基于偏微分方程的图像修复

摘要随着计算机的普及和数字图像技术的广泛应用，数字图像处理技术已成为计算机视觉领域的一个研究热点。

图像修复是图像处理的重要组成部分，是对图像中的受损区域进行信息填充的过程，其目的是恢复受损的图像，并使观察者无法察觉图像曾经缺损或已被修复。

目前，图像修复算法根据待修复区域的大小，可以分为两类，即基于偏微分方程(PDE)的图像修复和基于纹理的图像修复。

Bertalmio等人把偏微分方程引入了图像修复领域，其基本思想是根据物理学息扩散原理来完成受损区域的修复，当受损区域较小时，修复效果很好，没有任何修复痕迹，但当受损区域较大时，会出现模糊效应。

因为这个缺点，基于纹理的图像修复逐渐成为该领域的主流算法，吸引了众多学者进行研究，该类算法不论对受损区域较大还是较小时都能取得很好的效果。

本文重点研究了Criminisi算法，在Criminisi算法的基础上，对模板大小、优先权计算方式、最佳匹配块的寻找等进行了改进。

论文考虑模板边缘像素点的梯度信息，提出了自适应模板大小策略，以判断能否扩展，从而适应不同的纹理图像；同时对优先权的计算方式进行了改进，考虑了周边信息，引入相关项，同时为置信度、数据项和相关项分配相应权重，避免了单一乘法带来的缺陷；引入颜色直方图以改进最佳匹配块的寻找，颜色直方图定义了图像或图像中区域的颜色分布，并且颜色直方图具有旋转不变性和缩放不变性等。

通过两个模块间颜色直方图的相交距离，从整体上考虑两个模块的相似性，从而减少错误匹配的概率。

最后通过对不同类型，包括纹理较丰富，结构较复杂，曲线较多的图片进行仿真实验，并与Criminisi算法和Sun等算法进行对比，说明了改进算法的有效性。

关键词：Criminisi，纹理合成，优先权，颜色直方图DOC格式.ABSTRACT4. A novel truncation spurious free DDFS structure and algorithm is proposed. By introducing a comparator and an adder into the traditional DDFS architecture, the sine lookup table can be compressed without significant hardware change in the design to eliminate the truncation spurs without increasing the size of the lookup table.Keywords: frequency synthesis, phase noise, spurious, frequency hopping DOC格式.目录第一章绪论 (1)1.1 研究背景与意义 (1)1.2国外研究现状 (2)1.3本论文的结构安排 (2)第二章数字图像修复算法及模型 (7)2.1 图像的基础知识 (7)2.2 图像修复的问题描述 (10)2.3 基于偏微分方程的图像修复 (16)2.3.1 BSCB模型及原理 (20)2.3.2 TV模型及原理 (20)2.3.3 CDD模型及原理 (22)2.4 基于纹理合成的图像修复 (16)2.4.1 非参数采样纹理合成..................... 错误!未定义书签。

上海交通大学硕士学位论文
类似于灰度图像的做法,当分别作出从Vr , Vg , Vb 到[0,1]的一一映射后,可以得到彩色图 像的连续模型 u : x ∈ Ω → [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] ⊂ R3 而如果Ω被空间采样,Vr , Vg , Vb 被度量化为[0, 1, 2, · · · 255]后,我们可以得到彩色图像的 离散模型: u : (x1 , x 2 ) → G × G × G
这样我们建立了图像的函数模型， 即 u : x ∈ Ω → [0, 1] (2)灰度图象的离散模型： 计算机只能接受和处理离散数据，一幅图像必须要在空间和灰度上离散化才能被计 算机处理。这种离散化了的图像就是数字图像， 相应的过程称为图像的离散化其中 空间坐标的离散化称为空间采样 ， 而灰度的离散化称为灰度量化。 空间采样就是把图像支持集合Ω离散化为一些按行和列整齐排列的小方块。当我 们把图像局部放大就比较容易发现 这些小方块，他们被称为像素（pixel)，在同一幅 图像中， 像素的大小是相等的。 如果Ω被离散化为H 行和W 列，那么整个图像包含了大小相等的W × H 个像素。 我们假设最左下角的那个像素坐标 记为（0，0） ，那么图像中每个像素都有一个离散 的整数坐标(x1 , x2 ) ，0 ≤ x1 ≤ W − 1，0 ≤ x2 ≤ H − 1,在离散 的图像中，每个像素 都被赋予一个唯一的灰度值，记为u(x1 , x2 )。一幅图像经过离散化过程之后，我们就 –2– (1.3)
1
上海交通大学硕士学位论文 1.1.2 静态灰度图象的数学模型
(1) 静态灰度图象的连续模型 一般来说,一幅静态灰度图象(如黑白照片)是一个定义在矩形区域内反映现实场景的 灰度变化的组合. 其中现实图像内容的那个区域被称为图像的支撑集(support)。 假 设图像的支撑集为Ω ⊂ R2 图像u的物理模型是定义在Ω上的一个映射， 即 u:Ω→V (1.1)

基于偏微分方程的图像修补方法赵恒军;牛艳霞【摘要】根据最小能量化泛函所建立的图像修补模型可以得到其欧拉方程.把该欧拉方程所对应的梯度下降流作用于需要修补的图像,当偏微分方程的解稳定时,此时的解就是修补后的图像.基于该原理建立了一个图像修补方程,并实现了此图像修补算法.从这个修补方法的修补效果可以看到,修补后的图像具有良好的光滑性.【期刊名称】《河南工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(022)001【总页数】3页(P60-62)【关键词】图像修补;偏微分方程;变分法;梯度递减【作者】赵恒军;牛艳霞【作者单位】河南工程学院数理科学系,河南,郑州,451191;中原工学院理学院,河南,郑州,450007【正文语种】中文【中图分类】TP391数字图像修补近年来已经成为数字图像处理的研究热点之一.图像修补技术是针对图像中遗失或者损坏的部分，利用未被损坏图像的信息，按照一定的规则填补，使修补后的图像接近或达到原图的视觉效果.图像修补的建模过程一般依赖于Helmholtz最佳猜测原理[1].但从数字角度来看，图像修补是一个病态问题，因为没有足够的信息可以保证能唯一正确地恢复被损坏区域，所以图像修补绝不是简单的图像插值问题.人们从视觉心理学角度进行分析，提出了各种假设限定来解决这个问题.Bertalmio，Sapiro，Caselles Balleste在文献[2]中首先将数字图像修补作为一个研究课题正式提出来.目前所出现的图像修补方法主要有非线性滤波方法，贝叶斯方法，小波和谱分析方法以及主要基于纹理突袭的学习生长方法和统计方法.除了上述提到的经典方法外，近年来很多研究人员将偏微分方程模型和变分模型用于图像修补研究.用变分和偏微分方程方法处理图像使得能够在连续域中分析图像，从而简化问题，否则只能依赖点阵和各向同性算子分析图像.在连续域中，可以将偏微分方程看作是在无限小邻域内迭代的局部滤波器，利用对偏微分方程的这种解释，可以将许多已知的迭代滤波器联合并分类，从而推出新的基于偏微分方程的图像修补模型.变分和偏微分方程方法的另一个优点是能够利用数值偏微分方程获得快速、准确、稳定的解.1 基于偏微分方程的图像修补原理图像处理中的一些重要的偏微分方程大多和热方程以及扩散强度相联系，并且可以利用各种算子建立相应的偏微分方程，比如可以从演化方程(如经典Snake模型[3])的导数中得到，也可以从求解变分问题中获得，此时的基本思想是最小能量化泛函. 大量用于图像处理的偏微分方程都是根据最小能量化泛函得到的，下边先介绍一个关于变分法的经典结果.给定一个一维函数u(x)∶[0，1]→R,并且有边界条件： u(0)=a, u(1)=b，这里又给定另一个函数F∶R2→R.定义能量模E：此时的问题是：求使该能量模最小的u的取值.根据微积分知识，可以得到：(1)该式是能量函数E(u)取得极值的必要条件，此即为一维变分问题的欧拉方程.类似地，对于能量形式：也可以得到其欧拉方程：(2)同样，可得到二维问题的欧拉方程：给定二维函数u(x,y)∶Ω→R, Ω∈R2,以及其能量函数E,这里：则其欧拉方程为：(3)例如，设F=ρ(|u|), 这里ρ(r)∶R→R是给定的函数，u是u的梯度.即：则其欧拉方程为：即：(4)对于特殊情形ρ(r)=r2,因为ρ′(r)=2r,则此时(4)式即为 div(u)，即△u=0,这里△表示拉普拉斯算子.由以上可知, 根据最小化能量泛函的思想可以得到其欧拉方程，而此欧拉方程即为能量泛函取得最小值的必要条件.现在的问题是如何求出该欧拉方程的解，也就是如何去求解方程E′(u)=0,从而求得使能量泛函E(u)取得最小值时的u的取值.对于如何求解该方程，一般情况下直接求解是很困难的，甚至可以说是不可能的.现在给出一个比较可行的求解欧拉方程的技巧.首先给定一个初值u0, 再引进一个辅助的时间参数t, 然后来求偏微分方程的数值解.随着t的增长，当该方程达到稳定状态，即时的解u就是我们要找的方程E′(u)=0的解.这个技巧称为梯度递减(Gradient descent).不过在利用这种技巧前，常常需要解决一些问题.例如，这个偏微分方程的解是否唯一？它的解是否依赖于初值条件？当然，在能量非凸的情况下，这个解将会很大程度地地依赖于初值u0.总之，基于偏微分方程的图像修补可以看做是这样一个过程：根据图像修补模型(建立的能量泛函)，可以得到其欧拉方程，再把该欧拉方程所对应的梯度下降流作用于需要修补的图像(称它为初始图像u0)，此时梯度下降流即为图像修补方程，随着时间参数的增长，图像会一步步地被修补，当偏微分方程的解稳定时的解就是修补后的图像.2 用光滑修补模型建立偏微分方程的图像修补记D为待修补区域，E为待修补区域的外邻域，一般为环状，如图1所示.图1 待修补区域及其外邻域Fig.1 Being patched region and its outer neighborhood记修补前E∪D区域内的图像值为u0,修补后E∪D区域内的图像值为u.光滑的图像修补模型为：u|2dxdy(5)该图像修补模型的几何意义是：在修补的图像中，使沿各水平线的梯度积分最小，所以趋向于得到光滑图像,即该修补模型是为了使待修补区域及其边界尽可能的光滑.由以上介绍的变分问题的欧拉方程的知识可知，该模型的欧拉方程为：△u=0,其对应的梯度下降流(即图像修补方程)为：=△u=uxx2+uyy2(6)该方程是一个各向异性的扩散方程，扩散强度的大小依赖于各点的梯度，即等水平线的强度变化，而不依赖其他几何信息.设(i, j)为目标像素，时间层n=0,1,2…,则un(i, j)表示像素(i, j)在时间层n处的灰度值，uxx(i, j)表示(i, j)处对x的二阶偏导数.那么，该图像修补方程离散化后为:(7)最终的算法步骤如下：先将待修补图像各像素点的灰度值读取出来，判断哪些是待修补区域，哪些是非修补区域.将待修补区域内的像素点记为0，非修补区域内的像素点记为1，再对待修补图像中的像素点逐一进行判断，如果当前像素点的标记为0，就将该点的灰度值按(7)中的第一式进行迭代；如果当前像素点的标记为1，就将该点的灰度值按(7)中的第二式进行迭代，这样就更新了待修补图像各像素点的灰度值.设定N及δ>0,当迭代N次后，计算前后两次迭代的图像距离差，设新旧两幅图像分别为u和v,将新旧两幅图像的距离差定义为:若距离差小于δ,则停止迭代；若距离差大于δ,则增大迭代次数N,继续进行迭代.当前的迭代结果即为修补后图像.图2是用光滑模型对图像修补前后的对比.图2 修补前后图像对比Fig.2 The comparison of the primal image and the patched image3 结语本文基于偏微分方程方法建立了一个光滑图像修补模型，利用该模型修补图像的过程中，使沿各水平线的梯度积分最小，也即是使待修补区域及其边界尽可能光滑，趋向于得到光滑图像.从试验的结果也可以看到，该光滑修补模型使修补后的图像光滑，具有良好的修补效果.但此方法的不足之处是，若修补区域在边缘处时，这种模型的修补结果就模糊了边缘，使得修补的痕迹较为明显，这是有待继续改进的地方.参考文献:【相关文献】[1] GEMAN S,GERMAN D. Stochastic relaxation, Gibbs distribution and the Bayesian restoration images[M]. IEEE Tran PAMI-616,1984.[2] BERTALMIO M,MASELLES G D,BALLESTER C. Image inpainting. proceedings of the 27th international conference on computer graphics and interactive techniques(SIGGRAPH 2000)[M]. New Orleans, LA,ACM Press, New York, 2000.[3] GOLDENBERG R, KIMMEL R, RUDZSKY M. Fast geodestic active contour[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2001, 10(10):1 467-1 475.。

③
林石算子改善了Catte模型中尖峰被削平的情况，同时还保留了P_M模型以及Catte模型的优点。比较改进的林石算子和Catte模型对图像的处理效果，如图（1）所示从帽沿、头发等细节信息可发现，林石算子对于保持边缘和细节等高频量有明显的改善。
(a)噪声图像(b) Catte模型(c)林石算子
图（1）Catte模型和林石算子的图像处理效果
3.3林石算子
P_M模型以及Catte模型都能够在去噪的同时，较好地保持边缘，但是仍然不能保留边缘的细节信息，尤其是不能保持尖峰状边缘和窄边缘[13]的信息。这两个模型对图像来说是基于大尺度范围的处理，对小目标的处理效果欠佳，处理后的图像真实感很差。所以1999年，林宙辰，石青提出了对Catte[2]模型的改进形式，改进的模型如下：
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
一.引言
医学图像增强技术是临床上应用最多的医学图像处理技术之一。通常情况下，临床医生需要对比度好的图像，以便于医生对图像的判读。在这种情况下，一般是利用图像增强（mage Enhancement）技术改善图像的视觉效果，使医学图像能显示出更多的细节信息。另外，医学图像增强技术也是对医学图像进行进一步分析和处理的先行步骤。许多文献中采用的所谓图像预处理技术指的就是图像增强技术，其目的是为了提高图像的信噪比，突出图像的某些特征，为后续对图像的进一步分析和识别奠定基础。为了改善视觉效果或便于人或机器对图像的分析理解，根据图像的特点、存在的问题或应用目的等，所采取的改善图像质量的方法，或加强图像某些特征的措施称为图像增强。
3.4 J.Weickert模型
针对线形纹理信息较多并且该信息对于图像分析很重要的图像，J.Weickert等人提出了一致性增强扩散，引入了结构张量来分析图像结构；该方法在指纹、纤维编织物图像的去噪方面，已经取得了很好的效果[14]。J.Weickert模型较P-M模型增加了扩散滤波的方向可控性，在梯度方向上进行较弱的平滑滤波，在与梯度垂直方向上进行较大的平滑滤波，但它自身也有缺点，该模型在求解时对方程的离散格式有很高的要求，再迭代收敛时容易产生问题[15]。

inpaint_telea算法原理Inpainting是一种图像修复技术，它可以从图像中移除不想要的内容，并用合适的图像信息填补这些区域。

其中，inpaint_telea算法是一种经典的基于偏微分方程的inpainting算法。

本文将详细介绍inpaint_telea算法的原理。

inpaint_telea算法是由Alexandre Telea在2004年提出的。

这个算法的核心思想是利用图像区域中的局部信息来重建缺失区域的像素值。

具体来说，它假设缺失区域的像素值可以由其周围已知像素值通过其中一种方式计算得到。

1.初始化：将输入图像拷贝到输出图像中，同时创建一个标记图像，用于标记待修复的像素区域。

2.检测缺失像素：遍历输入图像，将缺失像素的位置标记在标记图像中。

对于RGB图像，可以通过检测像素值是否为0来判断是否缺失。

3.寻找边界像素：在标记图像上进行遍历，找到位于缺失区域与非缺失区域之间的边界像素。

4. 修复像素：对于每个边界像素，计算它的修复值。

inpaint_telea 算法采用了基于偏微分方程的方法来计算修复值。

具体来说，它使用了Poisson方程，该方程可以在已知边界值的情况下，通过最小化梯度的平方和来计算未知像素值。

修复值的计算涉及到求解一个线性方程组，可以通过迭代的方法进行求解。

5.更新标记图像：将修复像素对应的标记图像中的像素值更新为1，表示这些像素已经修复。

6.迭代修复过程：重复进行步骤4和步骤5，直到所有的边界像素都被修复或达到设定的迭代次数。

每次迭代都会增加像素的修复范围，使算法能够利用新修复的像素来计算更多像素的修复值。

7.输出结果：将修复结果输出为最终图像。

inpaint_telea算法的优点是能够产生具有平滑边界的修复结果，并且在边界区域上具有较好的局部一致性。

它在处理小面积缺失以及文本、纹理等复杂结构时表现良好。

然而，该算法在处理大面积缺失以及存在大量细节的图像时，可能会出现一些模糊或失真的问题。

基于偏微分方程的图像修复研究的开题报告
一、开题背景
随着数字图片的广泛应用，图像修复成为了一个重要的研究方向。

在数字图片处理中，很多时候由于图像受损或者存在噪声等问题，需要
使用专门的算法进行修复和重建。

而基于偏微分方程的图像修复算法，
相比于传统的方法，具有更高的准确度和可靠性。

二、研究目的
本文旨在探讨基于偏微分方程的图像修复方法，并通过实验验证其
效果和可行性。

具体研究内容如下：
1. 研究图像修复的基本原理和方法；
2. 研究偏微分方程的基本概念和理论知识；
3. 探索基于偏微分方程的图像修复算法，并进行算法分析和实验验证；
4. 对比基于偏微分方程的图像修复算法与传统修复方法的效果差异；
5. 对实验结果进行分析总结，提出展望和未来研究方向。

三、研究方法
本文的研究方法主要为实验和分析，具体步骤如下：
1. 收集和整理相关文献资料，确定研究方向和方法；
2. 编写基于偏微分方程的图像修复算法，并进行测试和验证；
3. 对比实验结果，分析算法效果和性能等方面的差异；
4. 总结和分析实验结果，提出未来研究的展望和方向。

四、论文结构
本文主要分为五个部分：
第一部分为绪论，介绍图像修复的研究背景、意义和现状；
第二部分为基础理论，介绍偏微分方程的基本概念、理论和应用，并阐述基于偏微分方程的图像修复算法的理论基础；
第三部分为实验设计，包括算法设计和实验环境的具体描述；
第四部分为实验结果和分析，对比和分析基于偏微分方程的图像修复算法和传统算法的效果和性能差异；
第五部分为总结和展望，对本文的研究成果进行总结和分析，并提出未来研究的方向和建议。

修 复 区域 内不 同 的 区域 是 由边 界 线 划 分 的 ，根 据 修 复 区 域 边 界 信 息来 填充破损 区域的信息 。 图像 的修复过程就是逐渐扩散平 滑的过 程 ， 这个
Ｅ 。 ］ （Ｉ ｕ ｄ ＩｕｕＩ ｘ ｕＩ ， ＝Ｊ ｋ ｘ ｕ Ｄ ｇ ） ｌ ＋ —ｏ ｄ Ｖ Ｉ
ａ ， 示 正 数 ，ｘ 示 弧 长 ， 示 曲率 。Ｃ ａ ｂ表 ｄ表 ｋ表 ｈ ｎ和 Ｓ ｅ 弹性 能 量 ｈｎ 将
应用到 图像修 复中并对 Ｔ Ｖ修复模型改进 ， 出了弹性修复能量方程 ： 提
Ｅ ０ ）』（ｄ＋ Ｊｕｕ （ （ Ｉ， ＝ Ｏ ） （ １ ｕ Βιβλιοθήκη Ｄ ｕ ｋｘＡ — ｘ ０
Ｌ
其 中 ０ｋ＝ ＋ ｋ。 ｆ）ａ ｂ
五 、 ｍｆｒ— ｈ ｈ修 复 模 型 Ｍｕ ｏ ｄ ｓ ａ
Ｍｕｆ ｒ— ｈｈ 型 是 Ｍｕ ｆｒ ｎｏｄ ｓａ ｍｏｄ和 ｓａ ｈ ｈ在 研 究 图 像 分 割 时 提 出 的 ， 之后 被用于 图像降 噪等 ，ｓｉ ｅｚ， ｌ ｋ Ｔａ， ｚｉ ｌ ｙ和 Ｃ ａ — ｈ ｎ将其用于 图像 Ｙ Ｗｉｓ ｈｎＳｅ 修 复。 Ｍｕ ｆｒ—ｈｈ图像修 复模 型其能量方 程 ： ｍｏｄ ｓａ
的 介 绍一 下 。 微 观 仿 真 技 术 （ＳＣＢ Ｂ ） Ｍ．ｅｔｍｉ Ｇ．ａｉ Ｉ 人 于 ２ ０ Ｂ ｒ ｌ ０和 Ｓｐ 等 ａ ０ ０开 始 研 究 数 字 图像 修 复 ， 此 从
一
、
修复结果不能满 足人类视觉 的“ 接性 准则” 连 。如图 ２ｃ （） 所示 。 以发现 可 在Ｔ ｖ修复结果 中的四个拐点处 的曲率 ｋ ￣ｏ 而我们所 希望 的修复结 ＝ ｏ， 果 如图 ２ｂ所示 ， 时等照度线被尽量拉 伸 ， ｆ） 此 反映在 曲率 上就是使修复 结 果 中沿 等照 度 线 的 曲 率尽 量 小 。为 了 解决 这个 问题 ， 入 了 曲 率驱 动 引

研究。
关键词：图像修复；相干方向；张量扩散；全变差模型
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｄｉ舀ｔＭ
ｉｍａｇｅ ｉｎｐａｉｎｔｉｎｇ ｉｓ
ａｎ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐａｒｔ
ｏｆ
ｉｍａｇｅ
ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．Ｗｉｔｈ
ａｒｅ
ｔｈｅ
ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｍｏｒｅ ａｎｄ Ｍｏｒｅ ｐｏｐｕｌａｒ ｉｎ ｔｈｅ Ｉａｓｔ ｔｗｏ ｄｅｃａｄｅｓ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｒｅｅ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｂａｓｉｃ ｒｅｓｅａｒｃｈ
题。
目前有许多图像处理软件，如Ｐｈｏｔｏｓｈｏｐ等，也可以对数字图像进行专业的特 效处理和对受损图像进行有效的修复，但这种方法对用户的专业技术要求很高，如 在操作时用户必须严格区分出待修复的区域，还要考虑要填充的颜色、格式以及纹 理效果，然后经过复杂的手工处理后才能完成。这种修复方法，主观性较强，不同 的用户对于同一幅图像处理的效果会不同。另外，对于实时性要求很高、运算量很 大的图像处理，Ｐｃ机就很难胜任。ＤＳＰ是数字信号处理专用芯片，具有数学运算精 度高、速度快等特点，能够胜任要求运算量大、实时性强的工程。因此．用高速ＤＳＰ 芯片工程实现先进的图像修复算法，就能将复杂的手工过程自动化，并适合对实时 性要求高且有大量数据运算的应用，使得不论是平面图像还是视频图像的修复变得 更加准确和快捷。
的艺术品往往被多次易手，再经过长期的雎化、油墨脱落，它们难免有所损伤。图 像修复就是指对受到一定损坏程度的绘画作品，手工填补或修改损坏的部分，以使 得复原后的作品尽可能与原作保持一致的风格，而并不被察觉出修改的痕迹。图１ 高的风险，需要有丰富经验的艺术品柬处理。

基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复研究的开题报告一、研究背景：图像噪声在数字图像处理中一直是一个非常重要的话题。

由于图像数据在采集、传输和存储等过程中可能会受到噪声的影响，这会导致图像质量下降，并影响后续的图像分析和处理。

因此，图像降噪和图像恢复一直是数字图像处理领域中非常重要的研究方向，各种降噪和恢复算法也不断涌现。

基于偏微分方程的图像降噪和恢复方法是比较新的一种方法，其优点在于可以自适应地处理不同类型的噪声。

此外，基于偏微分方程的方法对于复杂图像仍然具有较好的效果，例如在图像去除雨滴、去除水印、图像超分辨率等方面也有广泛应用。

二、研究内容：本研究计划基于偏微分方程，结合图像快速算法，开发出一种高效的图像降噪和图像恢复算法。

具体研究内容如下：1. 建立基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复模型，针对常见的图像噪声（如高斯噪声、椒盐噪声等）进行处理；2. 研究基于快速算法的图像降噪和图像恢复方案，提高算法的效率和准确性；3. 利用实验仿真方法，比较本文开发的基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复算法与已有的其他算法的性能优缺点并分析；4. 尝试在图像去雾、去除水印、图像超分辨率等方面应用该算法，以验证该算法的有效性。

三、研究意义：1. 基于偏微分方程的图像降噪和图像恢复算法具有自适应性，可以适应不同类型的图像噪声和复杂场景；2. 结合快速算法，可以大大提高算法的效率和准确性，使得该算法在实际应用中更加实用；3. 通过实验仿真，对比不同的算法性能，能够更全面和客观地评估本文开发算法的优缺点，为进一步的研究提供参考；4. 该算法在图像去雾、去除水印、图像超分辨率等方面的应用，也有助于推动相关领域的进一步发展。

基于偏微分方程的图像结构纹理修复方法的开题报告开题报告一、课题背景图像修复是图像处理领域中一个重要的研究方向，广泛应用于数字图像处理、计算机视觉、图像分析等领域。

目前，常见的图像修复方法包括基于插值的方法、基于边缘保持的方法和基于偏微分方程的方法等。

其中，基于偏微分方程的方法因其能够自适应地处理非线性、非高斯噪声和纹理信息，并能够保持细节和边缘不被破坏，因此备受关注。

此外，对纹理结构进行修复也是图像修复中的一个重要问题。

基于偏微分方程的方法可以很好地解决这个问题，并且在复杂环境下也能够得到很好的修复效果。

二、研究内容本研究旨在提出一种基于偏微分方程的图像结构纹理修复方法。

该方法首先将图像分为结构和纹理两部分，并使用偏微分方程进行修复。

具体来说，使用结构纹理分离算法将图像分离为结构和纹理，并使用偏微分方程分别对其进行修复。

对于纹理部分，使用基于梯度优化的非局部相似性算法进行增强；对于结构部分，使用基于小波变换的偏微分方程进行修复，以恢复原始图像的细节和边缘信息。

最后，结合结构和纹理部分，得到最终的修复结果。

三、研究目标本研究的主要目标是提出一种基于偏微分方程的图像结构纹理修复方法，实现以下目标：1.实现结构纹理分离，并使用合适的方法对结构和纹理部分进行修复。

2.设计一个能够同时考虑细节和边缘信息的图像修复方法。

3.在常见的数据集上进行实验，并和已有的图像修复方法进行比较，证明本方法的有效性和优越性。

四、研究意义本研究所提出的基于偏微分方程的图像结构纹理修复方法具有以下意义：1.可以有效地恢复图像结构和纹理信息，提高图像的质量和清晰度。

2.能够处理非线性、非高斯噪声和纹理信息，并且对细节和边缘进行保护，提高了图像修复的鲁棒性和精度。

3.在数字图像处理、计算机视觉等领域有着广泛的应用价值。

五、研究方法本研究采用以下方法实现图像结构纹理修复：1.使用基于导向滤波的分层结构纹理分离算法将图像分离。

2.对纹理部分使用基于梯度优化的非局部相似性算法进行增强。

基于偏微分方程的图像处理技术研究随着互联网技术和数字图像技术的高速发展，图像处理技术逐渐成为了数字时代中不可或缺的一个重要领域。

而基于偏微分方程的图像处理技术，便是当今图像处理领域中的一种重要技术。

偏微分方程是数学分析领域中的一种常见工具，它通过计算微分方程来描述物理过程或自然现象。

在图像处理领域中，偏微分方程技术则被应用于图像的去噪、增强、分割和重建等方面。

它能够对图像进行高效、精确的处理，成为了数字图像处理中的一项热门技术。

首先，基于偏微分方程的图像去噪技术是目前图像处理领域中比较重要的一项应用。

这种技术通过计算偏微分方程来去除图像中的噪点和噪声，并且还能够让图像的细节更加清晰。

这一技术广泛应用于医学影像的处理、图像识别和视觉检测等领域中。

其次，基于偏微分方程的图像增强技术也是图像处理领域中广泛使用的一个技术。

这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行增强，使图像的细节更加清晰、颜色更加鲜艳、对比度更加明显。

基于偏微分方程的图像增强技术广泛应用于数字摄影、航空摄影、卫星图像等领域中。

第三，基于偏微分方程的图像分割技术在医学图像处理、目标识别以及机器视觉领域中也有重要的应用。

这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行分割，将图像分成多个不同的区域或物体。

这一技术可以帮助医生在医学影像中发现病变部位、帮助工程师在机器视觉中识别不同的物体。

最后，基于偏微分方程的图像重建技术也是图像处理领域中的一个重要应用。

这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行重建，包括三维的重建。

基于偏微分方程的图像重建技术可以重建出更加精确的3D模型，可以广泛应用于医学、地球物理和工程领域。

总之，基于偏微分方程的图像处理技术是当今图像处理领域中的一项重要技术。

从图像去噪、增强、分割到重建，这一技术被广泛应用于医学、航空、卫星、机器视觉等领域，为我们的生活和工作带来了很多便利。

虽然这种技术并不是完美的，还有一些缺陷和局限性，但是通过不断的研究和实践，相信我们可以让这一技术更加完善和优秀。

中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ ２ ７．
文 献 标 志 码 ：Ａ
文 章编 号 ：１７ —３ ３ ２ １） ６０ ３ —５ ６ ３０ １ （ ０ １ ０—０ ３０
０ 引 言
图像修 复是 指对 一个 数字 图像 指定 区域 的缺损数 据 进行 插 值修 复 ， 其行 为 包括 从 图像 中剔 除指 定 物体 对象 、 恢复 图像作 品中 的受 损部 分等 ， 其最 终 目标是使 修 正后 的 图像 具有 与原 图像基 本一 致 的视觉 效果 。 基 于偏 微分 方程 （ Ｄ 的 图像 修 复是 近年 才兴 起 的研 究 热 点 。１ ９ Ｐ Ｅ） ９ ９年 Ｂ ｒ ｌ ｏ等人 在 文 献［ ］ ｅｔ ｍｉ ａ １ 首先 提 出了基 于 Ｐ Ｅ的算法 （ Ｓ Ｂ模 型） Ｄ ＢＣ 进行 图像修 复 。该 方 法 的 基本 思 想 是将 修 复 的过 程 视 为将 图像 的 已 知 区域 信 息 向修 复 区内推进 的过 程 。沿着 已到 达待修 复 区边 界 等 照度线 的切 方 向将 信息 向修复 区 内推进 ； 与艺术 家在 修复 古油 画 中所 采用 的手 法一 致 ， 复过 程为交 替 求解 如下 两个 Ｐ Ｅ： 修 Ｄ
本 上被停 止 ， 而 造成 了 Ｃ Ｄ模 型 的修复 速度 十分 缓慢 。 从 Ｄ
１ 图 像 修 复 新 方 法
为 了解决 Ｃ Ｄ修 复速 度缓慢 的问题 ， 文将 有 类 似 于 Ｐ Ｍ 方 程 中边 缘 停 止 函数 机 制 （ Ｄ 本 — 边缘 增 强 ） 的 从 扩散 系数 中分 离 出来嘲 ， 到 的 Ｐ Ｅ为 ： ｉ（ 是 Ｖ， ， 得 Ｄ Ｊ—ｄｖ 厂（ ） ） 修复 速度 必 定 会加 快 ， 并且 消 除 了 Ｉ ｊ ＶＪ 可能 为 ０带 来 的奇异性 ， 利于 数值 方法 的实 现与稳 定性 ； 有 其失 去 的边缘 增强 的机 制 由 Ｏ ｈ ｒ Ｒ ｄｎ在 文 ｓｅ 和 ｕ ｉ 献 ［］ ６ 中提 出的 图像 增强 方法一 冲击滤 波器 （ｈ ｃ ｌ ｒ ： Ｖ （ ｓ ｏ ｋｆｔ ） 一 ｇ ｆ ｆ Ｖ ｉｅ ） ｆ来补 充 。因为 向量 ｇ总是 指 向

stable diffusion inpainting 原理稳定扩散修复（Stable Diffusion Inpainting）是一种图像修复算法，主要用于恢复图像中有缺失或损坏的区域。

它的原理是基于偏微分方程和扩散过程，在保持图像整体特征的同时填补缺失区域。

稳定扩散修复的原理可以分为以下几个步骤：1.图像建模：首先，将图像分为已知区域和待修复区域。

已知区域是完整的图像区域，待修复区域是缺失或受损的区域。

2.针对待修复区域，利用偏微分方程对图像进行扩散。

偏微分方程是一种用于描述动态系统演化的数学模型。

通过对扩散过程建模，可以利用已知区域的信息向待修复区域传递。

3.扩散系数选取：在扩散过程中，需要选择合适的扩散系数。

这个系数可以根据图像的特征进行自适应调整。

通常情况下，在边缘区域和纹理丰富区域，扩散系数较小，以免破坏图像细节。

而在光滑区域，可以选择较大的扩散系数，有助于填充缺失。

4.扩散时间：稳定扩散修复中，扩散过程的时间是一个重要的参数。

时间的选择会直接影响修复结果。

如果时间过短，修复结果可能不够准确；如果时间过长，修复过程会变得复杂并且耗费计算资源。

因此，需要根据不同情况调整合适的扩散时间。

5.修复结果：经过一定的扩散过程和时间调整，待修复区域逐渐被已知区域填充。

最终的修复结果应尽量使得修复区域与周围区域的颜色和纹理保持一致，同时也要保持图像的整体连续性。

稳定扩散修复基于偏微分方程，利用已知区域的信息进行扩散修复。

它的优点是能够较好地保持图像的整体特征，修复结果具有较好的视觉效果。

同时，通过对扩散系数和时间的调整，算法在处理不同类型的图像时具有一定的灵活性。

然而，稳定扩散修复也存在一些限制。

首先，对于大面积缺失的图像区域，算法的效果可能不佳。

其次，稳定扩散修复在填充区域与周围区域颜色和纹理差异较大时，可能会产生模糊或异常的修复结果。

因此，在实际应用中，还需要结合其他图像修复算法，如纹理合成、学习方法等，进行综合处理，以获得更好的修复效果。

如何使用Matlab技术进行图像恢复引言：随着数字图像处理技术的不断进步，图像的恢复和增强已经成为一项重要的任务，在许多领域都有广泛的应用。

而Matlab作为一种功能强大的数学计算和图形处理软件，被广泛应用于图像恢复领域。

接下来，本文将介绍如何使用Matlab技术进行图像恢复，包括图像去噪、图像增强以及图像修复等方面。

一、图像去噪图像去噪是图像恢复的关键步骤之一，通过去除图像中的噪声可以提高图像的质量和细节表达。

Matlab提供了多种强大的图像去噪算法，如基于小波变换的去噪、基于自适应中值滤波的去噪等。

1. 基于小波变换的去噪小波变换是一种经典的信号处理技术，将信号分解成多个频率范围内的子信号，从而实现对信号的分析和处理。

在Matlab中，可以使用Wavelet Toolbox来进行小波变换去噪。

首先，通过图像的二维小波变换得到图像的小波系数。

然后，根据小波系数的统计特性，选择一个适当的阈值进行小波系数的硬阈值或软阈值处理。

最后，将处理后的小波系数进行反变换，得到去噪后的图像。

2. 基于自适应中值滤波的去噪自适应中值滤波是一种基于排序统计理论的滤波方法，可以有效地去除图像中的椒盐噪声和斑点噪声。

在Matlab中，可以使用medfilt2函数来实现自适应中值滤波。

该函数会自动根据噪声的强度和分布情况，选择合适的窗口大小进行滤波操作。

通过反复迭代，可以逐渐去除图像中的噪声，得到清晰的图像。

二、图像增强图像增强是提高图像视觉效果和信息表达能力的一种方法，常用于改善图像的亮度、对比度、细节等特性。

Matlab提供了丰富的图像增强函数和算法，如直方图均衡化、拉普拉斯金字塔等。

1. 直方图均衡化直方图均衡化是一种常用的图像增强方法，可以通过重新分布图像像素值来增强图像的对比度。

在Matlab中，可以使用histeq函数来实现直方图均衡化。

该函数会自动计算图像的累积直方图，并将像素值映射到一个新的直方图上，从而实现图像的均衡化。

现代经济信息426基于偏微分方程的CDD 修补模型张琳娜 陕西国防工业职业技术学院基础课部摘要：CDD 模型是通过曲率来调整各向异性扩散系数。

进行图像修补时，不仅考虑到整体的长度，还充分考虑到曲率的变化，从而对细长的线段也有较好的修补效果。

关键词：CDD 模型；图像修补中图分类号：TN915 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)018-0426-01TV(Total Variation)模型的图像修补算法不能满足连接性要求，就是当破损区宽度比被损坏物体宽度大时，不能完成比较简单的修补。

而CDD(CURvature Driven Diffusions)模型是在TV 模型的基础上引进了曲率驱动而形成的，解决了TV 模型不能修复图像视觉连通性的问题。

一、CDD 模型修补原理为了能够对连接性问题有效解决，研究者将曲率控制引入TV 模型中，进一步提出了CDD 模型。

在这个模型中，传导系数对梯度不会造成影响，等照度线的曲率也不会带来影响，因此可以加快扩散速度，以便达到连接要求。

CDD 模型可以对比较大的污损区以及细小边缘进行修补。

CDD 模型的发展基础就是TV 修补模型。

在TV 模型中，需要沿着梯度方向进行扩散，传导系数决定了扩散的强度：平面曲线进行分析，它主要是通过等照度线实现曲率几何信息的描述。

TV 模型的修补效果不能达到连接原则，四个拐角处的曲率数值为零，因此停止了扩散。

较为理想的状况是，在拐角处仍然进行着扩散。

很容易发现曲率数值在四个拐角处为k=，因此CDD 模型考虑在扩散模型中纳入曲率。

CDD 模型对传导系数进行调整主要是通过曲率的引入，进一步在修补过程中，不但要对等照度线的整体长度进行考虑，还要对曲率变化充分考虑，因此对细长线段也具有良好的修补效果。

CDD模型的传导系数为的单调增函数是g(s)，通常取值为：g(s)﹦s p ，s>0，p ≥1。

梯度与等照度线的曲率对扩散强度造成了影响。

成都理工大学毕业设计（论文）基于偏微分方程的图像平滑方法的研究作者姓名：刘洋专业班级：信息与计算科学2008070201 指导教师：王茂芝摘要在信息化的社会里，图像在信息传播中所起的作用越来越大。

所以，消除在图像采集和传输过程中而产生的噪声，保证图像受污染度最小，成了数字图像处理领域里的重要部分，图像平滑作为图像处理中的重要环节，也逐渐受到人们的关注，图像平滑的目的主要是消除噪声。

本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑方法按空间域和频率域的分类及各种方法的特点，由于传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。

首先介绍图像处理应用时的常用函数及其用法；其次详细阐述了几种去噪算法原理及特点；最后运用Matlab软件对一张含噪图片（含高斯噪声或椒盐噪声）进行仿真去噪，本文分别从各向同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究，进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。

关键词：图像平滑；偏微分方程；各向同性扩散；各向异性扩散I成都理工大学毕业设计（论文）Based on partial differential equationsfor image smoothing methodAbstract In the information society, the role of image in the dissemination of information. Therefore, to eliminate the noise in the image acquisition and transmission process to ensure that an important part of the image contaminated minimum, has become the field of digital image processing, image smoothing as an important link in image processing, but also gradually by the attention, smooth the image main purpose is to eliminate noise.This paper describes the development of image smoothing, image smoothing method according to the classification of the space and frequency domains and the characteristics of the various methods, these methods due to the traditional denoising will also undermine the image of the important characteristics which leads based on partial differential equationsimage Smoothing Method. First introduced the common functions and their usage in image processing applications; elaborated the principle and characteristics of several denoising algorithm; Matlab software on a noisy image (with Gaussian noise or salt and pepper noise) simulation denoising In this paper, research from the isotropic diffusion equation and anisotropic diffusion for image smoothing method based on partial differential equations, and further improve the image smoothing method in order to achieve the purpose of better smoothing effectKey words: Image smoothing; partial differential equations; isotropic diffusion; anisotropic diffusionII成都理工大学毕业设计（论文）目录第1章前言 (1)1.1课题研究背景 (1)1.2图像平滑的研究现状 (2)领域平均法 (2)低通滤波法 (3)1.2.3 多图像平均法 (4)1.2.4 中值滤波法 (4)1.2.5 各向同性扩散方程 (6)1.2.6 各向异性扩散方程 (6)1.3本文的研究目标和主要内容 (7)第2章偏微分方程基础知识 (8)2.1偏微分方程的导出与定解 (8)2.1.1 偏微分方程的概念 (8)2.1.2 几个典型的数学物理方程 (8)2.1.3 初边值问题 (9)2.2热传导方程初值问题的求解 (12)2.3二阶偏微分方程的分类与化简 (13)2.3.1 二阶偏微分方程的分类 (13)2.3.2 二阶偏微分方程的化简 (15)2.4与图像处理有关的偏微分方程的例子 (15)第3章图像的基本知识 (16)3.1图像介绍 (17)3.1.1 图像概述 (17)3.1.2 图像分类 (18)3.2静态灰度图像的数学模型 (18)3.2.1 静态灰度图像的连续模型 (18)3.2.2 灰度图像的离散模型 (19)3.3静态彩色图像的数学模型 (20)3.3.1 静态灰度图像的连续模型 (20)3.3.2 彩色图像的数学模型 (20)III成都理工大学毕业设计（论文）3.4动态图像的数学模型 (21)3.5数字图像的采集 (21)3.6图像格式 (23)第4章数字图像处理的基本知识 (26)4.1数字图像处理的概述 (27)4.1.1 数字图像处理技术的发展 (27)4.1.2 数字图像处理技术的流程 (27)4.1.3 低层图像处理 (28)4.2滤波和滤波器 (29)4.3图像增强算法 (29)4.3.1 平滑空间滤波 (30)锐化空间滤波 (30)4.4图像还原算法 (31)4.4.1 噪声模型 (31)4.4.2 去噪算法 (32)第5章基于偏微分方程的图像平滑 (33)5.1偏微分方程的概述 (34)5.2基于偏微分方程的图像平滑处理 (34)5.2.1 各向同性扩散方程 (35)5.2.2各向异性扩散方程 (37)5.3图像平滑的实验分析 (38)5.3.1传统图像平滑方法分析 (38)5.3.2偏微分方程图像平滑方法分析 (41)结论 (48)致谢 (50)参考文献 (51)IV成都理工大学毕业设计（论文）第1章前言1.1 课题研究背景21世纪，人类已经进入了信息化时代，计算机在处理各种信息中发挥着重要作用。