一次函数与正比例函数1【公开课教案】(含反思)

教学反思本文所谈的正比例函数是，是函数概念及其表达形式后首个具体函数，在中学阶段函数学习中具有重要地位和作用。

本文以课题研讨期间所上的研讨课为评析对象，谈谈自己的拙见，敬请同仁斧正。

反思一：没有比较就没有鉴别---关于正比函数概念教学中的反例作用在学生自主探究的教学方式下，正比例函数概念的形成要经历以下心理过程：观察，即观察相关的具体事物；分析，即分析每一个具体事物的特征；比较，即对不同事物的特征进行横向比较，也会与头脑中已有的类似事物的特征进行比较，发现它们的异同点；归纳，即抽象概括不同事物共有特征，从而发现一类事物的本质属性；表述，即运用数学语言对这一类事物进行描述或刻画。

观察是概念形成的起点，所观察事物的数量和典型性对概念的形成至关重要，不仅要提供正面的事物，有时候，还需要提供反面的事物。

从师生对话的过程不难看出，尽管学生对每一个关系式中x与y的关系都很清楚了，但是，当他们对不同的解析表达式所具有的共同特征进行归纳概括时，还是存在困难。

为此，教师及时地进行了干预，即向学生提供了反例：y=2/x,。

不难看出，这种干预是有效的，在反例的映衬下，学生迅速找到了正例之间在结构上的共同特征。

事实上，如果单纯观察某一类具有相同属性的事物，往往很难观察到他们的相同属性，除非观察着于自己已有的经验相比较。

在本节课上，一开始教师只呈现正面的例子，这不足以让学生看到它们的共同特征，除非这些例子唤醒了小学阶段所学习的有关正比例的知识，或想起了非正比例函数的例子，并能与之比较。

这说明，没有比较就没有鉴别，认识是在比较鉴别的过程发展的。

反思二：独立解决问题----能力发展的有效途径1.关于发展观察、分析、归纳、概括等数学思维能力的反思。

从课堂教学的现场情况看，本节课有四个环节蕴含着观察、分析、比较、归纳、概括等数学思维的活动。

下面分别加以分析：第一个环节是正比例函数概念的形成过程。

通过对不同的函数解析式的观察、分析，再加上反例的映衬（对比），学生发现了正比例函数解析表达式的基本结构：一个常量与自变量的积（y=kx）。

最新北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》教学设计(精品教案)1.探究：引导学生观察生活中的实例，探究变量之间的关系，初步感受函数的概念。

2.归纳：通过多个实例，引导学生总结一次函数和正比例函数的概念和特点。

3.巩固和反馈：通过练和讨论，巩固学生的知识点，及时反馈学生的问题和疑惑。

2.研究方法：学生需要积极参与探究和讨论，注重归纳总结，勤于练和思考，及时反馈自己的问题和困惑。

五、教学内容分析本节课的主要内容是一次函数和正比例函数的概念和特点，以及如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式。

教学重点是理解一次函数和正比例函数的概念，教学难点是能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，需要发展学生的抽象思维能力。

六、教学过程设计1.引入新知识：通过一些实例引导学生思考变量之间的关系，初步感受函数的概念。

2.讲解一次函数和正比例函数的概念和特点，引导学生总结归纳。

3.演示如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式，让学生进行练。

4.讨论和解决学生的问题和疑惑，及时给予反馈。

5.巩固练：让学生通过实例练，巩固所学知识。

6.总结归纳：让学生总结一次函数和正比例函数的概念和特点，及如何根据已知条件写出简单的一次函数表达式。

七、教学资源准备教师需要准备课件、实例、练题等教学资源，以及黑板、白板、笔等教学工具。

八、教学评估方法教师可以通过学生的课堂表现、练成绩、小组讨论等方式进行评估，及时发现学生的问题和困惑，做好及时反馈和指导。

同时，教师可以通过课后作业和考试等方式进行综合评估。

教学过程设计本节课设计了七个环节：复引入、新课讲述、巩固练、知识提高、反馈练、课堂小结和布置作业。

复引入在这个环节，教师提出了三个问题，分别是什么是函数、函数有哪些表示方式和在现实生活中有哪些问题可以归结为函数问题。

这个环节的意图是为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，采用了“复旧知识，诱导新内容”的引入方法。

问题(1)(2)复上节课的内容，问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活，提高学生的运用意识。

第四章一次函数4.2 一次函数与正比例函数教学设计一、教学目标1．经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识。

2．理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。

二、教学重点及难点重点：1．一次函数、正比例函数的概念．2．一次函数、正比例函数的关系．3．会根据已知信息写出一次函数的表达式．难点：一次函数知识的运用．三、教学用具多媒体课件四、相关资源《弹簧》动画，《汽车行驶耗油》动画.五、教学过程【情境导入】【探究新知】身边的数学：你会选择哪种收费方式呢？移动通信公司推出两种收费标准：A类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计算．B类收费标准：没有月租费，但通话费按0.25元/min计算．1．写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(min)之间的解析式．2．如果每月平均通话时间为300 min，你会选择哪类收费方式？[说明与建议] 说明：为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了学生熟悉的情景，既复习旧知识，又为学习新知识作好铺垫．建议：提示学生应分别写出A、B两类收费标准下应缴费用与通话时间之间的解析式．对于问题2，学生现在完成还有些难度，教师可只提出问题不做解释，从而引出本节课内容．一次函数，正比例函数的概念上面的两个函数关系式为y =0.2x +12，y =0.25x ，都是左边是因变量y ，右边是含自变量x 的代数式．并且自变量和因变量的指数都是一次．一般地，如果2个变量x 与y 之间的函数关系式，可以表示为y =kx +b （k ，b 为常数，且k ≠0）的形式，那么称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）．特别地，当b =0时，称y 是x 的正比例函数．注意：1．自变量的指数为一次．2．含自变量的式子为整式．3．k ≠ 0【典例精讲】例1 下列函数中，y 是x 的一次函数的是（ ）①y =x －6；②y =2x ；③y =8x ；④y =7－x A ①②③ B ①③④ C ①②③④ D ②③④分析：考察一次函数的定义：答案：B例2 写出下列各题中x 与y 之间的关系式，并判断，y 是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y （千米）与行驶时间x （时）之间的关系式；②圆的面积y （cm 2）与它的半径x （cm ）之间的关系；③一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x 月后这棵树的高度为y （厘米）解：①y =60x ，是一次函数，也是正比例函数．②2πy r ，既不是一次函数，也不是正比例函数．③y =50+2x ， 是一次函数，也是正比例函数．例3 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人某月收入3860元，他应缴个人工资薪金所得税为（3860－3500）×3%=10.8（元）①当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴个人工资、薪金所得税y （元）与月收入x （元）之间的关系式．②某人某月收入为4160元，他应缴个人工资、薪金所得税多少元？③如果某人本月缴个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少元？ 解：①当月收入大于3500元而小于5000元时，y =(x －3500)×3%，即y =0.03x －105②当x =4160时，y =0.03×4160-105=19.8（元）③因为（5000-3500）×3%=45（元），19.2＜45，所以此人本月工资、薪金收入低于5000元，设此人本月工资、薪金收入是x 元，则19.2=0.03x -105，所以解得x =4140（元）即此人本月工资、薪金收入是4140元。

一次函数与正比例函数【教学目标】知识技能：理解一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的表示方法；数学思考：经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识；问题解决：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,掌握分析问题和解决问题的基本方法，发展学生的抽象思维能力；情感态度：在运用一次函数解决实际问题的过程中，认识数学的严谨性，体会数学的实际应用价值。

【教学重难点】重点：理解一次函数和正比例函数的概念.难点：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.【教法与学法】教学方法：针对本节课内容采用学案导学、自主探究、合作探究、互动生成的教学方法.学法指导：本节课采用学生小组合作方式，面向全体，尊重差异，指导学生主动参与，体验成功，感受快乐.【教学过程】（导语：今天是XXX年XX月XX日，你的年龄又增长了一点点，在这个变化过程中，反映的是哪两个变量之间的关系？（时间和年龄）这两个变量之间的关系就是函数关系.）一、旧知再现（一）回顾思考1.什么是函数？2.函数的三种表示方法；3.常用公式及等量关系 .【设计意图：学生通过对已有知识简单的回顾，为接下来的的学习做好铺垫。

第一个问题是为一次函数的定义做铺垫；第二个问题是为一次函数各表示方法的互相转换打基础；第三个问题是为一次函数的实际应用提供列式依据。

】（二）生活中的数学1.某种大米的单价是2.2元/kg ，当购买xkg 大米时,花费为y 元，写出y 与x 之间的关系式;2.长方形的面积为10,长为b ，宽为a,写出b 与a 之间的关系式;3.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：写出S 与t 的函数关系式；4.一棵树现在高50cm ，每月长2cm ，x 月后这课树的高度为ycm ，写出y 与x 之间的关系式；ab 105.一辆汽车匀速行驶,它行驶的路程S(km)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，请写出S与t的关系式;6.一盘蚊香105cm，点燃后每小时燃烧10cm，x小时后蚊香的长为ycm，写出y与x之间的关系式.（学生写出各关系式，教师巡视纠错后，直接展示各题答案，学生自行纠错）【设计意图：选取课本中的部分生活实际问题，涵盖各种形式：有文字叙述，有表格，有图象，让学生写出变量间的关系式，并做判断是否是函数关系，有四方面的意图。

《正比例函数》教学设计和反思教学设计：正比例函数【学习目标】1.了解正比例函数的定义及其特点；2.学会绘制正比例函数的图像并确定其函数表达式；3.掌握正比例函数的性质和应用。

【教学内容】1. 什么是正比例函数：正比例函数是指函数的函数图像是一条通过原点的直线的函数，且直线方程为y=kx，其中k是常量。

2.正比例函数的特点：图像通过原点，且成一条直线，斜率k即为比例系数。

3. 正比例函数的图像：给定比例系数k，绘制y=kx的函数图像。

4.确定正比例函数的函数表达式：根据一组已知的比例关系，确定函数表达式。

【教学步骤】Step 1: 引入学习用一个生活中常见的例子引入正比例函数的概念，如速度和时间的关系。

举例说明速度是时间的函数，且当速度恒定时，速度与时间成正比。

Step 2: 介绍正比例函数的定义和特点讲解正比例函数的定义和特点，即函数图像是一条通过原点的直线，斜率k即为比例系数。

引导学生理解并记住这些概念。

Step 3: 绘制正比例函数的图像给定一个比例系数k，通过连接原点和一些随机选取的点，绘制y=kx 的函数图像。

让学生观察直线的性质和特点。

Step 4: 确定正比例函数的函数表达式给定一个已知的比例关系，如其中一种商品的价格与重量成正比，根据这个关系用代数的方法确定函数的表达式。

引导学生从已知条件入手，设出函数表达式并验证。

Step 5: 探究正比例函数的性质和应用让学生自己提出问题，如两个正比例函数的乘积是否仍然是正比例函数？引导学生进行探究和讨论，总结出正比例函数的性质和应用。

Step 6: 练习和巩固通过练习题和实际问题，让学生独立应用所学知识，巩固对正比例函数的理解和运用能力。

【教学反思】1.教学方法：在教学过程中采用了示例引入、观察实验、问题引导等多种教学方法，通过实际例子和图像来帮助学生理解正比例函数的概念和特点。

2.案例分析：通过引入生活中的例子，激发学生学习兴趣，使他们能够将数学知识应用到生活实际中。

第四章一次函数2 一次函数与正比例函数一、教学目标1.经历一次函数概念的抽象过程，理解正比例函数和一次函数的概念，体会模型思想，发展符号意识.2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.3.能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式.4.能利用一次函数解决简单的实际问题.通过实例让学生经历思考，分析问题中量与量之间的关系，提高学生的归纳概括能力和辨别能力.二、教学重难点重点：掌握正比例函数和一次函数的概念.难点：能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计问题1：什么是函数？预设答案：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.追问：表示函数的方法一般有哪些呢？预设答案：表示函数的一般方法有：图象法、列表法和关系式法.教师活动：三种函数表示法可以互相转化.问题2：购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：(1)y随x变化的关系y= ，是自变量，是的函数；【探究】情景一：某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm.(1) 计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：预设答案：3；3.5；4；4.5；5；5.5(2)你能写出y与x之间的关系吗？当x=0时，y=3；当x=1时，y=3+1×0.5=3.5；当x=2时，y=3+2×0.5=4；当x=3时，y=3+3×0.5=4.5；...它们之间的数量关系是：弹簧长度=原长+增加的长度，因此，x与y之间的关系式为：y=3+0.5x 情景二：某辆汽车油箱中原有油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.(1)填写下表：预设答案：0；6；12；18；24；36(2) 你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？预设答案：y=0.12x(3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？预设答案：z=60–0.12x教师活动：上面的三个函数关系式，有什么共同点？y=3+0.5x y=0.12x z=60–0.12x共同特点：(1)都是含有两个变量x，y的等式；(2)x和y的指数都是一次；(3)自变量x的系数都不为0.【归纳】若两个变量x、y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.一次函数的结构特征：(1)k≠0；(2)x的次数是1；(3)常数项b可以为一切实数.一次函数与正比函数的关系：正比例函数是一种特殊的一次函数.(即当常数b=0时)【做一做】下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y=3πx；(2)y=8x–6；(3)y=1；x(4)y=2–8x；(5)y=5x2–4x+1；(6)y=8x2+x(1–8x).解：(1)是一次函数，也是正比例函数；(2)是一次函数，不是正比例函数；(3)不是一次函数，也不是正比例函数；(4)是一次函数，不是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数；已知y–2与x成正比例，且当x=1时，y=7，求y与x之间的函数关系式，并求出当x=–2时，y的值.解：由y–2与x成正比例，设y–2=kx(k≠0)，因为当x=1时，y=7，所以7–2=k，得k=5，所以y与x之间的函数关系式为y=5x+2.当x=–2时，y=5×(–2)+2=–8，所以当x=–2时，y的值是–8.。

《一次函数与正比例函数》教学反思
本节内容主要是一次函数与正比例函数，期望学生在上节课的基础上进行延伸，自然的引出新概念。

在设计本节课时，主要从以下几个方面考虑：
第一，本节课的重点在概念的生成过程。

因此，探究新知从生动的问题情境入手，通过列表，写关系式，观察关系式的特点，最后总结、归纳，从而抽象出一次函数与正比例函数的概念。

第二，例题的分析与讲解。

形成概念后就要进行应用，两道例题由浅入深，让学生逐步理解。

讲授之后发现本次课还有以下不足：首先，在问题情境部分，期望学生通过填表，发现规律，从而得到关系式。

将得到的三个关系式进行比较，总结特点，从特殊到一般生成概念。

但是由于学生观察能力较弱或者是因为教师本身问题表达的不清晰，学生有点无所适从，不知道到底该观察什么、从何处入手。

所以概念生成过程并不理想，因此学生对概念就不是特别理解。

另一个较大的问题就是例题讲解花费时间较多，学生对于较长的题目有恐惧感，阅读能力较差，所以在此部分浪费时间，导致整节课学生练习时间较少。

对于这些问题，在以后的教学中必须多加注意，进行改正。

作为老师，要相信自己的学生，放手给学生让学生融入课堂，而不是自己一直讲，知识还是要学生练习才能掌握的
更好。

另外针对学生不喜欢长题目这种情况，教师要放慢脚步，一步一步引导学生学会分析，找出条件得到答案。

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要介绍了正比例函数和一次函数的定义、性质和应用。

本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生理解函数的概念、掌握函数的性质、提高解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了比例和方程，对比例的概念和方程的解法有一定的了解。

但他们对函数的概念和性质还不够清晰，特别是对于函数图像的理解和应用。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的知识与函数内容相结合，通过实例和练习让学生感受函数的意义和应用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解正比例函数和一次函数的定义，掌握它们的性质和图象特征，能运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生感受数学与生活的密切联系。

四. 教学重难点1.重点：正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征。

2.难点：一次函数和正比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生观察、分析和解决问题；通过案例教学，让学生感受数学与生活的联系；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行案例分析和问题讨论。

2.准备一次函数和正比例函数的图象和性质的PPT，以便进行讲解和展示。

3.准备一些练习题，以便进行课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？让学生思考和讨论，引导学生认识到函数是数学建模的基础。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征，通过PPT展示相关图象，让学生直观地感受函数的性质。

辨析应用深化认知（1）教师用PPT展示出例1和例2；（2）完成教科书练习。

（P87练习）学生思考、分组讨论后交流，教师予以激励性评价。

引导学生根据概念辨析正比例函数，能够从实际问题中根据已知条件抽象出函数模型并辨析是否是正比例函数．目标检测设计（1）下列函数中，表示y是x正比例函数的是（）.A．y =－6x B．y =－6（x＋1）C．y =－D．y =－6x2学生练习会出现不同的问题，教师叮嘱好先由学生合作互助讨论完成，最后由教师点评。

考查对正比例函数概念的理解。

（2）下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（）.A．圆的面积S随半径r的变化而变化B．正方形的周长C随边长a的变化而变化C．蓄水10L的水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（单位：L）随放水时间t（单位：min）的变化而变化D．面积为20的三角形的一边a随这边上高h的变化而变化考查将实际问题抽象为函数模型的能力和对正比例函数概念的理解。

（3）已知函数y=（m－2）x＋m2－4表示y是x的正比例函数，则m的值是，这个函数的解析式为．考查对正比例函数概念的理解。

（4）某大楼电梯从1层（地面）直达3层用了20s，若电梯运行是匀速的，则乘坐该电梯从2层直达8层所需时间为考查运用正比例函数模型解决简单实际问题的能力。

（5）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为24cm的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短3.6cm，设蜡烛点燃x分钟后被燃烧的长度为ycm，请解答下列问题：①写出y与x的函数关系式；②指出自变量的取值范围；③当蜡烛燃烧的20分钟后，蜡烛剩下的长度是多少？考查将实际问题抽象为函数模型并用正比例函数模型解决简单实际问题的能力。

反思小结（1）谈谈你今天学了哪些内容？（2）正比例函数与正比例关系有什么联系？（3）请举一个生活中正比例函数的实例.对（3）的回答比较困难。

对本节课堂学习的一次小结，让学生会用理性思维对做过的事进行梳理。

一次函数与正比例函数教案第一章：一次函数的概念与性质1.1 一次函数的定义引导学生了解一次函数的定义，即函数表达式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的形式。

通过实际例子，让学生理解一次函数的图像是一条直线。

1.2 一次函数的斜率与截距解释斜率k和截距b的概念，并引导学生通过函数表达式理解它们的含义。

利用实际例子，展示斜率和截距如何影响函数图像的位置和斜率。

1.3 一次函数的图像利用图形工具，展示不同斜率和截距的一次函数图像。

引导学生观察图像的特性，如斜率和截距对图像的影响。

第二章：正比例函数的概念与性质2.1 正比例函数的定义引导学生了解正比例函数的定义，即函数表达式为y=kx（k为常数）的形式。

解释正比例函数是一种特殊的一次函数，其截距b为0。

2.2 正比例函数的斜率与图像解释正比例函数的斜率代表比例常数k，并展示不同k值的图像。

引导学生观察正比例函数图像的特点，如通过原点、斜率为正或负等。

2.3 正比例函数的应用通过实际例子，展示正比例函数在实际生活中的应用，如购物时商品的价格与数量的关系。

引导学生理解正比例函数的局限性，即仅限于变量间成正比的情况。

第三章：一次函数与正比例函数的关系3.1 一次函数与正比例函数的转化解释一次函数可以通过移项转化为正比例函数的形式。

引导学生掌握如何将一次函数y=kx+b转化为正比例函数y=kx。

3.2 一次函数与正比例函数的图像关系利用图形工具，展示一次函数和正比例函数图像之间的关系。

引导学生观察当截距b为0时，一次函数图像与正比例函数图像的相似性。

3.3 一次函数与正比例函数的交点解释一次函数与正比例函数的交点是两个函数图像的交点。

引导学生利用图形工具，找出一次函数与正比例函数的交点，并分析其含义。

第四章：一次函数与正比例函数的应用4.1 线性方程的解法引导学生掌握线性方程的解法，包括代入法、消元法等。

通过实际例子，展示如何利用一次函数和正比例函数解决实际问题。

4.2 一次函数与正比例函数一、学生起点分析在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。

本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成1,1x y x y +=-=-等，培养学生良好的书写习惯.二、教学任务分析《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节.本节内容安排了1个课时：让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力. 与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作为一次函数特殊情况给出来的.本节课教学目标分析是：(1)理解一次函数和正比例函数的概念；(2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.(3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；(4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力.(5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.(6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.本节课教学重点是：理解一次函数和正比例函数的概念.本节课教学难点是：能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.三、教学过程设计本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂小结；第七环节：布置作业.第一环节：复习引入内容：复习上节课学习的函数,教师提出问题:(1)什么是函数?(2)函数有哪些表示方式?(3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识.效果：问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标.若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题)①假设某学生骑自行车的速度为10km/h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么?②上网费用是2元/小时,则上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?第二环节：新课讲述例1 某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm(2)你能写出x与y之间的关系式吗?答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) 30.5y x.例2 某辆汽车油箱有汽油100L,汽车每行驶50km耗油9L.(1)完成下表:0 50 100 150 200 300 汽车行驶路程x/km油箱剩余汽油量y/L(2)你能写出x与y之间的关系式吗?(3)汽车行驶的路程x可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量y呢?答案 (1) 100、91、82、73、64、46；(2) x与y之间的关系式为1000.18y x；(3) 汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有100L,每行驶50km 耗油9L,行驶560km后,油箱就没有油了,所以x不会超过560km.y代表油箱剩余油量,所以y应该小于100但不能小于零.通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念:一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成y kx b(,k b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当0b时,则y是x的正比例函数.意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.主要从函数解析式这一角度去研究一次函数，这是学生第一次正式接触函数的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子，让学生逐步学会从函数表达式去认识函数，进一步掌握一次函数的定义.第三环节：巩固练习内容:1.在函数(1)3y x ,(2)5y x ,(3)4y x ,(4)223y x x , (5)2y x (6)12y x 中是一次函数的是 ,是正比例函数的是 .2.若函数(63)44y m x n 是一次函数,则,m n 应满足的条件是 ；若是正比例函数,则,m n 应满足的条件是 .3.当k = 时,函数28(3)5k y k x 是关于x 的一次函数.意图：对本节知识进行巩固练习.效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果.在第3题中,学生易忘记3k≠0的条件,而错误的将答案写成±3.第四环节：知识提高内容：例 3 写出下列各题中x 与y 之间的关系式,并判断:y 是否为x 的一次函数?是否为正比例函数?(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y (千米)与行驶时间x (时)之间的关系；(2)圆的面积y (厘米2)与它的半径x (厘米)之间的关系；(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x个月后这棵树的高度为y(厘米),则y与x的关系.答案: (1)由路程=速度×时间,得60y x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数；(2)由圆的面积公式,得2y x,y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数；(3)这棵树每月长高2厘米,x个月长高了2x厘米,因而5020y x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.例4 某地区电话的月租费为25元,在此基础上,可免费打50次市话(每次3分钟),超过50次后,每次0.2元.(1)写出每月电话费y(元)与通话次数x(x＞50)的函数关系式；(2)求出月通话150次的电话费；(3)如果某月通话费为53.6元,求该月通话的次数.分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为:每月通话费=月租费+超过50次后电话费.答案: (1)根据题意得: 25(50)y x；y x×0.2,即0.215(2)当150y×1501545；x时,0.2(3)因为53.6＞25,可知通话次数大于50次,即当53.6y时,求x的值.53.60.215x,解得193x.意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.效果：根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差异,此时,要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而不能是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都是逻辑思维训练的一部分.在例4中的(1)中,易错解为250.2y x.应让学生仔细审题,找准等量关系；(2)、(3)两问是给定自变量的值,求函数数值，这类问题的实质就是解方程. 第五环节：反馈练习内容:1.下列语句中,具有正比例函数关系的是( )(A) 长方形花坛的面积不变,长y与宽x之间的关系；(B) 正方形的周长不变,边长x与面积S之间的关系；(C) 三角形的一条边不变,这条边上的高h与面积S之间的关系；(D) 圆的面积为S,半径为r,S与r之间的关系.2．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于1600元的部分不收税；月收入超过1600元但低于2100元的部分征收5%的所得税……如果某人月收入1960元.他应缴纳个人工资、薪金所得税为（19601600）×5%=18（元）.（1）当月收入大于1600元而又小于2100元时，写出应缴纳所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式.（2）某人月收入为1760元，他应该缴纳所得税多少元？（3）如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金是多少以元？意图：对本节知识进行巩固练习.效果：学生基本能较好地独立完成练习题,收到了较好的教学效果.在第2题,学生容易遗忘几何的相关内容,在此教师可作适当的提醒,让学生更顺利地完成习题.第六环节: 课堂小结内容:这节课我们学习了一类很有用的函数——一次函数，只要解析式可以表示成y kx b（,k b为常数，k≠0）的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是一次函数当0b时的特殊情形.（方式：师生互相交流总结.）目的：鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想,进一步巩固本节课的知识.实际效果：学生畅所欲言自己对本节课的感受与收获,都能准确的说出一次函数与正比例函数的概念.但学生容易忽略一次函数与实际生活的联系,教师应做适当补充.第七环节：布置作业1．根据下表写出,x y之间的一个关系式.x10123y2. 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元.（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应缴费多少元？（3）如果该手机用户本月预交了200元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？3．某电信公司手机的B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元.按照此类收费标准，分别完成第2题中的各小题.4．根据上面第2，3题中的条件，完成下列各题：（1）若每月平均通话时间为300分，你选择哪类收费方式？（2）每月通话多长时间时，按A，B两类收费标准缴费，所交话费相等？四、教学设计反思1．本课时在初中数学学习中的重要性函数是初中阶段数学学习的一个重要内容，学生又是第一次接触函数，充分考虑学生的接受能力，本节从生动有趣的问题情景出发，通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.又通过具有丰富的现实背景的例题，进一步理解一次函数和正比例函数的概念，为下一步学习《一次函数图象》奠定基础，并形成用函数观点认识现实世界的能力与意识.2．怎样对学生进行引导本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对研究常量的计算问题已掌握了一定的方法,但对函数、变量的变化规律的学习刚刚开始,抽象概括概念的能力尚显不足,为此，我力求以下三个方面对学生进行引导:(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程；(2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程；(3)借助探索,通过思维深入,领悟教学过程.3．注意改进的方面在讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。

七年级下学期学生已经探索了变量间关系，在此基础上，本章的前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数概念，能判断两变量间的关系是否可看做函数。

本节课进一步研究其中最简单的一次函数，由于有了前面内容的铺垫，学生已经会建立变量间关系，本节课是已经学过知识的延伸。

由于课堂时间原因，课后检测放在了课后进行，由各组组长统计检测结果。

课后检测的第一题考察一次函数与正比例函数的一般形式，90%的学生可以得到正确结果，错误的同学在第二空的计算中，沿用了第一空的思维模式，并没有考虑一次函数只需要满足k≠0即可，从等量关系的角度考虑，所以没有答出第二问。

课后检测的第二题考察的是根据题目条件列出函数表达式，个别学生因为对三角形面积公式掌握不好，不能准确写出函数关系式。

通过对一次函数与正比例函数课后测评两道题目的检测结果来看，班级有90%以上的同学已经能够掌握一次函数与正比例函数的定义和一般形式的特征，教师对教学重点突破的较好，教学目标达成度较好。

函数是数与代数的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的概念之一，因此教材在三个学段分别安排了和函数关联的内容目标，希望学生能逐渐加深对函数的理解。

依据课程内容的要求，教材对函数内容的编排体现着螺旋上升的原则，分三阶段逐渐深化：第一阶段，通过一些具体实例，让学生感受数量变化过程，以及变化过程中变量之间的对应关系，探索其中的变化规律及基本性质，尝试根据变量的对应关系做出预测，获得函数的感性认识。

例如，教材对一次函数与正比例函数内容的编排上，需要学生经历对一次函数和正比例函数的认识过程，逐渐理解和掌握。

教材首先呈现出来的是体会一次函数的意义，并能根据已知条件确定一次函数的表达式。

教材中结合具体的实例，引导学生先写出函数解析式，归纳出它们具有的共同特征，抽象出一次函数的一般形式y=kx + b (k≠0)，根据函数解析式的形式得出一次函数的定义。

接着通过特殊实例，得出正比例函数的定义。

一次函数与正比例函数教案第一章：一次函数的概念与性质1.1 一次函数的定义引导学生了解一次函数的定义，即形如y = kx + b （k、b 为常数，k 不等于0）的函数。

通过实际例子，让学生理解一次函数的组成和意义。

1.2 一次函数的图像引导学生了解一次函数图像是一条直线，并掌握直线的斜率和截距的概念。

1.3 一次函数的性质引导学生掌握一次函数的增减性和过原点性质。

举例说明一次函数在实际生活中的应用，如成本与数量的关系等。

第二章：正比例函数的概念与性质2.1 正比例函数的定义引导学生了解正比例函数的定义，即形如y = kx （k 为常数）的函数。

通过实际例子，让学生理解正比例函数的组成和意义。

2.2 正比例函数的图像引导学生了解正比例函数图像是一条通过原点的直线。

2.3 正比例函数的性质引导学生掌握正比例函数的单调性和过原点性质。

举例说明正比例函数在实际生活中的应用，如速度与时间的关系等。

第三章：一次函数与正比例函数的关系3.1 一次函数与正比例函数的联系引导学生了解一次函数和正比例函数之间的关系，即一次函数可以看作是正比例函数的一种特殊形式。

3.2 一次函数与正比例函数的转化引导学生掌握如何将一次函数转化为正比例函数，以及如何将正比例函数转化为一次函数。

3.3 一次函数与正比例函数的应用通过实际例子，让学生了解一次函数和正比例函数在实际生活中的应用，如商品价格与数量的关系等。

第四章：一次函数与正比例函数的图像解析4.1 一次函数图像的解析引导学生掌握如何从一次函数的图像中获得斜率和截距的信息。

4.2 正比例函数图像的解析引导学生掌握如何从正比例函数的图像中获得斜率的信息。

4.3 一次函数与正比例函数图像的比较引导学生了解一次函数图像和正比例函数图像的异同，并掌握如何判断一个函数是一次函数还是正比例函数。

第五章：一次函数与正比例函数的综合应用5.1 实际问题转化为一次函数与正比例函数的问题引导学生学会将实际问题转化为一次函数与正比例函数的问题，并利用相关性质解决。

《一次函数与正比例函数》教学反思示例《一次函数与正比例函数》教学反思示例「篇一」一次函数与正比例函数作为函数中最简单、应用最为广泛的函数，本节课我力图通过问题情境的创设，例题的设计，学生活动的安排，使学生能深刻地感受到数学与生活的联系。

本节课开始以教师乘车从渭南到故市这一问题情境，拉近了师生的距离，同时能使学生感受到生活处处可见函数的影子。

由于小组之间有一个竞争机制在里面（评选出本节课的最佳合作小组），在探究活动中，学生探究的积极性相对比较高，参与率高，达到了学生积极参与的目的。

在选题中，由于选题典型且由易到难，逐层递进，有利于学生的思考。

本节课力求让所有学生积极参与，因此在各小组得分差距很大的情况下（3、6小组尚无得分），我采取了激励措施，将较易的题留给他们，并对回答对的同学掌声鼓励，极大地调动了这两个小组同学的积极性。

对于学习目标的呈现也有利于学生学完本节课之后对自己的检测、对照、小结，当堂目标检测学生完成也相对较好。

总体上，本节课体现了以学生为主体，以问题为载体，以小组活动为核心展开，教师的亲和力也拉近了师生之间的距离，及时鼓励评价学生，课前语和结束语激励学生学知识学做人。

本节课的不足之处：1、本节课放的还不够开，可能是由于课堂容量较大，担心任务是否能按时完成，因而部分题没有留充分思考、交流的空间，显得处理问题有些着急。

2、小组的合作学习尚且还处于形式化倾向，学生小组间的对学、群学体现不明显。

今后需要做的：1、尽可能放手学生，留给学生充分的思考交流的空间，使学生能在知识的生成上获得发展。

2、加强小组间的实质性合作，尽可能做到对学、群学相结合，实现兵教兵、兵练兵，使学生真正成为课堂的主人，知识的主人。

3、小组展示中尽可能让学生小组成员都积极参与，培养他们的团体意识。

《一次函数与正比例函数》教学反思示例「篇二」这节课是正比例函数的第一课时，它的设计和教学很关键。

我把目标定为以下三点：使学生经历从实例中认识成正比例关系的过程，初步理解正比例函数的概念，学会根据正比例函数的概念判断两个量是不是成正比例。