基于偏微分方程的图像修复

摘要随着计算机的普及和数字图像技术的广泛应用，数字图像处理技术已成为计算机视觉领域的一个研究热点。

图像修复是图像处理的重要组成部分，是对图像中的受损区域进行信息填充的过程，其目的是恢复受损的图像，并使观察者无法察觉图像曾经缺损或已被修复。

目前，图像修复算法根据待修复区域的大小，可以分为两类，即基于偏微分方程(PDE)的图像修复和基于纹理的图像修复。

Bertalmio等人把偏微分方程引入了图像修复领域，其基本思想是根据物理学息扩散原理来完成受损区域的修复，当受损区域较小时，修复效果很好，没有任何修复痕迹，但当受损区域较大时，会出现模糊效应。

因为这个缺点，基于纹理的图像修复逐渐成为该领域的主流算法，吸引了众多学者进行研究，该类算法不论对受损区域较大还是较小时都能取得很好的效果。

本文重点研究了Criminisi算法，在Criminisi算法的基础上，对模板大小、优先权计算方式、最佳匹配块的寻找等进行了改进。

论文考虑模板边缘像素点的梯度信息，提出了自适应模板大小策略，以判断能否扩展，从而适应不同的纹理图像；同时对优先权的计算方式进行了改进，考虑了周边信息，引入相关项，同时为置信度、数据项和相关项分配相应权重，避免了单一乘法带来的缺陷；引入颜色直方图以改进最佳匹配块的寻找，颜色直方图定义了图像或图像中区域的颜色分布，并且颜色直方图具有旋转不变性和缩放不变性等。

通过两个模块间颜色直方图的相交距离，从整体上考虑两个模块的相似性，从而减少错误匹配的概率。

最后通过对不同类型，包括纹理较丰富，结构较复杂，曲线较多的图片进行仿真实验，并与Criminisi算法和Sun等算法进行对比，说明了改进算法的有效性。

关键词：Criminisi，纹理合成，优先权，颜色直方图DOC格式.ABSTRACT4. A novel truncation spurious free DDFS structure and algorithm is proposed. By introducing a comparator and an adder into the traditional DDFS architecture, the sine lookup table can be compressed without significant hardware change in the design to eliminate the truncation spurs without increasing the size of the lookup table.Keywords: frequency synthesis, phase noise, spurious, frequency hopping DOC格式.目录第一章绪论 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2国外研究现状 (2)1.3本论文的结构安排 (2)第二章数字图像修复算法及模型 (7)2.1 图像的基础知识 (7)2.2 图像修复的问题描述 (10)2.3 基于偏微分方程的图像修复 (16)2.3.1 BSCB模型及原理 (20)2.3.2 TV模型及原理 (20)2.3.3 CDD模型及原理 (22)2.4 基于纹理合成的图像修复 (16)2.4.1 非参数采样纹理合成..................... 错误!未定义书签。

基于偏微分方程的图像修补方法赵恒军;牛艳霞【摘要】根据最小能量化泛函所建立的图像修补模型可以得到其欧拉方程.把该欧拉方程所对应的梯度下降流作用于需要修补的图像,当偏微分方程的解稳定时,此时的解就是修补后的图像.基于该原理建立了一个图像修补方程,并实现了此图像修补算法.从这个修补方法的修补效果可以看到,修补后的图像具有良好的光滑性.【期刊名称】《河南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(022)001【总页数】3页(P60-62)【关键词】图像修补;偏微分方程;变分法;梯度递减【作者】赵恒军;牛艳霞【作者单位】河南工程学院数理科学系,河南,郑州,451191;中原工学院理学院,河南,郑州,450007【正文语种】中文【中图分类】TP391数字图像修补近年来已经成为数字图像处理的研究热点之一.图像修补技术是针对图像中遗失或者损坏的部分，利用未被损坏图像的信息，按照一定的规则填补，使修补后的图像接近或达到原图的视觉效果.图像修补的建模过程一般依赖于Helmholtz最佳猜测原理[1].但从数字角度来看，图像修补是一个病态问题，因为没有足够的信息可以保证能唯一正确地恢复被损坏区域，所以图像修补绝不是简单的图像插值问题.人们从视觉心理学角度进行分析，提出了各种假设限定来解决这个问题.Bertalmio，Sapiro，Caselles Balleste在文献[2]中首先将数字图像修补作为一个研究课题正式提出来.目前所出现的图像修补方法主要有非线性滤波方法，贝叶斯方法，小波和谱分析方法以及主要基于纹理突袭的学习生长方法和统计方法.除了上述提到的经典方法外，近年来很多研究人员将偏微分方程模型和变分模型用于图像修补研究.用变分和偏微分方程方法处理图像使得能够在连续域中分析图像，从而简化问题，否则只能依赖点阵和各向同性算子分析图像.在连续域中，可以将偏微分方程看作是在无限小邻域内迭代的局部滤波器，利用对偏微分方程的这种解释，可以将许多已知的迭代滤波器联合并分类，从而推出新的基于偏微分方程的图像修补模型.变分和偏微分方程方法的另一个优点是能够利用数值偏微分方程获得快速、准确、稳定的解.1 基于偏微分方程的图像修补原理图像处理中的一些重要的偏微分方程大多和热方程以及扩散强度相联系，并且可以利用各种算子建立相应的偏微分方程，比如可以从演化方程(如经典Snake模型[3])的导数中得到，也可以从求解变分问题中获得，此时的基本思想是最小能量化泛函. 大量用于图像处理的偏微分方程都是根据最小能量化泛函得到的，下边先介绍一个关于变分法的经典结果.给定一个一维函数u(x)∶[0，1]→R,并且有边界条件： u(0)=a, u(1)=b，这里又给定另一个函数F∶R2→R.定义能量模E：此时的问题是：求使该能量模最小的u的取值.根据微积分知识，可以得到：(1)该式是能量函数E(u)取得极值的必要条件，此即为一维变分问题的欧拉方程.类似地，对于能量形式：也可以得到其欧拉方程：(2)同样，可得到二维问题的欧拉方程：给定二维函数u(x,y)∶Ω→R, Ω∈R2,以及其能量函数E,这里：则其欧拉方程为：(3)例如，设F=ρ(|u|), 这里ρ(r)∶R→R是给定的函数，u是u的梯度.即：则其欧拉方程为：即：(4)对于特殊情形ρ(r)=r2,因为ρ′(r)=2r,则此时(4)式即为 div(u)，即△u=0,这里△表示拉普拉斯算子.由以上可知, 根据最小化能量泛函的思想可以得到其欧拉方程，而此欧拉方程即为能量泛函取得最小值的必要条件.现在的问题是如何求出该欧拉方程的解，也就是如何去求解方程E′(u)=0,从而求得使能量泛函E(u)取得最小值时的u的取值.对于如何求解该方程，一般情况下直接求解是很困难的，甚至可以说是不可能的.现在给出一个比较可行的求解欧拉方程的技巧.首先给定一个初值u0, 再引进一个辅助的时间参数t, 然后来求偏微分方程的数值解.随着t的增长，当该方程达到稳定状态，即时的解u就是我们要找的方程E′(u)=0的解.这个技巧称为梯度递减(Gradient descent).不过在利用这种技巧前，常常需要解决一些问题.例如，这个偏微分方程的解是否唯一？它的解是否依赖于初值条件？当然，在能量非凸的情况下，这个解将会很大程度地地依赖于初值u0.总之，基于偏微分方程的图像修补可以看做是这样一个过程：根据图像修补模型(建立的能量泛函)，可以得到其欧拉方程，再把该欧拉方程所对应的梯度下降流作用于需要修补的图像(称它为初始图像u0)，此时梯度下降流即为图像修补方程，随着时间参数的增长，图像会一步步地被修补，当偏微分方程的解稳定时的解就是修补后的图像.2 用光滑修补模型建立偏微分方程的图像修补记D为待修补区域，E为待修补区域的外邻域，一般为环状，如图1所示.图1 待修补区域及其外邻域Fig.1 Being patched region and its outer neighborhood记修补前E∪D区域内的图像值为u0,修补后E∪D区域内的图像值为u.光滑的图像修补模型为：u|2dxdy(5)该图像修补模型的几何意义是：在修补的图像中，使沿各水平线的梯度积分最小，所以趋向于得到光滑图像,即该修补模型是为了使待修补区域及其边界尽可能的光滑.由以上介绍的变分问题的欧拉方程的知识可知，该模型的欧拉方程为：△u=0,其对应的梯度下降流(即图像修补方程)为：=△u=uxx2+uyy2(6)该方程是一个各向异性的扩散方程，扩散强度的大小依赖于各点的梯度，即等水平线的强度变化，而不依赖其他几何信息.设(i, j)为目标像素，时间层n=0,1,2…,则un(i, j)表示像素(i, j)在时间层n处的灰度值，uxx(i, j)表示(i, j)处对x的二阶偏导数.那么，该图像修补方程离散化后为:(7)最终的算法步骤如下：先将待修补图像各像素点的灰度值读取出来，判断哪些是待修补区域，哪些是非修补区域.将待修补区域内的像素点记为0，非修补区域内的像素点记为1，再对待修补图像中的像素点逐一进行判断，如果当前像素点的标记为0，就将该点的灰度值按(7)中的第一式进行迭代；如果当前像素点的标记为1，就将该点的灰度值按(7)中的第二式进行迭代，这样就更新了待修补图像各像素点的灰度值.设定N及δ>0,当迭代N次后，计算前后两次迭代的图像距离差，设新旧两幅图像分别为u和v,将新旧两幅图像的距离差定义为:若距离差小于δ,则停止迭代；若距离差大于δ,则增大迭代次数N,继续进行迭代.当前的迭代结果即为修补后图像.图2是用光滑模型对图像修补前后的对比.图2 修补前后图像对比Fig.2 The comparison of the primal image and the patched image3 结语本文基于偏微分方程方法建立了一个光滑图像修补模型，利用该模型修补图像的过程中，使沿各水平线的梯度积分最小，也即是使待修补区域及其边界尽可能光滑，趋向于得到光滑图像.从试验的结果也可以看到，该光滑修补模型使修补后的图像光滑，具有良好的修补效果.但此方法的不足之处是，若修补区域在边缘处时，这种模型的修补结果就模糊了边缘，使得修补的痕迹较为明显，这是有待继续改进的地方.参考文献:【相关文献】[1] GEMAN S,GERMAN D. Stochastic relaxation, Gibbs distribution and the Bayesian restoration images[M]. IEEE Tran PAMI-616,1984.[2] BERTALMIO M,MASELLES G D,BALLESTER C. Image inpainting. proceedings of the 27th international conference on computer graphics and interactive techniques(SIGGRAPH 2000)[M]. New Orleans, LA,ACM Press, New York, 2000.[3] GOLDENBERG R, KIMMEL R, RUDZSKY M. Fast geodestic active contour[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2001, 10(10):1 467-1 475.。

inpaint_telea算法原理Inpainting是一种图像修复技术，它可以从图像中移除不想要的内容，并用合适的图像信息填补这些区域。

其中，inpaint_telea算法是一种经典的基于偏微分方程的inpainting算法。

本文将详细介绍inpaint_telea算法的原理。

inpaint_telea算法是由Alexandre Telea在2004年提出的。

这个算法的核心思想是利用图像区域中的局部信息来重建缺失区域的像素值。

具体来说，它假设缺失区域的像素值可以由其周围已知像素值通过其中一种方式计算得到。

1.初始化：将输入图像拷贝到输出图像中，同时创建一个标记图像，用于标记待修复的像素区域。

2.检测缺失像素：遍历输入图像，将缺失像素的位置标记在标记图像中。

对于RGB图像，可以通过检测像素值是否为0来判断是否缺失。

3.寻找边界像素：在标记图像上进行遍历，找到位于缺失区域与非缺失区域之间的边界像素。

4. 修复像素：对于每个边界像素，计算它的修复值。

inpaint_telea 算法采用了基于偏微分方程的方法来计算修复值。

具体来说，它使用了Poisson方程，该方程可以在已知边界值的情况下，通过最小化梯度的平方和来计算未知像素值。

修复值的计算涉及到求解一个线性方程组，可以通过迭代的方法进行求解。

5.更新标记图像：将修复像素对应的标记图像中的像素值更新为1，表示这些像素已经修复。

6.迭代修复过程：重复进行步骤4和步骤5，直到所有的边界像素都被修复或达到设定的迭代次数。

每次迭代都会增加像素的修复范围，使算法能够利用新修复的像素来计算更多像素的修复值。

7.输出结果：将修复结果输出为最终图像。

inpaint_telea算法的优点是能够产生具有平滑边界的修复结果，并且在边界区域上具有较好的局部一致性。

它在处理小面积缺失以及文本、纹理等复杂结构时表现良好。

然而，该算法在处理大面积缺失以及存在大量细节的图像时，可能会出现一些模糊或失真的问题。

基于偏微分方程的图像修复研究的开题报告
一、开题背景
随着数字图片的广泛应用，图像修复成为了一个重要的研究方向。

在数字图片处理中，很多时候由于图像受损或者存在噪声等问题，需要
使用专门的算法进行修复和重建。

而基于偏微分方程的图像修复算法，
相比于传统的方法，具有更高的准确度和可靠性。

二、研究目的
本文旨在探讨基于偏微分方程的图像修复方法，并通过实验验证其
效果和可行性。

具体研究内容如下：
1. 研究图像修复的基本原理和方法；
2. 研究偏微分方程的基本概念和理论知识；
3. 探索基于偏微分方程的图像修复算法，并进行算法分析和实验验证；
4. 对比基于偏微分方程的图像修复算法与传统修复方法的效果差异；
5. 对实验结果进行分析总结，提出展望和未来研究方向。

三、研究方法
本文的研究方法主要为实验和分析，具体步骤如下：
1. 收集和整理相关文献资料，确定研究方向和方法；
2. 编写基于偏微分方程的图像修复算法，并进行测试和验证；
3. 对比实验结果，分析算法效果和性能等方面的差异；
4. 总结和分析实验结果，提出未来研究的展望和方向。

四、论文结构
本文主要分为五个部分：
第一部分为绪论，介绍图像修复的研究背景、意义和现状；
第二部分为基础理论，介绍偏微分方程的基本概念、理论和应用，并阐述基于偏微分方程的图像修复算法的理论基础；
第三部分为实验设计，包括算法设计和实验环境的具体描述；
第四部分为实验结果和分析，对比和分析基于偏微分方程的图像修复算法和传统算法的效果和性能差异；
第五部分为总结和展望，对本文的研究成果进行总结和分析，并提出未来研究的方向和建议。

基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复研究的开题报告一、研究背景：图像噪声在数字图像处理中一直是一个非常重要的话题。

由于图像数据在采集、传输和存储等过程中可能会受到噪声的影响，这会导致图像质量下降，并影响后续的图像分析和处理。

因此，图像降噪和图像恢复一直是数字图像处理领域中非常重要的研究方向，各种降噪和恢复算法也不断涌现。

基于偏微分方程的图像降噪和恢复方法是比较新的一种方法，其优点在于可以自适应地处理不同类型的噪声。

此外，基于偏微分方程的方法对于复杂图像仍然具有较好的效果，例如在图像去除雨滴、去除水印、图像超分辨率等方面也有广泛应用。

二、研究内容：本研究计划基于偏微分方程，结合图像快速算法，开发出一种高效的图像降噪和图像恢复算法。

具体研究内容如下：1. 建立基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复模型，针对常见的图像噪声（如高斯噪声、椒盐噪声等）进行处理；2. 研究基于快速算法的图像降噪和图像恢复方案，提高算法的效率和准确性；3. 利用实验仿真方法，比较本文开发的基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复算法与已有的其他算法的性能优缺点并分析；4. 尝试在图像去雾、去除水印、图像超分辨率等方面应用该算法，以验证该算法的有效性。

三、研究意义：1. 基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复算法具有自适应性，可以适应不同类型的图像噪声和复杂场景；2. 结合快速算法，可以大大提高算法的效率和准确性，使得该算法在实际应用中更加实用；3. 通过实验仿真，对比不同的算法性能，能够更全面和客观地评估本文开发算法的优缺点，为进一步的研究提供参考；4. 该算法在图像去雾、去除水印、图像超分辨率等方面的应用，也有助于推动相关领域的进一步发展。

基于偏微分方程的图像结构纹理修复方法的开题报告开题报告一、课题背景图像修复是图像处理领域中一个重要的研究方向，广泛应用于数字图像处理、计算机视觉、图像分析等领域。

目前，常见的图像修复方法包括基于插值的方法、基于边缘保持的方法和基于偏微分方程的方法等。

其中，基于偏微分方程的方法因其能够自适应地处理非线性、非高斯噪声和纹理信息，并能够保持细节和边缘不被破坏，因此备受关注。

此外，对纹理结构进行修复也是图像修复中的一个重要问题。

基于偏微分方程的方法可以很好地解决这个问题，并且在复杂环境下也能够得到很好的修复效果。

二、研究内容本研究旨在提出一种基于偏微分方程的图像结构纹理修复方法。

该方法首先将图像分为结构和纹理两部分，并使用偏微分方程进行修复。

具体来说，使用结构纹理分离算法将图像分离为结构和纹理，并使用偏微分方程分别对其进行修复。

对于纹理部分，使用基于梯度优化的非局部相似性算法进行增强；对于结构部分，使用基于小波变换的偏微分方程进行修复，以恢复原始图像的细节和边缘信息。

最后，结合结构和纹理部分，得到最终的修复结果。

三、研究目标本研究的主要目标是提出一种基于偏微分方程的图像结构纹理修复方法，实现以下目标：1.实现结构纹理分离，并使用合适的方法对结构和纹理部分进行修复。

2.设计一个能够同时考虑细节和边缘信息的图像修复方法。

3.在常见的数据集上进行实验，并和已有的图像修复方法进行比较，证明本方法的有效性和优越性。

四、研究意义本研究所提出的基于偏微分方程的图像结构纹理修复方法具有以下意义：1.可以有效地恢复图像结构和纹理信息，提高图像的质量和清晰度。

2.能够处理非线性、非高斯噪声和纹理信息，并且对细节和边缘进行保护，提高了图像修复的鲁棒性和精度。

3.在数字图像处理、计算机视觉等领域有着广泛的应用价值。

五、研究方法本研究采用以下方法实现图像结构纹理修复：1.使用基于导向滤波的分层结构纹理分离算法将图像分离。

2.对纹理部分使用基于梯度优化的非局部相似性算法进行增强。