基于偏微分方程的图像处理方法共40页

（ｃ ｏ ｌｆ ｏ ｕｅ（ ０ｔａｅ， ｉ ｕ ｎＵ ｉ ｒｉ ， ｈ ｎ ｄ ６ ０ ５Ｃ ｉ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｃ ｍｐ ｔｒ ｆ ｒ）Ｓｃ ａ ｎ ｅｓ ｙ Ｃ ｅ ｇ ｕ １ ６ ，ｈ ａ Ｓ ｗ ｈ ｖ ｔ ０ ｎ
Ａｂｓ ｒ ｃ ：ｎ ｔ ｏ ｓ ｈｅ ｒ ｓ ａ ｃ ｏ ｉ ａ ｅ ｚ ｏｍ ｉ ，ｗｅ ａ ｌ ｚ ｈ ｄ ａ ｂ ｃ ｘｉｔｎ ｍｅ ｈ ｓ ｏｎ ｉ ａ ｅ ｔ ａ ｔＩ ｈｅ ｃ ｕｒ ｅ ｏｆｔ ｅ ｅ ｒｈ ｎ ｍ ｇ ｏ ｎｇ ｎａｙ ｅ ｔ ｅ ｒ ｗ ａ ｋ ｏｆｅ ｓｉ ｇ ｔ ｏｄ ｍ ｇ ｚ ｏｍ ｉ ｏ ｎｇ． ｋ ｎ ｄｖ ｎｔｇｅｏｆｔ ｅ ｉ ｔｂｌ ｄｇ ｎｆ ｒ ａ ｉｎ ｎ ｔ ｅｐｒ ｅ ｓｏｆｉ ａｇ ｏｏ ｉ Ｔａ ｉ ｇ ａ ａ ａ ｐｒ ｄ ｃ ａ ｅｏｆｔ ｅ ｅ ｉ ｏ ｍ ｔｏ ｉ ｈ ｏｃ ｓ ｈｅ ｈｅ ｍ ｅｚ ｍ ｎｇ， ｈｉ ｒｉｌ ｒ ｐ ｅ ｔ ｓａ ｔｃ ｅｐ ｏ ｏｓ ｄ ａ ｉ ａ ｏ ｉ ｇ ｌ ｒｔ ｎ ｍ ｇｅ ｚｏ ｍ ｎ ａｇｏ ｉｈｍ ｓ ｄ ｎ ａ ｉｌ ｆｅ ｅ ｔａ ｑｕ ｔｏｎ ．Ｔｈｅ ｌ ｒｔ ｂａ ｅ ｏ ｐ ｒ ａ ｄｉ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ａ ｉ ｓ ｔ ａｇｏ ｉｈｍ ｆｒ ｔ ｏｎ ｃ ｅ ｇｅ ｅ ｅ ｔｎ ｉ ｓ ｃ ｄｕ ｔ ｄ ｄ ｔ ｃｉ ｇ，ｉ ａ ｅ ｍ ｇ ｓ ｏ ｈｉ ｔ ｅ ｐ ｏ ｒｙ ｏｏ ｅ ｈｅ ｅ ｅ ＵＳ ｈ ｅ ｉ ｅ ｐｌｎｅ ｉ ｔ ｒ ｏｌｔｏｎ ａ ｇ ｉ ｍ ｏｔ ｎｇ ｈ ｎ ｒ ｐｅ ｌ ｚ ｍ ｄ ｔ ｄｇ ｅ ｔ ｒ ｅ ｔｍ ｓ ｓ ｉ ｎ ｅ ｐ ａｉ ｌ ｏｒｔ ．Ｂｙ ｄ ｌ ｉ ｔ ｓ ｉ ｅ ｈｍ ｅａｉ ｗ ｔ ｈｅ ｐｏ ｓｂｌ ｎｇ ｈ

③
林石算子改善了Catte模型中尖峰被削平的情况，同时还保留了P_M模型以及Catte模型的优点。比较改进的林石算子和Catte模型对图像的处理效果，如图（1）所示从帽沿、头发等细节信息可发现，林石算子对于保持边缘和细节等高频量有明显的改善。
(a)噪声图像(b) Catte模型(c)林石算子
图（1）Catte模型和林石算子的图像处理效果
3.3林石算子
P_M模型以及Catte模型都能够在去噪的同时，较好地保持边缘，但是仍然不能保留边缘的细节信息，尤其是不能保持尖峰状边缘和窄边缘[13]的信息。这两个模型对图像来说是基于大尺度范围的处理，对小目标的处理效果欠佳，处理后的图像真实感很差。所以1999年，林宙辰，石青提出了对Catte[2]模型的改进形式，改进的模型如下：
基于偏微分方程(PDE)的图像增强方法及程序附录
一.引言
医学图像增强技术是临床上应用最多的医学图像处理技术之一。通常情况下，临床医生需要对比度好的图像，以便于医生对图像的判读。在这种情况下，一般是利用图像增强（mage Enhancement）技术改善图像的视觉效果，使医学图像能显示出更多的细节信息。另外，医学图像增强技术也是对医学图像进行进一步分析和处理的先行步骤。许多文献中采用的所谓图像预处理技术指的就是图像增强技术，其目的是为了提高图像的信噪比，突出图像的某些特征，为后续对图像的进一步分析和识别奠定基础。为了改善视觉效果或便于人或机器对图像的分析理解，根据图像的特点、存在的问题或应用目的等，所采取的改善图像质量的方法，或加强图像某些特征的措施称为图像增强。
3.4 J.Weickert模型
针对线形纹理信息较多并且该信息对于图像分析很重要的图像，J.Weickert等人提出了一致性增强扩散，引入了结构张量来分析图像结构；该方法在指纹、纤维编织物图像的去噪方面，已经取得了很好的效果[14]。J.Weickert模型较P-M模型增加了扩散滤波的方向可控性，在梯度方向上进行较弱的平滑滤波，在与梯度垂直方向上进行较大的平滑滤波，但它自身也有缺点，该模型在求解时对方程的离散格式有很高的要求，再迭代收敛时容易产生问题[15]。

２０２０ 年
表１有６ 个 基 本 微 分 不 变 量，它 们 的 最 高 阶 数 是２阶．这些微分不变量都有其几何意义，狌 是随着 偏微分方程进行演变的图像，ｔｒ表示迹算子，狌 表 示狌 的 梯 度 算 子，犎狌 表 示 关 于 函 数狌 的 海 森 矩 阵， 简 记 犻狀狏 （狌）＝ ［犻狀狏０（狌），犻狀狏１（狌），…，犻狀狏５（狌）］犜 ， （·）犜 表示矩阵或者向量的转置．
差来达到控制的目的．我们设置初始函数作为输 入 图 像，在 Ｚｈａｏ的 模 型 的 基 础 上，提 出 以 下 新 的 由 微 分
不变量系数函数构成的 ＰＤＥ 方程模型，新的模型具体如下
∑∫ ∑∫ 犕
５
ｍｉｎ犈（犪（狋））＝ 犪
１ ２ ｍ＝１
Ω
（犗犿 －狌犿 （狓，狔，犜））２ｄΩ＋λ
犻＝０
犜
犪犻２（狋）ｄ狋，
０
（１）
烄狌犿 狋
－犻狀狏犜（狌犿 ）·犪（狋）＝０，（狓，狔，狋）∈
犙，
ｓ．狋．烅狌犿 （狓，狔，狋）＝０， （狓，狔，狋）∈ Γ，
（２）
烆狌犿 （狓，狔，０）＝犐犿 ， （狓，狔）∈ Ω，
其中，｛（犐犿 ，犗犿 ），犿＝１，…，犕｝为输入图像对，表示 犕 个输入与输出的图像对的个 数，狌犿 （狓，狔，狋）是 输
传统的 ＰＤＥ 图像去噪算法需要一定的数学 基 础，为 了 降 低 设 计 ＰＤＥ 方 程 进 行 图 像 去 噪 的 难 度，Ｌｉｕ 等人 提 ［５］ 出 了 偏 微 分 方 程 学 习 模 型 ＬＰＤＥ，将 机 器 学 习 与 ＰＤＥ 结 合 起 来，但 是 这 个 模 型 收 敛 的 速 度 非 常 慢，并且伴 随 着 大 量 的 计 算 和 复 杂 的 推 导，为 了 解 决 Ｌｉｕ 模 型 的 缺 点，Ｚｈａｏ等 人 提 ［６］ 出 了 一 种 新 的 方 法， 快速交替的时间分裂方法（ｆａｔｓａ），新的方法减少了大量的训练时间和训练误差，并且去噪效果也比 Ｌｉｕ的 方法好．本文在 Ｚｈａｏ模型的基础上，通过减少微分不 变量的 个 数，使 训 练 的 时 间 比 Ｚｈａｏ的 模 型 更 快，并 且去噪效果与 Ｚｈａｏ的模型相差不多．

• 偏微分方程的图像处理方法的优点
方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于
1
对实际问题的理解和数值处理。
对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线
2
和曲率等）具有较好的控制。
可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进
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行滤波和修复。
4
能够模拟动态视觉处理过程。
基于偏微分方程的图像处理方法
二、基于偏微分方程的图像滤波方法
un1 i, j

un i, j
t
un i1, j

un i1,
j
uin, j1
uin, j1
4uin, j
，计算
u n1 i, j
；
end
基于偏微分方程的图像处理方法
二、基于偏微分方程的图像滤波方法
原始图像
各向同性（线性）扩散滤波（热传导方程）
非线性扩散滤波（PM 方程） 各向异性扩散滤波（平均曲率流）
基于偏微分方程的骨架线提取原理 • 偏微分方程骨架提取方法借助GVF(Gradient Vector Flow)思
想，引入梯度场的概念，将图像边界看做封闭的，图像内部 为一能量场，场的梯度在内外力的作用下在场内变化运动， 当场的梯度达到最小时，其最小值处即为图像骨架。

M k 1
N l 1
A e
k 2 2t M2

l
2 2t N2

k ,l
sin
kx sin ly MN
高频成分保留少 低频成分保留多
基于偏微分方程的图像处理方法
二、基于偏微分方程的图像滤波方法
改进
控制平滑量
在图像特征多的区域 应该尽可能地少平滑

它是法国人尼埃普斯於 1827 年拍摄出来的 ，1839 生， 年法国科学与艺术学院宣佈达盖尔获得摄影术专利 。 图像处理在医学领域中起步较早 ， 利用图像进行直观 诊断始于 1895 年 X 射线的发现 。 德国维尔茨堡大学 校长兼物理研究所所长伦琴教授 （ 1845 ～ 1923 年 ） ， 在
Partial Differential Equation （ PDE） Method on Digital Image Processing
RUAN Qiuqi WU Jiying
（ Institute of Information Science and Technology） Abstract ： Image is an important media to obtaining and conveying information． It is widely used in human life and so-
数字图像的成像过程具有随机性 ， 因此二维图像 域可以看作一个随机场 。随机建模方法根据随机场理 论对图像域建模 ， 描述图像像素与其邻域像素的条件 分布 ， 从而描述图像统计特征 。 常用的随机建模模型 有马尔可夫 （ Markov） 随机场模型 、 高斯混合 （ GaussianMixture） 模型 ， 隐 Markov 随机场模型等 。 随机建模的 但模 方法可以很好的描述图像中的周期性纹理特征 ， 型中参数的确定过程复杂 ， 稳健性较差 ； （ 3 ） 变分原理和偏微分方程方法 。 偏微分方程方法主要是数学方法在空间域内图像 处理中的应用 。使用空间域内像素点灰度值的一阶或 二阶微分方程表征图像中的区域边界等边缘特征 。 偏 在不同图像特征区 微分方程具有各向异性扩散性能 ， 域内扩散性能不同 ， 因此通过方程迭代处理图像可以 在保持边缘特征的同时较好的重建平滑特征区域 。 2． 2 偏微分方程 近几年来 ，最初来自于物理学和力学的变分和偏 微分 方 程 （ Variation and Partial Differential Equations （ PDE） ） 方法在图像处理和计算机视觉中开辟了一个 新的领域 ，基于偏微分方程的图像处理得了广泛的重 视并取得了很大的成功 。 它的基本思想是在一个偏微分方程模型中进化一 、 幅图像 ， 一条曲线或一个曲面 ，通过求解这个偏微分 方程来得到期望的结果 。 变分和偏微分方程方法进入图像处理领域也经历 了一个从无到有 ，从简单到复杂的过程 。 （ 1 ） 基本概念

降低计算成本：算法优化可以降低计算资源和存储空间的占用，从而降低计算成本。
PART SIX
基于偏微分方程的图 像复原和增强算法在 处理细节和边缘方面 优于其他算法。
该算法在保持图像 原始质量的同时， 能够更好地去除噪 声和进行图像增强。
与传统的图像处理算法 相比，基于偏微分方程 的算法具有更高的计算 效率和更好的实时性能。
该算法在处理复杂图 像和应对不同应用场 景时，具有更强的适 应性和鲁棒性。
自然场景：适用于图像复原和增强算法，能够提高图像质量 人造场景：适用于图像增强算法，能够改善图像的视觉效果 医学影像：适用于图像复原算法，能够恢复图像的原始面貌 遥感图像：适用于图像增强算法，能够提高图像的分辨率和清晰度
算法比较：基于偏微分方程的图像复原和增强算法与其他算法的优缺点比较
偏微分方程模型建立：根据图像退化的 原因，建立相应的偏微分方程模型
输出图像：将处理后的图像输出，供用 户查看和使用
优点：基于偏微分方程的图像复原和增强算法能够有效地处理图像模糊、噪声等问题，提高图 像质量。
缺点：算法计算量大，需要较高的计算资源和时间成本，且对初始图像的质量要求较高，否则 可能无法得到理想的复原效果。
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
定义：描述物理现象变化规律的数学模型 类型：椭圆型、抛物型、双曲型 求解方法：有限差分法、有限元法、谱方法等 在图像处理中的应用：图像去噪、图像增强、图像修复等
偏微分方程在 图像处理中的
适用范围：适用于处理受到模糊、噪声等影响的图像，但不适用于所有类型的图像处理问题。
改进方向：可以通过优化算法、降低计算复杂度、提高算法的自适应性和鲁棒性等方式对算法 进行改进。

《基于偏微分方程的图像处理》1．图像的基本操作(1)把一幅彩色图像分解为R、G、B三副单色图像；clear;image_I=imread('rgbtest2.bmp');subplot(2,2,1);imshow(image_I);matrix_R(:,:,1)=image_I(:,:,1);matrix_R(:,:,2)=0;matrix_R(:,:,3)=0;subplot(2,2,2);imshow(matrix_R);title('R分量');matrix_G(:,:,2)=image_I(:,:,2);matrix_G(:,:,1)=0;matrix_G(:,:,3)=0;subplot(2,2,3);imshow(matrix_G);title('G分量');matrix_B(:,:,3)=image_I(:,:,3);matrix_B(:,:,1)=0;matrix_B(:,:,2)=0;subplot(2,2,4);imshow(matrix_B);title('B分量');R分量G分量B分量(2)把一幅灰度图像分别沿x轴和y轴做反射，扩展为四倍大小；clear;Image=imread('graytest2.bmp');imshow(Image);[m,n]=size(Image);image11=Image;for i=1:mfor j=1:nimage12(i,j)=image11(i,n-j+1);endendfor j=1:nfor i=1:mimage21(i,j)=image11(m-i+1,j);image22(i,j)=image12(m-i+1,j);endendimage1=[image11,image12];image2=[image21,image22];image=[image1;image2];figureimshow(image)原图像：扩展图像：2．把一幅灰度图像的像素值都变换为原来的1/2使图像质量变差，然后利用Matlab图像处理工具箱中的直方图均衡化函数histeq 对图像进行增强，输出原图像、质量变差图像和增强后的图像以及它们的直方图。

谢谢！Βιβλιοθήκη 基于偏微分方程的图像 处理方法
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿

偏微分方程在图像处理中的应用研究随着数字图像处理技术的不断发展，越来越多的应用场景需求图像去噪、图像增强等处理。

在数字图像处理领域中，偏微分方程成为了一个非常重要的数学工具，被广泛地运用到图像去噪、分割、形态学等方面的处理中。

偏微分方程是一种解决物理现象中时空变化的方程。

在图像处理中，图像可以看作是一个随时间和空间变化的物理场，直接运用偏微分方程来描述这一过程，可以有效地处理图像。

在图像去噪方面，偏微分方程与总变分能量模型结合可以很好地处理图像数据。

在总变分能量模型中，通过建立图像本质的一些属性，如图像的灰度变化、平滑性等，去噪可以看做是在总变分能量模型中，最小化能量函数，同时去掉图像中噪声的影响。

这个问题可以用偏微分方程进行求解。

在图像增强方面，常常需要对图像进行锐化处理和去除震动。

这时可以使用非线性扩散滤波器，这是一种基于偏微分方程的方法。

非线性扩散滤波器通常通过改变非线性扩散的系数，来达到去除图像中的噪声、增强图像细节的效果。

这种方法被广泛应用在医学图像处理和遥感图像处理等领域中。

偏微分方程在图像分割方面，也被广泛应用。

在传统图像分割技术中，往往只能分割出其中一个前景物体。

而在近年来，通过使用基于偏微分方程的方法，可以更好的实现多目标分割问题。

此外，还可以通过变形模型和演化方程实现图像形态学处理。

这种方法基于偏微分方程的曲线或者表面演化等过程，可以完成图像缩放、旋转、拼接和形状的修复等处理。

总之，偏微分方程作为一种有效的数学方法，对图像处理和分析有很重要的作用。

它可以通过描述时间和空间变化处理图像数据，并且在去噪、增强和分割等方面得到广泛应用。

随着各种场景对图像的处理需求日益增加，偏微分方程在图像处理领域的应用前景也变得非常广泛和多样化。

基于偏微分方程的图像处理技术研究随着互联网技术和数字图像技术的高速发展，图像处理技术逐渐成为了数字时代中不可或缺的一个重要领域。

而基于偏微分方程的图像处理技术，便是当今图像处理领域中的一种重要技术。

偏微分方程是数学分析领域中的一种常见工具，它通过计算微分方程来描述物理过程或自然现象。

在图像处理领域中，偏微分方程技术则被应用于图像的去噪、增强、分割和重建等方面。

它能够对图像进行高效、精确的处理，成为了数字图像处理中的一项热门技术。

首先，基于偏微分方程的图像去噪技术是目前图像处理领域中比较重要的一项应用。

这种技术通过计算偏微分方程来去除图像中的噪点和噪声，并且还能够让图像的细节更加清晰。

这一技术广泛应用于医学影像的处理、图像识别和视觉检测等领域中。

其次，基于偏微分方程的图像增强技术也是图像处理领域中广泛使用的一个技术。

这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行增强，使图像的细节更加清晰、颜色更加鲜艳、对比度更加明显。

基于偏微分方程的图像增强技术广泛应用于数字摄影、航空摄影、卫星图像等领域中。

第三，基于偏微分方程的图像分割技术在医学图像处理、目标识别以及机器视觉领域中也有重要的应用。

这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行分割，将图像分成多个不同的区域或物体。

这一技术可以帮助医生在医学影像中发现病变部位、帮助工程师在机器视觉中识别不同的物体。

最后，基于偏微分方程的图像重建技术也是图像处理领域中的一个重要应用。

这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行重建，包括三维的重建。

基于偏微分方程的图像重建技术可以重建出更加精确的3D模型，可以广泛应用于医学、地球物理和工程领域。

总之，基于偏微分方程的图像处理技术是当今图像处理领域中的一项重要技术。

从图像去噪、增强、分割到重建，这一技术被广泛应用于医学、航空、卫星、机器视觉等领域，为我们的生活和工作带来了很多便利。

虽然这种技术并不是完美的，还有一些缺陷和局限性，但是通过不断的研究和实践，相信我们可以让这一技术更加完善和优秀。

2
2 基本概念与理论准备
2.1 数字图像处理的背景
数字图像处理方法大致可分为空域法和变换域法 [1] 。 空域法是把图像看作是平 面中各个像素组成的集合，然后直接对这一二维函数进行相应的处理。空域处理 法主要有两大类：邻域处理法，其中包括：梯度运算，拉普拉斯算子运算，平滑 算子运算和卷积运算；点处理法，灰度处理，面积、周长、体积、重心运算等等。 数字图像处理的变换域处理方法是首先对图像进行正交变换，得到变换域系数阵 列再施行各种处理，处理后再反变换到空间域，得到处理结果。这类处理包括： 滤波、数据压缩、特征提取等处理。 目前，数字图像处理多采用计算机处理，因此，有时也称之为计算机图像处 理(Computer Image Processing)。数字图像处理概括地说主要包括如下几项内容： 几何处理 (Geometrical Processing) ，算术处理 (Arithmetic Processing) ，图像增强 (Image Enhancement) ， 图 像 复 原 (Image Restoration) ， 图 像 重 建 (Image Reconstruction)，图像编码(Image Encoding)，图像识别 (Image Recognition)，图像 理解(Image Understanding)。 几何处理主要包括坐标变换，图像的放大、缩小、旋转、移动，多个图像配准， 全景畸变校正，扭曲校正，周长、面积、体积计算等。 算术处理主要对图像施以加减乘除等运算，虽然该处理主要针对像素点的处 理，但非常有用，如医学图像的减影处理就有显著的效果。 图像增强是指按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时，削弱或去除某 些不需要的信息的处理方法。 其主要目的是使处理后的图像对某种特定的应用 来说，比原始图像更适用。图像增强技术主要包括直方图修改处理，图像平滑 化处理，图像尖锐化处理及彩色处理技术等。 图像恢复是指使用退化现象的一些先验知识， 去除或减弱退化因素对图像的影 响，改善图像的质量。在图像形成与传输过程中，由于设备的不完善及物理限

▶
偏微分方程是近年来兴起的一种图像处理方法, 主要针对底 层图像处理, 在图像去噪与修复等方向的应用中取得了不错 的效果
▶
偏微分方程具有各向异性的特点, 应用在图像去噪中, 可以 在去噪的同时很好地保持边缘
▶
在图像修复中, 利用偏微分方程对图像进行建模, 使待修复 区域周围的有效信息沿等照度线自动向内扩散, 在保持图像 边缘的基础上平滑噪音
热传导模型: 各向同性的图像去噪方程 各向异性的偏微分方程方法
PDEs Applied in Image Denoising
在图像去噪中应用的偏微分方程可分为以下两种:
▶ ▶
各向同性 各向异性
.
.
.
.
.
.
姜健,SCGY,USTC
偏微分方程在图像处理中的应用
Outline Introduction PDEs Applied in Image Denoising PDEs Applied in Image Restoration Reference
在图像去噪中应用的偏微分方程可分为以下两种:
▶ ▶
各向同性 各向异性
▶ ▶
图像演化的 PDE 方法 最小化能量泛函
由于各向同性的方程在去噪的同时不能很好地保持边缘, 我们只 简单介绍; 各向异性方程在不同方向的扩散强度不同, 因此可以 较好地保持边缘.
. . . . . .
姜健,SCGY,USTC
偏微分方程在图像处理中的应用
Outline Introduction PDEs Applied in Image Denoising PDEs Applied in Image Restoration Reference
热传导模型: 各向同性的图像去噪方程 各向异性的偏微分方程方法

摘要图像分割是计算机视觉中的关键步骤之一。

图像分割的目的就是把目标物体或者人们感兴趣的部分从图像中分离出来，同时得到相应的目标物体的边缘。

长期以来，尽管在该领域存在着许多分割方法，但是并没有对各种图像都适用的通用分割方法。

近年来，基于偏微分方程的图像分割方法因其特有的优点逐渐成为研究的热点。

本文研究基于偏微分方程的图像分割方法。

首先介绍必要的数学基础与基于变分法的经典的图像分割方法；然后提出改进的无需重新初始化的水平集方法，数值实验表明该方法能精确高效地检测出图像中存在的多层边缘；最后结合图像中感兴趣目标的直方图信息，提出一种针对视频图像中运动目标的分割模型，更进一步，借助直方图匹配的思想，针对较复杂的二相和四相纹理图像分别提出了分割模型，通过求解这些模型可以得出相应的分割算法，这些算法具有水平集构造简单、无需重新初始化，分割速度快、精度高等特点，对计算机生成的图像和实际图像进行的实验验证了这些算法的有效性。

关键词：图像分割 偏微分方程 水平集 活动轮廓模型AbstractImage segmentation is one of the key problems in Computer Vision. The purpose of image segmentation is to separate the interested objects from the image and obtain the edges of the objects. Many segmentation methods are available now while few can apply for any type of images. Recently, variational methods and partial differential equation (PDE) methods bring new vitality for image segmentation and many successful models have been proposed.In this thesis, image segmentation methods based on PDE are studied. First, some prerequisite mathematical foundations and classical variational segmentation models are introduced. Then an improved method for level set evolution without re-initialization is proposed. Numerical experiments show the new method can detect multiple edges in the image precisely and efficiently. Finally, by incorporating the histogram information of interested objects, a new model for tracking moving objects is presented in video. Further, the image segmentation models for two-phase texture image and four-phase texture image are proposed with the help of histogram matching. And carefully designed algorithms are given by solving these models. The algorithms have many advantages, for example, simple structure of level set, without re-initialization, fast segmentation speed, high precision. Experimental results for real images and images created by computer show the performance of the algorithms.Keywords: image segmentation partial differential equation (PDE) level set active contour model目录第一章 绪论 (1)1.1图像处理 (1)1.2图像分割的概念 (2)1.3图像分割的传统方法 (3)1.4基于偏微分方程的图像分割方法 (5)1.5实验结果 (7)1.6本章小结 (8)第二章变分法与水平集的相关理论 (9)2.1变分法与梯度下降法 (9)2.2水平集 (11)2.3本章小结 (16)第三章经典的活动轮廓模型 (17)3.1基于边缘信息的图像分割模型 (17)3.2基于区域信息的图像分割模型 (21)3.3实验结果 (27)3.4本章小结 (28)第四章无需重新初始化的图像分割 (29)4.1活动轮廓模型与水平集方法相结合 (29)4.2改进的无需重新初始化的图像分割 (31)4.3实验结果 (35)4.5本章小结 (37)第五章基于直方图的图像分割 (39)5.1基于形状导数的图像分割 (39)5.2改进的基于形状导数的图像分割 (43)5.3改进的基于水平集的图像分割 (46)5.4基于局部直方图匹配的图像分割一 (49)5.5基于局部直方图匹配的图像分割二 (50)5.6实验结果 (53)5.7本章小结 (55)总结与展望 (57)致谢 (59)参考文献 (61)研究成果 (65)第一章 绪论 1第一章 绪论1.1 图像处理从上个世纪六十年代以来，随着数字技术和微电子技术的发展，一个新的学科随之产生——图像处理。

成都理工大学毕业设计（论文）基于偏微分方程的图像平滑方法的研究作者姓名：刘洋专业班级：信息与计算科学2008070201 指导教师：王茂芝摘要在信息化的社会里，图像在信息传播中所起的作用越来越大。

所以，消除在图像采集和传输过程中而产生的噪声，保证图像受污染度最小，成了数字图像处理领域里的重要部分，图像平滑作为图像处理中的重要环节，也逐渐受到人们的关注，图像平滑的目的主要是消除噪声。

本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑方法按空间域和频率域的分类及各种方法的特点，由于传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。

首先介绍图像处理应用时的常用函数及其用法；其次详细阐述了几种去噪算法原理及特点；最后运用Matlab软件对一张含噪图片（含高斯噪声或椒盐噪声）进行仿真去噪，本文分别从各向同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究，进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。

关键词：图像平滑；偏微分方程；各向同性扩散；各向异性扩散I成都理工大学毕业设计（论文）Based on partial differential equationsfor image smoothing methodAbstract In the information society, the role of image in the dissemination of information. Therefore, to eliminate the noise in the image acquisition and transmission process to ensure that an important part of the image contaminated minimum, has become the field of digital image processing, image smoothing as an important link in image processing, but also gradually by the attention, smooth the image main purpose is to eliminate noise.This paper describes the development of image smoothing, image smoothing method according to the classification of the space and frequency domains and the characteristics of the various methods, these methods due to the traditional denoising will also undermine the image of the important characteristics which leads based on partial differential equationsimage Smoothing Method. First introduced the common functions and their usage in image processing applications; elaborated the principle and characteristics of several denoising algorithm; Matlab software on a noisy image (with Gaussian noise or salt and pepper noise) simulation denoising In this paper, research from the isotropic diffusion equation and anisotropic diffusion for image smoothing method based on partial differential equations, and further improve the image smoothing method in order to achieve the purpose of better smoothing effectKey words: Image smoothing; partial differential equations; isotropic diffusion; anisotropic diffusionII成都理工大学毕业设计（论文）目录第1章前言 (1)1.1课题研究背景 (1)1.2图像平滑的研究现状 (2)领域平均法 (2)低通滤波法 (3)1.2.3 多图像平均法 (4)1.2.4 中值滤波法 (4)1.2.5 各向同性扩散方程 (6)1.2.6 各向异性扩散方程 (6)1.3本文的研究目标和主要内容 (7)第2章偏微分方程基础知识 (8)2.1偏微分方程的导出与定解 (8)2.1.1 偏微分方程的概念 (8)2.1.2 几个典型的数学物理方程 (8)2.1.3 初边值问题 (9)2.2热传导方程初值问题的求解 (12)2.3二阶偏微分方程的分类与化简 (13)2.3.1 二阶偏微分方程的分类 (13)2.3.2 二阶偏微分方程的化简 (15)2.4与图像处理有关的偏微分方程的例子 (15)第3章图像的基本知识 (16)3.1图像介绍 (17)3.1.1 图像概述 (17)3.1.2 图像分类 (18)3.2静态灰度图像的数学模型 (18)3.2.1 静态灰度图像的连续模型 (18)3.2.2 灰度图像的离散模型 (19)3.3静态彩色图像的数学模型 (20)3.3.1 静态灰度图像的连续模型 (20)3.3.2 彩色图像的数学模型 (20)III成都理工大学毕业设计（论文）3.4动态图像的数学模型 (21)3.5数字图像的采集 (21)3.6图像格式 (23)第4章数字图像处理的基本知识 (26)4.1数字图像处理的概述 (27)4.1.1 数字图像处理技术的发展 (27)4.1.2 数字图像处理技术的流程 (27)4.1.3 低层图像处理 (28)4.2滤波和滤波器 (29)4.3图像增强算法 (29)4.3.1 平滑空间滤波 (30)锐化空间滤波 (30)4.4图像还原算法 (31)4.4.1 噪声模型 (31)4.4.2 去噪算法 (32)第5章基于偏微分方程的图像平滑 (33)5.1偏微分方程的概述 (34)5.2基于偏微分方程的图像平滑处理 (34)5.2.1 各向同性扩散方程 (35)5.2.2各向异性扩散方程 (37)5.3图像平滑的实验分析 (38)5.3.1传统图像平滑方法分析 (38)5.3.2偏微分方程图像平滑方法分析 (41)结论 (48)致谢 (50)参考文献 (51)IV成都理工大学毕业设计（论文）第1章前言1.1 课题研究背景21世纪，人类已经进入了信息化时代，计算机在处理各种信息中发挥着重要作用。

偏微分方程与图像处理(曲线的演化)实验名称： 平面曲线的演化实验内容：1.用水平集方法对曲线进行演化；2.用离散中值滤波方法进行演化。

理论分析：我们已知道：曲线演化方程式（平均曲率运动方程MCM )ck N t∂=∂； 1. 曲线演化水平集方法平面封闭曲线可以表达为一个二维函数u(x,y)的水平（线）集(,,){(,,):(,,)}c L x y t x y t u x y t c ==这样就可将曲线演化问题嵌入到函u(x,y,t)的演化问题。

即转化为水平集演化问题 曲线演化水平集方法的基本方程式如下：||uk u t∂=∇∂其中，||u ∇=()223/2222xx y x y xy yy x xyu u u u u u u k uu -+=+进而推得：22222xx y x y xy yy xx yu u u u u u u u t u u -+∂=∂+；其中x u ,xy u ,xx u 可采用中心差分近似 ()()1,1,1,,1,21,11,11,11,12(,)22(,)(,)4i j i jx i j i j i jxx i j i j i j i j xy u u u i j xu u u u i j x u u u u u i j x +-+-++--+--+-=∆-+=∆+--=∆对于y u ,yy u 有类似的表达式。

x ∆表示相邻几个点。

从而完整的演化公式为：221,,222xx y x y xy yy x n ni ji j x yu u u u u u u u u tu u +-+=+∆+ （1）其中，t ∆为演化步长，在本程序中取为1。

这样就涉及到两个问题： （1）.嵌入函数的选用嵌入函数为—令u(x,y)表示平面上(x,y)点到曲线C 的带有符号的距离(见课本)。

因此研究的曲线总对应于零水平集，这样只要检测过零点条件,1,.0i j i j u u +< 或 ,,1.0i j i j u u +<就可决定曲线C 目前所处的位置，事实上，我们在程序中也是这样做的。