结构动力学计算..共23页

输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别 结构 （系统）
输入 （动荷载）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别 输入 （动荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
2．结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规 律，找出动荷载作用下结构的最大动内 力和最大动位移，为结构的动力可靠性 设计提供依据。
第13章
结构的动力计算
§13－1 动力计算的特点和动力自由度
一．动荷载及其分类
动荷载是指其大小、方向和作用位置随 时间变化的荷载．由于荷载随时间变化较快 ，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯 性力的影响是结构动力学的最主要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载 是坐标和时间的函数。
动荷载按其随时间的变化规律进行分类：
质量 m 在 t 时刻的位移y(t)是由此时作 用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：
y(t ) [m(t )] y
整理，
m(t ) y 1

y (t ) 0
(a) (b)
单自由度体系： k
1
式（13－1）或（a）称为单自由度体系 自由振动运动方程（微分方程）
二.自由振动运动方程的解
由式（13－4）
y (t ) A sin(t ) A sin(t 2 ) A sin[ (t 2 ) ] y (t 2 )


y(t)是周期函数
T 2

－自振周期（固有周期） －自振频率（固有频率）
2 T
1. 结构自振周期 T 和自振频率 的各种等 价计算公式

杜哈梅积分(Duhamel)
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 y0 0 v0 0
则
y
y0
cos t
v0
sin t
1
m
t 0
FP
(
)
sin
t
d
第26页/共77页
（1）突加荷载
y
FP 0
m 2
(1
cos t )
yst (1 cost)
质点围绕静力平衡位置作简谐振动，动 力系数为
1， 产生共振。 但振幅不会一下增加到很大。
1
动力系数的绝对值随频率比增大而减小。
第22页/共77页
例10-3 已知：跨度l=4m，惯性矩 I=7480cm4，截面系数W=534cm3 ，弹性模 量E=2.1×105MPa。电动机重量G=35kN，转速n=500r/min，离心力FP=10kN， 竖向分力FPsint。试求梁动力系数和最大正应力。
第34页/共77页
阻尼对自振特性的影响
r 1 2
阻尼对振幅的影响
★影响小,可以忽略
ln yk ln y tk
yk1
y tk T
e tk ln etk T
ln eT
T
★振幅的对数衰减率
★阻尼越大,衰减速度越快
1 ln yk 或 2 yk1
1 ln yk 2 n ykn
2004年8月
第8页/共77页
§10-2单自由度体系的自由振动 1 振动方程的建立
刚度法 体系在惯性力作用下处于动态平衡。
myt kyt 0
柔度法 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移。
y t my t my t

（14-22）
（14-23）
即
A 1
2
式中
1 2
2
F11 yst
（14-24）
yst F11 代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上
时所引起的静力位移，而

1 1Байду номын сангаас
2
2

A yst
（14-25）
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。 2. 考虑阻尼的纯受迫振动 取式（14-21）的第三项，整理后有
y
2 0

2 y0
2
（14-4）
y0 tan y0
则有
(14-5)
y a sin(t )
（14-7） y a cos(t )
（14-6）
（4）自振频率的计算
k11 1 g g m m11 mg11 st
自振周期：T=2π/ω。 其中：
本章基本要求： 掌握动力自由度的判别方法。 掌握单自由度、多自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下 动内力、动位移的计算。 掌握阻尼对振动的影响。 了解自振频率的近似计算方法。
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
(14-8)
柔度系数 11 表示在质点上沿振动方向加单位荷载时，使质点 沿振动方向所产生的位移。 刚度系数 k11 表示使质点沿振动方向发生单位位移时，须在 质点上沿振动方向施加的力。 Δst=W 11 表示在质点上沿振动方向加数值为W=mg的力时质点 沿振动方向所产生的位移。

k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
4
(k11 2m1)(k22 2m2) k12k21 0
2
2 1,2
1 2
k11 m1
k 22 m2
1
2
k11 m1
k 22 m2
k11k22 k12k21 m1m2
最小圆频率称为第一(基本)圆频率： 第二圆频率-------
K1 F
n1 n2 nn
FMYY 0
K Fn自M由度Y体 系作K自由Y振动 的K 0 IM运动Y方程（K柔Y度法）0
将特解带入方
程整理后：
FM
1 2
IX
0
M Y
KY 0
FM
1 2
I
0
频率方程
19
FM
1
2 j
I j
0
j(1) 1
规准化主振型方程
一般的：
n个主振型向量彼此线性无关，
( j 1,2,, n)
n个自由 度体系的
依上式可求得与ωj 相对应 主振型，我们可唯一地确 振型方程
定主振型的形状，但不能唯一地确定它的振幅。
N自由度体系有n个主振型，若体系为对称形式，则这些主振型
分为对称及反对称形式两类。
17
主振型的规准化：
为了使主振型的振幅也具有确定值，需另外补充条件， 由此得到的主振型叫规准化主振型。
则系数行列式为零：
K 2 M 0
n个自由度体系 的频率方程
n个频率（按数值大小从小到大排列）： ω1，ω2，---，ωn
令：Xj 表示与频率ωj相对应的主振型向量：

中的铰接链杆法——将所有质点和刚结点变为铰结点后，使
铰接链杆体系成为几何不变体系所需要增加的链杆数即为自
由度数。(a)
(b)
(c)
4个自由度
例：设直杆的轴向变形不计，图示体系的动力自由度为 多少？
(a)
(b)
m1 m2 m3
2 1
自由度为2
例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体 系的动力自由度数为多少？
y0 sint
v0
cost
C2 y0
C1 v0
C1
v0
自由振动的组成： 一部分由初始位移y0引起的； 另一部分由初始速度v0引起的。
方程的解也可以写成： y(t) a sin(t )
根据初始条件可解得： a
y2 0
v02
2
tg1
y0
v0
9.2.1 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期
从微分方程的解：y(t) a sin(t ) 知位移是周期函数；
一、动力荷载的种类
（1）简谐性周期荷载
运动的规律性通常表现为正弦或余弦函数形式： p(t) P sint
（2）冲击荷载
荷载强度很大，但作用时间很短，如打桩。
（3）随机荷载
变化规律带有一定偶然性的非确定性荷载，如地震荷 载和风荷载。
二、动力计算中的体系的自由度
质点的位移就是动力计算的基本未知数。把体系在弹性变 形过程中确定所有质点的位置所需的独立参数的数目，称 为该体系的自由度。
3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩 为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不
计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期。

变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；
➢ 由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值
处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，把微分方程转化为
代数方程，使计算得以简化。
例7. 求图示体系的自振频率
m1 m
B
EI C
m2
1 3
m
m l22kl2
A
0 .5 l
l
kD 0 .5 l
在质量上沿位移方向施加惯性力； 求外力（包括惯性力）引起的质量的位移； 令该位移等于体系的位移；
例2. 用柔度法建立体系的运动方程
m
l EI EI
l
O
y
my y
ym y
my 1 y 0
2l 3
11 3EI
my(t)32E l3Iy(t)0
P=1
图乘法
?
l
例3：用柔度法列运动方程
m y(t)
12 EI h3
6 EI h2
1
6 EI
k
h2
12 EI
h3
6 EI h2
k m
24EI mh3
T 2
练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时 的自振 频率，自重忽略不计。
m
EI常 数
l
l
l
Horizontal Vibration： -----Flexibility Method
Anti-symmetrical Load +symmetrical Structure
✓ 自振频率计算公式
k m
1
m
tan1
y
0 0
v
0
✓ 计算k或δ：静力学知识 l 3 1 8EI

Y st yt mg yt
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。

P=1
图乘法
EI
m EI m
O
y
l
m y
2l 3 11 3 EI
3 EI m y ( t) 3 y ( t)0 2 l
EI
ky
F 0
y
柔度法(Flexibility method)
柔度的定义和物理意义？与刚度的关系？ 1 单位荷载引起的结构的变形 k O y
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
例4.求图示体系的自振频率和周期。 解：自由度数判断：1个

m 1 k m
m/2
EI EI
m
EI
l
l
2 l3 11 3 EI
l
l
=1

1 3 2l3 m 2 3EI

EI 3 ml
例2. 用柔度法建立体系的运动方程 m
l EI EI l
y m y
m y
1
O
2l 3 11 3 EI
3 EI m y ( t) 3 y ( t)0 2 l
P=1

y 0
?
y
y
m y
图乘法
l
例3：用柔度法列运动方程
m y (t )
l
y (t )
y
F=1
受力分析，求外力作 用下体系的位移
k
y f ( m y ) I
m yk y0
m y
k
从柔度的概念出发，分析结构的变形，建立运动方程 不同方法得到相同的表达式
柔度法列运动方程的步骤
在质量上沿位移方向施加惯性力；

Psin
m
l
l
第10页/共49页
例题4 (1)体系的自振频率
单位力作用下的
求
例题
M图
1 2
l
l
•
2 3
l
l3
EI
3EI
自振频率
k m
1
m
3EI ml 3
第11页/共49页
P=1 l
l
M图
例题
例题4
(２)简谐荷载的频率
6
(３)动力系数
1
1
2 2
1
1 1 6
2
36 35
（４）位移振幅
15m 2
k
1 0.2936
k, m
2 0.6673
k, m
3 0.9319
k m
第27页/共49页
例题8
（2）求主振型
例题
K2 M Y 0
第一主振型
K12 M
YY1211 Y31
k 15
17.414
5
0
5 6.707
3
0 3 1.707
YY1211 Y31
k (1) jj
0
0 0
k (2) ij
k (3) ij
ql2 0 0 0 27l 0 5 27l 0 19 0 0 0T
1000EI
2
3
②
q ①
l ③
y M，
1
4
x
l
第17页/共49页
例题
例题6
（１）由结构位移向量得出单元①的位移
1 ql2 0
1000EI
0
0
0
27l
5T
q

当外荷载接近自振频率时(θ ≈ ω)，弹性力和惯性 力都接近于零，这时动荷载主要由阻尼力相平衡 。
第19页/共33页
20
§10.4 阻尼对振动
的影响 1. 单自由度体系有阻尼振动的微分方程：
my cy ky P(t)
k
C
y
P(t)
2.
有 阻 尼 自 由 振动：
my cy ky 0
微 分 方 程 的 解为：
在跨中有电动机，重量Q=35KN，转速n=500r/min。电机转动的离心
力P=10KN，离心力的竖向分力为Psint。不计梁的质量，试求梁振动的
最大动位移和最大动弯矩，最大位移和最大弯矩。
1 1
体系自由振动的频率：
1 k
1 EI
1 2
l 2
l 4
2 3
l 4
2
l3 48EI
动 力系数 ：
5.93
第11页/共33页
12
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩为I，弹性模量 为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不计，计算水平振动的自振周 期。
l l
解 ： 解 题 的 依据 刚 度 系 数 ： 使质点 产生单 位位移 需要施 加的力 。
T 2
柔 度 系 数 ： 质点在 单位力 作用下 产生的 位移。
其中yk与yk+n为相距n个周期的自由振动振幅。
1 ln yk
2nπ yk n
第21页/共33页
22
§10.4 阻尼对振动 的影响
3. 阻尼对动力系数的影响。 在强迫振动中, 阻尼起着减小动力系数的作用. 简谐荷载作用下动力系数为：
y(t)max yst
1
(1

机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。

确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。

1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。

在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。

特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。

QCB
12EI (l / 2)
k 192EI m m l3 例2:求图示刚架的自振 频率。不计柱的质量。 15EI k 3 h
l m EI1=∞
6EI/h2
EI
EI
h
l
3EI/h2
6EI/h2
k
12EI/h3

k 15EI m m h3
3EI/h3
例3 l/3
4l 27
m 2l/3 1

y0 a sina
振幅:
v0

a cos
2 y0 a

2 v0 2
1
, y0 v0
初始相位角:
a tg
无阻尼自由振动是简谐振动
结构的自振周期和自振频率
y( t ) asin(t a ) a sin(t a 2p ) a sin( (t
周期函数的条件: y(t+T )=y(t )
F F ( ) AAsin sint t Asin t sin sint t m m 2 2
A
F
最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生 的位移）。 特解可写为：
y y st
1 1
2

2
sint
通解可写为：
y C1 sin t C2 costt
令
k 1 m m
2
(t ) 2 y(t ) 0 y
二阶线性齐次常微分方程
自由振动微分方程的解 ..
my ky 0
(a)
.. y 2 y 0 T
(
y ( t ) C1 sint C 2 cost y y(t) 0 v0 . y (0) v0 C1