COMSOL中的弱形式

什么是弱形式？弱形式简介对于COMSOL Multiphysics 的各类物理场，软件都会在后台使用弱公式化来建立数学模型，我们也将它称为弱形式。

理解弱形式有助于我们洞察软件的内部工作原理，当模型所涉及的物理场在软件内没有对应的预置接口时，弱形式还可以帮助我们写出自己的方程。

本文将简要介绍弱形式，旨在为没接触过有限元分析和矢算、但对弱形式又有浓厚兴趣的用户提供一些物理及积分方面的基础知识。

一个简单示例现考虑一个无热源的一维稳态热传递案例。

我们主要关注区间内的温度，它是位置的函数。

简单起见，我们假设导热系数均匀。

那么x 轴正方向的热通量可由温度的梯度给出：（1）热通量（域内没有热源）的守恒可简单表示为：（2）以上就是需要求解的主要方程。

解将给出域内的温度分布。

该形式的方程可见于多个学科。

例如在静电学中，由电势替代，由电场替代；在弹性理论中，变成位移，变成应力。

在此，让我们先来了解为什么COMSOL Multiphysics 可以轻松求解多物理场耦合问题：不论涉及何种物理机制，它们都会被建模处理成方程；方程确定后，就可以被COMSOL 软件中的核心算法直接离散和求解。

一些读者可能会好奇我们为什么会选择这么一个过于简单的例子，甚至其解析解都可由非常简单的数学或物理量得到。

原因有两个：1.我们希望专注于弱形式的核心思想，不希望因复杂物理系统中的数学而分散注意力。

2.后续文章中，我们会拓展到涉及多个域的系统，以便阐述两个方程组在边界条件处的耦合。

如果现在就开始研究复杂的案例，那等到拓展案例时主题将会变得非常晦涩难懂。

弱公式化方程 (2) 包含了热通量的一次导数，或者是温度的二次导数，但在温度分布可能受限的实际情况下，这可能导致数值问题。

例如，当边界处的相邻材料具有不同导热系数时，温度的一次导数将不连续，进而使温度二阶不可导。

弱形式的核心思想是将微分方程变为积分方程，进而减轻数值算法的求导负担。

如希望将微分方程 (2) 变成积分方程，第一步是在的域上对其积分：以上方程表示整个域中的平均值为零。

有限元的弱形式PDE弱形式介绍GJ：看到一个介绍COMSOL解决物理问题弱形式的文档，感觉很牛啊，通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题，这绝对是物理研究的利器啊！而且貌似COMSOL是唯一可以直接使用弱形式来求解问题的软件。

为什么要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。

有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。

但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。

另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。

还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。

最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL中的一些求解器的高级设置就懂得更多。

一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。

物理问题的三种描述方式1.偏微分方程2.能量最小化形式3.弱形式PDE问题常常具有最小能量问题的等效形式，这让人有一种直觉，那就是PDE方程都可以有相应的弱形式。

实际上这些PDE方程和能量最小值问题只是同一个物理方程的两种不同表达形式罢了，同样，弱形式（几乎）是同一个物理方程的第三个等效形式。

我们必须记住，这三种形式只是求解同一个问题的三种不同形式――用数学方法求解真实世界的物理现象。

根据不同的需求，这三种方式又有各自不同的优点。

三种不同形式的求解PDE形式在各种书籍中比较常见，而且一般都提供了PDE方程的解法。

能量法一般见于结构分析的文献中，采用弹性势能最小化形式求解问题是相当自然的一件事。

试函数之只作用于变量u。
nojac(expr)
对Jacobian矩阵没有奉献
将表达式排除在Jacobian计算外，这对那些对Jacobian奉献不大，但是计算消耗很大的变量是否有效；
k-e湍流模型就是利用nojac算符来提高计算性能的例子。
up(expr)
上邻近估算表达式
up，down，mean算符只能用在边界上，对于一个表达式或变量在边界处两边不连续，COMSOL通常显示边界的平均值，使用up，down可计算某个方向上的值。
如果解没有线性化点，那么会报错；
lintotal
调用线性化点的和和线性扰动
lintotalavg
在各相中计算平均lintotal
lintotalrms
在各相中计算lintotal的RMS
lintotalrms(f)=sqrt(lintotalavg(abs(f)^2))
lintotalpeak
在各相中计算lintotal的最大值
linsol
调用标准解，如linpoint或lintotal
linzero
计算表达式的根
linper
标记一个荷载项用于线性扰动求解器
ppr
精确的派生修复
用polynomial-preserving recovery计算表达式中所有用lagrange形函数差分的变量，如e=ux+vy
ppr(e^2)=(ppr(ux)+ppr(vy))^2
dn, dnx, dny, dnz，参考方向的右边
Numerical constants
eps, i, j, pi
Mesh information
h, dom, meshtype, meshelement, dvol, qual, reldetjac, reldetjacmin

flsmsign
y = flsmsign(x,scale)
近似于符号函数y=sign(x)在-scale < x < scale处平滑过渡
flc1hs
不含过冲的一阶连续导数的平滑Heaviside函数，导数fldc1hs
flc2hs
不含过冲的二阶连续导数的平滑Heaviside函数，导数fldc2hs
asech(x)
asin
反正弦(in radians)
asin(x)
asinh
反双曲正弦(in radians)
asinh(x)
atan
反正切(in radians)
atan(x)
atan2
四象限反正切(in radians)
atan2(y,x)
atanh
反双曲正切(in radians)
atanh(x)
acot(x)
acoth
反双曲余切(in radians)
acoth(x)
acsc
反余割(in radians)
acsc(x)
acsch
反双曲余割(in radians)
acsch(x)
arg
相位角(in radians)
arg(x)
asec
反正割(in radians)
asec(x)
asech
反双曲正割(in radians)
down(expr)
下邻近估算表达式
mean(expr)
邻近边界上的平均值
depends(expr)
查看某个表达式是否依赖于求解结果
isdefined(variable)
变量是否定义
dest(expr)
在目标端计算积分耦合表达式

因为这方面的资料不是很多，加上属于COMSOL的高级应用，COMSOL中PDE的弱形式被神化了。

实际上，跳出来看这个问题，在COMSOL中书写弱形式是非常简单的事情。

就目前我的认知水平，仅仅是应用Gauss散度定理做分部积分，再做变量替换这么简单。

下面对这个问题简单展开讨论下，个人心得，如有推导错误，请指正。

推导基础：
做积分有：
由Gauss公式/散度定理：
得到：
因此：
以对流-扩散PDE方程为例
边界条件为Neumann边界：
推导弱形式，在PDE方程中乘一个试函数 v并进行积分：
COMSOL中，方程的0值习惯放在方程的左边。

COMSOL的实现：将梯度写成分量形式，v写成test(u)
Weak Expressions中输入：
-c*ux*test(ux) -c*uy*test(uy) -c*uz*test(uz)-(bx*ux+by*uy+bz*uz+a*u-f)*test(u)
边界上设定为P*test(u)
瞬态泊松型PDE方程：
边界条件u=0
COMSOL的实现：
Weak Expressions中输入：
-test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*f-da*test(u)*ut 边界上，设置约束u。

w
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弱形式：案例—变分法
案例—变分法
变分法是数学的一个分支，用来找到泛函的极值函数，也常用来确定分析泛函过程中的极值。根据基本原则 可知变分算法： 如果满足 Euler-Lagrange方程
，则积分
有稳定值。使用试函数运算符可以轻松处理变分问题，例如实现Euler-Lagrange方程。参见 COMSOL Multiphysics用户指南 中的 “试函数运算符”的定义。
在COMSOL Multiphysics中使用试函数运算符将问题简化，从而自动求解问题。键入 相当于键入
mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C... 2011/5/21
w
，它是Euler-Lagrange方程的弱形式。
模型定义
平面 { z = u ( x, y ) | ( x, y ) ∈ Ω } 的面积相当于
在边界 ∂Ω 上 指定函数 u 的值，其目的是确定 u 在 Ω 内的面积最小。求解这种最小面问题相当于是在
指定边界内确定肥皂泡的形状。
本例中，令 将最小面问题推导为：
，在边界 ∂Ω 上 u = x 2 。采用Euler-Lagrange方程，可以
mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C... 2011问题，并绘制结果： fem.xmesh = meshextend(fem); fem.sol = femstatic(fem); postsurf(fem,'u','u');
4 计算最小面的面积： postint(fem,'sqrt(1+ux^2+uy^2)')

COMSOL置函数算符d(f,x) f对x方向的微分1.使用d算符来计算一个变量对另一个变量的导数，如：d(T,x)指变量T对x求导,而d(u^2,u)=2*u等；2.如果模型中含有任何独立变量，建模中使用d算符会使模型变为非线性；3.在解的后处理上使用d算符，可以使用一些预置的变量，如：uxx,d(ux,x),d(d(u,x),x)都是等效的；4. pd算符与d算符类似，但对独立变量不使用链式法则；5. d(E,TIME)求解表达式E的时间导数；6. dtang算符可以计算表达式在边界上的切向微分（d算符无法计算），在求解域上使用dtang等价于d，dtang只求解对坐标变量的微分，但需要注意的是并不是所有的量都有切向微分。

pd(f,x) f对x方向的微分pd和d的区别：d(u+x,x)=ux+1，d(u,t)=ut，u和x,t等有关pd(u+x,x)=1，pd(u,t)=0，u是独立的和x,t无关dtang(f,x) 边界上f对x的切向微分在边界上d(u,x)不能定义，但是可以使用dtang(u,x)，dtang付出基本的微分法则，如乘积法则和链式法则，但是需要指出的是，dtang(x,x)不一定等于1。

test(expr) 试函数用于方程弱形式的算符，test(F(u,∇u))等价于：var(expr,fieldnam e1,fieldname2, ...) 变异算子用于弱形式，它和test算符功能相同，但是仅用于某些特定的场中；如var(F(u,∇u, v,∇v),a)，变量u是a场的变量，而v不是。

试函数之只作用于变量u。

nojac(expr) 对Jacobian矩阵没有贡献将表达式排除在Jacobian计算外，这对那些对Jacobian贡献不大，但是计算消耗很大的变量是否有效；k-e 湍流模型就是利用 nojac算符来提高计算性能的例子。

up(expr) 上邻近估算表达式up，down，mean算符只能用在边界上，对于一个表达式或变量在边界处两边不连续，COMSOL通常显示边界的平均值，使用up，down可计算某个方向上的值。

COMSOL Multiphysics弱形式入门COMSOL Multiphysics弱形式入门（一）物理问题的描述方式有三种：1、偏微分方程2、能量最小化形式3、弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics 的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。

COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。

本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。

另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。

为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。

有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。

但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。

掌握弱形式可以使你的水平超过一般的COMSOL Multiphysics用户，让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。

另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。

还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。

最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL Multiphysics中的一些求解器的高级设置就懂得更多。

一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。

COMSOL Multiphysics弱形式入门物理问题的描述方式有三种：1、偏微分方程2、能量最小化形式3、弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。

COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。

本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。

另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。

为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。

有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。

但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。

掌握弱形式可以使你的水平超过一般的COMSOL Multiphysics用户，让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。

另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。

还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。

最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL Multiphysics中的一些求解器的高级设置就懂得更多。

一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics 都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。

COMSOL Multiphysics弱形式入门物理问题的描述方式有三种：1、偏微分方程2、能量最小化形式3、弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。

COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。

本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。

另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。

为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。

有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。

但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。

掌握弱形式可以使你的水平超过一般的COMSOL Multiphysics用户，让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。

另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。

还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。

最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL Multiphysics中的一些求解器的高级设置就懂得更多。

一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics 都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。

2. 偏微分方程的弱形式介绍
用数学方法描述真实的物理问题时，一般有三种描述方式。1、偏微分方程形式(Partial Differential Equation, PDE)；2、能量最小化形式；3、弱形式(Weak Form)。他们都是同一物理方程的不同等效形式， 针对特定条件有各自的优势。其中我们最常见的便是偏微分方程。PDE 方程一般都有对应的解析解，当 难以得到其解析解时，便需要根据变分原理或能量最小化原理转化为积分形式的泛函数变分问题求解。 积分形式适合用有限元元求解，而弱形式可以看做对积分变量连续性要求更低，形式更一般的能量最小 化形式了。COMSOL Mutiphysics [7] [8]是求解多物理场的一款有限元数值求解软件，通过内建多种物理 方程及相应求解器，可以对互相耦合的复杂物理问题进行数值求解，是物理学研究中非常重要的工具。 COMSOL Multiphysics 本身是一款有限元的求解器，可以设定将所需求解的 PDE 方程转化为弱形式，再 进行求解。但不是所有问题都能通过内置弱形式模块解决，这时了解弱形式方程及其有限元算法对求解 实际物理问题很有帮助。 在求解光子晶体能带时， 当使用 COMSOL 内置的本征值求解模块时， 需要预先定义好其最简布里渊 区边界，COMSOL 会自动随布洛赫波矢 k 的变化求解得到其相应频率 f 的本征值。在求解色散材料问题 时，即介电常数 ( f ) 或者磁导率 µ ( f ) 是频率相关函数，由于 f 未知，COMSOL 内置本征值求解模块将 无法求解，这个时候就需要借助自定义弱形式方程来求解了。 考虑介质中传播电磁波的麦克斯韦方程可以以磁场 H 或者电场 E 形式来表达。 以电场形表达式其波 动方程为：
关键词
数值求解，弱形式，光子晶体，能带结构

COMSOL Multiphysics弱形式入门物理问题的描述方式有三种：1、偏微分方程2、能量最小化形式3、弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOL Multiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。

COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。

本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。

另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。

为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内置在COMSOL Multiphysics的各个模块当中，这种情况下，没有必要去了解PDE方程和及其相关的弱形式。

有时候可能问题是没有办法用COMSOL Multiphysics内置模块来求解的，这个时候可以使用经典PDE模版。

但是，有时候可能经典PDE模版也不包括要求解的问题，这个时候就只能使用弱形式了（虽然这种情况是极少数的）。

掌握弱形式可以使你的水平超过一般的COMSOL Multiphysics用户，让你更容易去理解模型库中利用弱形式做的算例。

另一个原因就是弱形式有时候描述问题比PDE方程紧凑的多。

还有，如果你是一个教授去教有限元分析方法，可以帮助学生们直接利用弱形式来更深入的了解有限元。

最后，你对有限元方法了解的越多，对于COMSOL Multiphysics中的一些求解器的高级设置就懂得更多。

一个重要的事实是：在所有的应用模式和PDE模式求解的时候，COMSOL Multiphysics 都是先将方程式系统转为了弱形式，然后进行求解。

系数形式
扩散
源
吸收
ea
2u t 2
da
u t
(cu u )
u au
f
对流
对流
源
质量
阻尼质量
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COMSOL PDE模式
• 可用于标量方程或系统
扩散
源
吸收
ea
2u u2

da
u (cu u ) u au
t
f
堆积/储存
对流
对流
源
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基于弱解形式的方程式系统
• 作为PDE的基础的一种PDE形式 • 应用更加灵活（例如，非标准化边界条件，边界
u0
隐含 c=f=h=1 和所有其他系数为 0。

COMSOL内置函数算符d(f,x)f对x方向的微分1. 使用d算符来计算一个变量对另一个变量的导数，如：d(T,x)指变量T对x求导,而d(u^2,u)=2*u等；2. 如果模型中含有任何独立变量，建模中使用d算符会使模型变为非线性；3. 在解的后处理上使用d算符，可以使用一些预置的变量，如：uxx,d(ux,x),d(d(u,x),x)都是等效的；4. pd算符与d算符类似，但对独立变量不使用链式法则；5. d(E,TIME)求解表达式E的时间导数；6. dtang算符可以计算表达式在边界上的切向微分（d算符无法计算），在求解域上使用dtang等价于d，dtang只求解对坐标变量的微分，但需要注意的是并不是所有的量都有切向微分。

pd(f,x)f对x方向的微分pd和d的区别：d(u+x,x)=ux+1，d(u,t)=ut，u和x,t等有关pd(u+x,x)=1，pd(u,t)=0，u是独立的和x,t无关dtang(f,x)边界上f对x的切向微分在边界上d(u,x)不能定义，但是可以使用dtang(u,x)，dtang付出基本的微分法则，如乘积法则和链式法则，但是需要指出的是，dtang(x,x)不一定等于1。

test(expr)试函数用于方程弱形式的算符，test(F(u,∇u))等价于：var(expr,fieldnam变异算子e1,fieldname2, ...)用于弱形式，它和test算符功能相同，但是仅用于某些特定的场中；如var(F(u,∇u, v,∇v),a)，变量u是a场的变量，而v不是。

试函数之只作用于变量u。

nojac(expr)对Jacobian矩阵没有贡献将表达式排除在Jacobian计算外，这对那些对Jacobian贡献不大，但是计算消耗很大的变量是否有效；k-e 湍流模型就是利用nojac算符来提高计算性能的例子。

up(expr)上邻近估算表达式up，down，mean算符只能用在边界上，对于一个表达式或变量在边界处两边不连续，COMSOL通常显示边界的平均值，使用up，down可计算某个方向上的值。

fem.shape = 2; fem.sshape = 2; fem.bnd.constr = 'x^2-u'; fem.equ.weak = 'test(sqrt(1+ux^2+uy^2))';
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所有边界
0 0 x^2-u
3 点击 确定 。
求解域设定
1 从 物理量 菜单，打开 求解域设定 对话框，并输入PDE参数：
设定
weak
dweak constr
求解域 1
test(sqrt (1+ux^2+uy^2)) 0 0
2 点击 确定 。
网格
点击 初始化网格 按钮来生成网格。
求解
点击主工具条上的 求解 按钮进行求解。
使用图形化界面建模
模型导航视窗 1 从 空间维度 列表中 选择 2D 。 2 在应用模式列表中，打开 COMSOL Multiphysics>PDE模式 ，然后选择 弱项型，求解域 ，确认
选中 拉格朗日 – 二次 单元。
3 点击 确定 。 几何建模
求解域是一个单位圆，以（0, 0）为圆心作一个半径为1的圆。
mk:@MSITStore:C:\Users\Administrator\Desktop\COMSOL_LibDoc_Multiphysics.C... 2011/5/21
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物理设定
边界条件
1 从 物理量 菜单，选择 边界设定 。 2 输入以下边界参数：
设定

femlab的自定义方程主要有三种形式：1、参数形式（coefficient form）2、普通形式（general form）3、弱解形式（weak form）其中参数形式和普通形式十分类似，参数形式主要解决线性问题，而普通形式可以解决线性和弱的线性问题。

而弱解形式主要用于解决非线性问题以及一些无法用前两者表达的线性问题。

弱解形式是功能最为强大的一种求解方法，前两者可以解决的问题都可以用弱解形式解决，只是要费一些脑筋。

既然是初级讲座就只讲前两者吧，因为弱解形式较为复杂，需要有有限元解法的一些基础知识，而且使用上需要用到分步积分法。

一、参数形式1、稳态问题稳态问题是指求解量不随时间变化。

对于静力学，求解量确实是与时间无关的静态量，例如位移、应力、应变等。

而对于动力学、波动力学、电磁学等问题，求解量不随时间变化只是指其幅值与时间无关。

femlab指定的参数形式的方程如下（图1）：图1：其中第一个式子是求解域上的方程。

第二、三个式子是边界条件，分别为第三类边界条件和第一类边界条件，即罗宾边界和狄利克边界条件，两者只能选取一个。

注：罗宾边界条件在femlab里常常被成为（广义的）牛曼边界条件。

方程里各参量的意义，在不同的问题里分别有不同的物理意义，但由于内在数学形式的一致性，因此其意义也十分类似，现以连续介质力学即扩散力学为例进行说明。

c－扩散系数a－吸收系数f－源项α－保守通量对流系数β－对流系数γ－保守通量源项q－边界上的吸收系数g－边界上的源项这里需要注意的是源项f，对于弹性力学，对应于加在弹性体上的荷载。

对于许多的物理场(声场、电磁场、温度场)问题，对应于场源（声源、点电荷、热源）。

而其他系数大都用于定义材料和媒质的特性。

其中α、β可以是矢量，c可以是矩阵，用于表示各项异性的材料特性。

现在给出一个简单地判断问题是线性还是非线性的方法，若这些参量是求解变量u的函数，则问题是非线性的，反之为线性。