定积分基本公式
定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等.
第二节 微积分基本公式
一、变上限的定积分
设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x
a f x x
⎰是一个定数，
这种写法有一个不方便之处，就是
x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免
t ，于是这个积分就写成了
()d x a
f t t
⎰
.
x 值,积分()d x
a
f t t
⎰就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a
f t t
⎰
（ a ≤x ≤
b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示.
定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分
()Φx =()d x
a f t t ⎰在[,]a
b 上可导，且其导数是
d ()()d ()d x
a
Φx f t t f x x '=
=⎰（ a ≤x ≤ b ）.
推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x
a f t t ⎰即为其原函数.
例1 计算()Φx =2
0sin d x
t t
⎰在x =0 ,处的导数.
解 因为2
d sin d d x t t x ⎰=2sin x ,故
2
(0)sin 00Φ'==；
πsin 242Φ'==.
例2 求下列函数的导数：
(1)
e ln ()d (0)x a
t
Φx t a t =>⎰
；
解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x
u =，所以按复合函数求导
法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x
x u t x ===⎰.
(2)
2
1()(0)
x Φx x θ=>⎰
.
解 21d d d d x Φx
x θ=-⎰2
2()x
x ='=2sin 2sin 2x x
x x x =-
⋅=-.
二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式
定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()()
b a
f x x F b F a =-⎰
.
证 由定理1知，变上限积分
()()d x
a
Φx f t t
=⎰也是()f x 的一个原函数，于
是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0
()d ()x a f t t F x C =+⎰.
我们来确定常数 0C 的值，为此，令 x a =，有0()d ()a
a f t t F a C =+⎰，得0()C F a =-.
因此有 ()d ()()
x
a
f t t F x F a =-⎰.
再令x b =，得所求积分为 ()d ()()
b
a
f t t F b F a =-⎰.
因此积分值与积分变量的记号无关，仍用x 表示积分变量，即得
()d ()()
b a
f x x F b F a =-⎰
,其中()()F x f x '=.
上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：
()d ()()()
b b a a
f x x F x F b F a ==-⎰
.
例1 求定积分：
(1)
2
21
1d ()x
x x +⎰；（2
）
2
312
⎰；（3
）1
x
-⎰.
解 （1）
2
2
2221111d (2)d ()x x x x x x =+++⎰⎰2
3
115(2)436x x x =+-=. （2
）
223112
2
=⎰
⎰
d
x
212
2=⎰
=0.3398.=≈
（3
x
=在[1,1]-上写成分段函数的形式
,10,(),01,x x f x x x --≤<⎧=⎨
≤≤⎩
于是1
1
10()d d x x x x x --=-+⎰⎰
⎰
2201
1
1022x x =-+=-.
例2 计算2
cos 1
2
e d lim
x t x t
x -→⎰.
解 因为 0x →时,cos 1x →,故本题属 0
0 型未定式,可以用洛必达法
则来求.这里2
cos 1
e d x
t t
-⎰是 x 的复合函数,其中cos u x =,所以
222cos cos cos 1d e d e (cos )'sin e d x t x x
t x x x ---==-⎰,于是
有
2
2
2cos cos
1
cos 2
00e d sin e sin lim
lim lim e 22x t x
x
x x x t
x x x x
x
---→→→-⋅-==⎰111
e 22e -=-=-
.
思考题
1.若
2
2()sin d x x
f x t t
=⎰，()?f x '=
2.在牛顿-莱布尼茨公式中，要求被积函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续. 问当()f x 在[,]a b 区间上有第一类间断点时，还能否用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分？并计算
