动量守恒之弹簧及圆弧模型

相互作用的两个物体在很多情况下运动特征与碰撞问题类似，可以运用动量、能量守恒来分析，物块弹簧模型是一类典型的问题。

我们首先结合下面的例子，说明如何分析物块弹簧模型的运动情景。

【问题】如图所示，物块B 左端固定一轻弹簧，静止在光滑的水平面上，A 物体以速度0v 向B 运动，假设A 与弹簧接触之后立即与弹簧粘连在一起不再分开，那么此后A 、B 与弹簧相互作用的过程中，运动情景如何呢？【分析】A 、B 的运动涉及追及相遇问题，重点要把握住：两物体距离最近（弹簧最短）或最远（弹簧最长）时二者的速度相等。

⑴ 弹簧刚开始被压缩的过程中，B 受到弹簧的弹力向右做加速运动，A 受到弹力做减速运动，开始时A 的速度大于B 的速度，弹簧一直被压缩；⑵ 当A B 、的速度相等时，弹簧缩短到最短，此时弹簧的弹性势能最大；⑶ 此后由于A 继续减速，B 继续加速，B 的速度开始大于A 的速度，弹簧压缩量逐渐减小；⑷ 当弹簧恢复至原长时，弹性势能为零，A 的速度减至最小，B 的速度增至最大；⑸ 此后弹簧开始伸长，A 做加速运动，B 做减速运动；⑹ 当弹簧伸长至最长时，A B 、的速度再次相等，弹簧的弹性势能最大；⑺ 此后A 继续加速，B 继续减速，弹簧逐渐缩短至原长；⑻ 当弹簧再恢复至原长时，弹性势能为零，A 的速度增至最大，B 的速度减至最小。

此后将重复上述过程。

上面我们从受力和运动的角度，分析了弹簧的运动情景。

如果两物体是在光滑水平面上运动，系统的动量守恒；在这个过程中只有两物体的动能和弹簧弹性势能的相互转化；因此，我们可以从动量和能量的角度来分析问题。

设任意时刻A 、B 的速度分别为A v 、B v ，弹簧的弹性势能为p E 。

由动量守恒可得：0A A A B B m v m v m v =+；由能量守恒可得：2220p 111222A A AB B m v m v m v E =++；由此可以求解整个运动过程中各种速度及弹性势能的极值问题，具体结果请同学们自己分析。

专题强化3弹簧—小球模型滑块—光滑斜(曲)面模型[学习目标]1.进一步掌握用动量守恒定律、能量守恒定律解决碰撞问题的技巧(重点)。

2.掌握两类碰撞问题的解题方法(重难点)。

一、弹簧—小球模型如图所示，光滑水平面上静止着一质量为m 2的刚性小球B ，左端与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m 1的刚性小球A 以速度v 0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，问：(1)弹簧的弹性势能什么情况下最大？最大为多少？(2)两球共速后，两球的速度如何变化？弹簧长度如何变化？(3)小球B 的速度什么情况下最大？最大为多少？答案(1)当两个小球速度相同时，弹簧最短，弹簧的弹性势能最大。

由动量守恒定律得m 1v 0＝(m 1＋m 2)v 由能量守恒定律得12m 1v 02＝12(m 1＋m 2)v 2＋E pmax 解得E pmax ＝m 1m 2v 022(m 1＋m 2)(2)如图所示，两球共速后，A 减速，B 加速，A 、B 间的距离增大，故弹簧的压缩量减小，弹簧的长度增加。

(3)当弹簧恢复原长时，小球B 的速度最大，由动量守恒定律得m 1v 0＝m 1v 1＋m 2v 2由能量守恒定律得12m 1v 02＝12m 1v 12＋12m 2v 22解得v 2＝2m 1v 0m 1＋m 2。

拓展延伸(1)系统动能何时最小？求系统的动能的最小值。

(2)从小球与弹簧相互作用至弹簧恢复原状的过程，系统动能何时最大？求系统的动能的最大值。

答案(1)弹簧和小球组成的系统机械能守恒，两球共速时，弹簧的弹性势能最大，系统的动能最小。

E kmin ＝12(m 1＋m 2)v 2＝m 122(m 1＋m 2)v 02(2)弹簧和小球组成系统机械能守恒，当弹簧恢复原长时，弹簧的弹性势能最小，系统的动能最大，E kmax ＝12m 1v 02。

对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则系统动量守恒。

弹簧—小球模型 滑块—斜(曲)面模型[学习目标] 1.进一步理解动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律的内容及含义.2.会应用动量观点和能量观点分析这两类模型．一、弹簧—小球模型1．对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒定律．2．在能量方面，由于弹簧发生形变，具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能的改变量．3．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度，此时弹性势能为零．如图1所示，光滑水平面上静止着一质量为m 2的刚性小球，小球与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m 1的刚性小球以速度v 0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，求：图1(1)弹簧弹性势能的最大值；(2)弹簧第一次恢复原长时，m 1、m 2两球的速度大小．答案 (1)m 1m 2v 022(m 1＋m 2)(2)(m 1－m 2)v 0m 1＋m 2 2m 1v 0m 1＋m 2解析 (1)两球速度相同时，弹簧弹性势能最大．以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得m 1v 0＝(m 1＋m 2)v由能量守恒得12m 1v 02＝12(m 1＋m 2)v 2＋E pmax 解得E pmax ＝m 1m 2v 022(m 1＋m 2)(2)从m 1与弹簧接触到弹簧第一次恢复原长，整个过程两球相当于发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律得：m 1v 0＝m 1v 1′＋m 2v 2′12m 1v 02＝12m 1v 1′2＋12m 2v 2′2 解得v 1′＝(m 1－m 2)v 0m 1＋m 2v 2′＝2m 1v 0m 1＋m 2. 如图2所示，用水平轻弹簧相连的质量均为2 kg 的A 、B 两物块都以v ＝6 m/s 的速度在光滑水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4 kg 的物块C 静止在前方，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动．在以后的运动中，求：图2(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度多大？(2)弹簧弹性势能的最大值是多大？(3)A 的速度有可能向左吗？为什么？答案 (1)3 m/s (2)12 J (3)见解析解析 (1)当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，以v 的方向为正方向，有：(m A ＋m B )v ＝(m A ＋m B ＋m C )v A ′解得v A ′＝3 m/s.(2)B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为v ′，则：m B v ＝(m B ＋m C )v ′解得：v ′＝2 m/s设弹簧的弹性势能最大为E p ，根据能量守恒：E p ＝12(m B ＋m C )v ′2＋12m A v 2－12(m A ＋m B ＋m C )v A ′2 解得E p ＝12 J.(3)A 、B 、C 组成的系统动量守恒m A v ＋m B v ＝m A v A ＋(m B ＋m C )v B设A 的速度向左，有v A <0，v B >4 m/s则作用后A 、B 、C 动能之和：E k ＝12m A v A 2＋12(m B ＋m C )v B 2>12(m B ＋m C )v B 2>48 J 实际上系统的总机械能为：E ＝E p ＋12(m A ＋m B ＋m C )v A ′2 ＝12 J ＋36 J ＝48 J根据能量守恒定律，E k >E 是不可能的，所以A 不可能向左运动．二、滑块—斜(曲)面模型对于滑块—斜(曲)面模型，系统所受合力不为零，但常在水平方向上的合力为零，则在水平方向上系统动量守恒，再结合能量守恒列方程，联立求解．如图3所示，有一质量为m 的小球，以速度v 0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道．已知圆弧轨道的质量为2m ，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g ，求：图3(1)小球在圆弧轨道上能上升的最大高度；(用v 0、g 表示)(2)小球离开圆弧轨道时的速度大小．答案 (1)v 023g (2)v 03解析 (1)小球在圆弧轨道上上升到最高时两物体速度相同，系统在水平方向上动量守恒，规定v 0的方向为正方向，有：m v 0＝3m v ，得v ＝v 03根据机械能守恒定律得：12m v 02＝12×3m v 2＋mgh 解得：h ＝v 023g(2)小球离开圆弧轨道时，根据动量守恒定律，则有：m v 0＝m v 1＋2m v 2根据机械能守恒定律，则有：12m v 02＝12m v 12＋12×2m v 22 联立以上两式可得：v 1＝－13v 0， 则小球离开圆弧轨道时的速度大小为v 03. 如图4，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s 的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h ＝0.3 m(h 小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m 1＝30 kg ，冰块的质量为m 2＝10 kg ，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2.图4(1)求斜面体的质量；(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？答案 (1)20 kg (2)不能解析 (1)选向左为正方向．冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v ，斜面体的质量为m 3.由水平方向动量守恒定律和机械能守恒定律得m 2v 0＝(m 2＋m 3)v 12m 2v 02＝12(m 2＋m 3)v 2＋m 2gh 式中v 0＝3 m/s 为冰块推出时的速度．联立两式并代入题给数据得m 3＝20 kg.(2)选向右为正方向，设小孩推出冰块后小孩的速度为v 1，由动量守恒定律有m 1v 1－m 2v 0＝0， 代入数据得v 1＝1 m/s设冰块与斜面体分离后的速度分别为v 2和v 3，由动量守恒定律和机械能守恒定律有－m 2v 0＝m 2v 2＋m 3v 3.12m 2v 02＝12m 2v 22＋12m 3v 32 联立两式并代入数据得v 2＝1 m/s由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩.1.(滑块—斜(曲)面模型)如图5所示，在光滑的水平地面上停放着质量为m 的装有14弧形槽的小车．现有一质量也为m 的小球以v 0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去，不计一切摩擦，则( )图5A ．在相互作用的过程中，小车和小球组成的系统总动量守恒B ．小球从右侧离开车后，对地将向右做平抛运动C ．小球从右侧离开车后，对地将做自由落体运动D ．小球从右侧离开车后，小车的速度有可能大于v 0答案 C解析 整个过程中系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，故A 错误；设小球离开小车时，小球的速度为v 1，小车的速度为v 2，整个过程中水平方向动量守恒：m v 0＝m v 1＋m v 2，由机械能守恒定律得：12m v 02＝12m v 12＋12m v 22，联立解得v 1＝0，v 2＝v 0，即小球与小车分离时二者交换速度，所以小球从小车右侧离开后对地将做自由落体运动，故B 、D 错误，C 正确．2．(弹簧—小球模型)如图6，在光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A 、B 、C .B 的左侧固定一水平轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A 以速度v 0向B 运动，压缩弹簧；当A 、B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B 和C 碰撞过程时间极短，求从A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，图6(1)整个系统损失的机械能；(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能．答案 (1)116m v 02 (2)1348m v 02 解析 A 、B 相互作用过程动量守恒、机械能也守恒，而B 、C 相碰粘接在一起时，动量守恒，机械能不守恒，系统产生的内能则为B 、C 相碰过程中损失的机械能．当A 、B 、C 速度相等时，弹性势能最大．(1)从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得m v 0＝2m v 1①此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后瞬间的速度为v 2，损失的机械能为ΔE .对B 、C 组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得m v 1＝2m v 2②12m v 12＝ΔE ＋12(2m )v 22③ 联立①②③式得ΔE ＝116m v 02.④ (2)由②式可知v 2<v 1，A 将继续压缩弹簧，直至A 、B 、C 三者速度相同，设此速度为v 3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为E p .由动量守恒定律和能量守恒定律得m v 0＝3m v 3⑤ 12m v 02－ΔE ＝12(3m )v 32＋E p ⑥ 联立④⑤⑥式得E p ＝1348m v 02.1.如图1所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 质量相等，Q 与水平轻质弹簧相连．设Q 静止，P 以某一初速度向Q 运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于( )图1A ．P 的初动能B ．P 的初动能的12C ．P 的初动能的13D ．P 的初动能的14答案 B解析 把小滑块P 和Q 以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒．在整个碰撞过程中，当小滑块P 和Q 的速度相等时，弹簧的弹性势能最大．设小滑块P 的初速度为v 0，两滑块的质量均为m ，以v 0的方向为正方向，则m v 0＝2m v ，得v ＝v 02，所以弹簧具有的最大弹性势能E pm ＝12m v 02－12×2m v 2＝14m v 02＝12E k0，故B 正确． 2．如图2所示，水平弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m 的小球从槽上h 高处开始自由下滑( )图2A ．在以后的运动过程中，小球和槽组成的系统动量始终守恒B ．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功C ．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动D ．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽上h 高处答案 C解析 小球从弧形槽上下滑过程中，小球和槽组成的系统在水平方向上动量守恒，但是，当小球接触弹簧的过程中，弹簧会对小球施加一个水平向左的外力，故在此运动过程中小球和槽组成的系统动量不守恒，A 错误；小球在弧形槽中下滑过程中和弧形槽之间产生了一个垂直于接触面的弹力，而且在弹力水平分力的方向上两者都发生了位移，故小球和弧形槽之间的相互作用力会做功，B 错误；小球下滑时，与光滑弧形槽在水平方向上动量守恒，所以小球离开光滑弧形槽时，两者速度大小相等、方向相反，因此，小球被弹簧反弹后，速度与光滑弧形槽速度相等，且都做匀速直线运动，小球不能追上光滑弧形槽，C正确，D错误．3．(多选)如图3所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上，物体B沿水平方向向右运动，跟轻弹簧相碰．在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是()图3A．弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同B．弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小C．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少D．物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零答案ABD解析物体B与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B做减速运动，A做加速运动，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A正确．A、B和弹簧组成的系统能量守恒，弹簧压缩量最大时，弹性势能最大，此时A、B的动能之和最小，故B正确．弹簧在压缩的过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，故C错误．当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，然后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐恢复原长，当弹簧恢复原长时，A的速度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D正确．4．A、B两小球静止在光滑水平面上，用水平轻弹簧相连接，A、B两球的质量分别为m和M(m<M)．若使A球获得瞬时速度v(如图4甲)，弹簧压缩到最短时的长度为L1；若使B球获得瞬时速度v(如图乙)，弹簧压缩到最短时的长度为L2，则L1与L2的大小关系为()图4A．L1>L2B．L1<L2C．L1＝L2D．不能确定答案 C解析当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，对题图甲取A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：m v＝(m＋M)v′由机械能守恒定律得：E p＝12m v2－12(m＋M)v′2联立解得弹簧压缩到最短时E p＝mM v22(m＋M)同理：对题图乙取B 的初速度方向为正方向，当弹簧压缩到最短时有：E p ＝mM v 22(m ＋M ) 故弹性势能相等，则有：L 1＝L 2，故A 、B 、D 错误，C 正确．5．在光滑的水平冰面上，放置一个截面为四分之一圆的半径足够大的光滑的可自由移动的曲面，一个坐在冰车上的小孩手扶小球静止在冰面上．某时刻小孩将小球以v 0＝2 m/s 的速度向曲面推出(如图5所示)．已知小孩和冰车的总质量为m 1＝40 kg ，小球质量为m 2＝2 kg ，曲面质量为m 3＝10 kg.试求小孩将球推出后还能否再接到球，若能，则求出再接到球后人的速度大小，若不能，则求出球再滑回水平冰面上的速度大小．图5答案 能 1063m/s 解析 以小球被推出的方向为正方向，人推球过程，水平方向动量守恒：0＝m 2v 0＋m 1v 1得v 1＝－0.1 m/s球和曲面相互作用时，水平方向动量守恒：m 2v 0＝m 2v 2＋m 3v 3由机械能守恒定律得：12m 2v 02＝12m 2v 22＋12m 3v 32 得v 2＝－43m/s |v 2|>|v 1|，所以人能再接住球，人接球的过程，由动量守恒定律得：m 1v 1＋m 2v 2＝(m 1＋m 2)v 共，得v 共＝－1063m/s ，负号表示方向向右． 6.(2020·扬州十一中高二下期中)如图6所示的三个小球的质量都为m ，B 、C 两球用水平轻弹簧连接后静止放在光滑的水平面上，A 球以速度v 0沿B 、C 两球球心的连线向B 球运动，碰后A 、B 两球粘在一起．问：图6(1)A 、B 两球刚刚粘合在一起的速度是多大？(2)弹簧压缩至最短时三个小球的速度是多大？(3)弹簧的最大弹性势能是多少？答案 (1)v 02 (2)v 03 (3)112m v 02 解析 (1)在A 、B 碰撞的过程中弹簧的压缩量是极其微小的，产生的弹力可完全忽略，即C 球并没有参与A 、B 的碰撞，因此A 、B 两球组成的系统所受合外力为零，动量守恒，以v 0的方向为正方向，则有：m v 0＝2m v 1，解得v 1＝v 02. (2)粘合在一起的A 、B 两球向右运动，压缩弹簧，由于弹力的作用，C 球加速，速度由零开始增大，而A 、B 两球减速，速度逐渐减小，当三球相对静止时弹簧最短，此时三球速度相等．在这一过程中，三球和轻弹簧构成的系统动量守恒，以A 、B 两球刚刚粘合在一起的速度方向为正方向，有：2m v 1＝3m v 2，解得v 2＝23v 1＝v 03. (3)当弹簧被压缩至最短时，弹性势能最大E pm ＝12×2m v 12－12×3m v 22＝112m v 02. 7．如图7所示，静止放置在光滑水平面上的A 、B 、C 三个滑块，滑块A 、B 间通过一水平轻弹簧相连，滑块A 左侧紧靠一竖直固定挡板P ，某时刻给滑块C 施加一个水平冲量使其以初速度v 0水平向左运动，滑块C 撞上滑块B 的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35 J ，此时撤掉固定挡板P ，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A 、B 、C 的质量分别为m A ＝m B ＝0.2 kg ，m C ＝0.1 kg ，(取10＝3.16)求：图7(1)滑块C 的初速度v 0的大小；(2)当弹簧弹开后恢复原长的瞬间，滑块B 、C 的速度大小；(3)从滑块B 、C 压缩弹簧至弹簧恢复原长的过程中，弹簧对滑块B 、C 整体的冲量． 答案 (1)9 m/s (2)1.9 m/s (3)1.47 N·s ，方向水平向右解析 (1)滑块C 撞上滑块B 的过程中，滑块B 、C 组成的系统动量守恒，以水平向左为正方向，根据动量守恒定律得：m C v 0＝(m B ＋m C )v 1弹簧被压缩至最短时，滑块B 、C 速度为零，根据能量守恒定律得：E p ＝12(m B ＋m C )v 12 解得：v 1＝3 m/s ，v 0＝9 m/s(2)设弹簧弹开后恢复原长的瞬间，滑块B 、C 的速度大小为v 2，滑块A 的大小为v 3，根据动量守恒定律得：(m B ＋m C )v 2－m A v 3＝0根据能量守恒定律得：E p ＝12m A v 32＋12(m B ＋m C )v 22 解得：v 2≈1.9 m/s(3)设弹簧对滑块B 、C 整体的冲量为I ，选向右为正方向，由动量定理得：I ＝Δp ＝(m B ＋m C )[v 2－(－v 1)]解得：I ＝1.47 N·s ，方向水平向右．8．如图8所示，一光滑水平面上有质量为m 的光滑曲面体A ，A 右端与水平面平滑连接，一质量为m 的小球C 放在曲面体A 的曲面上，距水平面的高度为h ，小球C 从静止开始滑下，然后与质量为2m 的小球B 发生弹性正碰(碰撞时间极短，且无机械能损失)．重力加速度为g .图8(1)小球C 与曲面体A 分离时，求A 、C 的速度大小；(2)小球C 与小球B 发生碰撞后，小球C 能否追上曲面体A ?答案 (1)均为gh (2)不能解析 (1)设小球C 与曲面体A 分离时速度大小为v 0，此时曲面体A 的速度大小为v A ，小球C 运动到曲面体A 最低点的过程中，以向右为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律得m v 0－m v A ＝0，由机械能守恒定律得mgh ＝12m v 02＋12m v A 2， 解得v A ＝v 0＝gh .(2)设小球C 与小球B 发生碰撞后速度分别为v C 和v B ，以向右为正方向，由于小球C 与小球B 发生弹性正碰，由动量守恒定律得m v 0＝m v C ＋2m v B ，由机械能守恒定律得12m v 02＝12m v C 2＋12×2m v B 2， 解得v B ＝23gh ，v C ＝－13gh ， 因|v C |<|v A |，则小球C 与小球B 发生碰撞后，小球C 不能追上曲面体A .。

动量守恒的十种模型滑块木板模型模型解读1.模型图示2.模型特点(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。

(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。

3.求解方法(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。

(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。

(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q =f Δx 或Q =E 初-E 末，研究对象为一个系统。

【方法归纳】.“子弹打木块”(“滑块-木板”)模型，采用动量守恒定律、动能定理或能量守恒定律列方程解答。

滑块木板模型的位移关系:滑块由木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板同向运动，二者位移之差等于板长。

若滑块和木板反向运动，二者位移之和等于板长。

【典例精析】1(2024·广东广州校考)如图，长为L 的矩形长木板静置于光滑水平面上，一质量为m 的滑块以水平向右的初速度v 0滑上木板左端。

若木板固定，则滑块离开木板时的速度大小为v 03；若木板不固定，则滑块恰好不离开木板。

滑块可视为质点，重力加速度大小为g 。

求：(1)滑块与木板间的动摩擦因数μ；(2)木板的质量M ；(3)两种情况下，滑块从木板左端滑到右端的过程中，摩擦力对滑块的冲量大小之比I 1∶I 2。

【针对性训练】1(2024年5月武汉三模)一块质量为M 、长为l 的长木板A 静止放在光滑的水平面上，质量为m 的物体B (可视为质点)以初速度v 0从左端滑上长木板 A 的上表面并从右端滑下，该过程中，物体B 的动能减少量为ΔE kB，长木板A的动能增加量为ΔE kA，A、B间因摩擦产生的热量为Q，下列说法正确的是()A.A、B组成的系统动量、机械能均守恒B.ΔE kB，ΔE kA，Q的值可能为ΔE kB=7J，ΔE kA=2J，Q=5JC.ΔE kB，ΔE kA，Q的值可能为ΔE kB=5J，ΔE kA=3J，Q=2JD.若增大v0和长木板A的质量M，B一定会从长木板A的右端滑下，且Q将增大2如图所示，光滑水平面上有一矩形长木板，木板左端放一小物块，已知木板质量大于物块质量，t=0时两者从图中位置以相同的水平速度v0向右运动，碰到右面的竖直挡板后木板以与原来等大反向的速度被反弹回来，运动过程中物块一直未离开木板，则关于物块运动的速度v随时间t变化的图像可能正确的是()3(10分)(2024年4月安徽安庆示范高中联考)如图所示，一质量为M=4kg的木板静止在水平面上，木板上距离其左端点为L=25m处放置一个质量为m=1kg的物块(视为质点)，物块与木板之间的动摩擦因数为μ1=0.3。

动量守恒圆弧轨道模型动量守恒圆弧轨道模型，这个名字听起来就像是科幻电影里的高科技武器，但实际上它涉及的可是一门很酷的物理学原理。

想象一下，咱们小时候玩过的那种小球，放在一个倾斜的滑道上，滑得飞快，转个圈就又回来了。

这就是动量守恒的魅力。

说白了，动量就像是一个小小的秘密，任何物体在运动的时候，都带着这份“动量”，一旦开始跑，就不容易停下来。

就像那句老话：“一鼓作气，再而衰，三而竭”，一旦你把这个小球推开，它就会在轨道上继续运动，直到遇到障碍物。

这个模型的神奇之处就在于，动量在整个过程中是保持不变的。

比如说，两个小球相撞，碰撞之后，它们的速度和方向会变化，但它们的动量总和却是个固定值。

就像一场双人舞，虽然两个人在跳舞的时候不停地转动，变换姿势，但他们的舞步总是相辅相成，没谁踩到谁的脚。

想想看，如果没有动量守恒，咱们的日常生活会变得多麻烦呀！你在球场上投篮，那个球转呀转，如果它的动量不守规矩，恐怕它根本就进不了篮框。

讲到这里，不禁让人联想到那些让人捧腹大笑的场景。

比如，聚会上的一个玩笑，一群人围着桌子，玩着“传球”游戏，那个球一开始轻轻地滚动，大家都小心翼翼，生怕把它踢飞。

可突然间，来个“猛将”，一脚把球踢得飞起，瞬间气氛就热了起来。

正是动量的守恒让这个球飞得如此潇洒，尽管它可能撞到了墙壁，最后又乖乖地回到大家的脚边。

在科学的世界里，动量守恒是个很重要的原则。

这个原则让科学家们能够理解宇宙的很多现象。

比如说，火箭发射的时候，火箭的动量需要克服地球的引力，才能冲向太空。

这就好比你想要在舞台上大展身手，得先有个强劲的开场！这其中的每一个细节，都得讲究动量的合理利用。

还有个让人忍俊不禁的比喻，想象一下在游乐场的过山车。

它在最高点的时候，动量最大，整个轨道也被设计得淋漓尽致，能让你体验到飞速下降的刺激。

那种心跳加速的感觉，真是让人欲罢不能！在你尖叫着向下冲的时候，科学家们在后台默默计算着，确保你在下一秒就能安全到达底部。