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q˙ =q˙ q , p , t 消去 H 中的 q˙ , 使 H =H q , p ,t . (4) 代入正则方程 , 得出系统的运动方程 .
例题 1 试用笛卡尔坐标、柱坐标和球坐标表示单个质点的哈密顿函数
解：在笛卡尔坐标下，L
=
m 2
x˙ 2
y˙ 2
z˙ 2−V
x
,
y
,
z
p
x=
∂ ∂
L x˙
p
2 y
m2
p
2 z
m2
−V x , y , z
=
1 2m
p x2
p 2y
p z2V
x
,
y
,
z
同理可得在柱坐标下
H
=
1 2m
p 2
p2 2
p
2 z
V , , z
在球坐标下
H
=
1 2m
p r2
p
2
r2
r2
p
2
sin2
V r , ,
例题 2 建立单摆的正则方程
解：单摆是自由度为 1 的理想约束完整系，可选摆角 θ 为广义坐标
[ ][ ] 注：哈密顿方程
2s
个一阶微分方程，可见记为
˙ =
0 −I s
Is 0
∂H ∂
由于其形式简单且对称，故又称之为正则 (canonical) 方程
注：作为副产品，dH
=∑
q˙
∑ dp−
p˙
dq
−
∂L ∂t
dt
⇒
∂H ∂t
=−
∂L ∂t
【定义】正则变量：广义坐标和广义动量 . 它们地位相当 .
力学系统通常满足 此条件 .
【定理】受理想约束的完整系统运动满足
哈密顿方程
q˙
=
∂ ∂
H p
˙p=−
∂ ∂
H q
∑ ∑ 证明：dH =
q˙ dp−
∂L ∂q
dq−
∂L ∂t
dt
d dt
∂L ∂ q˙
−
∂L ∂ q
=0
⇒
∂L ∂ q
=
p˙
∑ ∑ ⇒ dH =
q˙ dp−
p˙
dq
−
∂L ∂t
dt （证毕）
αα
αα
∑ [u ,v]≡
∂u ∂q
∂v ∂ p
−
∂v ∂q
∂u ∂ p
【定理】正则变量满足：[q , q ]=0 ; [ p , p]=0 ; [ q , p ]=
证明：利用泊松括号的定义即可（略） .
【定理】对于常数 c 以及 u=u(q ,p ,t) 和 v=v(q ,p ,t) ，
αα
αα
p2 R2
p
2 z
k 2
R2
z
2
∂ ∂
H
=0
⇒
p =c1
=const.
此两式与 (*) 可视为
∂H
∂t
=0⇒
H
=
1 2m
p2 R2
p
2 z
k 2
R2
z
2=c
2=
const.
系统的运动微分方程
§9.2 泊松括号
● 泊松括号的定义和基本性质
【定义】函数 u=u(q ,p ,t) 和 v=v(q ,p ,t) 的泊松括号：
正则方程
q˙ =
∂ ∂
H p
,
˙p=−
∂ ∂
H q
[ ] ⇒
df dt
=∑
∂f ∂ q
∂ ∂
H p
−
∂f ∂ p
∂ ∂
H q
∂∂
f t
=[ f
,
H
]
∂f ∂t
（证毕）
【推论】正则方程可用泊松括号表示为：q˙ =[q , H ] , p˙ =[ p , H ]
证明：分别令 f=q 和 p 即可（证毕） .
证明：只证明雅可比恒定式，其它请自己证明 . 根据定义可求出
[u
,[v
,
w
]]=
∂u ∂ q
∂2v ∂ q∂ p
∂ ∂
w p
−
∂u ∂ p
∂2 v ∂ q ∂ q
∂ ∂
w p
∂u ∂ q
∂v ∂q
∂
∂2 w p ∂ p
−
∂u ∂ p
∂v ∂ q
∂
∂2 w p ∂ q
∂ ∂
u p
∂v ∂ p
∂
∂2 q
【定义】相空间：广义坐标和广义动量组成 2s 维空间 .
注：相空间中的一个点（相点）代表系统某一时刻的运动状态 .
【定义】相轨迹：从 q =q (t) 和 p =p (t) 和消去时间 t 得到
αα
αα
的方程对应曲线 .
注：系统的运动总对应于一条相轨迹 .
因此：哈密顿函数是在相空间描述系统运动的特征函数 .
【推论】广义能量 H 为守恒量的充要条件为：∂∂Ht =0.
● 泊松定理
【泊松定理】如果 f 和 g 是力学系统的守恒量，则 [f,g]
也是该系统的守恒量 .
证明：d
[
f, dt
g
]
=
∂
[
f ∂
, t
g
]
[[
f
,
g
]
,
H
]=[
∂ ∂
f t
, g ][
f
,
∂g ∂t
][
[
f
,g],H ]
f
=const. ⇒
第九章
哈密顿动力学
§9.1 哈密顿方程
拉格朗日方程
d dt
∂L ∂ q˙
−
∂L ∂ q
=0
,
=1, 2,⋯, s
二阶微分方程
在数学上为了处理问题的方便，往往将一个二阶微分方程化为两个
一阶微分方程从而在相空间里讨论问题（举例 ... ） . 对于拉格朗日方程，我们也希望将 s 个二阶微分方程化为 2s 个
代入
变换后函数的微分 d =udxxdu−d =x du−v dy
⇒
x=
∂ ∂u
,
v=−
∂ ∂y
可见，勒让德变换是将变量由 x,y 变为 u,y ；同时将 φ 变为 ψ
思考题：请证明函数 ψ(u,y) 经勒让德变换后变为原来的函数 φ(x,y).
热力学中 E(S,V) 到 F(T,V) 的变换为勒让德变换 .
● 哈密顿方程（又称正则方程）
拉格朗日函数 L=Lq , q˙ , t
∑ ∑ 微分 => dL=
∂L ∂ q
dq
∂L ∂ q˙
d
q˙
∂L ∂t
dt
注：这里通常要求
令
p
=
∂ ∂
L q˙
勒让德变换
[ ] [ ] det
∂ p ∂ q˙
=det
∂2 L ∂ q˙ ∂ q˙
≠0
∑ H = p q˙ −L=H q , p , t 哈密顿函数
故雅可比恒等式成立 . （证毕）
● 用泊松括号表述的运动方程
【定义】力学量：广义坐标、广义动量以及时间的函数
【定理】力学量 f=f(q ,p ,t) 随时间变化规律为： αα
df dt
=
∂ ∂
f t
[
f
,H]
[ ] ∑ 证明：
f
=
f
q
,
p
,
t⇒
df dt
=
∂f ∂ q
q˙
∂ ∂
f p
˙p
∂ ∂
f t
于是问题的关键是怎么生成 f 和 g .
α
α
这恰好是广义动量 p . 以下 X ->p
α
α
α
● 勒让德变换
考虑两个变量的函数
φ=φ(x,y)
,
令
u
=
∂ ∂x
,
v=
∂ ∂y
函数的微分 d =u dxv dy
假定
∂ ∂
u x
=
∂2 ∂ x2
≠0,
根据隐含数存在定理
, 可从
反解出 x=x(u,y)
勒让德变换 ψ=ux-φ =ψ(u,y)
一阶微分方程，即形如
q˙ = f q , X , t , X˙ =g q , X , t , =1, 2,⋯, s
根据拉格朗日方程，我们最简单的做法是取
X
=
∂L ∂ q˙
则拉格朗日方程给出
X˙
=
∂L ∂q
, 而 q˙ 可以从
反解出来
即可得到 q˙ = f q , X , t , 再代入 得到 X˙ =g q , X ,t
注：哈密顿函数的重要性已经超出经典力学的范畴 . 在量子力学中 , 哈密顿函数对应的哈密顿算符决定微观粒子的运动规律 .
正则方程在形式上具有简单对称的特点，是分析力学继拉格朗日 方程之后达到的一个新的高度，成为经典物理向近代物理过渡的 桥梁 . 用哈密顿方法研究问题的方式称为哈密顿表述 , 已成为现代 物理学发展的基础和基本语言 .
用正则方程建立运动微分方程的一般步骤
(1) 判断适用条件—判断自由度—广义坐标 .
(2) 写出惯性系的 T =T q , q˙ , t =T 2T 1T 0 , V =V q , t
L=T
−V
⇒
p
=
∂L ∂ q˙
反解出 q˙ =q˙ q , p , t
(3) 依定义式 H =∑ p q˙ −L 或 H =T 2−T 0V 并利用
