随机变量及其分布(一))

第1课时 随机变量及其概率分布（1）一、知识要点：1、一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 通常用大写拉丁字母X,Y,Z （或小写希腊字母,,ξηζ）等表示，而用小写拉丁字母x,y,z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值2、假定随机变量X 有n 个不同的值，它们分别是12,...n x x x ,(),1,2...,i i P X x p i n ===① 则称①为随机变量X 的 ，简称为X 的分布列，也可以将其用表的形式来表示，我们称为随机变量X 的 ，它和①都叫做随机变量X 的3、随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布列称为 或 二、例题分析： 例1、（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一试验箱中装有标号1,2,3,3,4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随即变量Y 的可能取值有哪些？例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即10X ⎧=⎨⎩，当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率P （25X <<）三、练习：课本P48 1,2,3（做在课本上）1、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z2、设随机变量X 只能取5,6,7,…,16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求： （1）P （X>8）； （2）P （6<X ≤8）； （3）(10)P X ≥3、随机变量X 的分布列为(),1,2,3,4,515kP X k k ===，试求： (1)(3)P X <； 15(2)()22P X <<； （3）(24)P X ≤≤第1课时 随机变量及概率分布（1）作业感受·理解1、设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么n=2、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为 _______ ___3、设随机变量X 的概率分布是kak X P 5)(==，a 为常数，3,2,1=k ，则a =_________ 抛掷一颗骰子两次,定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列4、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ，则文娱队的人数是5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则)0(=ξP 等于思考·运用6、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y ；（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z 。

第二章 随机变量及其分布（一）一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).BA..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）.A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 采用的教材中称“普哇松分布”概率函数在第四章给出3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则( ). A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ正态分布也是第四章才学习的5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（ ）. A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y 二项分布正式出现，还有这个记法在第四章。

6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.2787.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +-8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ). A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定9-11是正态分布的题，第四章内容12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他，则1{}4P X >为( ).A.78B.14⎰C.141-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417 B.0.3753 C.0.3830 D.0.866415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σμ-B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ14-17第四章内容18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7B.0.8C.0.6D.0.5注意一次项的系数是一个随机变量19.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（ ）. A ．0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<（ ）.Ａ．单调增大 Ｂ．单调减少 Ｃ．保持不变 Ｄ．增减不定上面两道也是正态分布的题目 二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率.2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为 时， ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.06.011，则X 的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 .因为密度函数是分段函数，因此必须根据k 所在的区间分类讨论 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<<x x 时，)(21x X x p <<= . U 是英语均匀分布的第一个字母，采用的教材中没有 10．设随机变量),(~2σμN X ，则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤<X p ，则_____)0(=≤X p .13．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ，若160=μ，欲使80.0)200120(=≤<X p ，允许最大的σ= .10-15正态分布 15.若随机变量X的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ .17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()f y＝ .Y18.设随机变量Ｘ服从正态分布2Nμσσ>，且二次方程(,)(0)240++=无实根的概率为１／２，则μ= .y y X。

随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。

理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨随机变量及其分布的相关知识。

一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数。

简单来说，就是对于随机试验的每一个可能结果，都对应着一个实数。

例如，抛一枚硬币，正面记为 1，反面记为 0，那么这个结果就可以用一个随机变量 X 来表示。

二、随机变量的分类随机变量主要分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的取值是有限个或者可列个。

比如，抛骰子出现的点数就是一个离散型随机变量。

连续型随机变量的取值是某一区间内的所有实数。

例如，某地区一天的气温可以看作是一个连续型随机变量。

三、离散型随机变量的分布1、概率分布列离散型随机变量 X 的概率分布列就是列出 X 所有可能取值以及对应的概率。

例如，随机变量 X 表示抛两次硬币正面出现的次数，X 可能取值为0、1、2，其概率分布列为：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 1/4 ｜ 1/2 ｜ 1/4 ｜2、常见的离散型分布（1）二项分布在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为：＼P(X=k) ＝ C_n^k p^k （1-p)＾｛nk}＼例如，一批产品的次品率为 01，从中抽取 10 个，其中次品的个数X 服从二项分布 B(10, 01)。

（2）泊松分布若随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，记为 X ～P(λ)，其概率分布为：＼P(X=k) ＝＼frac{e^｛＼lambda}＼lambda^k}｛k!｝＼泊松分布常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。

例题 1某工厂生产的产品废品率为 005，从产品中随机抽取 100 个，求废品个数不超过 5 个的概率。

解：设废品个数为 X，X 服从二项分布 B(100, 005)。

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第六章 随机变量数字特征一．填空题1. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.01.02.043211pX-，则=≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P .2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413≈--e.3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=⋅==-k c k X P k则=c1516. 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（13） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（12） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __.（k 33(=,0,1,2k!P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为140000λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000）10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2+∞<<-∞+=x xa x f ，则=a π1；=>)0(X P ；==)0(X P 0 .12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1(1,1)()2x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它13.若随机变量)4(~e X ，则=≥)4(X P ；=<<)53(X P .14.．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , ,，则()E X =15．设X 为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 916.已知X ～B （n,p ），且E （X ）=8，D （X ）=，则n= 。

第二章 随机变量及其分布§1 随机变量 一 概念1、为什么要引入随机变量的概念？概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．在实际问题中，有些随机试验的结果可以用数量来表示(如掷色子产生的点数),但是在有些试验中，试验结果看来与数值无关，如何将他们与数值联系起来呢？例如，某个事件发生，可以记为1，不发生可以记为0，这样事件就可以和数值联系起来了，由此就产生了随机变量的概念. 2、随机变量的定义,.E Ω设是随机试验它的样本空间是如果对于每一个,ω∈Ω()X ω有一个实数,与之对应(),X ωΩ这样就得到一个定义在上的单值实值函数X=()X ω称为随机变量。

注：(1)随机变量与普通的函数不同随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律。

(3)随机变量与随机事件的关系随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象. 3、随机变量的分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩离散型:取值有限或无限可数个随机变量连续型：取值连续的充满某区间非离散型非连续型4、离散型随机变量定义：设k x (1,2,...)k =是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称()k k P X x p ==为离散型随机变量X 的概率分布或分布律，有的书上也称概率函数。

注：(1)0,1,2,k p k ≥= 1(2)1kk p∞==∑离散型随机变量的分布律也可表示为：1212~n nxx x X p p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭例如 观察掷一个骰子出现的点数，随机变量 X 的可能值是 :1, 2, 3, 4, 5, 6.并且1()6P X i == (1,2,...,6)i =即123456~111111666666X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例1、 ,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯每组信号灯12以的概率允许或禁止汽车通过，,X 以表示汽车首次停下时它已通过的信号灯的组 数(),设各组信号灯的工作是相互独立的.X 求的分布律解：,p 设为每组信号灯禁止汽车通过的概率令1q p =-， 则23401234Xp qp q p q p q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将12p =带入可得 012340.50.250.1250.06250.0625X⎧⎫⎨⎬⎩⎭二、常见离散型随机变量的概率分布 1、两点分布(0-1分布)设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为011X p p ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭，则称 X 服从(0—1)分布或两点分布。

概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布（一）学号一．选择题：1 ．设X是失散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4（ A）1111（B）1111 p p248162488X x1x2x3x4（D）X x1x2x3x4（ C）1111p1111 p23412234122 ．设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [0.2（ A）（B）（ C）（D）1二、填空题：1 ．设随机变量X的概率分布为X012，则 a = p a0.20.52 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。

现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 ．设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次，则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题：1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（ 1）X的概率分布；（2）P( X3) ；（3）P( X12)解：（1）P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4，，，，36363636P( X6)5，P( X7) 6 ， P( X5 436 8)， P(X 9)363636P( X10)3 ，P( X11)2 ，P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列：X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636（2） P(X3) 336（ 3） P(X>12)=02 ．产品有一、 二、三等品及废品四种， 其中一、 二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。

MPA公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量及其分布）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、数学部分(总题数：33，分数：60.00)1.选择题__________________________________________________________________________________________2.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2 )，σ＞0，则当σ增大时，概率P{|X一μ|＜2σ)( )．A.单调增大B.单调减小C.保持不变√D.增减不定因为X～N(μ，σ2 )，所以σ无关．故本题应选(C)．3.设随机变量X的概率分布为k=1，2，3，…，则C等于( )．A.1B.eC.e -1D.(1一e -λ ) -1√由于等式两边各加Ce -λ，使右边变成C倍的泊松分布之和．松分布，认为C=1，忽略了志的取值范围的变化，泊松分布中k的取值是0，1，2，3，…，而该题中的k 取值是1，2，…，必须等式两边各加Ce -λ，使等式右端符合泊松分布才好求和．4.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(一x)=f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有( )．A.F(-a)=1一∫0a f(x)dx∫0a f(x)dx √C.F(一a)=F(a)D.F(一a)=2F(a)一1由于 F(-a)=1—F(a)=1一∫-∞a f(x)dx =1一∫-∞0 f(x)dx一∫0a f(x)dx =1一一∫0a f(x)dx= 一∫0a f(x)dx 此题易犯的错误是把F(x)与f(x)混淆，认为f(-x)=f(x)，也就有F(一x)=F(x)．第二种错误是F(一a)=1一F(a)，把F(a)看成了∫0a (x)dx，因而选择了(A)项．5.设随机变量X～N(μ，σ2)，实数a＜b＜c，并且X的密度函数f(x)满足f(a)＜f(c)＜f(b)，则( )A. √B.C.D.由于 f(x)＜f(x)， |a一μ|＞|c一μ|，由于 f(c)＜f(b)， |b一μ|＜|c-μ|(A)成立，(D)不对．不能确定μ与b的大小关系，(B)，(C)都不成立．6.设随机变量X和Y均服从正态分布，X～N(μ，4 2 )，Y～N(μ,5 2 )．记 P 1 =P(x≤μ-4)，P 2 =P(Y ≥μ+5)．则有( )．A.对任何实数μ都有p 1 =p 2：√B.对任何实数μ都有p 1＞p 2C.对任何实数μ都有p 1＜p 2D.只有当μ=0时，才有p 1 =p 2计算一下p 1与p 2，再比大小．一φ(1)．故对任意μ的值，都有p 1 =p 2．7.设随机变量X～N(μ，σ2 )，则随σ的增大，概率P{|X一μ|＜σ)有( )．A.单调增大B.单调减小C.保持不变√D.先增后减P(|X—μ|＜σ}的值不变．8.设X服从参数为2的指数分布，a为任意实数，则P{X＞a 2 +2|X＞a 2 }等于( )．A.e -2C.e -4√由条件概率又P{X＞a 2}=1一P{X≤a 2}= P{X＞a 2+2}=1一P{X≤a 2+2}= 所以9.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间为X分钟，X10分钟，顾客就要离去，某顾客在一个月内要去银行5次，则他至少有一次离去的概率为( )．A.5(1一e -2 )C.(1-e -2 ) 5D.1-(1-e -2 ) 5√离去的概率Y，则 Y～B(5，e -2 )， P{Y≥1}=1一P{Y=0}=1一(1一e -2 ) 5．10.设随机变量X 3～N(1，7 2 )，则P{1＜X＜2)等于( )．A.B.C. √D.P{1＜X＜2}=P{1＜X 3＜8} =φ(1)一φ11.设随机变量X～f X (x)= 则随机变量Y=e X的概率密度f Y (y)为( )．A.B.C.D. √根据分布函数的定义，有 F Y (y)=P{Y≤y} =P{e X≤y}= 当0＜y＜1时，注意到lny＜0，有 P{X≤lny}=∫-∞lny f X (x)dx=0．当y≥1时，lny≥0，有 P{X≤lny}=∫-∞lny f X (x)dx=∫0lny e -x dx=因此有又由分布函数与概率密度的关系，得以上解法被称为求连续型随机变量函数分布的“直接交换法”，其一般步骤为： (1)将随机事件Y=f(X)在某范围内取值“转化为”随机变量X在相应范围内取值； (2)根据已知的X的分布计算出Y的分布函数F Y (y)； (3)利用概率密度与分布函数的关系，求出Y的概率密度f Y (y)．12.某箱配件共100个，若该类配件平均每个上有2个疵点，且每个配件上的疵点个数服从泊松分布，则该箱配件上的疵点数都不超过1的概率为( )．A.3e -2B.3 100 e -200√C.3 10 e -200D.3 100 e -2不妨将100个配件编号为1，2，…，100，设随机变量X表示第i个配件上的疵点数(i=1，2，…，100)，由题意X i服从泊松分布，且其参数λ=E(X i)=2．对于每个配件，其疵点数不超过1的概率P{X i≤1}=P{Xi =0}+P{X i =1} = 显然各X i相互独立，故100个零件疵点数都不超过1的概率为 P{X 1≤1，X 2≤1，…，X 100≤1} =P{X 1≤1).P{X 2≤1}.….P{X 100≤1} =(3e -2 ) 100 =3 100 e -200．13.设随机变量X具有对称的密度函数，即f(-x)=f(x)，则对任意a＞0，P{|X|＞a)等于( )．A.2[1一F(a)] √B.2F(a)一1C.2一f(a)D.1-2F(a)P{|X|＞a}=1一P{|X|≤a} =1一∫-a a f(x)dx =1—2∫0a f(x)dx =1-2[∫-∞a f(x)dx一∫-∞0 f(x)dx]=1—2[F(a)一] =2[1—F(a)]，这是由f(x)为偶函数和∫-∞0 f(x)dx= 所得．14.设某种晶体管使用寿命在1 000小时以上的概率为0．8，那么三个晶体管最多有一个使用寿命不足1 000小时的概率为( )．A.0.8B.0.886C.0.896 √D.0.64三个晶体管都使用到1 000小时以上的概率为(0．8) 3 =0．512，有且仅有一个晶体管有问题的概率为C 3 1×(0.8) 2×0．2=0．384，故三个晶体管最多有一个使用寿命不足1 000小时的概率为0．896．15.设随机变量X，Y相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2 )，则概率P{X—Y＜1)( )．A.随μ的增加而增加B.随μ的增加而减少C.随σ的增加而增加D.随σ的增加而减少√由题设知X—Y～N(0，2σ2 )，于是概率σ的增加而减少．16.已知x～N(1，)，Y～N(0，且相互独立，Z=X—Y，则与Z同分布的是( )．A.2(X—Y)B.X+Y √Z=X—Y～N(1，1)，而X+Y～N(1，1)，故(X+Y)与Z同分布．17.填空题__________________________________________________________________________________________18. 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）设一次射击时命中目标的概率为P19.，2，…)：为离散型随机变量的概率分布，则常数b= 1填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1．）如果(k=1，2，…)为离散型随机变量的概率分布，则必有由此得到20.设连续型随机变量x～a的值为 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e．）根据概率密度的性质有∫-∞+∞ f(x)dx=∫1a lnxdx=(xlnx—x)| 1a =alna一a+1=1，解得 a=e，即所求参数a=e．求概率密度中的某个参数值，通常利用∫-∞+∞ f(x)dx=1得出等式求解，而求分布函数中某个参数值，则是利用分布函数的连续性或limF(x)=1，limF(x)=0等得出等式求解．21.设连续型随机变量X A，B的值分别为 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1，一1．）又根据F(x) B=一A=一1，即 A=1，B=一1．22.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)．若P{X≥P{Y≥1}= 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）由题设，有 X～B(2，p)，P{X≥1}= 于是 P{X≥1}=1一P(X=0)=1一(1一p) 2 =23.若随机变量η服从[1，6]上的均匀分布，则方程x 2 +ηx+1=0有实根的概率为 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）由题知由于方程x 2+ηx+1=0有实根的充要条件是△=η2一4≥0，即η≥2或η≤一2．而P{η≥2或η≤一2}=P{η≥2)+P{η≤一2} 一P{η≤一2}+1一P{η≤2} =∫-∞-2 f(x)dx+1-∫-∞2 f(x)dx= 故方程x 2 +ηx+1=0有实根的概率为24.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现在对X进行3次独立观测，则至少有2次观测值大于3的概率为 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）由题设知X的概率密度为若设事件A={对X的观测值大于3}，即A={X＞3}，则用随机变量Y表示3次独立观察中A出现的次数，则Y～B，故所求概率为25.计算题__________________________________________________________________________________________ 26.根据以往经验，每封反映违法违纪问题的举报信，所举报的问题属实的概率为0．6，试问至少需要有几封对同一问题的独立的举报信，就可以有95％的把握相信举报的问题是属实的(lg2=0．301)．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设至少需要n封举报信，则 1一(1一0．6) n≥0．95，即 0．4 n≤0．05，两边取对数，得 nlg4≤lg0．05，)27.设某人上班路上所需时间X～N(50，100)(单位：分)，已知上班时间为早上8时，他每天早晨7时出门，试求： (1)他某天迟到的概率(保留四位小数)； (2)他某周(以五天计)最多迟到一天的概率(保留两位小数)．计算时可参考：标准正态分布表：φ(1)=0．841 3，φ(2)=0．977 2，φ(3)=0．998 7．幂函数计算表见表2—4—1：__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(1)由X～N(50，100)，可知该人每天迟到的概率P(X＞60)=1一P(X≤设随机变量Y为该人在一周(以五天计)中迟到的天数，则Y服从二项分布B(5，0．158 7)．所求概率为P(Y ≤1)=P(Y=0)+P(Y=1) =0．8413 5 +C 51×0．1587×0．8413 4 =0．4215+0．397 5≈0．82．)28.袋中装有15个球，其中有10个白球，5个红球．现从中无放回地摸球，每次摸一个，摸到白球为止．记X是所用次数，求X的分布律．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：X可能取1，2，3，4，5，6． p k =P{X=k} =P{前k一1次全取到红球，第k次取白球} 计算出各个p k值，分布律如下：)29.有奖明信片每年发行一次，中奖率为0．1．某同学某年起每年买一张，记X是他第一次中奖时已购明信片数，求X的分布律．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：X取一切正整数，分布律为 P{X=k}=0．9 k-1×0．1．)30.10件商品中有7件正品，3件次品．现从中每次随机取一件，若为次品则换进一个正品并再取，直到取到正品为止．设X是抽取次数．求X的分布律．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：X可能取1，2，3，4这431.设100件产品中有5件次品，从中随机取20件，求抽到次品数X的分布律．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：经验值为0，1，2，3，4，532.一名篮球运动员定点投篮命中率为0．8，现连续投30次，试求投进球数X的分布律．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：X服从B(30，0．8)，分布律为P{X=k}=C 30k0．8 k0．2 30-k，k=0，1，…，30．)33.已知随机变量X只能取0，1，2，3C．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由p 0 +p 1 +p 2 +p 3 =1，。

随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 多项选择题 3. 综合分析题单项选择题每题1分。

每题的备选项中，只有1个符合题意。

1．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值的样本标准差S皆为正数，如果每个观测值扩大到2倍，则下列说法正确的是()。

A．和S都扩大2倍B．和S都不变C．扩大2倍，S扩大4倍D．扩大4倍，S扩大2倍正确答案：C解析：由E(aX+b)＝aE(X)+b var(ax+b)＝a2var(X)可知。

知识模块：随机变量及其分布2．以下分别用来表示分布的中心位置和散布的大小的特征值是()。

A．均值、方差B．方差、均值C．标准差、均值D．方差、标准差正确答案：A解析：均值表示了分布的中心位置，方差和标准差表示分布的散布的大小。

知识模块：随机变量及其分布设随机变量Z的分布列为：X：0 1 2 3 4 P：0.50.20.10.15 0.05则3．E(X)为()。

A．0.105B．2.0C．1.6D．1.0正确答案：A解析：(1)E(X)=0×0.5+1×0.2+2×0.1+3×0.15+4×0.05＝0.105知识模块：随机变量及其分布4．P(0≤X＜3)为()。

A．0.9C．0.4D．0.7正确答案：B解析：(2)P(0≤X＜3)＝0.5+0.2+0.1＝0.8知识模块：随机变量及其分布5．设X为[a、b)上的连续型随机变量，已知a＜c＜d＜b，且c-a＝d-c＝b-d，则下列结论成立的是()。

A．P(a＜X≤d)＝2P(a＜X≤c)B．P(c＜X≤d)＝P(d＜X≤b)C．P(a≤X＜b)＝1/3D．P(X＝a)＝P(X＝b)正确答案：D解析：对于连续型随机变量，在给定区间上取值的概率P是以在取值区间上，概率密度分布曲线与X轴所夹的曲边梯形的面积。

对于连续随机变量X取一点的概率为0，所以选D。

知识模块：随机变量及其分布6．设X～N(1，4)，则P(0≤X＜2)可表示为()。