随机变量及其分布

第15章随机变量及其概率分布【授课对象】理工类专科大一【授课时数】9学时【授课方法】讲授与提问、随堂练习相结合【基本要求】1、了解随机变量的概念；2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质；4、理解分布函数的概念，并知道其性质；5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；6、会求简单的随机变量函数的概率分布；7、了解二维随机变量的概念，知道二维随机变量的边缘（边际）分布、联合分布函数等概念；【本章重点】随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；随机变量函数的概率分布；熟记几种特殊分布的概率分布或密度函数。

【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的性质与相关计算；随机变量的函数的分布的求解。

【授课内容及学时分配】§15.1随机变量在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，同学们可能会注意到在随机现象中，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。

例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期正在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等。

对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同而取不同的数值。

然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。

比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。

一般地，如果A 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系：⎩⎨⎧=不发生发生A A A 011这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值发生联系。

为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。

引例：随机试验E1：从一个装有编号为0，1，2，...，9的球的袋中任意摸一球。

则其样本空间Ω={0ω，1ω，...，9ω}，其中i ω“摸到编号为i 的球”，i =0,1,...,9. 定义函数 ξ：i ω→i ，即ξ(i ω)=i ，i =0，1， (9)这就是Ω和整数集{0，1，2，…，9}的一个对应关系，此时ξ表示摸到球的号码。

从上例中，我们不难体会到：①对应关系ξ的取值是随机的，也就是说，在试验之前，ξ取什么值不能确定，而是由随机试验的可能结果决定的，但ξ的所有可能取值是事先可以预言的。

②ξ是定义在Ω上而取值在R 上的函数。

同时在上例中，我们可以用集合{i ω：ξ(i ω)≤5}表示“摸到球的号数不大于5”这一随机事件，因而可以计算其概率。

习惯上我们称定义在样本空间Ω上的单值实函数ξ为随机变量。

这就有了如下定义：定义：设随机试验E 的样本空间为}{ω=Ω，ξ=ξ(ω)是定义在Ω上的单值实函数，若对任意实数x ，集合{ω：ξ(ω)≤x}是随机事件，则称ξ=ξ(ω)为随机变量。

定义表明随机变量ξ=ξ(ω)是样本点ξ的函数，为方便起见，通常写为ξ，而集合{ω：ξ(ω)≤x}简记为{ξ≤x}。

如在上例中，摸到不大于5号球的事件可表示为{ξ≤5}，则其概率为P{ξ≤5}=3/5。

随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究。

正因为随机变量可以描述各种随机事件，使我们摆脱只是孤立的去研究一个随机事件，而通过随机变量将各个事件联系起来，进而去研究其全部。

今后，我们主要研究随机变量和它的分布。

§15.2 随机变量的概率分布对于随机变量来讲，我们不仅关心它取哪些值，更关心它以多大的概率取那些值，即研究随机变量的统计规律性—分布函数。

一、随机变量的分布函数由前可知，若ξ是随机变量，则对∀x ∈R ，{ξ≤x }是随机事件，所以P{ξ≤x }有意义。

当实数a <b 时，有：P{a <ξ≤b }=P{ξ≤b }-P{ξ≤a }可见，只要对一切实数x 给出概率P{ξ≤x }，则任何事件{a <ξ≤b }及它们的可列交、可列并的概率都可求得。

从而P{ξ≤x }，x ∈R 完全刻划了随机变量ξ的统计规律，并决定了随机变量ξ的一切概率特征。

1.定义：设ξ是Ω上的随机变量，对∀x ∈R ，称)(x F = P{ξ≤x }为ξ的分布函数。

2.性质：设)(x F 是随机变量ξ的分布函数，则)(x F 具有如下性质：①单调非降性：即对R x x ∈<∀21，)()(21x F x F ≤证明：对21x x <∀，有}{}{21x x ≤⊂≤ξξ，则)(}{}{)(2211x F x P x P x F =≤≤≤=ξξ②规范性：1)(lim )(,0)(lim )(==+∞==-∞+∞→-∞→x F F x F F x x ， ③右连续性：对,0R x ∈∀有 )()(lim 00x F x F x x =+→ （性质②，③的证明可参考其它有关的资料）注：反之可证明：对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则它一定是某随机变量的分布函数。

例1：判断下列函数是否为分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2/12/0sin 00)(1ππx x x x x F （√） ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=ππx x x x x F 10c o s 00)(2 （×）由定义可见，要计算ξ取值的概率可以通过其分布函数来实现。

为了研究随机变量ξ的概率分布，我们常选择)(x F 来代替之。

3.运算：若R b a ∈<，)(~x F ξ 则有：{}()(){}lim ()(0)ˆ{}{}{}()(0){}1(){}1(0){}()(0){}(0)(0){}(0)()x a P a b F b F a P a F x F a P a P a P a F a F a P a F a P a F a P a b F b F a P a b F b F a P a b F b F a →-<ξ≤=-ξ<==-ξ==ξ≤-ξ<=--ξ>=-ξ≥=--≤ξ≤=--≤ξ<=---<ξ<=--例2：已知ξ的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=313212/11213/2102/00)(x x x x x x x F求}42{},2/1{},1{},3{<<>=≤ξξξξP P P P 。

解：12/112/111)2()04(}2{}4{}42{4/34/11)2/1(1}2/1{1}2/1{6/12/13/2)01()1(}1{1)3(}3{=-=--=≤-<=<<=-=-=≤-=>=-=--====≤F F P P P F P P F F P F P ξξξξξξξ例3：设某随机变量的分布函数为x B A x F arctan )(+=，试确定A ，B 的值。

解：由12/)arctan (lim )(lim )(02/)arctan (lim )(lim )(=+=+==+∞=-=+==-∞+∞→+∞→-∞→-∞→B A x B A x F F B A x B A x F F x x x x ππ得π/1,2/1==B A例4：设ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=111000)(2x x Ax x x F 确定A 并求}7.03.0{<<ξP 解：由右连续性知1)(lim 1=+→x F x ，而21)1(A F =，1=∴A即10,)(2≤<=x x x F则4.03.07.0)3.0()07.0(}7.03.0{22=-=--=<F F P ξ例5：设某随机变量的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+-≤=a x a x a x B A a x x F 1)2/arcsin(0)( （a>0）求A ，B 。

解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=+===-=-+=+==-=+→+-→+-→B A a x B A a F x F B A B A a x B A x F a F a x a x a x 2)/arcsin()()(lim 12)1arcsin()/arcsin((lim )(lim )(0ππ 2/1,/1==⇒B A π二、随机变量的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧其它数为值可以取某一区间的任一连续型非离散型数个的取值只有有限个或可离散型ξξ......v r v r v r v r三、离散型随机变量及其分布律（列） 1.定义：设ξ是Ω上的随机变量，若ξ的全部可能取值为有限个或可列无限个（即ξ的全部可能取值可一一列举出来），则称ξ为离散型随机变量。

若ξ的取值为),2,1(, =i x i ，把事件}{i x =ξ的概率记为 ,2,1,}{===i p x P i i ξ，则称⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,,,,,,,,2121i i p p p x x x 为ξ的分布列。

【注】：由定义可知，若样本空间Ω是离散的，则定义在Ω上的任何单值实函数都是离散型随机变量。

2.离散型随机变量ξ的分布列满足下列性质：(1)非负性：0≥i p(2)规范性：∑+∞==11i i pProof ：i p 是概率，即}{i i x P p ==ξ，故0≥i p由于 ,,,,21n x x x 是ξ的一切可能取值，故有 +∞===Ω1}{i i x ξ，注意到对任意的j i ≠，有Φ==⋂=}{}{j i x x ξξ，由概率的可列可加性知：∑∑+∞=+∞=+∞======Ω=111}{}}{{}{1i i i i i i p x P x P P ξξ反之，任意一个满足以上二性质的数列}{i p ，都可以作为某离散型随机变量的分布列。

有了ξ的分布列以后，我们可以通过如下方式求ξ的分布函数：3.离散型随机变量的分布函数：:(){}{}i ii x x F x P x p x ≤=ξ≤=ξ=∑，若这样的i 不存在，规定0)(=x F 显然，)(x F 是一个右连续、单调非降的递阶函数，它在每个i x 处有跳跃，其跃度为i p ，当然，由)(x F 也可以唯一确定i x 和i p 。

因此ξ的分布列也完全刻画了离散型随机变量取值的规律。

这样，对于离散型随机变量，只要知道它的一切可能取值和取这些值的概率，也就是说知道了它的分布列，也就掌握了这个离散型随机变量的统计规律。