过以下公式计算出估计值y：y = ((x - x1)(x - x2)y0) / ((x0 - x1)(x0 - x2)) + ((x - x0)(x - x2)y1) / ((x1 - x0)(x1 - x2)) + ((x - x0)(x - x1)y2) / ((x2 - x0)(x2 - x1))二次拉格朗日插值公式的优点是简单易用，计算量较小。

但同时也存在一些限制，如对于非等距数据点的插值效果较差，容易产生龙格现象等。

二次拉格朗日插值公式在实际应用中有很多场景。

例如，在信号处理中，我们经常需要对离散信号进行插值，以便恢复缺失的信号或者提高信号的采样率。

二次拉格朗日插值公式可以很好地完成这个任务。

另外，在图像处理中，我们常常需要对图像进行放大或缩小操作，这也可以通过插值来实现。

二次拉格朗日插值公式在图像处理中有着广泛的应用，并且取得了良好的效果。

除了一维插值问题，二次拉格朗日插值公式还可以推广到高维插值问题。

例如，在二维图像处理中，我们可以通过已知的四个像素点来估计未知像素点的值。

这个问题可以通过二次拉格朗日插值公式进行求解，得到较为准确的估计值。

二次拉格朗日插值公式是一种常用且有效的插值方法，广泛应用于数学和工程领域。

它通过已知数据点来估计未知数据点的值，具有简单易用、计算量小的优点。

在实际应用中，二次拉格朗日插值公式被广泛应用于信号处理、图像处理、数据拟合等领域。

拉格朗日插值区间误差限拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。

然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。

本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。

一、拉格朗日插值法简介拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。

具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。

二、插值误差限的计算尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。

我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。

在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。

三、拉格朗日插值法的应用示例为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。

假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。

已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。

首先，我们可以根据已知数据点构造拉格朗日插值多项式P(x)，并计算出未知值的近似值。

拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。

但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。

或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。

二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。

即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。

若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。

若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。

若P(x)是三角多项式，就称三角插值。

三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。

本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。

第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。

与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。

举例来看：可以认为某水文要素T 随时间t 的变化是连续的，某一个测点的水文要素T 可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。

①平均值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则直接取T 为T i 和T i+1的平均值。

插值公式为：T=T i +T i+12②拉格朗日（Lagrange ）插值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则可用T i-1、T 1、T i+1三个点来求得，也可用T i 、T i+1、T i+2这三个点来求得。

前三点内插公式为：T=(t-t i )(t-t i+1)(t i-1-t i )(t i-1-t i+1) T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1) T i +(t-t i )(t-t i-1)(t i+1-t i )(t i+1-t i-1) T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i -t i+1)(t i -t i+2) T i +(t-t i )(t-t i+2)(ti-t i )(t i -t i+2) T i+1+(t-t i )(t-t i+1)(t i+2-t i )(t i+2-t i+1) T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。

③阿基玛（Akima ）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i 和T i+1满足：f(t i )=T i df dt |t-ti =k i f’(t i+1)=T’i df dt|t-ti+1=k i+1 式中k i ，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P 0+P 1(t-t i )+P 2(t-t i )2+P 3(t-t i )3，来对T i 和T i+1之间的一点T 进行内差。

插值法的计算公式
插值法是一种常用的数值计算方法，可以用来估计一个函数在某些未知点的函数值。

在插值法中，我们需要知道函数在一些已知点上的值，然后根据这些值来求解函数在其他点上的值。

以下是插值法的计算公式：
1. 拉格朗日插值法
对于给定的函数f(x)，已知n个插值点(x1,y1)，(x2,y2)，...，(xn,yn)，可以通过拉格朗日插值法来求解f(x)在任意点x处的函数值。

拉格朗日插值公式：
f(x) = Σ(i=1 to n) yi*li(x)
其中，li(x)表示拉格朗日插值基函数，计算公式为：
li(x) = Π(j=1 to n, j≠i) (x-xj)/(xi-xj)
2. 牛顿插值法
牛顿插值法是一种递推算法，可以通过已知的插值点(x0,y0)，(x1,y1)，...，(xn,yn)来求解f(x)在任意点x处的函数值。

牛顿插值公式：
f(x) = y0 + Σ(i=1 to n) [Π(j=0 to i-1) (x-xj)/(xi-xj)] * Δi
其中，Δi表示牛顿前向差商，计算公式为：
Δ0y0 = y0
Δi yi = (Δi-1 yi+1 - Δi-1 yi) / (xi+i - xi)
以上是插值法的计算公式，可以根据具体的问题选择合适的插值方法来进行求解。

二次拉格朗日插值公式\[ P(x) = f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + f(x_1)\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} +f(x_2)\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \]其中，\(P(x)\)表示通过插值得到的二次函数的值，\(f(x_i)\)表示已知数据点处的函数值，\(x_i\)表示已知数据点的横坐标，\(x\)表示要求解的点的横坐标。

下面我们来详细解释一下二次拉格朗日插值公式的原理和推导过程。

\[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)+b(x-x_0)(x-x_2)+c(x-x_0)(x-x_1)\]其中，\(a,b,c\)是待定系数。

我们要按照已知数据点的函数值来确定这些系数。

首先，我们将\(P(x)\)代入上面的公式中，得到：\[P(x_0)=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)+b(x_0-x_0)(x_0-x_2)+c(x_0-x_0)(x_0-x_1)\]\[P(x_1)=a(x_1-x_1)(x_1-x_2)+b(x_1-x_0)(x_1-x_2)+c(x_1-x_0)(x_1-x_1)\]\[P(x_2)=a(x_2-x_1)(x_2-x_2)+b(x_2-x_0)(x_2-x_2)+c(x_2-x_0)(x_2-x_1)\]化简上述方程组，继续得到：\[P(x_0)=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)\]\[P(x_1)=c(x_1-x_0)(x_1-x_1)\]\[P(x_2)=b(x_2-x_0)(x_2-x_2)\]由于\((x_0-x_1),(x_0-x_2),(x_1-x_0),(x_1-x_2),(x_2-x_0),(x_2-x_1)\)这些差值均不等于零，所以我们可以通过上面的方程组解出\(a,b,c\)的值。

excel拉格朗日插值函数Excel拉格朗日插值函数是一种常用的数据插值方法，在很多领域都有应用，比如工程建模、生物信息学、金融分析等。

本文将从介绍插值方法的基本原理、数学公式和Excel计算方法方面进行讲解，希望使读者能够更好地掌握Excel拉格朗日插值函数的使用方法。

一、插值方法的基本原理插值方法是一种基于已知数据点推导出未知数据点值的数学方法。

在实际应用过程中，很多情况下我们只知道若干个数据点的取值，但是我们需要获得数据点之间的中间值或者在这些数据点之外的其他值。

这时候，插值方法就可以发挥作用。

插值方法的基本思路是，利用已知点之间的最高次多项式函数将数据点连接起来，然后求出函数在某个未知点的取值。

一般来说，如果已知数据点越多，则插值计算得到的结果越准确。

在拉格朗日插值方法中，我们使用拉格朗日多项式来计算未知点的取值。

拉格朗日多项式的原理是，将已知点看作多个线性项的积，然后通过一系列复杂的运算，得到一个关于自变量x的多项式函数。

二、拉格朗日插值法的数学公式假设我们有n个数据点{(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)}，其中x1<x2<...<xn。

我们需要在这些数据点之间插值计算出某个未知点x的函数值y。

y = Σ(yi * Li(x))i从1到n，Li(x)为拉格朗日多项式（Lagrange polynomial），表达式为：Li(x) = Π(j ≠ i)((x - xj)/(xi - xj))j从1到n。

三、Excel计算方法Excel中可以使用插值函数进行插值计算。

要使用拉格朗日插值函数，可以先使用X轴和Y轴的数据点构建一个散点图，然后使用趋势线功能来生成拉格朗日插值函数的公式。

1. 创建散点图在Excel中选中所需要插值的数据点，然后点击插入菜单中的散点图选项。

这时候，Excel将在新的工作表中创建一个散点图，并根据数据点自动添加X轴和Y轴的标签。

2. 添加趋势线在散点图中，我们需要生成一条趋势线来表示拉格朗日插值函数。

拉格朗⽇（Lagrange）插值算法拉格朗⽇插值（Lagrange interpolation）是⼀种多项式插值⽅法，指插值条件中不出现被插函数导数值，过n+1个样点，满⾜如下图的插值条件的多项式。

也叫做拉格朗⽇公式。

这⾥以拉格朗⽇3次插值为例，利⽤C++进⾏实现：1//利⽤lagrange插值公式2 #include<iostream>3using namespace std;45double Lx(int i,double x,double* Arr)6 {7double fenzi=1,fenmu=1;8for (int k=0;k<4;k++)9 {10if (k==i)11continue;12 fenzi*=x-Arr[k];13 fenmu*=Arr[i]-Arr[k];14 }15return fenzi/fenmu;16 }1718int main()19 {20double xArr[4]={};21double yArr[4]={};22//输⼊4个节点坐标23 cout<<"请依次输⼊4个节点的坐标:"<<endl;24for (int i=0;i<4;i++)25 cin>>xArr[i]>>yArr[i];2627//输⼊要求解的节点的横坐标28 cout<<"请输⼊要求解的节点的横坐标:";29double x;30 cin>>x;31double y=0;32for (int i=0;i<4;i++)33 y+=Lx(i,x,xArr)*yArr[i];34 printf("x=%lf时，y=%lf\n",x,y);3536//分界，下⾯为已知y求x37 cout<<"请输⼊要求解的节点的纵坐标:";38 cin>>y;39 x=0;40for (int i=0;i<4;i++)41 x+=Lx(i,y,yArr)*xArr[i];42 printf("y=%lf时，x=%lf\n",y,x);4344 system("pause");45return0;46 }作者：耑新新，发布于转载请注明出处，欢迎邮件交流：zhuanxinxin@。

拉格朗日（ Lagrange ）插值可对插值函数选择多种不一样的函数种类，因为代数多项式拥有简单和一些优秀的特征，比如，多项式是无量圆滑的，简单计算它的导数和积分，故常采纳代数多项式作为插值函数。

线性插值问题给定两个插值点此中，如何做经过这两点的一次插值函数过两点作一条直线，这条直线就是经过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。

如下图。

图线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式结构经过两点的一条直线。

下边先用待定系数法结构插值直线。

设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，并且解是独一的。

这也表示，平面上解的存在性和唯一性，但要解一个方程组才能获得插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推行，故这类结构方法往常不宜采纳。

当时，若用两点式表示这条直线，则有：（）这类形式称为拉格朗日插值多项式。

，，称为插值基函数，计算，的值，易见（）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是同等的。

拉格朗日插值多项式型式免去认识方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推行。

线性插值偏差定理记为以为插值点的插值函数，。

这里，设一阶连续可导，在上存在，则对随意给定的，起码存在一点，使（）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进协助函数：则由定义可得别在和和，即。

，这样起码有上应用洛尔定理，可知和，对3个零点，不失一般性，假设在每个区间起码存在一个零点，不如记为在上应用洛尔定理，获得，分在上起码有一个零点，。

此刻对求二次导数，此中的线性函数)，故有代入，得所以即二次插值问题给定三个插值点，, 此中互不相等，如何结构函数的二次的（抛物线）插值多项式平面上的三个点能确立一条次曲线，如下图。

图三个插值点的二次插值仿制线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法结构插值多项式。

设每个基函数是一个二次函数，对来说，要求是它的零点，所以可设同理，也相对应的形式，得将代入，得同理将代入获得和的值，以及和的表达式。