三年级奥数第15讲 解决问题二

第15讲 重叠问题【探究必备】有两张纸条，每张长8厘米。

现在要将这两张纸条粘贴成一张较长的纸条，接头处长1厘米（如图）。

粘贴后，较长的纸条长多少厘米？在重叠问题中，两个计数部分有重复。

为了不重复计数，应当从它们的和中减去重复的部分。

为了准确分析重叠问题，一般采用画图的方法。

借助图形。

明确重叠部分或所求部分，从而解决问题。

我们用两个圆分别表示数量A 和数量B ，用C 表示A 和B 的重叠部分（如图），求A 和B 合在一起的数量，用A +B -C 。

所以粘贴后，较长的纸条长应为：8+8-1=15（厘米）。

【王牌例题】例1、某校三年级（2）班学生都在练习书法，有30人学习硬笔书法，有25人学习软笔书法，其中有10人两种书法都学习。

这个班一共有多少人？ 分析与解答：这是一道典型的重叠问题，根据题意画出线段图：从图上可以看出，这个班的人数就是参加书法学习的人数。

学习两种书法的人数中，有10人是重复的，所以这个班的人数是30+25-10=45（人），这道题也可以？厘米8厘米8厘米A B A B硬笔书法30人 软笔书法25人10人 ？人 20人 15人这样想：这个班的人数是由只参加硬笔书法人数、两种书法都参加人数和只参加软笔书法人数三部分组成，从图上可以看出只参加硬笔书法人数有30-10=20（人），两种书法都参加的人数有10人，只参加软笔书法人数有25-10=15（人），所以这个班共有20+10+15=45（人）。

例2、某校三年级（4）班共有58人，在班级冬季长跑和跳绳两项比赛中，每人至少参加了其中的一项比赛。

已知参加长跑的有33人，参加跳绳的有40人。

两项比赛都参加的有多少人？分析与解答：由于每人至少参加了其中的一项比赛，因此这个班的人数应该就是参加这两项比赛人数的和，参加这两项比赛的共有33+40=73（人），而该班只有58人，说明其中有一部分人两项都比赛参加了，故两项比赛都参加的有73-58=15（人）。

小学三年级奥数15趣题巧解本教程共30讲第15讲趣题巧解为了考考同学们的智力和灵气，先提几个问题：一张长方形的纸，用剪刀剪掉一个角，还剩几个角？把一根毛线对折两次后剪一刀，毛线被剪成了几段？一树枝上有10只鸟，用汽枪打中了一只，树枝上还剩几只鸟？这类智力问题很有趣，但回答时要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。

要想正确地解答这类题目，一是要全面考虑各种情况，二是要充分运用学过的数学知识，再就是还需要些思考问题的灵气和非常规的思考方法。

例1一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩几个角？分析：由于已知“剪掉一个角”，但没有限制如何剪，所以必须对这个已知条件中的“剪法”有一个全面的考虑。

否则，不加思索地顺口答出“还剩3个角”，答案就不全面了。

当我们仔细考虑“剪法”的各种可能性后，再根据角的定义，就会得到全面而正确的答案。

解：由于剪掉长方形纸片的一个角有下页图所示的三种不同剪法(图中阴影部分为剪掉的角)，所以，可能还有5个角、4个角或3个角。

答：还剩5个角、4个角或3个角。

例2 37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)。

他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？分析：如果由37÷5=7……2，得出7+1=8次，那么就错了。

因为忽视了至少要有1个人将小船划回来这个特定的要求。

实际情况是：小船前面的每一个来回至多只能渡4个人过河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5个人过河。

解：因为除最后一次可以渡5个人外，前面若干个来回每个来回只能渡过4个人，每个来回是2次渡河，所以至少渡河[(37-5)÷4]×2+1=17(次)。

答：至少要渡河17次。

例3(1)右图是10枚硬币，移动其中1枚硬币，使每一行上都有6枚硬币。

(2)用12根火柴拼出6个边长为1根火柴的正方形。

分析与解：(1)10枚硬币摆两行，一般来说每行有10÷2=5(枚)。

图中的两行却是一行5枚一行6枚，原因是中间有1枚在两行的交叉点上，所以出现了5+6＞10。

8-2抽屉原理教学目标抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。

本讲的主要教学目标是：1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；2．掌握用抽屉原理解题的基本过程；3. 能够构造抽屉进行解题；4. 利用最不利原则进行解题；5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

知识点拨一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11xn -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．【巩固】 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业．【巩固】 年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？知识精讲【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样．【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例 3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．【例 4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．【例 5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．【例 6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

2、有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进4桶水， 连缸共重240千克；如果倒进7桶水，连缸共重 390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？
【例题4】
一共有，把黄色珠子 分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒 子里，那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种 颜色的珠子各多少粒？
【练习1】
1.一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计 划每小时行驶60千米，下午4时到达乙地。 但实际晚点2小时到达，这辆汽车实际每小 时行驶多少千米？
2.一列火车早上6时从甲城开往乙城，计划每小时行 驶100千米，下午6时到达乙城。但实际到达时间 是下午4时，提前2小时。问火车实际每小时行驶 多少千米？
【例题5】
在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐 里拿出50个鸡蛋，则6个筐里剩下的鸡蛋个数 的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原 来每个筐里有鸡蛋多少个？
【练习5】
1.在6个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个纸箱 里拿出50个苹果，则6个箱里剩下的苹果个数的总 和等于原来2个箱子的苹果个数的总和。原来每个 箱里有多少个苹果？
【例题2】
小猴上山摘桃子，它把摘到的桃子平均分成了5堆， 把其中的4堆送给它的好朋友，给自己留了1堆。 后来它又把给自己留的这一堆平均分成4堆，把其 中的3堆送给了小山羊，1堆留给了自己吃，自己 吃的这堆有6个桃子，小猴一共摘了多少个桃子？
练习2
1、妈妈买来一堆彩色笔，她把这些笔平均分 成3份，把其中2份送给了小明和小红，给 自己留下1份，后来她又把自己留下的这1 份平均分成3份，把其中的2份送给幼儿园， 给自己只留下1份，数了数共7支。妈妈一 共买来多少支彩色笔？
练习4
1.一共有苹果、梨、橘子共105个，如果把苹 果分放到4个盘中，把梨分放到5个盘中， 把橘子分放到6个盘中，那么每个盘子的水 果个数相等。三种水果各多少个？

三年级奥数讲座（二）目录第一讲从数表中找规律第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起第三讲多笔画及应用问题第四讲最短路线问题第五讲归一问题第六讲平均数问题第七讲和倍问题第八讲差倍问题第九讲和差问题第十讲年龄问题第十一讲鸡兔同笼问题第十二讲盈亏问题第十三讲巧求周长第十四讲从数的二进制谈起第十五讲综合练习第一讲从数表中找规律在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发，继续研究数列的规律性。

例1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.分析与解答这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括号内填20，第6行中的括号内填 24。

例2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题：①这个三角阵的排列有何规律？②根据找出的规律写出三角阵的第6行、第7行。

③推断第20行的各数之和是多少？分析与解答①首先可以看出，这个三角阵的两边全由1组成；其次，这个三角阵中，第一行由1个数组成，第2行有两个数…第几行就由几个数组成；最后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1除外），都等于上一行中与它相邻的两数之和.如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=3＋3。

②根据由①得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6行的数为1，5，10，10，5，1；第7行的数为1，6，15，20，15，6，1。

③要求第20行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。

至此，我们可以推断，第20行各数之和为219。

[本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广泛的应用]例3将自然数中的偶数2，4，6，8，10…按下表排成5列，问2000出现在哪一列？分析与解答方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而1000÷8＝125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A列。

三年级奥数：盈亏问题把一定数量的物体分均分给若干对象，根据物体的数量不变，由于分配对象的数量和每个对象得到的数量不相同，分物体时经常出现盈（有余）、亏（不足）或尽（恰好分完）等三种情况，我们将这类问题称为盈亏问题。

解决这类问题的基本原理是：总差额÷分配差=分配对象的个数，求出了分物对象的个数，即可以求出物品的数量。

盈亏问题可以分为以下三大类：（1）一盈（亏）一尽：盈数（亏数）÷两次分物数量差=分物对象的个数；（2）两盈（亏）:[大盈（亏）-小盈（亏）]÷两次分物数量差=分物对象的个数；（3）一盈一亏：（盈数+亏数）÷两次分物数量差=分物对象的个数。

下面我们就通过一些具体的例子来说明：一盈或一亏在一次分配正好，一次分配不足（亏）的盈亏问题中，总差额就是不足的数（亏），根据“总差额÷分配差=份数”可以求出参与分配的数量。

一盈或一亏像例题2的题型，难度在于盈亏问题隐藏在题目中了，并没有直白的告诉我们，那么就需要我们重新解读题目的意思，转化为盈亏的思路来解答。

解答过程分四步，第一步：比较盈亏的总差额；第二步：找出盈亏差额的原因就是分配数的差额；第三步：对应求出分配对象的个数；第四步：代入求出分配的总数量。

同盈同亏做同盈或者同亏问题时，两次分配的总差额就是两次分配后剩余数的差，根据“总差额÷分配差=份数”求出参与分配的人数。

一盈和一亏盈亏问题中，一次分配有剩余（盈），另一次分配有不足（亏），总差额=盈+亏，根据“总差额÷分配差=份数”即可求出参与分配的人数。

下面我们来看下本知识点的一些相关练习，做完再看参考答案哦！1、老师买来一些苹果分给学生。

如果每人分5个，则恰好分完；如果每人分7个，则差10个，一共有多少个学生，多少个苹果？2、一旅游团外出旅游，如果每辆车坐10人，则正好坐满，如果每辆车坐50人，则正好多一辆车。

那么共有多少位旅客？3、幼儿园阿姨给小朋友发梨子，如果每人发2个，则多出10个梨子，如果每人发4个，则多出2个梨子，一共有多少个小朋友？一共有多少个梨子？4、有一堆苹果分给小朋友。

第一讲配对求和班级：姓名：一、计算（1）76+79+82+85+88 (2)122+126+130+134+138(3)6+7+8+…104+105 (4)15+21+27+…1011+1017二、解决问题1、龙龙在学写字，第一天写了6个字，以后每天总比前一天多写3个字，最后一天写了42个字。

龙龙这些天一共写了多少个字？2、有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4，最后一个数是90。

这串数连加的和是多少？第二讲除数是一位数的除法（算式谜）班级：姓名：一、下面竖式中的汉字和字母各代表多少？（1）香港回归（2）A B C+ 香港回归 + C B A5 2 7 0 B B C B香=（）港=（） A=（） B=（）回=（）归=（） C=（）二、在图中的□里填上合适的数使算式成立。

（1）□ 4 9 □（2）□ 8 □ 6+ 7 □□ 7 - 7 □ 4 □9 7 4 9 5 4 8(3) □ 7 □ 6 □× 73 □ 2 9 □ 6(4) (5)第三讲简单的周期问题班级：姓名：解决问题1、李华把平时积存的硬币按先3个壹角币，再2个伍角币，最后1个壹元币的顺序排列。

问：说出李华摆出的第46个硬币面值是多少？2、北京奥运会的时候，京京特意做了一些“北京欢迎您”的条幅，这些条幅连起来就成了“北京欢迎您北京欢迎您北京欢迎您……”依此排列，第28个字是什么字？3、2001年6月1日是星期五。

问：9月1日是星期几？4、我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号。

如果1940年是龙年，那么1996年是什么年？5、有列数按“432791864327918643279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？第四讲楼梯上的数字班级：姓名：1、小华住在10楼，他发现第7层到第8层有25级台阶。

问：从底楼到小华家一共有多少级台阶？2、裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米。

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

扩大3倍 3个铜球 + 2个铁球 =54 9个铜球 + 6个铁球 =162
4个铜球 + 6个铁球 =92
5个铜球
=70
1个铜球： （162 – 92）÷（9 – 4）= 14千克 1个铁球： (54 – 14×3）÷2=6千克 答：1个铜球14千克，1个铁球6千克。
11
【典型例题】
例4：李明有一些水彩笔，其中红彩笔和蓝彩笔共19支，蓝彩笔和黄彩笔共18 支，黄彩笔和红彩笔共15支，红彩笔、蓝彩笔和黄彩笔各多少支？
46元
6元
+ 2元 26元元 2元 2元 2元
52元
1千克梨： （52 – 46）÷（5 – 2）= 2元 1千克荔枝： (46 – 2×2）÷3= 14元
或者 (52 – 2×5）÷3= 14元
答：梨每千克2元，荔枝每千克14元。
7
【课堂精练】
3. 3个足球和5个排球共需196元，3个足球和7个排球共需248元，一个足球和一 个排球各多少元？
小亮 + 小月 =17 小月 + 小敏 =15 小亮 + 小敏 =18
总数： （17＋15＋18 ）÷ 2 = 25岁
小敏： 25 – 17= 8岁
小亮： 25 – 15= 10岁
小月： 25 – 18=7岁
答：小敏8岁，小亮10岁，小月7岁。
14
【课堂精练】
7．壹加壹超市新运来了三种帽子，其中23个不是蓝帽子，32个不是白帽子，35 个不是红帽子，三种帽子各运来多少个？
140– 100 = 40元 (100– 40）÷3= 20元
一共：
40＋20 = 60元
答：买一个足球和一个排球共需要60元。

盈亏问题（第一讲）盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”。

盈亏问题是一类古老的问题。

它讨论的是：在分配物品时，人数一定，在两种分配方案中，第一种分配有余（盈），第二种分配不足（亏）；或者两种都不足，或者两种都有余。

解答的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。

盈亏问题的基本关系式：盈亏总额÷两次分配数之差＝份数。

一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：(盈+亏)÷两次每人分配数的差=分的人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出。

每次分的数量×份数＋盈=总数量每次分的数量×份数－亏=总数量※小朋友分桃子，每人8个多7个，每人10个少9个。

有（）个小朋友，有（）个桃子。

※智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4个就多9个，如果每人分5个则少6个，问：有（）位同学，有（）个糖果。

※一堆糖果有十几颗，每人分4块多2块，每人分5块少1块，想一想，有（）块糖果，有（）个人。

※秋天到了，小白兔收了一些萝卜，它按照计划吃的天数算一下，如果每天吃4个，则多出8个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜，那么小白兔收回有（）个萝卜，计划吃（）天。

※一个植树小组植树。

如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。

这个植树小组（）人，一共有（）棵树。

※三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动，如果每人搬4块，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块，参加劳动的少先队员有（）个，要搬的砖共有（）块。

※幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。

三年级奥数题大全及答案三年级解决问题1、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。

货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。

甲乙两地相距多少千米?解：客车和货车的速度之比为5：4那么相遇时的路程比=5：4相遇时货车行全程的4/9此时货车行了全程的1/4距离相遇点还有4/9-1/4=7/36那么全程=28/(7/36)=千米2、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。

现在两人同时从同一地点相腰启程，乙碰到甲后，择机4小时返回原出发点。

求乙绕城一周所须要的时间?解：甲乙速度比=8：6=4：3相遇时乙行了全程的3/7那么4小时就是行全程的4/7所以乙行一周用的时间=4/(4/7)=7小时2、存有一个财迷总想并使自己的'钱成倍增长，一天他在一座桥上遇见一个老人，老人对他说道：“你只要走到这座桥再回去，你身上的钱就可以增加一倍，但做为报酬，你每跑一个往复必须给我32个铜板。

”财迷算了算挺不划算，就同意了。

他走到桥回去又跑回去，身上的钱果然减少了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板。

这样步上第五个往复，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没有剩。

问：财迷身上旧有多少个铜板?分析：此题采用逆推法解决。

第5次以后，财迷只剩32个铜板，相等于第5次过桥前手里存有16个;第4次过桥后给了老人32个，所以第四次结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个;第3次过桥后给了老人32个，所以第3次完结以后手中存有56个，相等于第3次过桥前手中存有28个;第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个;第1次过桥后给了老人32个，所以第1次完结以后手中存有62个，相等于第1次过桥前手中存有31个。

解答：解：第五次后有：32÷2=16(个);第四次后存有：(32+16)÷2=24(个);第三次后有：(32+24)÷2=28(个);第二次后存有：(32+28)÷2=30(个);第一次原有：(32+30)÷2=31(个);请问：财迷身上旧有31个铜板。

（三年级）备课教员：第七讲解决问题的策略（二）一、教学目标： 1. 使学生初步学会根据题中的条件和问题，选择分析问题的思路，分析题目表示的数量关系，进而培养学生分析问题的能力。

2.使学生养成认真审题，自觉检验的良好习惯，发展学生连贯、有序、有层次的思维能力。

二、教学重点：如何从问题开始想，根据问题分析数量关系。

三、教学难点：根据问题分析数量关系。

四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)游戏导入，揭示课题师：同学们，在学习新课之前，我们先来玩一个拼图游戏，好不好?生：好。

师：听清游戏规则：同桌两人一组，拿出事先准备好的圆，把它平均分成四等份并剪开，然后用剪出来的四个图形，拼出自己喜欢的图形，并贴在练习纸上。

比比看，哪组合作默契，剪拼得又快又美，现在开始剪拼。

学生动手操作拼图，教师行间巡视，挑选部分学生作品展示。

师：大家拼的图形是不是不一样？生：是的。

师：每个人拼的方法不一样，图形也不一样，对吗？生：是的。

师：在解决一个问题的时候，可以有很多种方法，那在我们的数学中在解决一些问题的时候也应该有多种方法。

今天我们就一起来学习解决问题的策略，看一下有哪些不同的方法。

【板书课题：解决问题的策略（二）】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）卡尔家新购置了三件家用电器，共花掉3650元，其中买电视机用去2355元，买电饭锅用去了880元，买饮水机用去多少元？师：认真读题，并理解题意。

师：刚才读完题后，你能从题中找到哪些信息？生：卡尔买了三件电器共花掉3650元，买电视机用去了2355元，买电饭锅用去了880元。

师：那问题是求什么呢？生：买饮水机用去了多少元？师：是的，我们要求买饮水机用去了多少元，先求什么？生：可以先求出买了电视机后还剩多少钱。

师：是的，那怎么求呢？生：3650-2355=1295（元）。

师：非常棒，还买了电饭锅用去了880元，所以我们还要减去买电饭锅的，那怎么求呢？生：就是用剩下的钱减去买电饭锅的钱就是买饮水机用去的。

巧算周长[本讲要点]:“长方形的周长=（长+宽）×2”，“正方形的周长=边长×4”这两个公式看起来十分简单，但用途十分广泛，借助等量转化的方法，可以巧妙的计算出许多直角多边型的周长问题。

这是因为直角多边形总可以分割成若干个正方形或长方形。

[例题分析]:例1 求下图这个多边形的周长。

分析解答：如图②所示，线段ED=线段FG ，线段EF=线段DG ，因此线段AF+ED=AG ，线段FE+DC=GC ，所以原来这个多边形的周长正好是长方形ABCG 的周长：（8+10）×2＝36（㎝）。

例2求下面两个图形的周长(单位：厘米)。

分析解答：A BCD EF①5㎝10㎝ A BCD E FG ② ８㎝１０㎝(1)与例1类似，可以移补成一个长(15＋10＋15)厘米、宽(12＋20厘米的长方形，所以周长为(15＋10＋15)×2＋(12＋20)×2＝144(厘米)。

(2)设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间，构成一个长60厘米，宽(15＋20＋15)厘米的长方形，此时，还有两条长35厘米的竖线段。

所以周长为60×2＋(15＋20＋15)×2＋35×2＝290(厘米)。

例3下图是一个方形螺线。

已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米，求螺线的总长度。

分析解答：如左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为3，5，7厘米的正方形和中间一个三边图形(见右下图)。

所以螺线总长度为(3＋5＋7)×4＋1×3=63(厘米)。

[学习贴士]:1.运用“平移方法”把它转化为标准的长方形或正方形，再利用长方形和正方形的周长公式进行计算。

2.注意转化前后，周长是增加，还是减少，还是不变。

练习检测:模仿练习求下图多边形的周长。

（单位：分米）30dm5510 10试求下左图的周长(单位：厘米)。

50cm上右图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形。

小学三年级奥数教程讲义Newly compiled on November 23, 2020小学三年级奥数教程学校：________________________班次:__________________________姓名：_________________________目录◆第一讲加减法的巧算（一）◆第二讲加减法的巧算（二）◆第三讲乘法的巧算◆第四讲配对求和◆第五讲找简单的数列规律◆第六讲图形的排列规律◆第七讲数图形◆第八讲分类枚举◆第九讲填符号组算式◆第十讲填数游戏◆第十一讲算式谜（一）◆第十二讲算式谜（二）◆第十三讲火柴棒游戏（一）◆第十四讲火柴棒游戏（二）◆第十五讲从数量的变化中找规律◆第十六讲数阵中的规律◆第十七讲时间与日期◆第十八讲推理◆第十九讲循环◆第二十讲最大和最小◆第二十一讲最短路线◆第二十二讲图形的分与合◆第二十三讲格点与面积◆第二十四讲一笔画◆第二十五讲移多补少与求平均数◆第二十六讲上楼梯与植树◆第二十七讲简单的倍数问题◆第二十八讲年龄问题◆第二十九讲鸡兔同笼问题◆第三十讲盈亏问题◆第三十一讲还原问题◆第三十二讲周长的计算◆第三十三讲等量代换◆第三十四讲一题多解◆第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

惠？
04
如何提高解决盈亏问题的能力
培养逻辑思维
逻辑思维是解决盈亏问题的关键，需 要从小培养。家长可以通过日常生活 中的一些问题，引导孩子分析、推理 和归纳，提高逻辑思维能力。
在数学学习中，鼓励孩子多思考、多 提问，培养主动探究的习惯，有助于 提高逻辑思维能力。
掌握基本概念
解决盈亏问题需要掌握一些基本概念，如“盈”、“亏”、 “总数量”、“每个单位的数量”等。家长可以帮助孩子理 解这些概念，并通过实例进行解释在生活中有广泛应用，解 决这类问题可以帮助学生认识到数 学在生活中的实用价值，增强数学 应用意识。
培养优化思维
解决盈亏问题需要寻找最优解，这 有助于培养学生的优化思维和决策 能力。
02
盈亏问题基本解法
代数法
01
代数法是通过设立方程 来求解盈亏问题的一种 方法。
02
首先，根据题意设立未 知数，表示问题中的未 知量。
概念
盈亏问题涉及两个或多个量之间 的关系，其中一个量的变化会影 响另一个量的变化，最终导致盈 或亏的结果。
盈亏问题的分类
单盈问题
只有一个量获得利益，另一个量亏损。
双盈问题
两个量都获得利益。
双亏问题
两个量都亏损。
解决盈亏问题的重要性
提高逻辑思维
解决盈亏问题需要清晰的逻辑思 维和推理能力，通过解决这类问 题，可以提高学生的逻辑思维能
配套问题
总结词
涉及将不同种类的物品或服务配套组合在一 起以满足某种需求或条件。
详细描述
配套问题主要考察学生对于物品或服务之间 的关联性和组合方式的掌握。在解决这类问 题时，学生需要理解如何将不同的物品或服 务配套组合在一起，并计算出每种物品或服 务的数量和盈亏情况。例如，一个餐厅有A

第一讲：乘法例1：解答：56×4=例2：解答：3×42= 把42分拆成40和2例3：解答：4×329=例4：有9箱货物（重量如下所示），你能想个好办法计算出结果吗？123kg 124kg 125kg133kg 134kg 135kg143kg 144kg 145kg例5：计算：73÷5 （被除数可以分拆成除数5的倍数50和23）73÷5=14…3 50÷5=1023÷5=4 (3)例6：王华在数学考试时，把一个数除以3错算成了乘3，结果得225，正确答案应该是多少？练习：1.用数卡①②③④⑤⑥⑦⑧⑨摆数（1）任选其中6张数卡，摆出2个三位数，使它们的差最大（2）任选其中6张数卡，摆出2个三位数，使它们的差最小（3）你发现了什么特征吗？2.小华在练习英文打字，5分钟打了450个字母，他平均每分钟打几个字母，照这样计算，10分钟能打多少个字母？（用两种方法解）3.☆7 7×△___________2 4 9 3☆,△各是多少？4.在□里填上适当的数（1）□□□（2）□□ 7× 8 ×□__________ ___________5 2 3 2 2 7 8 5(3) 45÷□=□...3 (4) 51÷□=□ (3)5.从4-9这六个数中选出不同的数字填入□中，使得到的商最接近200。

□□□÷□6.在□中填上合适的数7.一个数与自己本身相乘相除，所得的积与商相乘结果为100，这个数是多少？第二讲：运算定律二、例题例3 4821-998 例4 4×125×25×8例5 125×（8+10）例6 9123-（123+88）例7 124×83+83×176例8 9999×1001例9 136--（36--18）例10 269+(31—17)练习：1、2105－769－2312、585－438+15－623、32×125×73+732+2684、425－2217－7835、38+137+62+12636、（1528+2899）+20727、1245－135－65 8、2132－（632+83）9、7755－(2187+755) 10、3065－738－106511、1883－398 12、（13×125)×(3×8)第三讲：乘法应用题知识要点：理解1．求几个相同数的和的问题可用乘法计算。

秋游(盈亏问题)知识图谱秋游知识精讲一．基本盈亏问题1．按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义．2．解决盈亏问题的主要方法是“前后比较”．有些问题需要对条件进行一定转化后再进行计算．3．盈亏问题主要包括三类：（1）盈盈问题：前后两次剩余物品数量之差是解决问题的关键．()-÷=大盈小盈两次分得之差人数或单位数．（2）盈亏问题：一次剩余，一次缺少，相差的量是“盈”与“亏”的和．()+÷=盈亏两次分得之差人数或单位数．（3）亏亏问题：()大亏小亏两次分得之差人数或单位数．-÷=二．盈亏条件转化1．做盈亏问题时，需要分析什么是被分配的对象．遇到单位不一致时，把单位都按被分配的对象统一．2．如果分配时有特殊对象，可以先想办法把所有人的分配情况统一．当有个别“人”分配到的数量与其他“人”不同时，通过增加或减少个别“人”的分配数量，是他们与别“人”分得的数量相同．3．盈亏条件隐藏的问题：需要将条件转化为基本盈亏条件，在转化时一定要注意题中的条件究竟是“盈”还是“亏”．三点剖析本讲主要培养学生的实践应用能力，其次培养学生的观察推理能力．本讲内容是在基本应用题的基础上，进一步学习盈亏问题．从生活中常见的问题出发，让学生理解盈亏的含义，学习常见盈亏问题的解决方法．后续课程还会继续学习复杂盈亏问题．课堂引入例题1、终于等到了天气晴朗的周四，同学们期待的秋游，马上就要出发了~到达目的地——奥林匹克森林公园南园，一番游玩之后，在老师的组织下，开始了大家最喜爱的野餐活动．老师给同学们带来了一些水果和零食，把水果分给大家，每人分到3个水果，将剩下12个水果，如果再给大家每人多1个，就会差13个．聪明的你，知道到底有多少人吗？老师总共带了多少水果？例题2、老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵．问：参加栽树的有多少名同学？原有树苗多少棵？基本盈亏例题1、（1）老师把一堆苹果分给小朋友，给每人分到的同样多．如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果再来3个人，就只剩下12个苹果．这堆苹果一共有多少个？（2）裁缝做衣服，他已经做好了一些西服，现在要往上面缝扣子．如果每件西服缝3个扣子，还会剩下26个扣子；如果每件缝5个扣子，就只剩下4个扣子了．请问：裁缝一共有多少个扣子？他已经做好了几件西服？“分给9个人，剩下21个，再来3人，剩下12个”也就是说来的3个人分走了9个？例题2、（1）把一些桃子分给猴子们，每只猴子分到的一样多．如果分给5只猴子，那么还剩下12个桃子；如果再来2只猴子，就会缺4个桃子．每只猴子分到多少个桃子？（2）柯小南准备了一些棒棒糖分给班里的同学，如果给每个同学5根棒棒糖，那么最后缺少27根；如果给每个同学3根棒棒糖，那么最后剩下9根．请问：柯小南一共准备了多少根棒棒糖？（3）艾小莎准备拿一些钱买CD光盘，如果每张CD光盘的价格是30元，买完后还能剩下10元钱．结果CD的实际价格是40元一张，所以她还需回家再取50元才正好够．请问：艾小莎原来准备了多少钱？刚刚分配是都有剩余，现在一次有剩余，一次会不够，怎么解决呢？例题3、（1）护士给几名大夫准备手术刀，开始准备给每人4把，结果缺3把；后来每名大夫都要求再加3把，这样就会缺15把．那么一共有多少名大夫，多少把刀？（2）同学们去划船，如果每条船坐5人，就会缺少17个人才能坐满；如果每条船坐7人，就会缺少27个人才能坐满．那么一共有多少个同学？根据上面两题的经验，这题应该是“亏亏问题”．例题4、少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完．问：一共要挖几个坑？第二次分配似乎跟之前遇到的不一样哦~是不是需要改变一下呢？随练1、饲养员给猴子分桃．如果给每只猴子3个桃子，就会差5个桃子，如果每只猴子再多给1个桃子，就会差17个桃子．那么现在共有________个桃子．随练2、唐小虎把一些香蕉分给猴子们．如果每只猴子分5根香蕉，还剩下30根香蕉；如果每只猴子分8根香蕉，还剩下3根香蕉．那么共有________只猴子．随练3、唐小果要把一些玫瑰花插到花瓶里．如果每瓶插入7朵玫瑰花，就会多2朵；如果每瓶插入4朵，就会多20朵．那么，唐小果共有________个花瓶．简单盈亏条件的转化例题1、猪妈妈带着小猪们去野餐，如果每张餐布边上坐6只小猪，最后一张餐布边上就只坐2只小猪；如果每张餐布边上坐5只小猪，还有4只小猪没地方坐．那么共有多少只小猪？第一次分配，到底是盈还是亏呢？例题2、过年了，猴王给小猴们分糖．如果给每只小猴5块糖，就会剩下20块糖；如果给每只小猴8块糖，就会有8只小猴拿不到糖．请问：猴王一共准备了多少块糖？“8只小猴拿不到糖”就是指_____________．例题3、同学们早餐吃面包，每袋面包有10片．开始来了9个同学，老师给每人发了同样多片面包之后，还剩下半袋．后来又来了5个同学，老师发现还要再买两袋面包，才够给新来的同学每人发同样多的面包．问：老师开始准备了几袋面包？面包到底是片还是袋？例题4、鞭炮厂买回几盒火药制作礼花，每盒有10包火药．如果每个礼花用4包火药，就会少1盒；如果每个礼花用6包火药，就会少5盒．那么，鞭炮厂共买了________盒火药．这个就跟上题是一个意思啦~你会了吗？例题5、唐小果给小伙伴们分气球．如果每个小伙伴分4个气球，刚好分完所有气球；如果每个小伙伴分8个气球，就有4个小伙伴没有气球．那么，唐小果共有________个小伙伴．例题6、农民锄草，其中5人各锄4亩，余下的各锄3亩，这样分配最后余下26亩．如果其中3人每人各锄3亩，余下的人各锄5亩，最后余下3亩．锄草面积是多少亩？随练1、老师给同学们分苹果．如果每个同学分4个苹果，那么有6个苹果没人吃；如果每个同学分7个苹果，那么有3个人没苹果吃．那么，老师共有________个苹果．随练2、艾小莎准备了一些棒棒糖分给同学，每盒棒棒糖有10根．开始雁雁给25个同学每人分了同样多根棒棒糖，还剩下半盒．后来又来了5个同学，艾小莎发现还要再买1盒棒棒糖，才能正好给新来的同学每人分同样多的棒棒糖，那么艾小莎开始准备了________盒棒棒糖．易错纠改例题1、一次擦玻璃，如果有两人擦4块，其他人擦5块，则有12块没人擦；如果每人擦6块，则刚好擦完．那么共有多少人？多少块玻璃？第一次分配，是不是可以写成每人擦4块玻璃呢？如果按照每人擦4块玻璃，那最后剩下几块呢？这个好像求不出来呀……你能帮唐小虎和艾小莎计算一下吗？拓展1、老师给班里同学发棒棒糖，如果给每个同学多发4个，老师剩下的棒棒糖就变少60个，那么班里共有__________个同学．2、老师给同学们发作业本，每人发了同样多的作业本后，还剩下20本．后来给新来的2个同学也发了同样数目的作业本，就只剩下12本了．每个人发了__________本，剩下的作业本还能再发给__________个同学．3、老师给班里同学发积分卡．如果每个同学发5张积分卡，就会少4张积分卡；如果每个同学发7张积分卡，就会少24张积分卡．那么老师共准备了__________张积分卡．4、队长给战士们发子弹．如果发给每名战士4颗子弹，还剩下30颗子弹；如果发给每名战士10颗子弹，就会缺24颗子弹．那么一共有__________名战士．5、机关为新来的大学毕业生分配工作．每个部门安排3人，则多出13人；每个部门安排5人，则有1个部门没有毕业生．则部门有____________个，新来的大学毕业生有____________人．6、养殖场将一批鸡蛋装入包装盒，每盒装30枚，恰好全部装完．后来重新包装，使每个包装盒中装入36枚鸡蛋，最后也恰好全部装完，并节约了24个包装盒．这批鸡蛋有__________枚．7、学校租车春游，若每辆车坐21个学生，将有5个空位；若每辆车坐25个学生，便空出一辆车，学校共租了__________辆车．8、老师给同学们分西瓜．如果5个人吃1个西瓜，那么有4个人没西瓜吃；如果7个人吃1个西瓜，那么有2个瓜没人吃．那么，共有__________个同学．9、分析并口述题目的做题思路及方法．花店老板准备把一些玫瑰花放到花瓶里面．如果每瓶放入6朵玫瑰，那么剩下的玫瑰花正好还能装3瓶，如果每瓶中多放入2朵玫瑰，正好就会有3个瓶子是空的．一共有玫瑰花多少朵？。